2019年湖北省孝感市中考數學試卷

一、精心選一選，相信自己的判斷?。ū敬箢}共10小題，每小題3分，共30分）

1.（3分）（2019?孝感）計算79+20等于（）

A.-39B.-1C.1D.39

【考點】19：有理數的加法.

【專題】511：實數.

【分析】直接利用有理數的加減運算法則計算得出答案.

【解答】解：-19+20=1.

故選：C.

【點評】此題主要考查了有理數的加減運算，正確掌握運算法則是解題關鍵.

2.（3分）（2019?孝感）如圖，直線八〃/2,直線/3與/1,/2分別交于點A,C,BCL3交h

于點2,若Nl=70°,則N2的度數為（）

A.10°B.20°C.30°D.40°

【考點】J3：垂線；JA：平行線的性質.

【專題】551：線段、角、相交線與平行線.

【分析】根據平行線的性質和垂直的定義解答即可.

【解答】解：：八〃/2,

：.Z1=ZCAB=7Q°,

,:BCLh交h于點B,

：.ZACB=90°,

.,.Z2=18O0-90°-70°=20°,

故選：B.

【點評】此題考查平行線的性質，關鍵是根據平行線的性質解答.

3.（3分）（2019?孝感）下列立體圖形中，左視圖是圓的是（）

A.B.

【考點】UI：簡單幾何體的三視圖.

【專題】55F：投影與視圖.

【分析】左視圖是從物體左面看，所得到的圖形.

【解答】解：4圓錐的左視圖是等腰三角形，故此選項不合題意；

8、圓柱的左視圖是矩形，故此選項不合題意；

C、三棱柱的左視圖是矩形，故此選項不合題意；

。、球的左視圖是圓形，故此選項符合題意；

故選：D.

【點評】本題考查了幾何體的三種視圖，掌握定義是關鍵.注意所有的看到的棱都應表

現在三視圖中.

4.（3分）（2019?孝感）下列說法錯誤的是（）

A.在一定條件下，可能發生也可能不發生的事件稱為隨機事件

B.一組數據中出現次數最多的數據稱為這組數據的眾數

C.方差可以刻畫數據的波動程度，方差越大，波動越??；方差越小，波動越大

D.全面調查和抽樣調查是收集數據的兩種方式

【考點】01：命題與定理；V2：全面調查與抽樣調查；W5：眾數；W7：方差；XI：隨

機事件.

【專題】541：數據的收集與整理；543：概率及其應用.

【分析】分別根據隨機事件的定義、眾數的定義、方差的意義以及調查方式判斷即可.

【解答】解：A.在一定條件下，可能發生也可能不發生的事件稱為隨機事件，正確，故

選項A不合題意；

B.一組數據中出現次數最多的數據稱為這組數據的眾數，正確，故選項2不合題意；

c.方差可以刻畫數據的波動程度，方差越大，波動越大；方差越小，波動越小.故選項

C符合題意；

D.全面調查和抽樣調查是收集數據的兩種方式，正確，故選項。不合題意.

故選：C.

【點評】本題主要考查了隨機事件的定義、眾數的定義、方差的意義以及調查的方式，

屬于基礎題.

5.（3分）（2019?孝感）下列計算正確的是（）

A.B.（xy2）2—xy4

C.D.（5/a-=b-a

【考點】46：同底數幕的乘法；47：幕的乘方與積的乘方；48：同底數幕的除法；79：

二次根式的混合運算.

【專題】11：計算題；512：整式；514：二次根式.

【分析】根據同底數幕的除法法則判斷A;根據積的乘方法則判斷8;根據同底數幕的乘

法法則判斷C；根據平方差公式以及二次根式的性質判斷。.

【解答】解：A、x7-?=x2,故本選項正確；

B、（盯2）2=%2/,故本選項錯誤；

C、X2?無5=無7,故本選項錯誤；

D、（Va+Vb）（JI-\兀）=a-b,故本選項錯誤；

故選：A.

【點評】本題考查了二次根式的運算，整式的運算，掌握同底數幕的乘除法法則、積的

乘方法則、平方差公式以及二次根式的性質是解題的關鍵.

6.（3分）（2019?孝感）公元前3世紀，古希臘科學家阿基米德發現了杠桿平衡，后來人們

把它歸納為“杠桿原理”，即：阻力X阻力臂=動力X動力臂.小偉欲用撬棍撬動一塊石

頭，已知阻力和阻力臂分別是1200N和05小則動力F（單位：N）關于動力臂I（單位:

機）的函數解析式正確的是（）

A.尸=120°B.尸=^22.C.F=-^-D.F=A^.

1111

【考點】GA：反比例函數的應用.

【專題】534：反比例函數及其應用.

【分析】直接利用阻力X阻力臂=動力X動力臂，進而將已知量據代入得出函數關系式.

【解答】解：..?阻力X阻力臂=動力義動力臂.小偉欲用撬棍撬動一塊石頭，已知阻力

和阻力臂分別是1200N和0.5〃2,

動力尸（單位：N）關于動力臂/（單位：m）的函數解析式為：1200X0.5=//,

貝I]/=更&L.

