四川省專升本（高等數學）模擬試卷3(題后含答案及解析)題型有：1.選擇題2.填空題4.解答題5.綜合題6.證明題選擇題在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。1．設f(x)在x=1處連續，且=2，則f′(1)=()A．2B．C．一2D．正確答案：A解析：由題設條件，有f(x)=f′(1)，則f′(1)=2．2．下列等式不成立的是()A．=eB．=e－1C．=eD．=e正確答案：C解析：利用重要極限=e可知選項C不成立．故選C．3．已知f′(cosx)=sinx，則f(cosx)=()A．一cosx+CB．cosx+CC．(sinxcosx—x)+CD．(x—sinxcosx)+C正確答案：C解析：已知f′(cosx)=sinx，在此式兩側對cosx求積分，得∫f′(cosx)d(cosx)=∫sinxd(cosx)，有故選C．4．下列關系式正確的是()A．d∫f(x)dx=f(x)+CB．∫f′(x)dx=f(x)C．∫f(x)dx=f(x)D．∫f(x)dx=f(x)+C正確答案：C解析：A項，d∫f(x)dx=f(x)dx；B項，∫f′(x)dx=f(x)+C；C項，∫f(x)dx=(∫f(x)dx)′=f(x)，則選C，由C知D項不正確．5．設z=x3y2，則=()A．12dx+4dyB．12dx一4dyC．6dx+4dyD．6dx一4dy正確答案：A解析：由z=x3y2，得=2x3y，故dz=3x2y2dx+2x3ydy，=12dx+4dy．6．a=(1，λ，2)，b=(2，－1，2)，且a與b的夾角的余弦為，則λ=()A．一2B．C．一2或D．2或正確答案：C解析：∵a.b=1×2+λ×(一1)+2×2=6一λ，又∵a.b=｜a｜.｜b｜cos(a，b)=7．過點M(0，－1，2)且垂直于平面2x—y+3z一1=0的直線方程為()A．B．C．D．正確答案：A解析：本題考查了空間中直線方程的求解．由于所求直線與已知平面垂直，因此直線的方向向量s可取為已知平面的法向量n=(2，一1，3)．由直線的點向式方程可知所求直線方程為8．下列反常積分收斂的是()A．xdxB．x2dxC．dxD．dx正確答案：D解析：A項，=∞發散；B項，=∞發散；C項，=∞發散；D項，=0+1=1收斂．故選D．9．微分方程dy=0的通解為()A．2(x3－y2)+3(x2－y3)=CB．2(x3－y3)+3(y2一x2)=CC．2(x3－y3)+3(x2－y2)=CD．3(x3－y3)+2(x2－y2)=C正確答案：C解析：對原式變形得(x+x2)dx一(y+y2)dy=0，移項得(x+x2)dx=(y+y2)dy．對等式兩邊積分可得y3+C1，從而可得2(x3－y3)+3(x2一y2)=C．10．A為n階可逆矩陣，則下列各項正確的是()A．(2A－1)T=(2AT)－1B．(2A)－1=2A－1C．E(A－1)－1]T=[(AT)－1]－1D．A=正確答案：C解析：由于(2AT)(2A－1)T=(2A)T(2A－1)T=((2A－1)(2A))T=4E，故A錯誤；B，(2A)－1=A－1；C，[(A－1)－1]T=AT=[(AT)－1]－1；D，由AA－1=E知該選項錯誤．填空題11．設f(x)=在x=0處連續，則k=___________．正確答案：1解析：由已知及連續的定義得ex=1=f(0)，得k=1．12．參數方程所確定的函數的一階導數=___________．正確答案：e2t解析：13．設f(2)=1，xf′(x)dx=___________．正確答案：1解析：由分部積分公式有f(x)dx=2f(2)－f(x)dx=2×1—1=1．14．微分方程x(y′)2－2xy′+x=0的階數是___________．正確答案：1解析：微分方程中所出現的未知函數導數的最高階數，稱為這個方程的階．15．設A=，且矩陣X滿足AX=A+2X，則X=___________．正確答案：解析：AX=A+2X(A一2E)X=A，A一2E=，容易證明A一2E=可逆，所以X=(A一2E)－1A，又因為(A一2E，A)=解答題解答時應寫出推理、演算步驟。16．設f(x)=試確定k的值使f(x)在點x=1處連續．正確答案：=1，要使f(x)在x=1處連續，應有k=f(1)=f(x)=1．解析：本題考查函數的極限和連續，關鍵是求出17．計算(x一1)99dx．正確答案：解析：本題考查的知識點為定積分的計算利用換元積分法計算即可．18．設z=sin(x2一xy+y2)，求正確答案：令u=，v=x2－xy+y2，則z=eusinv，于是有=eusinv.+eucosv.(2x—y)=sin(x2－xy+y2)+(2x—y)cos(x2－xy+y2)]，=eusinv.