2021-2022學年北京市石景山區九年級（上）期末數學試

卷

若2y=5x（xyW0）,則下列比例式正確的是（

在中，ZC=90°,AB=4,BC=3,則sinA的值是（

3.在平面直角坐標系%Oy中，拋物線y=/向上平移2個單位長度得到的拋物線為（）

A.y=（%+2）2B.y=（x—2）2C.y=%2—2D.y=x2+2

4.在平面直角坐標系久0y中，拋物線y=a/++cQ。0）的示意圖如圖所示，下

列說法中正確的是（）

A.a<0B.b<0C.c>0D.4>0

5.在平面直角坐標系中，若函數y=<0）的函數值y隨著自變量x的增大而增

大，則函數y=§（x<0）的圖象所在的象限為（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

6.如圖，四邊形4BCD內接于。0.若四邊形4BC。是菱形，則AD

的度數為（）I/o\\

::O

C.90°

D.120°

7.正方形的面積y與它的周長x滿足的函數關系是（）

A.正比例函數B.一次函數C.二次函數D.反比例函數

8.在平面直角坐標系式0y中，點（一1必），（2,、2），（4必）在拋物線丫=-2ax+c

上，當。＞0時，下列說法一定正確的是（）

A.若y,2＜。，則丫3＞0B.若y2y3＞。，則＜。

C.若y3＜。，則＞。D.若y2y3=。，則丫2=。

9.如圖，AB//CD,AD,BC交于點0,券=|.若8。=3,則OC的長

為______

10.在半徑為3的圓中，60。的圓心角所對的劣弧長等于.

11.如圖，在平面直角坐標系xOy中，P為函數丫=￡（%＞。）圖象上一點，過點P分別作

%軸、y軸的垂線，垂足分別為M,N.若矩形PM0N的面積為3,則小的值為.

12.如圖，△28C的高A。，BE相交于點。，寫出一個與AAOE

相似的三角形，這個三角形可以是.

13.如圖,P4PB是。。的切線,切點分別為4B.若4。82=

PA=3,貝IMB的長為.

14.有一塊三角形的草坪，其中一邊的長為10皿在這塊草坪的圖紙上，這條邊的長為

5cm.已知圖紙上的三角形的周長為15cm,則這塊草坪的周長為m.

第2頁，共29頁

15.北京冬奧會雪上項目競賽場地“首鋼滑雪大跳臺”巧妙地融入了敦煌壁畫“飛天”

元素.如圖，賽道剖面圖的一部分可抽象為線段4B.已知坡4B的長為30zn,坡角

乙ABH約為37。,則坡的鉛直高度4H約為巾.(參考數據：s譏37。=0.60,

cos37°?0.80,tan37°?0.75)

16.如圖，在平面直角坐標系xOy中，P為無軸正半軸上一點.已知點4(0,2),5(0,8),

OM為AaBP的外接圓.

(1)點M的縱坐標為；

(2)當乙4PB最大時，點P的坐標為.

17.計算：V3tcm60°-4cos45°-(7r-1)°+V8.

18.如圖，4E平分NBAC,。為4E上一點，Z.B=ZC.

(1)求證：AABE-AACD；

BE

(2)若。為4E中點，BE=4,求CD的長.

19.在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y=/一4%+3.

(1)求它的頂點坐標；

(2)求它與久軸的交點坐標.

20.下面是小石設計的“過三角形一個頂點作其對邊的平行線”的尺規作圖過程.

已知：如圖1,AABC.

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求作：直線BD,使得BD〃4C.

作法：如圖2,

①分別作線段AC,BC的垂直平分線匕，12,兩直線交于點0；

②以點。為圓心，。4長為半徑作圓；

③以點4為圓心，8C長為半徑作弧，交卷于點D；

④作直線8。.

所以直線BD就是所求作的直線.

根據小石設計的尺規作圖過程，

(1)使用直尺和圓規，補全圖形；(保留作圖痕跡)

(2)完成下面的證明.

證明：連接4D,

,??點4B,C,。在。。上，AD=BC,

AD=?