1

故選：B.

【點評】此題主要考查了反比例函數的應用，正確讀懂題意得出關系式是解題關鍵.

22

x+尸1,則x-2xy4?的值是（）

（2x+4y=92-2

xy

A.-5B.5C.-6D.6

【考點】98：解二元一次方程組.

【專題】521：一次方程（組）及應用.

【分析】解方程組求出x、y的值，再把所求式子化簡后代入即可.

[x+尸1①

【解答】解:(2x+4y=9②

②-①X2得，2y=7,解得x=工，

把x1代入①得，5+y=i，解得尸々，

7_5

.x2-Zxy+y"—(x-y)2_x-y22

22--

x_y(x+y)(x-y)x+y1

故選：C.

【點評】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元

法與加減消元法.

8.（3分）（2019?孝感）如圖，在平面直角坐標系中，將點P（2,3）繞原點。順時針旋轉

【考點】R7：坐標與圖形變化-旋轉.

【專題】558：平移、旋轉與對稱.

【分析】作PQ±y軸于Q,如圖，把點P（2,3）繞原點0順時針旋轉90°得到點P'

看作把△。尸。繞原點。順時針旋轉90°得到△OP0,利用旋轉的性質得到NP'Q'

。=90°,ZQOQ'=90°,P'Q'=尸。=2,OQ'=OQ=3,從而可確定P點的坐

標.

【解答】解：作PQLy軸于。，如圖，

"：P（2,3）,

;點P（2,3）繞原點。順時針旋轉90°得到點P相當于把△OP。繞原點。順時針旋

轉90°得到△OP。，

/.ZP'Q'0=90°,ZQOQ'=90°,P'Q'=PQ=2,OQ'=OQ=3,

.?.點尸’的坐標為（3,-2）.

故選：D.

【點評】本題考查了坐標與圖形變化-旋轉：圖形或點旋轉之后要結合旋轉的角度和圖

形的特殊性質來求出旋轉后的點的坐標.常見的是旋轉特殊角度如：30。，45°,60°,

90°,180°.

9.（3分）（2019?孝感）一個裝有進水管和出水管的空容器，從某時刻開始4"〃力內只進水

不出水，容器內存水8L；在隨后的8祖譏內既進水又出水，容器內存水12L；接著關閉進

水管直到容器內的水放完.若每分鐘進水量和出水量是兩個常數，容器內的水量y（單位:

L）與時間無（單位：根近）之間的函數關系的圖象大致的是（）

y/Ly/L

【考點】E6：函數的圖象.

【專題】532：函數及其圖像.

【分析】根據實際問題結合四個選項確定正確的答案即可.

【解答】解：：從某時刻開始4min內只進水不出水，容器內存水8L；

，此時容器內的水量隨時間的增加而增加，

:隨后的8min內既進水又出水，容器內存水12L,

此時水量繼續增加，只是增速放緩，

..?接著關閉進水管直到容器內的水放完，

...水量逐漸減少為0,

綜上，A選項符合，

故選：A.

【點評】本題考查了函數的圖象的知識，解題的關鍵是能夠將實際問題與函數的圖象有

機的結合起來，難度不大.

10.（3分）（2019?孝感）如圖，正方形A8CD中，點￡、尸分別在邊CD,AD±,BE與

b交于點G.若BC=4,DE=AF=1,則GP的長為（）

A.AlB.Ilc.D』

5555

【考點】KD：全等三角形的判定與性質；LE：正方形的性質.

【專題】556：矩形菱形正方形.

【分析】證明△BCE四△CDF（SAS）,得NCBE=NDCF,所以/CGE=90°,根據等

角的余弦可得CG的長，可得結論.

【解答】解：正方形ABC。中，VBC=4,

：.BC=CD=AD=4,ZBCE=ZCDF=90°,

：.DF=CE=3,

；.BE=CF=5,

在△BCE和△CDF中，

'BC=CD

<NBCE=NCDF，

CE=DF

:.ABCEmLCDF(SAS),

：.ZCBE=ZDCF,

,：/CBE+/CEB=ZECG+ZCEB=90°=ZCGE,

cosZCBE^cosZECG^^-=^-,

BECE

???4—CG，C-Cz一12，

535

；.GF=CF-CG=5-絲=叫，

55

故選：A.

【點評】此題主要考查了正方形的性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理，銳角三

角函數，證明是解本題的關鍵.

二.細心填一填，試試自己的身手！(本大題6小題，每小題3分，共18分.請將結果直接

填寫在答題卡相應位置上)

11.(3分)(2019?孝感)中國“神威?太湖之光”計算機最高運行速度為1250000000億次

/秒，將數1250000000用科學記數法可表示為1.25義1。9.

【考點】II：科學記數法一表示較大的數.

【專題】511：實數.

