第六章二元一次方程組

本/章/整/體/說/課

教學目標

「知識一技能」

1.了解二元一次方程和二元一次方程組及它們的解.

2.會用代入消元法和加減消元法解二元一次方程組,能根據方程組的

特征選擇合適的解法.

3.理解代入消元法和加減消元法的意義,并能從中感悟“化歸”思想

（將“二元”化為“一元”，將“未知”化為“已知”，將“復雜”化為

“簡單”等）.

?過程霽紅

讓學生經歷從實際問題中抽象出二元一次方程（組）的過程,進一步體

會方程模型在解決現實問題中的地位和作用.

「贏去度前彳蕭

會將一些實際問題通過建立二元一次方程組來求解,通過分析和解決

問題的過程,增強學生的數學應用意識.

e教材分析

i.本章內容和地位

本章內容主要包括:通過實例建立二元一次方程組模型,解二元一次

方程組和用二元一次方程組解決一些實際問題.此外,還介紹了簡單的三

元一次方程組的解法.

本章內容是以數、式運算為基礎，以列代數式、等式為重點，繼續了解

和認識方程模型的意義和作用，運用方程解決簡單實際問題的學習過程，

也是數學模型思想的進一步揭示與發展.

本章內容的開始是通過對具體問題，利用不同的解決方法來體現建立

二元一次方程組模型的優越性,這不僅顯示了二元一次方程組模型的重要

作用，也為以后學習一般的線性方程組以及在多個方面的應用打下基礎.

另外,本章內容所體現的模型化思想和通過消元實現的化歸思想,都對學

生數學能力的提高和發展有著極為重要的作用.

2.本章內容呈現方式及特點

(1)以“知識背景一一知識形成一一揭示聯系”的方式，呈現新的知

識.

(2)在二元一次方程組的解法中，強化了消元方法和它所體現的化歸

思想,淡化了解法中的技巧,著重體現了消元和化歸的數學思想方法.

(3)在用二元一次方程組解決實際問題時一，突出了以“逐步抽象”的

方式來實現數學化.

(4)在呈現方式上,課文和習題中提供了大量的具有趣味性、現實性、

挑戰性的問題,較好地體現了數學知識與現實生活的聯系.同時一,盡可能給

予學生自主探索的情境，讓學生形成積極思考、動手實踐、自主探索、合

作交流等學習方式.

?教學重難點

【重點】

1.利用代入法、加減法解二元一次方程組.

2.利用建立方程（組）的方法解決實際問題.

【難點】

1.方程組解的意義.

2.列方程組解應用題.

?教學建議

1.強化二元一次方程組概念的形成和應用過程.在學生已有的一元一

次方程經驗的基礎上,通過認識實際問題中的兩個未知量應同時適合這兩

個方程,從而理解需將兩個方程聯立,這樣便很自然地建立起二元一次方

程組的概念.借助于問題情境，引導學生理解實際問題,探究實際問題中各

種數量的意義和相互關系，能用恰當的式子表示這種關系，正確地列出二

元一次方程組并解決問題.

2.注重轉化思想的滲透.代入消元法和加減消元法都是解二元一次方

程組的基本方法,教師在教學過程中應注意引導學生分析這兩種方法的目

的都是消元,即通過消去一個未知數，把“二元”轉化為“一元”，并鼓勵

學生用自己的語言概括解方程組的主要步驟.

3.教學中，要根據學生的實際情況,為學生構造恰當的探索、研究、交

流的時間和空間.教材為學生提供了主動觀察、思考、探究和交流的內容,

因此教師要為學生的活動提供充足的時間和空間，引導學生積極思考,幫

助學生主動探究,鼓勵學生表達與交流,從而使學生較好地理解與掌握本

章內容,發展思維能力.

&課時劃分

6.1二元一次方程組1課時

6.2二元一次方程組的解法3課時

6.3二元一次方程組的應用2課時

6.4簡單的三元一次方程組1課時

回顧與反思1課時

課/時/教/學/詳/案

6.1二元一次方程組

■整體設計

教學目標

嘶識寫技爵1

了解二元一次方程和它的解,二元一次方程組和它的解,會判斷一組

未知數的值是否為二元一次方程組的解.

―I筋窗

會把一些簡單的實際問題中的數量關系用二元一次方程組表示出來.

「醺級與伸S期

通過實例，使學生認識二元一次方程和二元一次方程組都能反映數量

關系.

0、教學重難點

【重點】

1.了解二元一次方程組和它的解.

2.會判斷一組未知數的值是否為二元一次方程組的解.

【難點】

用方程組表示簡單實際問題中的數量關系.

0）教學準備

【教師準備】多媒體課件.

【學生準備】預習教材P2?4.

舊教學過程

反新課導入

導入一：

今有雞免回籠.

罐:髓小二勺頻酷之"

你能解決上面的“雞兔同籠”問題嗎?

［設計意圖］幫助學生感受利用方程（組）可以很簡單地解決這一問

題.進一步認識方程（組）是刻畫現實世界中等量關系的有效模型,許多現

實問題都可歸結為方程問題.

導入二：

籃球聯賽中，每場比賽都要分出勝負,每隊勝1場得2分，負1場得1

分.某隊在10場比賽中得到16分,那么這個隊勝負場數分別是多少？

在上面的問題中，要求的有兩個未知數，如果用一元一次方程來解決，

列方程時,要用一個未知數表示另一個未知數.能不能根據題意直接設兩

個未知數，使列方程變得容易呢?我們從這個想法出發開始本章的學習.

