2024年中考數學模擬試題圓的有關性質一、選擇題1、（2016泰安一模）如圖，以點P為圓心，以為半徑的圓弧與x軸交于A，B兩點，點A的坐標為（2，0），點B的坐標為（6，0），則圓心P的坐標為（）A．（4，） B．（4，2） C．（4，4） D．（2，）【考點】垂徑定理；坐標與圖形性質；勾股定理．【分析】過點P作PC⊥AB于點C，利用垂徑定理以及結合點A和點B的坐標即可得出點C的坐標，即可得出AC的長度，從而可得出PC的長度，且點P位于第一象限，即可得出P的坐標．【解答】解：過點P作PC⊥AB于點C；即點C為AB的中點，又點A的坐標為（2，0），點B的坐標為（6，0），故點C（4，0）在Rt△PAC中，PA=，AC=2，即有PC=4，即P（4，4）．故選C．2、（2016棗莊41中一模）如圖，DC是以AB為直徑的半圓上的弦，DM⊥CD交AB于點M，CN⊥CD交AB于點N．AB=10，CD=6．則四邊形DMNC的面積（）A．等于24 B．最小為24 C．等于48 D．最大為48【考點】垂徑定理；勾股定理；梯形中位線定理．【分析】過圓心O作OE⊥CD于點E，則OE平分CD，在直角△ODE中利用勾股定理即可求得OE的長，即梯形DMNC的中位線，根據梯形的面積等于OE?CD即可求得．【解答】解：過圓心O作OE⊥CD于點E，連接OD．則DE=CD=×6=3．在直角△ODE中，OD=AB=×10=5，OE===4．則S四邊形DMNC=OE?CD=4×6=24．故選A．3、(2024上海普陀區·一模)下列命題中，正確的是（）A．圓心角相等，所對的弦的弦心距相等B．三點確定一個圓C．平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧D．弦的垂直平分線必經過圓心【考點】命題與定理．【分析】根據有關性質和定理分別對每一項進行判斷即可．【解答】解：A、在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦相等，故本選項錯誤；B、不在一條直線上的三點確定一個圓，錯誤；C、平分弦的直徑不一定垂直于弦，錯誤；D、弦的垂直平分線必經過圓心，正確；故選D【點評】此題考查了命題與定理，關鍵是熟練掌握有關性質和定理，能對命題的真假進行判斷．4、(2024山東棗莊·模擬)如圖，在半徑為6cm的⊙O中，點A是劣弧的中點，點D是優弧上一點，且∠D=30°，下列四個結論：①OA⊥BC；②BC=6；③sin∠AOB=；④四邊形ABOC是菱形．其中正確結論的序號是（）A．①③ B．①②③④ C．②③④ D．①③④【考點】垂徑定理；菱形的判定；圓周角定理；解直角三角形．【專題】幾何圖形問題．【分析】分別根據垂徑定理、菱形的判定定理、銳角三角函數的定義對各選項進行逐一判斷即可．【解答】解：∵點A是劣弧的中點，OA過圓心，∴OA⊥BC，故①正確；∵∠D=30°，∴∠ABC=∠D=30°，∴∠AOB=60°，∵點A是劣弧的中點，∴BC=2CE，∵OA=OB，∴OA=OB=AB=6cm，∴BE=AB?cos30°=6×=3cm，∴BC=2BE=6cm，故②正確；∵∠AOB=60°，∴sin∠AOB=sin60°=，故③正確；∵∠AOB=60°，∴AB=OB，∵點A是劣弧的中點，∴AC=AB，∴AB=BO=OC=CA，∴四邊形ABOC是菱形，故④正確．故選：B．【點評】本題考查了垂徑定理、菱形的判定、圓周角定理、解直角三角形，綜合性較強，是一道好題．5、(2024陜西師大附中·模擬)如圖，⊙O的半徑為2，弦AB=，點C在弦AB上,，則OC的長為（） A. B.C. D.6、（2024吉林東北師范大學附屬中學·一模）如圖，四邊形是的內接四邊形，若，則的度數是（A）60°． （B）80°． （C）90°． （D）100°．