【分析】科學記數法的表示形式為oXlO"的形式，其中n為整數.確定n

的值時，要看把原數變成。時，小數點移動了多少位，”的絕對值與小數點移動的位數相

同.當原數絕對值大于10時，〃是正數；當原數的絕對值小于1時，”是負數.

【解答】解：將數1250000000用科學記數法可表示為L25X1()9.

故答案為：1.25義1()9.

【點評】此題考查了科學記數法的表示方法.科學記數法的表示形式為aX10〃的形式，

其中lW|a|<10,〃為整數，表示時關鍵要正確確定。的值以及”的值.

12.（3分）（2019?孝感）方程」-=，一的解為尤=1.

2xx+3

【考點】B3：解分式方程.

【專題】11：計算題.

【分析】觀察可得方程最簡公分母為2x（尤+3）.去分母，轉化為整式方程求解.結果要

檢驗.

【解答】解：兩邊同時乘2x（x+3）,得

x+3—4x,

解得x=\.

經檢驗尤=1是原分式方程的根.

【點評】解一個分式方程時，可按照“一去（去分母）、二解（解整式方程）、三檢驗（檢

查求出的根是否是增根）”的步驟求出方程的解即可.注意：解分式方程時，最后一步的

驗根很關鍵.

13.（3分）（2019?孝感）如圖，在尸處利用測角儀測得某建筑物AB的頂端8點的仰角為

60°,點C的仰角為45°,點尸到建筑物的距離為尸￡>=20米，則BC=（20直-20）

米.

【考點】TA：解直角三角形的應用-仰角俯角問題.

【專題】55E：解直角三角形及其應用.

【分析】根據正切的定義求出2。，根據等腰直角三角形的性質求出CD,結合圖形計算,

得到答案.

【解答】解：在RtZXPB。中，tan/8PO=^,

PD

則BD=PD*tan/BPD=20^,

在Rt/XPB。中，ZCP￡）=45°,

:.CD=PD=20,

：.BC=BD-CD=2（h/3-20,

故答案為：（20?-20）.

【點評】本題考查的是解直角三角形的應用-仰角俯角問題，掌握仰角俯角的概念、熟

記銳角三角函數的定義是解題的關鍵.

14.（3分）（2019?孝感）董永社區在創建全國衛生城市的活動中，隨機檢查了本社區部分

住戶五月份某周內“垃圾分類”的實施情況，將他們繪制了兩幅不完整的統計圖（A.小

于5天;A5天;C.6天;D7天），則扇形統計圖8部分所對應的圓心角的度數是108°.

【專題】542：統計的應用.

【分析】先由A類別人數及其所占百分比求得總人數，再由各類別人數之和等于總人數

求出8類別人數，繼而用360。乘以8類別人數占總人數的比例即可得.

【解答】解：,??被調查的總人數為9?15%=60（人），

類別人數為60-（9+21+12）=18（人），

則扇形統計圖B部分所對應的圓心角的度數是360°X迪=108°,

60

故答案為:108°.

【點評】本題考查的是條形統計圖和扇形統計圖的綜合運用，讀懂統計圖，從不同的統

計圖中得到必要的信息是解決問題的關鍵.條形統計圖能清楚地表示出每個項目的數據;

扇形統計圖直接反映部分占總體的百分比大小.同時本題還考查了通過樣本來估計總體.

15.（3分）（2019?孝感）劉徽是我國魏晉時期卓越的數學家，他在《九章算術》中提出了

“割圓術”，利用圓的內接正多邊形逐步逼近圓來近似計算圓的面積.如圖，若用圓的內

接正十二邊形的面積Si來近似估計。。的面積S,設的半徑為1,則S-Si=0.14.

0

【考點】1O：數學常識；MM：正多邊形和圓.

【專題】55B：正多邊形與圓.

【分析】根據圓的面積公式得到的面積5=3.14,求得圓的內接正十二邊形的面積Si

=12xixiXlXsin30°=3,即可得到結論.

2

【解答】解：的半徑為1,

：.Q0的面積5=3.14,

圓的內接正十二邊形的中心角為也一=30°,

12

圓的內接正十二邊形的面積Si=12xLxi><lXsin30°=3,

2

...則s-Si=0.14,

故答案為：0.14.

【點評】本題考查了正多邊形與圓，正確的求出正十二邊形的面積是解題的關鍵.

16.(3分)(2019?孝感)如圖，雙曲線>=旦(x>0)經過矩形。1BC的頂點8,雙曲線y

X

=K(尤>0)交AB,BC于點E、F,且與矩形的對角線02交于點D連接EE若OD：

【考點】G4：反比例函數的性質；G5：反比例函數系數k的幾何意義；G6：反比例函數

圖象上點的坐標特征.

【專題】534：反比例函數及其應用.

【分析】設。(2m,2〃)，根據題意A(3m,0),C(0,3〃)，B(3m,3九)，即可得出9

=3m?3"，k=2m,2n=4mn,解得mn=L由E(3m,—n),F(—m,3n),求得BE、

33

BF,然后根據三角形面積公式得到&5所=工5石?3尸=空加=空.