［設計意圖］借助于教材情境直接提出用含有兩個未知數的方程解

決問題,為引入二元一次方程的概念做了鋪墊,也讓學生感受到要想提高

解決生活中數學問題的能力，必須持續地進行學習.

陷新知構建

［過渡語］方程是解決實際問題的重要數學工具,我們已經學習了一

元一次方程,從本節開始,我們繼續研究二元一次方程組的相關知識.

活動1感知二元一次方程

1.感知應用二元一次方程解決問題的便利性

某酒廠有大小兩種存酒的木桶，已知5個大桶加上1個小桶可以盛酒

28升，1個大桶加上5個小桶可以盛酒20升.那么，1個大桶和1個小桶分

別可盛酒多少升？

觀察下面解決問題的過程:

方法一:設一個未知數

設1個大桶盛酒X升,則1個小桶盛酒(28-5X)升.

根據題意，列方程,得x+5(28-5x)=20.

解這個一元一次方程，得x=5.

從而，得28~5x=3.

即1個大桶盛酒5升，1個小桶盛酒3升.

【追問】(1)方程x+5(283x)=20為什么是一元一次方程？

(2)上述方程的解是什么？

(3)能否說方程的解是“5升”？

［設計意圖］一元一次方程的相關定義對于二元一次方程具有類比

性,通過追問既能幫助學生理解以往的知識,也能為學習新的知識做鋪墊.

方法二:設兩個未知數

設1個大桶盛酒x升，1個小桶盛酒y升.

根據題意，可得方程：

5x+y=28,①

x+5y=20.②

大桶和小桶的容積應當是同時滿足方程①和②的未知數的值.

【追問】(1)比較方程x+5(28-5x)=20和方程5x+y=28及x+5y=20,

它們的共同點是什么，不同點是什么？

(共同點是它們都是方程;不同點是前者是用一個方程來表示數量關

系的,其中進行了一次運算(28-5x),后者是直接用兩個方程來表示數量關

系的.)

(2)x=5,y=3是否同時滿足方程①和②？

(所給值同時滿足方程①和②.)

［設計意圖］通過觀察思考，體會到同一個問題中的數量關系,通過

設一個或兩個未知數都可以表示出來,但用兩個未知數來表示更便于列出

方程.

2.二元一次方程的相關定義

像5x+y=28和x+5y=20這樣,含有兩個未知數,并且含有未知數的項的

次數都是1的方程，叫做二元一次方程.

使二元一次方程兩邊相等的兩個未知數的值，叫做這個二元一次方程

的一組解.

如x=5,y=3是方程5x+y=28的一組解，也是方程x+5y=20的一組解.

一般地，將二元一次方程的一組解記為仔二?的形式.

活動2嘗試列二元一次方程

1.試著做做

已知甲數的2倍與乙數的3倍之和是12,甲數的3倍與乙數的2倍之

差是5.求這兩個數.

(1)列一元一次方程求解.

(設甲數為X,則乙數為(12-2X),列方程為3x-|(12-2x)=5.解得x=3,

則?12-2x)=2.故甲數是3,乙數是2.)

(2)如果設甲數為x,乙數為y,請根據問題中的等量關系，列出含兩個

未知數的一組方程.

(2x+3y=12,3x-2y=5.)

(3)用一元一次方程求得的甲數和乙數，代入⑵中所列的這組方程中,

檢驗方程兩邊是否相等.

(相等.)

［設計意圖］進一步讓學生體會由列一元一次方程求得的解,滿足含

有兩個未知數的兩個二元一次方程.

2.大家談談

結合以上兩個問題，請你談談列“含一個未知數”的方程和列“含兩

個未知數”的方程的區別與聯系.

(區別:含有未知數的個數不同.聯系：它們都是方程,含有“一個未知

數”的方程實質上進行了一次運算，含有“兩個未知數”的方程是把等量

關系直接表示了出來.)

活動3探究二元一次方程組的相關定義

1.對于二元一次方程,任意給定未知數x的一個值,你能求出滿足方

程的未知數y的值嗎?填寫下表.

2x+3y=12x2345

y??????

X???2345???

3x-2y=5

y??????

2.分別寫出方程2x+3y=12和方程3x-2y=5的四組解.你還能找出這兩

個方程的其他解嗎？一個二元一次方程有多少組解？

【處理方式】前兩個問題學生自主完成后交流.

［設計意圖］幫助學生復習方程解的含義,初步發現和領會二元一次

方程解的不確定性.

3.是否有同時滿足這兩個方程的一組解?若有,請你指出是哪組解.

【處理方式】引導學生進行大膽猜測和嘗試.

［設計意圖］在前面探究活動的基礎上，引導學生探索發現有適合上

述兩個方程的共同解,進而為總結方程組的定義和方程組解的定義做認知

準備.

4.總結相關定義.

由幾個方程組成的一組方程叫做方程組.含有兩個未知數,并且含有

未知數的項的次數都是1的方程組，叫做二元一次方程組.二元一次方程

組中方程的公共解叫做這個二元一次方程組的解.

一般地，二元一次方程組記作t3y",的形式而￡二是這個

(3久-2y=5(y=2

方程組的解.

現階段,我們只研究含有兩個方程的二元一次方程組.