.-./.DBA=ZC?B()(填推理的依據).

BD//AC.

2

21.如圖，在△ABC中，4B=45°,tanC=AC=2V13,

求BC的長.

B

22.在平面直角坐標系％0y中，二次函數圖象上部分點的橫坐標比，縱坐標y的對應值如

(1)求這個二次函數的表達式；

(2)畫出這個二次函數的圖象；

(3)若y<-3,結合函數圖象，直接寫出x的取值范圍.

23.如圖，為O。的直徑，點C在。。上，連接AC,BC,

過點。作。D1BC于點D,過點C作。。的切線交。。的

延長線于點E.

(1)求證：=

(2)連接4D,若CE=4有，BC=8,求4。的長.

24.如圖，排球運動場的場地長18m,球網高度2.24m,球網在場地中央，距離球場左、

右邊界均為9m.一名球員在場地左側邊界練習發球，排球的飛行路線可以看作是對

稱軸垂直于水平面的拋物線的一部分.某次發球，排球從左邊界的正上方發出，擊

球點的高度為2血，當排球飛行到距離球網3加時達到最大高度2.5瓶小石建立了平

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面直角坐標系xOy(l個單位長度表示1啕，求得該拋物線的表達式為y=-示2+|.

根據以上信息，回答下列問題:

(1)畫出小石建立的平面直角坐標系;

右邊界

25.在平面直角坐標系xOy中，反比例函數曠=其上大0)的圖象過點4(2,3).

(1)求k的值；

(2)過點P(m,0)(機力0)作久軸的垂線，分別交反比例函數y=H0),y=—3的

圖象于點M,N.

①當m=—2時，求MN的長；

②若MNN5,直接寫出m的取值范圍.

26.在平面直角坐標系xOy中，A(m-l,yi),8(3,%)是拋物線y=產-2mx+mz一4

上兩點.

(1)將y=x2—2mx+m2—4寫成y=a(x—h~)2+k的形式;

(2)若??1=0,比較為，%的大小，并說明理由；

(3)若為＜丫2，直接寫出血的取值范圍.

27.如圖，4。是AABC的高，點B關于直線AC的對稱點為E,連接CE,尸為線段CE上一

點(不與點E重合)，AF=AB.

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(1)比較NAFE與N4BC的大小；

(2)用等式表示線段BD,EF的數量關系，并證明;

(3)連接BF,取BF的中點M,連接DM,判斷DM與4c的位置關系，并證明.

28.在平面直角坐標系xOy中，O。的半徑為2.點P,Q為。。外兩點，給出如下定義：

若。。上存在點M,N,使得以P,Q,M,N為頂點的四邊形為矩形，則稱點P,Q是

。。的“成對關聯點”.

(1)如圖，點4B,C,D橫、縱坐標都是整數.在點B,C,。中，與點2組成。。的

“成對關聯點”的點是;

(2)點E(t,t)在第一象限，點F與點E關于%軸對稱，若點E,F是。。的“成對關聯

點”，直接寫出t的取值范圍；

(3)點G在y軸上，若直線y=4上存在點H,使得點G,H是。。的“成對關聯點”，

直接寫出點G的縱坐標的取值范圍.

-y

-CT

5

A

AB

C、

/

(1\

）一一1;-)-O1■4(

1)

\/

■^57

?3

D

-4

一5

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答案和解析

1.【答案】C

■y，

【解析】解：4因為：；=|,所以：2x=5y,故A不符合題意；

X9

氏因為：所以：%y=10,故B不符合題意；

C因為：尸柒所以：5x=2y,故C符合題意；

D因為：Z=f,所以：5y=2%,故。不符合題意；

故選：C.

根據比例的基本性質，把選項中的比例式化成等積式，即可判斷.

本題考查了比例的性質，熟練掌握比例的基本性質是解題的關鍵.

2.【答案】B

【解析】解：sinA=^=

故選：B.

根據銳角的正弦為對邊比斜邊求出s譏4的值即可.

本題考查銳角三角函數的定義及運用，在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余

弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊.