21818

【解答】解：設。(2m,2n),

*：0D：05=2：3,

.'.A(3m,0),C(0,3〃)，

.9.B(3m,3〃)，

:雙曲線y=2(x>0)經過矩形。ABC的頂點2,

.*.9=3m*3H,

??mn~~1,

:雙曲線y=N(尤>0)經過點。，

X

??k=4mri

雙曲線(x>0),

X

'.E(3m,—ri'),F(—m,3〃)，

33

4545

..BE=3n--n=-n,BF=3m--m=—m,

3333

/.SABEF=-BE*BF=-^-mn=-^-

21818

故答案為空.

18

【點評】本題考查了反比例系數k的幾何意義和反比例函數圖象上點的坐標特征、三角

形面積等，表示出各個點的坐標是解題的關鍵.

三、用心做一做，顯顯自己的能力！(本大題8小題，滿分72分)

17.(6分)(2019?孝感)計算：|V3-II-2sin60°+(X)

【考點】2C：實數的運算；6F：負整數指數幕；T5：特殊角的三角函數值.

【專題】11：計算題；511：實數.

【分析】原式利用絕對值的代數意義，特殊角的三角函數值，負整數指數幕法則，以及

立方根定義計算即可求出值.

【解答】解：原式1-2x41+6-3=2.

【點評】此題考查了實數的運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.

18.（8分）（2019?孝感）如圖，已知NC=/D=90°,8C與交于點E,AC=BD,求

【考點】KD：全等三角形的判定與性質.

【專題】553：圖形的全等；554：等腰三角形與直角三角形.

【分析】由HL證明RtAACB^RtABDA得出/ABC=N8A。，由等腰三角形的判定定

理即可得出結論.

【解答】證明：：/C=/O=90°,

,'.△ACB和△BD4是直角三角形，

在RtAACB和RtABDA中，

lAC=BD

.,.RtAACB^RtABDA（HL）,

：.NABC=/BAD,

：.AE=BE.

【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質、等腰三角形的判定；熟練掌握等腰三角

形的判定定理，證明三角形全等是解題的關鍵.

19.（7分）（2019?孝感）一個不透明的袋子中裝有四個小球，上面分別標有數字-2,-1,

0,1,它們除了數字不同外，其它完全相同.

（1）隨機從袋子中摸出一個小球，摸出的球上面標的數字為正數的概率是1.

一廠

（2）小聰先從袋子中隨機摸出一個小球，記下數字作為平面直角坐標系內點M的橫坐

標;然后放回攪勻，接著小明從袋子中隨機摸出一個小球,記下數字作為點M的縱坐標.如

圖，已知四邊形ABC。的四個頂點的坐標分別為A（-2,0）,B（0,-2）,C（1,0）,

。（0,1）,請用畫樹狀圖或列表法，求點M落在四邊形ABC。所圍成的部分內（含邊界）

的概率.

【考點】X4：概率公式；X6：列表法與樹狀圖法.

【專題】543：概率及其應用.

【分析】(1)直接利用概率公式計算可得；

(2)列表得出所有等可能結果，從中找到符合條件的結果數，再根據概率公式計算可得.

【解答】解：(1)在-2,-1,0,1中正數有1個，

???摸出的球上面標的數字為正數的概率是

4

故答案為：1.

4

(2)列表如下:

-2-101

-2(-2,-2)(-1,-2)(0,-2)(1,-2)

-1(-2,-1)(-1,-1)(0,-1)(1,-1)

0(-2,0)(-1,0)(0,0)(1,0)

1(-2,1)(-1,1)(0,1)(1,1)

由表知，共有16種等可能結果，其中點M落在四邊形ABC。所圍成的部分內(含邊界)

的有：

(-2,0)、(-1,-1)、(-1,0)、(0,-2)、(0,-1)、(0,0)、(0,1)、(1,0)

這8個，

所以點M落在四邊形A8C。所圍成的部分內(含邊界)的概率為1.

2

【點評】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率.列表法可以不重復不遺漏的列出所

有可能的結果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解

題時要注意此題是放回實驗還是不放回實驗.用到的知識點為：概率=所求情況數與總

情況數之比.

20.（8分）（2019?孝感）如圖，RtAABC中，ZACB=90°,一同學利用直尺和圓規完成

如下操作：

①以點C為圓心，以為半徑畫弧，交A8于點G；分別以點G、8為圓心，以大于

的長為半徑畫弧，兩弧交點K,作射線CK；

②以點B為圓心，以適當的長為半徑畫弧，交8C于點交A8的延長線于點N；分

別以點M、N為圓心，以大于LMN的長為半徑畫弧，兩弧交于點P,作直線3尸交AC

的延長線于點Q,交射線CK于點E.

請你觀察圖形，根據操作結果解答下列問題；

（1）線段CD與CE的大小關系是CD=CE；

（2）過點D作。AB交A3的延長線于點R若AC=12,BC=5,求tanNOBF的值.

【考點】KD：全等三角形的判定與性質；KF：角平分線的性質；N3：作圖一復雜作圖；

T7：解直角三角形.