［知識拓展］二元一次方程組的解是一對數,要將這對數代入方程組

中的每一個方程進行檢驗,這對數只有滿足方程組中的每一個方程,才能

是這個方程組的解,而一元一次方程的解是一個數,這是它們之間的區別.

叵課堂小結

1.含有兩個未知數,并且含有未知數的項的次數都是1的方程，叫做

二元一次方程.

2.使二元一次方程兩邊相等的兩個未知數的值，叫做這個二元一次方

程的一組解.

3.由幾個方程組成的一組方程叫做方程組.含有兩個未知數,并且含

有未知數的項的次數都是1的方程組，叫做二元一次方程組.二元一次方

程組中方程的公共解叫做這個二元一次方程組的解.

區檢測反饋

1.下列方程中，二元一次方程是（）

A.3x-8y=llB.［xy=5

C.-x+-y-lD.7x+2=0

65

解析:在B中,ixy是二次的,不是一次,應排除;在C中,白2是二次的,

45

應排除;在D中，只有一個未知數,不是二元,應排除.故選A.

2.二元一次方程組黎匯的解為（）

Lx-y—4

x=2

A.

M3y=3

解析:將選項中各組數值代入二元一次方程組中，只有c選項滿足.故

選C.

3.一副三角板按如圖所示的方式擺放，且N1比N2大50°,若設/

l=x°,N2=y°,則可得到的方程組為()

A儼=y-50(x=y+50

A。卜+y=180+y=180

r(x=y-50(x=y+50

，+y=90，+y=90

解析:根據平角和直角的定義,得方程x+y=90;根據N1比N2大50°,

得方程x=y+50.可列方程組為｛7工部故選D.

4.現有布料25米,需裁成大人和小孩的服裝兩種.已知大人服裝每套

用布2.4米，小孩服裝每套用布1米，問各裁多少套恰好把布用完？

解:設裁大人服裝x套，小孩服裝y套恰好把布用完.

根據題意得2.4x+y=25,則y=25-2.4x.

因為x,y必須都是正整數，

所以x只能取5和10.

當x=5時",y=13;當x=10時，y=l.

所以裁大人服裝5套、小孩服裝13套或者裁大人服裝10套、小孩服

裝1套.

區板書設計

6.1二元一次方程組

活動1感知二元一次方程

活動2嘗試列二元一次方程

活動3探究二元一次方程組的相關定義

國布置作業

一、教材作業

【必做題】

教材第4頁習題A組的第1,2題.

【選做題】

教材第5頁習題B組的第1,2題.

二、課后作業

【基礎鞏固】

1.二元一次方程x+2y=3的解有（）

A.1組B.2組

C.3組D.無數組

2,下列各組數值是二元一次方程x-3y=4的解的是（）

C儼=TD”4

ly=-2U-ly=-1

3.已知兩數x,y之和是10,x比y的3倍大2,則下面所列方程組正確的是

()

(x+y=10(x+y=10

A。(y=3%+2[y=3x~2

(x+y=10(x+y=10

[x=3y+2lx=3y~2

4.把方程2x+y=3改寫成用含x的式子表示y的形式，得y=.

5.判斷￡=3,是否為二元一次方程組[2y=2,的解.

【能力提升】

6.若方程X、一+(a-2)y=3是二元一次方程,則a的取值范圍是()

A.a>2B.a=2

C.a=-2D.a〈-2

7.二元一次方程x-2y=l有無數多個解,下列四組值中不是該方程的解的

是()

8.為了開展陽光體育活動,某班計劃購買德子和跳繩兩種體育用品，共花

費35元，腱子單價3元，跳繩單價5元，購買方案有()

A.1種B.2種

C.3種D.4種

9.已知[1]1'是某個二元一次方程的一組解,則這個方程可以

是.

10.已知關于x,v的二元一次方程組&的解中x=i.

⑴求方程組的解；

⑵求b的值.

11.某公園門票為成人10元/張,兒童5元/張,現有m名成人和n名兒童，

共花了40元購買門票.

⑴列出關于m,n的二元一次方程；

⑵如果m=3,那么n的值是多少？

⑶如果兒童有4名，那么成人有多少名？

【拓展探究】

12.為推進課改,王老師把班級里40名學生分成若干小組,每小組只能是5

人或6人，則共有分組方案（）

A.4種B.3種

C.2種D.1種

13.某電視臺在黃金時段的2分鐘廣告時間內，計劃插播長度為15秒和30

秒的兩種廣告.15秒廣告每播1次收費0.6萬元,30秒廣告每播1次收費

1萬元.若要求每種廣告播放不少于2次.