答案：D7、（2024江蘇省南京市鐘愛中學·九年級下學期期初考試）如圖，⊙O的直徑AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A=30°，CD=6，則圓的半徑長為（）A．2 B．2 C．4 D．答案：A8、（2024天津五區縣·一模）如圖，A、D是⊙O上的兩個點，BC是直徑，若∠D=35°，則∠OAC的度數是（）A．35° B．55° C．65° D．70°【考點】圓周角定理．【分析】在同圓和等圓中，同弧所對的圓心角是圓周角的2倍，所以∠AOC=2∠D=70°，而△AOC中，AO=CO，所以∠OAC=∠OCA，而180°﹣∠AOC=110°，所以∠OAC=55°．【解答】解：∵∠D=35°，∴∠AOC=2∠D=70°，∴∠OAC=（180°﹣∠AOC）÷2=110°÷2=55°．故選：B．【點評】本題考查同弧所對的圓周角和圓心角的關系．規律總結：解決與圓有關的角度的相關計算時，一般先判斷角是圓周角還是圓心角，再轉化成同弧所對的圓周角或圓心角，利用同弧所對的圓周角相等，同弧所對的圓周角是圓心角的一半等關系求解，特別地，當有一直徑這一條件時，往往要用到直徑所對的圓周角是直角這一條件．9、(2024重慶巴蜀·一模）一個圓形人工湖如圖所示，弦AB是湖上的一座橋，已知橋AB長100m，測得圓周角∠ACB=45°，則這個人工湖的直徑AD為（）A． B． C． D．【分析】連接OB．根據圓周角定理求得∠AOB=90°；然后在等腰Rt△AOB中根據勾股定理求得⊙O的半徑AO=OB=50m，從而求得⊙O的直徑AD=100m．【解答】解：連接OB．∵∠ACB=45°，∠ACB=∠AOB（同弧所對的圓周角是所對的圓心角的一半），∴∠AOB=90°；在Rt△AOB中，OA=OB（⊙O的半徑），AB=100m，∴由勾股定理得，AO=OB=50m，∴AD=2OA=100m；故選B．10、(2024重慶巴南·一模）如圖，⊙O的直徑AB垂直于弦CD，垂足為E，∠A=22.5°，OC=4，CD的長為（）A．2 B．4 C．4 D．8【分析】根據圓周角定理得∠BOC=2∠A=45°，由于⊙O的直徑AB垂直于弦CD，根據垂徑定理得CE=DE，且可判斷△OCE為等腰直角三角形，所以CE=OC=2，然后利用CD=2CE進行計算．【解答】解：∵∠A=22.5°，∴∠BOC=2∠A=45°，∵⊙O的直徑AB垂直于弦CD，∴CE=DE，△OCE為等腰直角三角形，∴CE=OC=2，∴CD=2CE=4．故選：C．ODBAC11、（2024湖南湘潭·一模）如圖，是⊙O直徑，ODBACA． B． C． D．答案：A12、（2024吉林長春朝陽區·一模）如圖，AB是⊙O的直徑，點C在圓周上，連結BC、OC，過點A作AD∥OC交⊙O于點D，若∠B=25°，則∠BAD的度數是（）A．25° B．30° C．40° D．50°【考點】圓周角定理；平行線的性質．【分析】根據∠B=25°，得∠C=25°，再由外角的性質得∠AOC，根據平行線的性質得出∠BAD的度數．【解答】解：∵OB=OC，∴∠B=∠C，∵∠B=25°，∴∠C=25°，∵∠AOC=2∠B，∴∠AOC=50°，∵AD∥OC，∴∠BAD=∠AOC=50°，故選D．【點評】本題考查的是圓周角定理，以及平行線的性質，熟知在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等是解答此題的關鍵．13、（2024河北石家莊·一模）下列圖形中，∠1一定大于∠2的是（）A． B． C． D．【考點】三角形的外角性質；對頂角、鄰補角；平行線的性質；圓周角定理．