3.【答案】D

【解析】解：拋物線y=/向上平移2個單位長度得到的拋物線為：y=x2+2.

故選：D.

根據二次函數圖象左加右減，上加下減的平移規律進行求解.

主要考查的是函數圖象的平移，用平移規律“左加右減，上加下減”直接代入函數解析

式求得平移后的函數解析式.

4.【答案】A

【解析】解：???拋物線開口向下，

a<0,

,?,拋物線對稱軸在y軸右側，

??——>0,即b>0,

2a

???拋物線與y軸交點在工軸下方，

?1?c<0,

拋物線與久軸無交點，

???4<0,

故選：A.

由拋物線開口方向，對稱軸位置及拋物線與y軸交點位置可確定a,b,c的符號，根據

拋物線與x軸交點個數可得/的符號.

本題考查二次函數圖象與系數的關系，解題關鍵是掌握二次函數的性質，掌握二次函數

圖象與系數的關系.

5.【答案】B

【解析】解：?.?函數y=§的函數值y隨著自變量x的增大而增大，

.??函數圖象在第二、四象限，

%<0,

???函數y=/<0）的圖象所在的象限在第二象限，

故選:B.

先根據函數y=g的函數值y隨著自變量”的增大而增大，判斷函數所在象限，再根據久<

0及函數圖象可得答案.

本題考查的是反比例函數的性質，掌握反比例函數的性質是解本題的關鍵.

6.【答案】B

【解析】解：設乙4DC的度數=a,乙4BC的度數=0；

???四邊形ABC。是菱形，

???Z-ABC=乙4OC；

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-1

/.ADC=-/3,AAOC=a；而a+￡=180。，

(a+p=180"

ia=y,

解得：6=120°,a=60°,ZD=60°,

故選：B.

(a+(3=180°

設乙4DC的度數=a,乙4BC的度數=￡,由題意可得口=，求出S即可解決問

題.

該題主要考查了圓周角定理及其應用問題；應牢固掌握該定理并能靈活運用.

7.【答案】C

【解析】解：設正方形的邊長為a,

則x=4a,y=a2,

2

消去a得，y=^(x>0),它是二次函數，

故選：C.

設正方形的邊長為a,由正方形的周長和面積公式，消去a,可得所求函數的解析式.

此題考查的是函數關系式的求法及二次函數的概念，掌握正方形的面積公式與周長公式

是解決此題關鍵.

8.【答案】A

【解析】解：1?,y=ax2-2ax+c中a>0,

拋物線開口向上，對稱軸為直線x=-郎=1,

,?*4—1>1—(-1)>2—1,

???內>yi>丫2，

當月y2Vo時，%,丫2異號，

yr>0,y2<0,

???ys>yt>0,選項A正確.

當y3>y1>y2>o時，y2y3>o，

?,?選項3錯誤，

當yiy3<。時，丫3>。，yi<。，

?1?y2<7i<。，選項C錯誤.

當當y2y3=。時，yi>%，為中有1個值為。即可，

二選項。錯誤.

故選：A.

根據二次函數解析式可得拋物線對稱軸及開口方向，根據各點橫坐標可判斷為>71>

%，進而求解.

本題考查二次函數圖象上點的坐標特征，解題關鍵是掌握二次函數的性質，掌握二次函

數圖象與系數的關系.

9【答案】6

【解析】解：

???Z-A=Z-D,Z-B=Z.C,

???△0ABs△ODC,

.OB_AO_1

?'OC—OD―2*

???BO=3,

OC=6.

故答案為：6.

證明△OZBSA。。。，對應邊成比例代入值即可.

本題考查了相似三角形的判定與性質，利用相似三角形的性質求出0C的長是解題關鍵.

10.【答案】n

【解析】解：半徑為3的圓中，60。的圓心角所對的劣弧長=誓=兀，

loU

故答案為：71.

把已知數據代入弧長公式計算，得到答案.

本題考查的是弧長的計算，掌握弧長公式：［=黑是解題的關鍵.

loU

11.【答案】3

第14頁，共29頁

【解析】解：由題意得，

S矩形PMON=I劑=3,

又m>0,

m=3,

故答案為：3.