⑴兩種廣告的播放次數有幾種安排方式？

⑵電視臺選擇哪種播放方式收益較大？

【答案與解析】

LD（解析：由二元一次方程的解的定義知，任意一個二元一次方程都有無

數組解.）

2.A（解析:將四個選項中的x與y的值代入已知方程檢驗，即可得到正確的

選項.A、將x=l,y=-l代入方程左邊,得x-3y=l+3=4,右邊為4,本選項正

確;B、將x=2,y=l代入方程左邊,得x-3y=2-3=-1,右邊為4,本選項錯誤;C、

將x=-l,y=-2代入方程左邊，得x-3y=-l+6=5,右邊為4,本選項錯誤;D、將

x=4,y=-l代入方程左邊,得x-3y=4+3=7,右邊為4,本選項錯誤.）

3.C（解析:第一步:求“和”，即相加，所以“已知兩數x,y之和是10”即

“x+y=10"；第二步：“甲比乙大多少”即“甲-乙=差”或“甲=乙+差”，

所以“x比y的3倍大2”即“x=3y+2”.綜合上述兩步,可知C正確.）

4.3-2x（解析:本題是將二元一次方程變形,用一個未知數表示另一個未知

數,先移項,再將系數化為1即可.）

5.解:14%+2y=2,@把*=3,y=-5代入方程①,左邊=4X3+2X（-5）=2,

（%+y=-1.（2）

右邊=2,左邊=右邊,所以二:5是方程①的解?把x=3,y=-5代入方程②,

左邊=3+（-5）=-2,右邊=-1,左邊W右邊,所以二七5不是方程②的解。所

以匕=3"不是二元一次方程組=：,的解.

6.C（解析:根據二元一次方程的定義，得|a卜1=1且a-2N0,解得a=-2.）

7.B（解析:將x,y的值分別代入x-2y中，看結果是否等于1,即可判斷x,y

的值是否為方程x-2y=l的解.A.當x=0,y冶時,x-2y=0-2X（-0=1,是方

程的解;B.當x=l,y=l時,x-2y=『不是方程的解;C.當x=l,y=O

時，x-2y=l-2X0=l,是方程的解;D.當x=-l,y=T時,x-2y=--2X（-1）=1,

是方程的解.）

8.B（解析:設建子和跳繩分別購買x個,y個,則3x+5y=35,這個方程的正整

數解的組數,即為購買方案種數.共有二:'和二兩種方案.）

9.2x+y=0（解析:答案不唯一，如2x+y=0等.）

10.解：（1）把x=l代入方程5y-2x=8得y=2,故方程組的解為二（2）

把二:代入方程3+5n=40.（2）如果m=3,那么n的值是2.（3）如果兒

童有4名，那么成人有2名.

12.C（解析:設5人一組的有x個小組,6人一組的有y個小組,根據題意可

得5x+6y=40.若x=l,則y=￥（不合題意）；若x=2,則y=5;若x=3,則y=^（不

合題意）；若x=4,則y言（不合題意）；若x=5,則y=|（不合題意）；若x=6,則

y=f（不合題意）；若x=7,則（不合題意）；若x=8,則y=0.故共有2種分組

方案.故選C.）

13.解：（1）設15秒廣告播放x次,30秒廣告播放y次.由題意,得

15x+30y=120,即x+2y=8.因為x,y為不小于2的正整數,所以可解得

:，或二;所以有兩種播放方式，即15秒的廣告播放4次,30秒的廣

告播放2次;或15秒的廣告播放2次,30秒的廣告播放3次.（2）若

x=4,y=2,則0.6X4+1X2=4.4（萬元）;若x=2,y=3,則0.6X2+1X3=4.2（萬

元）.所以，電視臺選擇15秒的廣告播放4次,30秒的廣告播放2次收益較

大.

—一教學反思

（卻成功之處

本課時在設計理念上圍繞著類比的思路展開,充分借助學生現有的一

元一次方程知識,通過與一元一次方程的比較，引入二元一次方程的定義;

通過類比一元一次方程的解,延伸到二元一次方程（組）的解.在這種設計

理念的指導下，順利地實現了本課時的教學目標.

G不足之處

本課時的教學重點和難點集中在二元一次方程（組）的解的問題上,在

處理這個問題時除了強調一般的檢驗方法外,沒有特別強調需要對方程組

中兩個方程分別去驗證.

（事再教設計

由于本課時中的概念都是描述性的概念，因此可以讓學生通過對知識

的理解，自己去總結和描述相關定義.

舊教材習題解答

練習（教材第4頁）

1.解:4-2x

2.解：（4）是二元一次方程.

3.解：（1）是二元一次方程組.

習題（教材第4頁）

A組

1.12

2.解:哺：邸是方程組圖m鬻的解?

[4%+5y=52,

3.解Q匚/

(10%+?3y=54.

B組

1解.儼+y=i8。，

腑1y?56%=%?70%.

2.解：(1)設原兩位數的十位數字為x,則個位數字為ll-x,原兩位數為

10x+(ll-x).由題意得10x+(11-x)+45=10(11-x)+x,解得x=3,則

ll-x=l1-3=8,所以原兩位數是38.(2)根據題意得

W+；I'=10y+X.⑶把：0代入⑵中的各方程，均有左邊二

右邊.所以⑴中求得的結果滿足⑵中的方程組.

一備課資源

o經典例題

例1已知方程4xm-1+2y,-2n=10是關于,n的值.

〔解析)本題考查的是二元一次方程的定義,根據二元一次方程定

義知未知數的指數為1,系數不等于0,從而可求得m,n的值.

解：由二元一次方程的定義可得l-2n=l.由此可得m=2,n=0.

o錯題匯總

檢晡二1,2x~y=7,①

例2是否為方程組的解.

-5x+2y=-4②

(正解)把二95代入①中，左邊=2X1-(-5)=7,右邊=7,因為左邊

=右邊,所以后二是方程①的解?再把后二)5代入②中，左邊

=1+2X(-5)=-9,右邊=-4.因為左邊力右邊,所以不是方程②的解，

所以［二)不是方程組｛；；第上4的解.

〔錯解)把［二)5代入①中，左邊=2*1-(-5)=7,右邊=7,因為左邊

=右邊,所以｛；I%是方程組｛；二；二'_4的解.