【專題】13：作圖題.

【分析】（1）由作圖知CE_LA3,BD平分NCBF,據此得/1=/2=/3,結合NCE8+

N3=N2+/Cr>E=90°知從而得出答案；

（2）證ABCD絲ABFD得CD=DF,從而設。。=。尸=羽求出

知即一--=-^-,解之求得彳=>1^,結合可得答案.

ADAB12+x132

【解答】解：（1）CD=CE,

由作圖知CEJ_AB,BD平分/CBF,

DL

.-.Z1=Z2=Z3,

VZCEB+Z3=Z2+ZCDE^9Q°,

：.ZCEB=ZCDE,

：.CD=CE,

故答案為：CD=CE；

(2);BO平分NCBF,BC.LCD,BFLDF,

:.BC=BF,ZCBD^ZFBD,

在△BC￡>和△BFD中，

'/DCB=NDFB

NCBD=NFBD，

BD=BD

:ABCD名ABFD(AAS),

：.CD=DF,

設CD=DF=x,

A5=22=13,

在RtZ\AC8中，7AC+BC

AsmZDAF=^-=^~,即

ADAB12+x13

解得尤=獨，

2

,:BC=BF=5,

：.tanZDBF=^-=^-xL=^..

BF252

【點評】本題主要考查作圖-復雜作圖，解題的關鍵是掌握過直線外一點作已知直線的

垂線和角平分線的尺規作圖及全等三角形的判定與性質等知識點.

21.(10分)(2019?孝感)已知關于x的一元二次方程7-2(a-1)尤+/-°-2=0有兩個

不相等的實數根XI,XI.

(1)若。為正整數，求a的值；

(2)若XI,尤2滿足婷+天22-彳1無2=16,求a的值.

【考點】AA：根的判別式；AB：根與系數的關系.

【專題】523：一元二次方程及應用.

【分析】(1)根據關于龍的一元二次方程W-2Co-1)。-2=0有兩個不相等的

實數根，得到△=[f(a-1)]2-4(a2-a-2)>0,于是得到結論；

(2)根據Xl+X2=2(G-1),叱2=屋-。-2,代入月2+無22-幻光2=16,解方程即可得到

結論.

【解答】解：(1)?.?關于x的一元二次方程d-2(a-1)x+/-a-2=0有兩個不相等

的實數根，

/.△=[-2(a-1)]2-4。-2)>0,

解得：a<3,

為正整數，

??〃=1,2；

(2)Vxi+X2=2(6Z-1),%1%2=〃2-。-2,

Vxi+X2-X1X2=16,

(X1+X2)2-X1X2=16,

：.[-2(4-1)]2-3(〃2-〃-2)=16,

解得：ai=-1,及=6,

9：a<3,

??a—■-1.

【點評】本題考查的是一元二次方程根與系數的關系及根的判別式，先判斷出a的取值

范圍，再由根與系數的關系得出方程組是解答此題的關鍵.

22.(10分)(2019?孝感)為加快“智慧校園”建設，某市準備為試點學校采購一批A、B

兩種型號的一體機.經過市場調查發現，今年每套8型一體機的價格比每套A型一體機

的價格多0.6萬元，且用960萬元恰好能購買500套A型一體機和200套2型一體機.

(1)求今年每套A型、8型一體機的價格各是多少萬元？

(2)該市明年計劃采購A型、8型一體機共1100套，考慮物價因素，預計明年每套A

型一體機的價格比今年上漲25%,每套8型一體機的價格不變，若購買8型一體機的總

費用不低于購買A型一體機的總費用，那么該市明年至少需要投入多少萬元才能完成采

購計劃？

【考點】9A：二元一次方程組的應用；C9：一元一次不等式的應用.

【專題】524：一元一次不等式（組）及應用.

【分析】（1）直接利用今年每套2型一體機的價格比每套A型一體機的價格多0.6萬元，

且用960萬元恰好能購買500套A型一體機和200套B型一體機，分別得出方程求出答

案；

（2）根據題意表示出總費用進而利用一次函數增減性得出答案.

【解答】解：（1）設今年每套A型一體機的價格為x萬元，每套3型一體機的價格為y

萬元，

由題意可得：（y-x=s6,

l500x+200y=960

解得：產L2,

ly=1.8

答：今年每套A型的價格各是1.2萬元、B型一體機的價格是1.8萬元；

（2）設該市明年購買A型一體機m套，則購買2型一體機（1100-%）套，

由題意可得：1.8（1100-m）21.2（1+25%）m,

解得：M1W600,

設明年需投入W萬元，

W=1.2X（1+25%）〃什1.8（1100-m）

=-0.3m+1980,

???-0.3<0,

W隨機的增大而減小，

?.加W600,

.,.當m=600時，卬有最小值-0.3X600+1980=1800,

故該市明年至少需投入1800萬元才能完成采購計劃.

【點評】此題主要考查了二元一次方程組的應用以及一元一次不等式的應用、一次函數

的應用，正確找出等量關系是解題關鍵.