【分析】根據對頂角、內錯角、外角、圓周角的性質，對選項依次判斷即可得出答案．【解答】解：A、根據對頂角相等，∠1=∠2，故本選項錯誤；B、根據兩直線平行、內錯角相等，∠1=∠2，故本選項錯誤；C、根據外角等于不相鄰的兩內角和，∠1＞∠2，故本選項正確；D、根據圓周角性質，∠1=∠2，故本選項錯誤．故選C．【點評】本題主要考查了對頂角、內錯角、外角、圓周角的性質，難度適中．14、（2024河北石家莊·一模）如圖，已知EF是⊙O的直徑，把∠A為60°的直角三角板ABC的一條直角邊BC放在直線EF上，斜邊AB與⊙O交于點P，點B與點O重合，且AC大于OE，將三角板ABC沿OE方向平移，使得點B與點E重合為止．設∠POF=x，則x的取值范圍是（）A．30≤x≤60 B．30≤x≤90 C．30≤x≤120 D．60≤x≤120【考點】圓周角定理；平移的性質．【專題】壓軸題；動點型．【分析】分析可得：開始移動時，x=30°，移動開始后，∠POF逐漸增大，最后當B與E重合時，∠POF取得最大值，即2×30°=60°，故x的取值范圍是30≤x≤60．【解答】解：開始移動時，x=30°，移動開始后，∠POF逐漸增大，最后當B與E重合時，∠POF取得最大值，則根據同弧所對的圓心角等于它所對圓周角的2倍得：∠POF=2∠ABC=2×30°=60°，故x的取值范圍是30≤x≤60．故選A．【點評】本題考查圓周角定理和平移的基本性質是：①平移不改變圖形的形狀和大小；②經過平移，對應點所連的線段平行且相等，對應線段平行且相等，對應角相等．15、（2024湖北襄陽·一模）如圖，AB是⊙O的直徑，弦BC=2cm，∠ABC=60°.若動點P以2cm/s的速度從B點出發沿著B→A的方向運動，點Q從A點出發沿著A→C的方向運動，當點P到達點A時，點Q也隨之停止運動．設運動時間為t(s)，當△APQ是直角三角形時，t的值為（）A.B.C.或D.或或答案：C16、(2024新疆烏魯木齊九十八中·一模)如圖，已知⊙O的直徑AB為10，弦CD=8，CD⊥AB于點E，則sin∠OCE的值為（）A． B． C． D．【考點】垂徑定理；解直角三角形．【分析】由AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，根據垂徑定理，可求得CE的長，然后由勾股定理即可求得OE，繼而求得sin∠OCE的值．【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，∴CE=CD=×8=4，OC=AB=×10=5，∴OE==3，∴sin∠OCE==．故選B．【點評】此題考查了垂徑定理、勾股定理以及三角函數．此題比較簡單，注意掌握數形結合思想的應用．二、填空題1、(2024浙江鎮江·模擬)如圖，△ABC內接于⊙O，∠BAC=30°，，則⊙O的半徑等于▲．答案：2、（2016泰安一模）如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點H，連接OC，AD，若BH：CO=1：2，AD=4，則⊙O的周長等于8π．【考點】圓周角定理；勾股定理；垂徑定理．【分析】已知BH：CO=1：2，即BH=OH=OC；在Rt△OCH中，易求得∠COH=60°；由于弧BC=弧BD（垂徑定理），利用圓心角和圓周角的關系可求得∠DAB=30°；在Rt△ADH中，可求得DH的長；也就求出了CH的長，在Rt△COH中，根據∠COH的正弦值和CH的長，即可求出OC的半徑，進而可求出⊙O的周長．