【易錯辨析】二元一次方程組的解應滿足方程組中全部方程.因此

在檢驗方程組的解時應該對每一個方程都進行檢驗.若只滿足其中部分方

程,將不能作為方程組的解.初學者往往受一元一次方程的解的檢驗的習

慣的影響，只對一個方程進行檢驗,而忽略對另外的方程進行檢驗.錯解的

主要原因是沒有將二代入方程②進行檢驗.

6.2二元一次方程組的解法

教學目標

,如現與技能|

理解并掌握解二元一次方程組的方法,能熟練地運用“代入消元法”

和“加減消元法”解二元一次方程組.

過程與方法

體會解二元一次方程組中的“消元”思想，感受“化歸”思想的廣泛

應用，發展學生分析問題和解決問題的能力及運算技能.

「情髓鱷你i刷

進一步激發學生學習數學的興趣,提高學生探索創新精神.

教學重難點

【重點】

解二元一次方程組的兩種基本方法.

【難點】

將二元一次方程組轉化為一元一次方程.

第E課時

一整體設計

屯）教學目標

畫只招疫能*

能熟練地運用“代入消元法”解方程組.

?過程寫方考

體會解二元一次方程組中的“消元”思想，感受“化歸”思想的廣泛

應用，發展學生分析問題和解決問題的能力及運算技能.

「情糜度馬流明

在探索新知的過程中，體會數學的趣味性,進而養成善于思考、勤于鉆

研的好習慣.

（，教學重難點

【重點】

用代入法解二元一次方程組的基本步驟.

【難點】

對代入消元法解方程組過程的理解.

o教學準備

【教師準備】預想學生在學習過程中可能遇到的問題.

【學生準備】復習二元一次方程組的相關概念.

舊教學過程

反新課導入

導入一：

觀察漫畫情境.

如果設老牛馱X個,小馬馱y個,所列方程組為t?：2，

怎么樣求得x,y的值呢？

［設計意圖］通過漫畫情境，激發學生探索問題的熱情,為學習二元

一次方程組的解法做好心理動員.

導入二:

某職業聯賽中，某隊為了取得好名次，他們想在全部22場比賽中得到

40分，已知每場比賽都要分出勝負，勝隊得2分,負隊得1分,那么這個隊

應該勝、負幾場？

你會用二元一次方程組解決這個問題嗎？

根據問題中的等量關系，設勝x場，負y場,可以很容易地列出方程組

(x+y=22,

［2x+y=40.

那么用什么方法可以求得這個二元一次方程組的解呢？

［設計意圖］本問題的解決方法有多種，限定學生用二元一次方程組

解決問題,有利于學生集中精力學習本課時內容,便于學生體會解方程組

給解決問題帶來的便利.

.新知構建

［過渡語］解二元一次方程組的基本方法是通過“消元”，將二元一

次方程組化為一元一次方程來求解.怎樣進行“消元”呢？

活動1代入法解方程組初探

1.一起探究

對于“雞兔同籠”問題(上有三十五頭,下有九十四足，問雞兔各幾

何?):

方法一:列一元一次方程

設雞有x只.

根據題意列方程，得2x+4(35-x)=94.(*)

解這個一元一次方程，得x=23.

從而得35-23=12.

即雞有23只，兔子有12只.

方法二:列二元一次方程組

設雞有x只，兔子有y只.

根據題意，可得方程組+乙=352

(2x+4y=94.?

由①得y=35-x,③

將③代入②,得2x+4(35-x)=94.④

【追問】⑴由方程組q35晨是怎樣得出方程④的？

(將方程①變形后代入②得到的.)

(2)說明方程④和方程(*)完全相同的理由.

(它們都表示的是“足數”.)

(3)你會解方程④嗎？由④解出x的值以后，怎樣求出y的相應的值？

(代入方程①或②或③,求出相應的y值.)

(4)從中你能體會到怎樣解二元一次方程組嗎？

(選擇一個方程,將其中一個未知數用另一個未知數表示,代入另一個

方程中，化為一元一次方程,求得其解,再求出另一個未知數的值.)

2.例題講解

嗝(教材第6頁例1)求二元一次方程組的解.

(x+2y=9@

解:將①代入②，得x+2(x-6)=9.

解這個一元一次方程,得x=7.

將x=7代入①,得y=l.

所以，原方程組的解為

【追問】(1)將x=9-2y代入①可以嗎？

(2)還有其他的代入方法嗎？

(3)在代入的過程中要注意什么？

活動2代入消元法

將方程組中一個方程的某個未知數用含另一個未知數的代數式表示

出來,代入另一個方程中，消去一個未知數,得到一元一次方程,通過解一

元一次方程,求得二元一次方程組的解.這種解方程組的方法叫做代入消

元法,簡稱代入法.

求二元一次方程組的解的過程叫做解二元一次方程組.

活動3大家談談

一一3+工w4％+y=io,①

解一兀一次萬程組°八二

解:方程①可變形為x=10-y.③

將③代入②,得10-y-2y=4.

解這個方程，得y=2.

將y=2代入③,得x=8.

所以，原方程組的解為后二:

【思考】（1）代入法要實現的目的是什么？

（代入法,一般是將方程組中系數較為簡單的一個方程變形后代入另

一個方程，達到消元的目的.）

（2）觀察上面的解題過程，你還有其他的解法嗎？

（本題也可以將方程②變形為x=2y+4,再代入方程①求解.）

【即時練習】用代入消元法解下列方程組.