23.（10分）（2019?孝感）如圖，點/是△A8C的內心，8/的延長線與△ABC的外接圓

交于點與AC交于點E,延長CQ、8A相交于點R/A。尸的平分線交AF于點G.

(1)求證：DG//CA-,

(2)求證：AD=ID；

(3)若。E=4,BE=5,求8/的長.

【考點】M5：圓周角定理；MA：三角形的外接圓與外心；MI：三角形的內切圓與內心.

【專題】55C：與圓有關的計算.

【分析】(1)根據三角形內心的性質得N2=N7,再利用圓內接四邊形的性質得NA。尸

=AABC,則/1=/2,從而得到Nl=/3,則可判斷。G〃AC；

(2)根據三角形內心的性質得N5=N6,然后證明N4=NZM/得到Z)A=。/；

(3)證明利用相似比得到AO=6,則。/=6,然后計算8。-。/即可.

【解答】(1)證明：?..點/是△ABC的內心，

；./2=/7,

G平分NAOF,

.*.Zl=XzAZ)F,

2

ZADF=ZABC,

???N1=N2,

VZ3=Z2,

???N1=N3,

：.DG//AC；

(2)證明：??,點/是△ABC的內心，

N5=N6,

,.?N4=N7+N5=N3+N6,

即N4=NZM/,

：.DA=Dh

(3)解：：/3=N7,/ADE=/BAD,

:.△DXEs"DBA,

：.AD；DB=DE：DA,BPAD：9=4：AD,

：.AD=6,

；.DI=6,

：.BI=BD-DI=9-6=3.

【點評】本題考查了三角形的內切圓與內心：三角形的內心到三角形三邊的距離相等；

三角形的內心與三角形頂點的連線平分這個內角.也考查了圓周角定理和三角形的外心.

24.（13分）（2019?孝感）如圖1,在平面直角坐標系x°y中，已知拋物線>=辦2-2依-

8a與x軸相交于A、8兩點（點A在點8的左側），與y軸交于點C（0,-4）.

（1）點A的坐標為（-2,0）,點B的坐標為（4,坐，線段AC的長為2近，

拋物線的解析式為尤-4.

2

（2）點尸是線段8C下方拋物線上的一個動點.

①如果在x軸上存在點°,使得以點8、C、P、。為頂點的四邊形是平行四邊形.求點

Q的坐標.

②如圖2,過點尸作尸E〃C4交線段BC于點E,過點P作直線x=f交BC于點R交x

軸于點G,記PE=f,求/關于t的函數解析式；當f取機和4-工機（0<m<2）時，試

比較了的對應函數值力和力的大小.

【考點】HF：二次函數綜合題.

【專題】16：壓軸題；31：數形結合；32：分類討論；65：數據分析觀念.

【分析】（1）由題意得：-8a=-4,故。=工，即可求解；

2

（2）分BC是平行四邊形的一條邊時、BC是平行四邊形的對角線時，兩種情況分別求

解即可.

（3）證明.?.g即：_EP_PH；則￡尸=近？以，即可求解.

ACAB27563

【解答】解：（1）由題意得：-8a=-4,故

2

故拋物線的表達式為：-x-4,

-2

令y=0,貝!Jx=4或-2,即點A、8的坐標分別為（-2,0）、（4,0）,

則AC=2近,

故答案為；（-2,0）、（4,0）、2，^、y=-i-x2-x-4；

（2）①當BC是平行四邊形的一條邊時,

圖1

如圖所示，點C向右平移4個單位、向上平移4個單位得到點8,

設：點尸（%工"2-〃-4）,點。（優，0）,

2

則點P向右平移4個單位、向上平移4個單位得到點Q,

1

即：n+4—m,—n~9-n-4+4=0,

2

解得：機=4或6（舍去4）,

即點Q（6,0）；

②當BC是平行四邊形的對角線時，

設點P（加，鼠）、點。（s,0）,其中-機-%

2

由中心公式可得：m+s—-2,〃+0=4,

解得：s=2或4（舍去4）,

故點Q（2,0）；

故點。的坐標為（2,0）或（6,0）；

（3）如圖2,過點P作刊/〃尤軸交BC于點"

圖2

?/GP//y軸，ZHEP=ZACB,

'：PH//x軸，ZPHO=ZAOC,

：.AEPH^ACAO,_PH,即：=IK,

ACAB2^56

則EP=叵PH,

3

設點尸(t,yp),點,H(XH,yp),

貝!][尸-t-4=XH~4,

2

則xH=—r-1,

2

于=^~PH=[t-(—r-1)]=-(r-4t),

326

當t=m時，力=乂殳-Am),

6

當?=4-—m時，fi=-義￥{—nr-2m),

264

貝!J力-力=-義支機(m~—

83

則0<〃z<2,：.fi-fa>0,

【點評】本題考查的是二次函數綜合運用，涉及到一次函數、平行四邊形性質、圖象的

面積計算等，其中(2),要主要分類求解，避免遺漏.