根據反比例函數系數k的幾何意義可得答案.

本題考查反比例函數系數k的幾何意義,掌握反比例函數系數k的幾何意義是正確解答的

前提.

12.【答案】△8。。或AC8E或△2CD

【解析】解：^AEO=乙BDO,乙BOD=^.AOE,

AOE~匕BOD,

??.Z.CBE=Z.OAE,

又???乙AEO=乙CEB,

CBE~AAOE；

???乙AEO=/-ADC=90°,/LCAD=Z-OAE,

故答案為：ABOD^CBE^AACD.

根據兩個角相等，兩個三角形相似，可證明與A20E相似的三角形有AB。。或ACBE或

KACD.

本題主要考查了相似三角形的判定與性質，熟練掌握兩個角相等的兩個三角形相似是解

題的關鍵.

13.【答案】3

【解析】解：PB是。。的切線，

???PA=PB,OB1PB,

■：4OBA=30°,

???"BA=90°-30°=60°,

：,△P2B為等邊三角形，

AB=PA=3,

故答案為：3.

根據切線的性質得到PA=PB,OBIPS,根據等邊三角形的性質解答即可.

本題考查的是切線的性質、等邊三角形的判定和性質，掌握圓的切線垂直于經過切點的

半徑是解題的關鍵.

14.【答案】30

【解析】解：設這塊草坪的周長為久根，根據題意可得：

10_5

X—15'

解得：x=30,

故答案為：30.

直接利用相似三角形的性質得出周長比等于相似比，進而得出答案.

此題主要考查了相似三角形的應用，正確掌握相似三角形的性質是解題關鍵.

15.【答案】18

【解析】解：在RtAABH中，AABH=37°,AB=30m,

vsin乙ABH=—,

AB

???AH=AB-sin4ABH?30x0.60=18(m),

故答案為：18.

根據正弦的定義計算，得到答案.

本題考查的是解直角三角形的應用一坡度坡角問題，掌握坡角的概念、熟記銳角三角函

數的定義是解題的關鍵.

16.【答案】5(4,0)

【解析】解：(1)「點1(0,2),5(0,8),

.?.28的中點坐標為(0,5),

???。用為443「的外接圓，

.??點M在4B的垂直平分線上，

第16頁，共29頁

.??點M的縱坐標為5,

故答案為：5；

(2)由圓周角定理可知，當OM與％軸相切于點P時，N4PB最大，

連接AL4、MP,過點M作MN_Ly軸于點N,

???OM與％軸相切于點P,

???MP1x軸，

四邊形NOPM為矩形，

???OP=MN,MP=ON,

■.■AB=6,MN1AB,

AN=3,

MP=0N=5,

在RtA4MN中，MN=7AM2—AN2=V52-32=4,

???OP=MN=4,

???點P的坐標為(4,0),

故答案為：(4,0).

(1)根據點4、點B的坐標求出4B的中點，根據外心的概念得到點M的縱坐標；

(2)連接MA、MP,過點M作MNly軸于點N,根據垂徑定理求出4N,進而求出MP,

根據勾股定理計算，得到答案.

本題考查的是三角形的外接圓與外心、切線的性質、圓周角定理，根據圓周角定理得到

當OM與x軸相切于點P時，乙4PB最大是解題的關鍵.

17.【答案】解：V3tan60°—4cos45°—(ji—1)°+V8

=V3xV3-4Xy-l+2V2

=3-2V2-1+2V2

=2.

【解析】先化簡各式，然后再進行計算即可.

本題考查了零指數事，特殊角的三角函數值，實數的運算，準確熟練地掌握特殊角的三

角函數值是解題的關鍵.

18.【答案】(1)證明：???/E平分MAC,

???乙BAE=Z.CAD,

(B=ZC.

??.△ABE?△AC。；

(2)解：???。為4E中點,BE=4,

AE=2AD,

???△/BE?△AC。，

BE_AE

,t,—?

CDAD

._4__2AD

"CD-AD'

CD=2.