］；27，

⑴心（3%：+2尸y=a8;⑵伊12%+3y=3.

【參考答案】=f（2）R=6，

ky=1.ky=-3.

［知識拓展］當二元一次方程組中的系數或未知數的關系較為復雜

時,可先將方程組整理成二元一次方程組的標準形式121y=這

（a2%+b2y=c2,

里abbbCi,a2,b2,C2是整數,x,y是未知數.

叵課堂小結

解方程組的基本思路是“消元”一一把“二元”變為“一元”.主要

步驟是：

（1）將其中一個方程中的某個未知數用含有另一個未知數的代數式表

示出來；

⑵將這個代數式代入另一個方程中，從而消去一個未知數，化二元一

次方程組為一元一次方程；

⑶解這個一元一次方程;

⑷把求得的一元一次方程的解代入方程中，求得另一個未知數的值,

組成方程組的解.

國檢測反饋

1.把方程7x-2y-15=0寫成用含x的式子表示y的形式,得)

AA.x=2—yT—5nB.x=1-5---2y-

77

》

Ck.y=7-TD5n.y=—15-7%

解析:要把方程7x-2y-15=o寫成用含x的式子表示y的形式，需要把

含有y的項移到等號一邊,其他的項移到另一邊,然后合并同類項,系數化

為1即可.因為7x-2y-15=0,所以2y=7x75,即y=等.故選C.

2.由方程組『“一6"V①’得2X-6=7T1X,解得X=1,把x=l代入①得

[7-Ux=y②

y=2-6=-4,所以方程組的解為產=I'」該解法是通過消去未知數

y,從而將方程組轉化為關于x的一元一次方程來解的,這種解法叫做—

法.

解析:本題主要考查對消元法的理解,方程①和②的右邊都是y,因此

左邊兩個代數式是相等的，實際上就是將y=2x-6代入②,或是將y=7-llx

代入方程①.

答案:代入代入消元

3.方程組￡+的解為

解析:將y=2代入x+y=12,消去y,得到x=10.故填二片’

4.解方程組［3

解:把方程①代入方程②，

得3x+2x-4=l,解得x=l.

把x=l代入①,得y=-2,

所以原方程組的解為仔二

ky=-2.

叵板書設計

第1課時

活動1代入法解方程組初探

例題

活動2代入消元法

活動3大家談談

防布置作業

一、教材作業

【必做題】

教材第8頁習題A組的第(1),(2)題.

【選做題】

教材第8頁習題B組的第1,2題.

二、課后作業

【基礎鞏固】

1.用代入法解方程組卜2卬：尹

解：(1)由②得x=2+3y.③

⑵把③代入①,得2+3y+5y=6.

⑶解得y=l.

(4)把y=l代入③,得x=5,所以二:

在以上解題過程中，開始錯的一步是()

A.(1)B.(2)C.(3)D.(4)

2.已知方程x-y=8,用含x的式子表示y,則y=x-萬用含y的式子表示x,

貝！Jx=.

3.用代入法解方程組巧=/①把代入可以消

去未知數.

4.方程組_i的解是.

5.解方程組產y+噫

(2x+y=8.②

【能力提升】

6.已知方程組U'則x+y的值為()

ix+2y=5,

A.-1B.0C.2D.3

7.用代入消元法解方程組［y+4yl①，使得代入后化簡比較容易的變

形是()

A,由①得x=右絲

B.由①得丫三把

4

C.由②得x=^

D.由②得y=2x+ny=10的解有［2及｛:1則3m+7n=

x-y=2,①

9.用代入消元法解方程組

3%+5y=14.②

10.根據圖中的信息,求梅花鹿和長頸鹿現在的高度.

【拓展探究】

11.由方程組匕8+￡=1何得出X與y的關系是（）

A.2x+y=4B.2x-y=4

C.2x+y=~4D.2x-y=-4

（2x-y=5,

12?解方程組［“1檔（2廠1）.

13.為支持亞太地區國家基礎設施建設，由中國倡議設立亞投行.截止4月

15日，亞投行意向創始成員國確定為57個.其中意向創始成員國數亞洲是

歐洲的2倍少2個,其余洲共5個,求亞洲和歐洲意向創始成員國各有多少

個.

【答案與解析】

1.C（解析:計算2+3y+5y=6時,先把2從等號左邊移到右邊,注意變

號，3y+5y=6-2,8y=4,y=1,故本步出現錯誤.）

2.y+8（解析:把y移到另一邊，即可得到用含y的式子表示x的形式.）

3.①②y（解析：當方程組中含有用一個未知數表示另一個未知數的關

系式時,可將其直接代入另一個方程,本方程組中方程①即滿足以上情況，

可直接代入②.）

4.:、3（解析:第一個方程可變形為丫=*-4,將其代入第二個方程,得

2x+x-4=-l,得3x=3,解得x=l,將x=l代入原方程組中第一個方程，得

l-y=4,解得y=-3,所以原方程組的解為后1）

5.解:把方程①代入方程②,得2（y+l）+y=8,解得y=2,再把y=2代入方程①,

得x=3,所以原方程組的解為［2

6.D（解析:［2X=、=對①變形，得y=4-2x③,將③代入②中，得

x+2（4-2x）=5,去括號，得x+8-4x=5,化簡,得x=l,將x=l代入②中，得y=2.