考點卡片

1.有理數的加法

（1）有理數加法法則：

①同號相加，取相同符號，并把絕對值相加.

②絕對值不等的異號加減，取絕對值較大的加數符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對

值.互為相反數的兩個數相加得0.

③一個數同0相加，仍得這個數.

（在進行有理數加法運算時，首先判斷兩個加數的符號：是同號還是異號，是否有0.從而

確定用那一條法則.在應用過程中，要牢記“先符號，后絕對值”.）

（2）相關運算律

交換律：a+b—b+a；結合律（。+6）+c—a+（6+c）.

2.科學記數法一表示較大的數

（1）科學記數法：把一個大于10的數記成aX10"的形式，其中a是整數數位只有一位的

數，〃是正整數，這種記數法叫做科學記數法.【科學記數法形式：aXIO",其中lWa<10,

w為正整數.1

（2）規律方法總結：

①科學記數法中a的要求和10的指數n的表示規律為關鍵，由于10的指數比原來的整數

位數少1;按此規律，先數一下原數的整數位數，即可求出10的指數

②記數法要求是大于10的數可用科學記數法表示，實質上絕對值大于10的負數同樣可用

此法表示，只是前面多一個負號.

3.數學常識

數學常識

此類問題要結合實際問題來解決，生活中的一些數學常識要了解.比如給出一個物體的高度

要會選擇它合適的單位長度等等.

平時要注意多觀察，留意身邊的小知識.

4.實數的運算

（1）實數的運算和在有理數范圍內一樣，值得一提的是，實數既可以進行加、減、乘、除、

乘方運算，又可以進行開方運算，其中正實數可以開平方.

（2）在進行實數運算時，和有理數運算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算

乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運算要按照從左到有的順序進行.

另外，有理數的運算律在實數范圍內仍然適用.

【規律方法】實數運算的“三個關鍵”

1.運算法則：乘方和開方運算、塞的運算、指數（特別是負整數指數，0指數）運算、根

式運算、特殊三角函數值的計算以及絕對值的化簡等.

2.運算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號的先算括號里面的，在同一級運算中要從

左到右依次運算，無論何種運算，都要注意先定符號后運算.

3.運算律的使用：使用運算律可以簡化運算，提高運算速度和準確度.

5.同底數塞的乘法

（1）同底數累的乘法法則：同底數察相乘，底數不變，指數相加.

am-an=am+n（m,〃是正整數）

（2）推廣:am'an-aP=am+n+PCm,n,p都是正整數）

在應用同底數累的乘法法則時，應注意：①底數必須相同，如23與25,（/.）3與（a2b2）

4,（x-y）2與G-y）3等；@a可以是單項式，也可以是多項式；③按照運算性質，只

有相乘時才是底數不變，指數相加.

（3）概括整合：同底數幕的乘法，是學習整式乘除運算的基礎，是學好整式運算的關鍵.在

運用時要抓住“同底數”這一關鍵點，同時注意，有的底數可能并不相同，這時可以適當變

形為同底數累.

6.累的乘方與積的乘方

（1）事的乘方法則：底數不變，指數相乘.

（a"‘）優，"是正整數）

注意：①皋的乘方的底數指的是暴的底數；②性質中“指數相乘”指的是塞的指數與乘方

的指數相乘，這里注意與同底數暴的乘法中“指數相加”的區別.

（2）積的乘方法則：把每一個因式分別乘方，再把所得的暴相乘.

（H）"=。吩（”是正整數）

注意：①因式是三個或三個以上積的乘方，法則仍適用；②運用時數字因數的乘方應根據

乘方的意義，計算出最后的結果.

7.同底數塞的除法

同底數塞的除法法則：底數不變，指數相減.

am-i-an=amn（aWO,〃是正整數，

①底數。#0,因為0不能做除數；

②單獨的一個字母，其指數是1,而不是0；

③應用同底數嘉除法的法則時，底數。可是單項式，也可以是多項式，但必須明確底數是

什么，指數是什么.

8.負整數指數累

負整數指數幕：a"=lapQWO,p為正整數）

注意：①a力0；

②計算負整數指數幕時，一定要根據負整數指數幕的意義計算，避免出現（-3）l=（-

3）X（-2）的錯誤.

③當底數是分數時，只要把分子、分母顛倒，負指數就可變為正指數.

④在混合運算中，始終要注意運算的順序.

9.二次根式的混合運算

（1）二次根式的混合運算是二次根式乘法、除法及加減法運算法則的綜合運用.學習二次

根式的混合運算應注意以下幾點：

①與有理數的混合運算一致，運算順序先乘方再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面

的.

②在運算中每個根式可以看做是一個“單項式“，多個不同類的二次根式的和可以看作“多

項式”?

（2）二次根式的運算結果要化為最簡二次根式.

（3）在二次根式的混合運算中，如能結合題目特點，靈活運用二次根式的性質，選擇恰當

的解題途徑，往往能事半功倍.