【解析】(1)根據角平分線定義可得NB4E=NC4D,進而可以證明結論；

(2)結合(1),根據相似三角形的性質即可求解.

本題考查了相似三角形的判定與性質，得出是解題的關鍵.

19.【答案】解：(1)y=%2-4%+3=(%-2)2-1,

二拋物線的頂點坐標為(2,-1)；

(2)把y=0代入y=x2—4x+3得，%2—4%+3=0,

解得久1=1,久2=3,

???拋物線與無軸的交點坐標為(1,0),(3,0).

【解析】(1)把解析式化成頂點式即可；

(2)把y=0代入函數解析式求出x即可.

本題考查了二次函數的性質，二次函數與工軸的交點，二次函數的性質等知識點，能綜

合運用知識點進行計算是解此題的關鍵.

20.【答案】BC在同圓或等圓中，等弧所對的圓周角相等

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【解析】解：(1)如圖，即為補全的圖形;

圖2

(2)證明：連接4D,

???點4B,C,。在。。上，AD=BC,

???AD=BC-

???Z-DBA=NC4B(在同圓或等圓中，等弧所對的圓周角相等).

BD//AC.

故答案為：前.在同圓或等圓中，等弧所對的圓周角相等.

(1)根據要求作出圖形即可.

(2)根據圓周角定理和平行線的判定證明即可.

本題考查平行四邊形的判定和性質，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題

型.

21.【答案】解：過點4作ADLBC,垂足為D.

:.&ABD、△4CD均為直角三角形.

在RK4CD中，

?AD2

tanC=—=

CD3

2

■■.AD=-CD.

3

AD23+CD2=AC2,

：.(|CD)2+CD2=(2V13)2.

???CD2=36.

???CD=6,AD=4.

在出△ABD中，

???Z.B=45°,

??.AD=BD=4.

??.BC=AD+CD

=4+6

=10.

【解析】過點4作ADIBC,垂足為O,得至!!;?￡△AC。和/?￡△ABO,先在中求出

AD,CD,再在RMABD中求出BD,最后利用線段的和差關系求出BC.

本題考查了解直角三角形，構造直角三角形并掌握直角三角形的邊角間關系是解決本題

的關鍵.

22.【答案】解：(1)由題意可得二次函數的頂點坐標為(1,1),

設二次函數的解析式為：y=a(x-l)2+l,

把點(0,0)代入y=a(x-l)2+1,得a=-1,

故拋物線解析式為y=-(%-I)2+1,即y=-x2+2%；

(2)由(1)知，拋物線頂點為(1,1),對稱軸為直線％=1,過原點,

根據拋物線的對稱性，拋物線過(2,0)

拋物線的圖象如圖所示：

(3)當y=-3時，―/+2x=—3,

解得：尤1=-1,x2=3,

結合函數圖象，當y<-3時，*>3或無<一1.

【解析】(1)利用表中數據和拋物線的對稱性可得到二次函數的頂點坐標為(L1),則可

設頂點式y=a(x-I)2+1,然后把點(0,0)代入求出a即可；

(2)利用描點法畫二次函數圖象；

(3)根據y=-3時％的值，再結合函數圖象得出y<-3時x的取值范圍.

本題考查了用待定系數法求二次函數的解析式：在利用待定系數法求二次函數關系式時,

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要根據題目給定的條件，選擇恰當的方法設出關系式，從而代入數值求解.也考查了二

次函數的圖象與性質.

23.【答案】（1）證明：如圖，連接。C,

???EC是。。的切線，

???Z.OCE=90°,

OD1BC,

???乙EDC=90°,

???乙OCD+乙ECD=NE+乙ECD=90°,

???Z.OCD=Z-E,

??,OB=OC,

???Z.OCD=Z-B,

???Z-E=Z.B；

1

??.BD=CD=-BC=4,

2

???DE=VEC12-CD2=J(4V5)2—42=8,

BC=DE=8,

??,ZB為。。的直徑，

???乙ACB=90°,

???乙ACB=(CDE=90°,

Z.B=乙E,

??.△ACB~XCDE,

AC_BC

,,—,

CDDE

AC_8

??4一8，

??.AC=4,

AD='AC?+CD2=4V2.