故x+y=3.）

7.D（解析:若方程組中某個未知數的系數為1（或7）,選擇系數為1（或-1）

的方程進行變形.）

8.100（解析:把解分別代入方程,得解得｛:二1E'所以

3m+7n=100.）

9.解：由①得x=y+2.③把③代入②,得3（y+2）+5y=14,解得y=l.把y=l

代入③,得x=3.所以原方程組的解為［二:

10.解：設梅花鹿現在的高度為.根據題意，得廣“；21解得產=答:

(y=3%+1,(y=5.5.

梅花鹿現在的高度為1.5m,長頸鹿現在的高度為5.5m.

11.A(解析:用含有就可得解.由2=1-2,得m=y-3,所以1-2x=y-3,即

2x+y=4.)

12.解:原方程組可化為2二：%一5；巴將①代入②,得2X-2(2X-5)=1,解

[2x-2y=1.(2)

得X=；,將x=2代入①，得y=4,所以原方程組的解為「一5'

22[y=4.

13.解:設亞洲有x個,歐洲有y個,根據題意，得產:2立，解得

￡="答:亞洲和歐洲意向創始成員國分別有34個、18個.

(y=18.

舊教學反思

(卒成功之處

本課時首先讓學生對比一元一次方程和二元一次方程組解決問題的

兩種思路,幫助學生拓展解決問題的思路.在對比兩種方程解法的基礎上，

幫助學生領會代入法解方程組的實質.深化對代入法的理解,有助于幫助

學生順利解決解方程組的問題.

(G不足之處

在解決“雞兔同籠”問題的過程中，用一元一次方程解決問題可交給

學生自主完成.在例題的處理過程中，忽略了對解決問題過程的分析指導.

田再教設計

總結二元一次方程組的相關概念可交給學生自主完成.在用不同的代

入方法解方程組的過程中，讓學生對比兩種方式的不同特點.適當補充一

個例題和少量的練習題.

區L教材習題解答

練習（教材第8頁）

提示:⑴憂”理：葭

習題（教材第8頁）

A組

B組

1?提示:⑴號匕⑵｛建'

2.解：由題意得及;言I?自解得［:（答:蘋果的價格為7元/千克,梨

的價格為4元/千克.

一備課資源

Q）知識解讀

1.方法總結

解二元一次方程組的關鍵是要化“二元”為“一元”，即把陌生的

“二元一次方程組”轉化為熟悉的“一元一次方程”，求解的關鍵是“消

元”，當方程組中某個未知數的系數為±1或常數項為。時,用代入法解方

程組比較簡單.

2.代入法解方程組的一般步驟

代入法的基本思路是:通過“代入”達到“消元”(即消去一個未知

數)的目的,從而將二元一次方程組轉化為一元一次方程.

代入法的一般步驟為：

(1)選擇較簡單的方程,用其中一個未知數表示另一個未知數,寫成

“x=…”或“y=-”的形式.

(2)代入:將(1)中的“x=…”或"y=…”代入另一個方程中，消去一

個未知數.

(3)解⑵中的一元一次方程,求出一個未知數的值.

(4)將求出的一個未知數的值代入方程組中任一方程,可求出另一個

未知數的值,也可代入⑴中得到的“x=…”或"y=…”中.

(5)寫出方程組的解.

第②課時

0—整體設計

o教學目標

癡識《按斷

能用“代入消元法”解系數絕對值均不為1的二元一次方程組.

1g過程的法'

進一步體會解二元一次方程組中的“消元”思想,發展學生分析問題

和解決問題的能力及運算技能.

「情感態度與價值殖

在探索新知的過程中，體會數學的趣味性，培養學生勇于克服困難的

良好心理素質.

c教學重難點

【重點】

用代入法解系數絕對值均不為1的二元一次方程組.

【難點】

對代入消元法解方程組過程的理解.

。教學準備

【教師準備】預想學生學習過程中可能遇到的問題.

【學生準備】復習代入法解二元一次方程組的相關知識.

13教學過程

E新課導入

導入一：

用代入消元法解下列方程組.

⑴值產；5,⑵片:，葭

(6%-5y=1;(8%+3y=23.

【思考】(1)這兩個方程組的系數有什么特點？

(2)能用代入法解這兩個方程組嗎？

［設計意圖］通過上述兩個方程組的特點,在上一個課時學習代入法

的基礎上，幫助學生探索用代入法解一般方程組的過程.

導入二：

出示方程組｛二;二2讓學生分組討論用代入法解決.

學生分組討論得出如下兩種方法：

1.把②式轉化為X=等的形式后代入①,就是我們熟悉的代入消元

了.

2.把②式轉化為5y=2x+ll,然后把5y看成一個整體,就可以直接代入

①.

［設計意圖］通過對代入法的深化理解,幫助學生提升從特殊到一般

的解決問題的能力.

笈新知構建

［過渡語］如果方程組中各方程的未知數的系數均不為1或T,怎樣

解這樣的方程組呢？

活動1例題講解

3%+10y=14,①

例1（教材第8頁例2）解方程組

10%+15y=32.(2)

解：由方程①,得3x=14-10y,

則x衛羅,③

將③代入②,整理,得140-55y=96.

解這個一元一次方程,得y=1.

將?y=1代入③,得x=2.