(－)+eucosv.(2y—x)=[(2y－x)cos(x2－xy+y2)－sin(x2－xy+y2)]．解析：本題考查復合函數求導，引進中間變量化簡運算求解即可．19．求微分方程y′+ycosx=e－sinx的通解．正確答案：y=e－∫cosxdx[∫e－sinx.e∫cosxdxdx+C]=e－sinx[∫e－sinx.esinxdx+C]=e－sinx(x+C)．解析：本題考查一階線性微分方程的通解，利用非齊次線性微分方程的通解公式求解即可．20．將f(x)=展開為x的冪級數．正確答案：＜1，即一3＜x＜3．解析：本題考查的知識點為將函數展開為z的冪級數．21．(1)求由曲線y=e－x與直線x+y=1，x=1所圍成的平面圖形的面積S；(2)計算二重積分xydxdy，其中D為(1)中的平面區域．正確答案：(1)S=(e－x－1+x)dx=(－e－x－x+(2)x(e－2x－(x2－2x+1))dx解析：本題考查定積分與二重積分計算，至于第(2)問，把二重積分化為累次積分計算即可．22．設線性方程組問a，b分別為何值時，方程組無解，方程組有唯一解，方程組有無窮多解?正確答案：原方程組的增廣矩陣變形過程為：討論：(1)當a≠－3，b為實數時，秩(B)=3=n=3，方程組有唯一解；(2)當a=－3，b=3時，秩(B)=2＜n=3，方程組有無窮多解；(3)當a=－3，b≠3時，秩(B)=3≠秩(A)=2，方程組無解．解析：本題是用初等行變換求非齊次線性方程組的解的不同情況．23．求函數f(x，y)=2x3一6xy+3y2+5的極值．正確答案：f′x(x，y)=6x2－6y，f′y(x，y)=－6x+6y，f″xx(x，y)=12x，f″xy(x，y)=－6，f″yy(x，y)=6．令得駐點(0，0)，(1，1)．對于駐點(0，0)，A=f″xx(0，0)=0，B=f″xy(0，0)=－6，C=f″yy(0，0)=6，因為B2一AC=(一6)2＞0，所以點(0，0)不是極值點．對于駐點(1，1)，A=f″xx(1，1)=12，B=f″xy(1，1)=－6，C=f″yy(1，1)=6，因為B2－AC=(一6)2－12×6=－36＜0，且A=12＞0，所以點(1，1)是極小值點，極小值為f(1，1)=4．解析：本題考查的知識點是二元函數的無條件極值．二元函數取得極值的充分條件：設z=f(x，y)在(x0，y0)的某個領域內有連續一、二階偏導數，且f′x(x0，y0)=f′y(x0，y0)=0，令f′xx(x0，y0)=A，f′xy(x0，y0)=B，f′yy(x0，y0)=C，則當B2一AC＜0且A＜0時，f(x0，y0)為極大值；當B2一AC＜0且A＞0，f(x0，y0)為極小值；B2一AC＞0時，(x0，y0)不是極值點．綜合題24．欲圍成一個面積為150平方米的矩形場地，所用材料的造價其正面是每平方米6元，其余三面是每平方米3元，問場地的兩邊各為多少米時，才能使所用材料費最少?正確答案：設所圍場地正面長為x，另一邊為y，則xy=150，從而y=．設四面圍墻高度相同，都是h，則四面圍墻所使用的材料總費用為f(x)=6xh+3(2yh)+3xh=9xh+6h.則f′(x)=9h(1一)，令f′(x)=0，得駐點x1=10，x2=－10(舍去)．f″(10)=1．8h＞0．由于駐點唯一，由實際意義可知最小值存在，因此當正面長為10米，側面長為15米時所用材料費最少．解析：先用其四個面的面積乘以相應的單位面積的造價，求和寫出總費用函數f(x)，然后用求一元函數y=f(x)最值法即可得解．25．求由曲線y=2一x2，y=x(x≥0)與直線x=0所圍成的平面圖形繞x軸旋轉一周所生成的旋轉體體積．正確答案：由平面圖形a≤x≤b，0≤y≤y(x)所圍成的平面圖形繞x軸旋轉一周所生成的旋轉體體積為Vx=πy2(x)dx．畫出平面圖形的草圖(如圖所示)，則所求體積為0≤x≤1，0≤y≤2一x2所圍成的平面圖形繞x軸旋轉一周所生成的旋轉體體積減去0≤x≤1，0≤y≤x所圍成的平面圖形繞x軸旋轉一周所生成的旋轉體體積．當x≥0時，由解析：就一般情況而言，如果有兩條曲線y=f(x)，y=g(x)(假設f(x)≥g(x))與x=a，x=b(a≤b)所圍成的平面繞z軸旋轉一周，則其所生成的旋轉體的體積公式為：Vx=π[f2(x)一g2(x)]dx．證明題26．證明方程3x一1一=0在區間(0，1)內有唯一的實根．正確答案：令f(x)=3x一1一，則f(x)在區間[0，1]上連續．由于dt=1，所以f(1)=2－＞0．又f(0)=－1＜0，根據連續函數的介值定理，函數f(x)在區間(0，1)內至少有一個零點，即所給方程在(0，1)內至少有一個實根．又f′(x)=3一，當0≤x≤1時，f′(x)＞0．因此，f(x)在[0