【解析】(1)連接。C,根據切線的性質和等腰三角形的性質即可解決問題；

(2)根據垂徑定理可得BD=CD=\BC=4,由勾股定理可得。E的長，然后證明4

ACB^-ACDE,進而可以解決問題.

本題考查切線的性質，勾股定理，垂徑定理，圓周角定理，相似三角形的判定和性質等

知識，解題的關鍵是正確尋找相似三角形，學會添加常用輔助線，屬于中考常考題型.

24.【答案】解：(1)???拋物線解析式為y=—示2+|,

???對稱軸為y軸，頂點為(0福)，

???小石建立的坐標系如圖所示：

(2)排球能過球網.

理由：?.?當久=3時，y=-^x9+|=2.375>2,24,

???排球能過球網.

【解析】(1)根據拋物線的解析式可以得出拋物線的對稱軸為y軸，頂點為(0,|)建立坐標

系即可；

(2)根據坐標系和拋物線解析式，把x=3代入解析式求出相應的函數值與2.24比較即可.

本題考查了二次函數的應用，關鍵根據拋物線建立適當的坐標系.

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25.【答案】解:(1)???反比例函數y=

久kKO)的圖象過點4(2,3),

/c=2X3=6；

(2)①當加=-2時，則P(—2,0),

把％=-2代入y=:得，y=-3,

M(—2,-3),

把X=—2代入y=—:得，y=2,

.-N(—2,2),

MN=2-(-3)=5；

②若MN>5,m的取值范圍是一2<m<0或0<m<2.

【解析】(1)根據待定系數法即可求得；

(2)①求得M、N的坐標，即可求得MN的長；

②根據圖象即可求得.

本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，反比例函數的性質，反比例函數圖象上點

的坐標適合解析式.

26.【答案】解：(l)y=x2—2mx+m2-4=(x—m)2—4；

(2)yt<y2,理由如下：

若m=0,則對稱軸是y軸，

.-.B到y軸的距離大于4到y軸的距離，

??,a>0,

???力<y2；

(3)?.?拋物線開口向上，對稱軸為直線％=m,

.??若yiV丫2，貝1|瓶一1一刑<|3—刑，

解得771<2或771>4.

【解析】(1)利用配方法化簡即可；

(2)根據二次函數的性質即可判斷；

(3)根據題意得到-1-m|<|3-m|,解不等式即可求得.

本題考查了二次函數與系數的關系，二次函數圖象上點的坐標特征，熟知二次函數的性

質是解題的關鍵.

AB=AE,Z-ABC=乙E,

■:AF—AB,

???AF=AE,

???Z-AFE=乙E,

???Z.AFE=Z.ABC；

??.BD=FH,

vAF=AE,AHLEF,

EF=2HF,

??.EF=2BD；

(3)DM1AC,理由如下:

第24頁，共29頁

連接B尸，取B尸的中點M,連接AM,0M并延長交AC于H,

B

VAB=AF,點M為的中點，

???AM1BF,

???/-BAM+^ABM=90°,

???點B關于直線AC的對稱點為E,

???Z-ACB=乙ACF,

???Z.ABC=Z.AFE,

??.AABC+/-AFC=180°,

???^BAF+(BCF=180°,

???Z-ACB+^BAM=90°,

??.Z.ACD=Z.ABM,

???4AMB=乙4DB=90°,

???四點/、B、D、M共圓，

???Z-ABM=Z-ADM,

??.AADM+乙HDC=90°,

???^ACD+乙HDC=90°,

???DHLAC.

【解析】(1)連接4E,由軸對稱的性質知AB=AE,4ABe=乙E,得4F=AE,則=

AE,從而得出結論；

(2)連接4E,作4HLEF于H,利用44s證明△48。三△得BD=FH,再利用等腰

三角形的性質可得結論；

(3)連接BF,取BF的中點M,連接4M,DM并延長交4C于”，由等腰三角形的性質知

△BAM+AABM=90°,再利用四邊形內角和定理