（x=2,

所以，原方程組的解為、4

【追問】小明是這樣解這個方程組的，你認為正確嗎?

解：由方程①,得10y=14-3x,

art14—3%

即y=----

10

將③代入②,得10x+15(14-3y)=32.

10

解這個一元一次方程,得x=2.

將x=2代入③,得y=-|.

(x=2,

所以，原方程組的解為4

y

7x+4y-10=0,①

例2(教材第9頁例3)解方程組

4x+2y-5=0.②

7x+4y=10,③

解:原方程組可化為

4%+2y=5.④

由方程④，得y上鏟.⑤

將⑤代入③,整理,得10-x=10.

解得x=0.

將x=0代入⑤,得y=|.

(%=0,

所以，原方程組的解為5

O'。

【追問】參照例1的不同方法,你能用不同的代入方法解這個方程

組嗎？

活動2大家談談

結合下列實例和圖示，說一說怎樣運用“代入消元法”解二元一次方

程組.

二元一次fx=10-y,得解》!目8，

方\x-2y=4\y=2

轉化馀卜解

一上次（11）-2厘.尸2必=11ax=8

方*6

【追問】（1）解二元一次方程組的基本思路是什么？

（轉化.）

（2）代入消元的目的是什么？

（轉化為簡單的方程，即一元一次方程.）

［知識拓展］如果用代入消元法解二元一次方程組,都可以有兩種不

同形式的代入方法,為了減少復雜的計算,一般選擇比較簡單的方法或一

個未知數的簡單表達形式,這就需要對每個方程的未知數系數情況進行比

較分析,并根據自己的認識進行選擇.

巨課堂小結

解二元一次方程組是通過解一元一次方程來實現的，實現這個過程需

要“轉化”，轉化的辦法是“代入消元”，即“化歸”.

區檢測反饋

1.既是方程2x-y=3的解,又是方程3x+4y=10的解的是（）

（7=21y=l

C儼=4D（X=-4

（y=3U-［y=-5

解析:用代入消元法解方程組io,得后二3故選B-

2.用代入消元法解方程組F771T：二7①’的最好方法是（）

（9m-10n=-25（2）

A.由①得m=等,再代入②

B.由②得m=當處,再代入①

C.由①得3m=4n+7,再代入②

D.由②得9m=10n-25,再代入①

解析:方程②中的9m是方程①中3m的整數倍,所以可以直接將①變形

得3m=4n+7,再代入②,這樣能使計算簡便.故選C.

3.用代入法解方程組gy：4”；黎

(3y-8x=8.(2)

解:把①代入②,得4x+8-8x=8,

整理得-4x=0,解得x=0.

把x=0代入方程①,得3y=8,解得y=*

XQ

一8’是原方程組的解.

{y-

4.用代入法解方程組佇？=7,?

\2x+5y=9.②

解：由②得2x=9-5y,③

把③代入①，得3(9-5y)-4y=7,解得y嘿

把y琮代入③，

得2X=9-3><5,解得X=^.

1938

(71

%---

所以I一架是原方程組的解.

y=—

V19

區板書設計

第2課時

活動1例題講解

例1

例2

活動2大家談談

叵布置作業

一、教材作業

【必做題】

教材第10頁習題的第1題.

【選做題】

教材第10頁習題的第2題.

二、課后作業

【基礎鞏固】

1.關于x,y的方程組7；的解是Z則|m-n|的值是（）

（人Tiity—re-L

A.5B.3C.2D.1

2.方程組度；5n，?的解為

\2m-2n=1。）

1=1,①

3.用代入法解方程組發4公

I鴻=2.②

4.解方程組存卡?=鬻

（2x+3y=8.②

(—1=y①

5.解方程組卜

(2(%+1)-y=6.②

【能力提升】

6.若關于x,y的方程組[軌+到:1①，中,x與y相等,則a的值等于

{ax+(cz-l)y=3②

()

A.4B.10C.11D.12

7,若方程組片=”與方程組片+by=2,的解相同則

(zx+=4(4x-by=6

19a-4b=.

2(")=x+y__]①

8.解方程組3412

3(%+y)=2(2%-y)+8.②

9.先閱讀材料,再解方程組.

解方程組匕7一廠°①’「…時,可由①得x-y=l③,然后再將③代入②得

4Xl-y=5,求得y=-l,從而進一步求得{；二這種方法被稱為“整體代

(2%-3廠2=0,①

入法”，請用這樣的方法解方程組)2%-3y+5

1-Q2y=9.②

<7

【拓展探究】

10.在學校組織的游藝晚會上,擲飛鏢游藝區游戲規則如下：如圖所示,擲

到A區和B區的得分不同,A區為小圓內部分,B區為大圓內小圓外的部分

(擲中一次記一個點).現統計小華、小芳和小明擲中與得分情況如下：

(1)求擲中A區、B區一次各得多少分；

⑵依此方法計算小明的得分為多少分.

11.為響應“美麗河池,清潔鄉村,美化校園”的號召，紅水河中學計劃在

學校公共場所安裝溫馨提示牌和垃圾箱.已知安裝5個溫馨提示牌和6個

垃圾箱需730元,安裝7個溫馨提示牌和12個垃圾箱需1310元.

⑴安裝1個溫馨提示牌和1個垃圾箱各需多少元?

(2)安裝8個溫馨提示牌和15個垃圾箱共需多少元?

【答案與解析】

LD(解析:把：:‘代入工濡二九得｛:；9