10.解二元一次方程組

（1）用代入法解二元一次方程組的一般步驟：①從方程組中選一個系數比較簡單的方程，

將這個方程組中的一個未知數用含另一個未知數的代數式表示出來.②將變形后的關系式

代入另一個方程，消去一個未知數，得到一個一元一次方程.③解這個一元一次方程，求

出或y）的值.④將求得的未知數的值代入變形后的關系式中，求出另一個未知數的值.⑤

把求得的x、y的值用“{”聯立起來，就是方程組的解.

（2）用加減法解二元一次方程組的一般步驟：①方程組的兩個方程中，如果同一個未知數

的系數既不相等又不互為相反數，就用適當的數去乘方程的兩邊，使某一個未知數的系數相

等或互為相反數.②把兩個方程的兩邊分別相減或相加，消去一個未知數，得到一個一元

一次方程.③解這個一元一次方程，求得未知數的值.④將求出的未知數的值代入原方程

組的任意一個方程中，求出另一個未知數的值.⑤把所求得的兩個未知數的值寫在一起，

就得到原方程組的解，用｛x=ax=6的形式表示.

11.二元一次方程組的應用

(一)、列二元一次方程組解決實際問題的一般步驟：

(1)審題：找出問題中的已知條件和未知量及它們之間的關系.

(2)設元：找出題中的兩個關鍵的未知量，并用字母表示出來.

(3)列方程組：挖掘題目中的關系，找出兩個等量關系，列出方程組.

(4)求解.

(5)檢驗作答：檢驗所求解是否符合實際意義，并作答.

(二)、設元的方法：直接設元與間接設元.

當問題較復雜時，有時設與要求的未知量相關的另一些量為未知數，即為間接設元.無論怎

樣設元，設幾個未知數，就要列幾個方程.

12.根的判別式

利用一元二次方程根的判別式(△=序-4℃)判斷方程的根的情況.

一元二次方程a/+6x+c=0(aWO)的根與△=d-4ac有如下關系：

①當時，方程有兩個不相等的兩個實數根；

②當△=()時，方程有兩個相等的兩個實數根；

③當△<()時，方程無實數根.

上面的結論反過來也成立.

13.根與系數的關系

(1)若二次項系數為1,常用以下關系：xi,%2是方程x?+p尤+q=0的兩根時，xi+x2=-p,

XlX2=g,反過來可得p=-(X1+X2),q=XlX2,前者是已知系數確定根的相關問題，后者是

已知兩根確定方程中未知系數.

(2)若二次項系數不為1,則常用以下關系：XI,尤2是一元二次方程o?+bx+c=oQW0)

的兩根時，無1+X2=-殳，X1X2=三，反過來也成立，即也■=-(X1+X2),-=XU2.

aaaa

(3)常用根與系數的關系解決以下問題:

①不解方程，判斷兩個數是不是一元二次方程的兩個根.②已知方程及方程的一個根，求

另一個根及未知數.③不解方程求關于根的式子的值，如求，尤12+m2等等.④判斷兩根的

符號.⑤求作新方程.⑥由給出的兩根滿足的條件，確定字母的取值.這類問題比較綜合,

解題時除了利用根與系數的關系，同時還要考慮aWO,△》（）這兩個前提條件.

14.解分式方程

（1）解分式方程的步驟：①去分母；②求出整式方程的解；③檢驗；④得出結論.

（2）解分式方程時，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母為0,所以應如

下檢驗：

①將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0,則整式方程的解是原分式

方程的解.

②將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值為0,則整式方程的解不是原分式

方程的解.

所以解分式方程時，一定要檢驗.

15.一元一次不等式的應用

（1）由實際問題中的不等關系列出不等式，建立解決問題的數學模型，通過解不等式可以

得到實際問題的答案.

（2）列不等式解應用題需要以“至少”、“最多”、“不超過”、“不低于”等詞來體現問題中

的不等關系.因此，建立不等式要善于從“關鍵詞”中挖掘其內涵.

（3）列一元一次不等式解決實際問題的方法和步驟：

①弄清題中數量關系，用字母表示未知數.

②根據題中的不等關系列出不等式.

③解不等式，求出解集.

④寫出符合題意的解.

16.函數的圖象

函數的圖象定義

對于一個函數，如果把自變量與函數的每一對對應值分別作為點的橫、縱坐標，那么坐標平

面內由這些點組成的圖形就是這個函數的圖象.

注意：①函數圖形上的任意點（尤，y）都滿足其函數的解析式；②滿足解析式的任意一對x、

y的值，所對應的點一定在函數圖象上；③判斷點P（x,y）是否在函數圖象上的方法是：

將點P（尤，y）的尤、y的值代入函數的解析式，若能滿足函數的解析式，這個點就在函數

的圖象上；如果不滿足函數的解析式，這個點就不在函數的圖象上一

17.反比例函數的性質

反比例函數的性質

（1）反比例函數y=工（kWO）的圖象是雙曲線；

x

（2）當4＞0,雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每一象限內y隨x的增大而減小;

（3）當左＜0,雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每一象限內y