【解答】解：∵半徑OB⊥CD，∴，CH=DH；（垂徑定理）∵BH：CO=1：2，∴BH=OH=OC；在Rt△OCH中，OH=OC，∴∠COH=60°；∵，∴∠DAH=∠COH=30°；（圓周角定理）在Rt△AHD中，∠DAH=30°，AD=4，則DH=CH=2；在Rt△OCH中，∠COH=60°，CH=2，則OC=4．∴⊙O的周長為8π．3、(2024陜西師大附中·模擬)A．如圖，小麗蕩秋千，秋千鏈子的長OA為2.5米，秋千向兩邊擺動的角度相同，擺動的水平距離AB為3米，則秋千擺至最高位置時與其擺至最低位置時的高度之差（即CD）為0.5米4、(2024上海普陀區·一模)半圓形紙片的半徑為1cm，用如圖所示的方法將紙片對折，使對折后半圓弧的中點M與圓心O重合，則折痕CD的長為cm．【考點】垂徑定理；勾股定理．【分析】作MO交CD于E，則MO⊥CD．連接CO．根據勾股定理和垂徑定理求解．【解答】解：作MO交CD于E，則MO⊥CD，連接CO，對折后半圓弧的中點M與圓心O重合，則ME=OE=OC，在直角三角形COE中，CE==，折痕CD的長為2×=（cm）．【點評】作出輔助線，構造直角三角形，根據對稱性，利用勾股定理解答5、(2024上海閔行區·二模)點P為⊙O內一點，過點P的最長的弦長為10cm，最短的弦長為8cm，那么OP的長等于3cm．【考點】垂徑定理；勾股定理．【分析】根據直徑是圓中最長的弦，知該圓的直徑是10cm；最短弦即是過點P且垂直于過點P的直徑的弦；根據垂徑定理即可求得CP的長，再進一步根據勾股定理，可以求得OP的長．【解答】解：如圖所示，CD⊥AB于點P．根據題意，得AB=10cm，CD=8cm．∵CD⊥AB，∴CP=CD=4cm．根據勾股定理，得OP===3（cm）．故答案為：3．【點評】此題綜合運用了垂徑定理和勾股定理．正確理解圓中，過一點的最長的弦和最短的弦．6、（2024吉林東北師范大學附屬中學·一模）如圖，是的直徑，點在上（點不與重合），過點作的切線交的延長線于點，連結．若，則的度數是°．答案：407、（2024江蘇常熟·一模）如圖，在△ABC中，AB=AC=5cm，cosB=．如果⊙O的半徑為cm，且經過點B，C，那么線段AO=5cm．【考點】垂徑定理；等腰三角形的性質；勾股定理；銳角三角函數的定義．【專題】壓軸題．【分析】利用三角函數求BD的值，然后根據勾股定理求出AD，OD的值．最后求AO．【解答】解：連接BO，設OA與BC交于點D，根據題意，得OA垂直平分BC．∵AB=AC=5cm，cosB=，∴BD=3．根據勾股定理得AD==4；OD===1．∴AO=AD+OD=5，故答案為5．【點評】考查了銳角三角函數的概念、勾股定理．8、（2024江蘇省南京市鐘愛中學·九年級下學期期初考試）當點A（1，2），B（3，﹣3），C（m，n）三點可以確定一個圓時，m，n需要滿足的條件．答案：5m+2n≠99、（2024天津南開區·二模）如圖，已知AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，AC=2，BC=1，那么cos∠ABD的值是．考點：與圓有關的概念及性質答案：試題解析：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴AB==3，∵CD⊥AB，∴，∴∠ABD=∠ABC，∴cos∠ABD=cos∠ABC==，故答案為：10、(2024四川峨眉·二模）⊙O的半徑為，，是互相垂直的兩條直徑，點是圓周上一動點，過點作于點，于點，連結，點是的中點，當點從點出發沿圓周順時針運動一周回到點時，點走過的路徑長為：▲.答案：11、（2024遼寧丹東七中·一模）如圖，AB是⊙O的直徑，點C、D都在⊙O上，若∠C=20°，則∠ABD的度數等于答案：70o12、(2024新疆烏魯木齊九十八中·一模)如圖，在⊙O中，AB為直徑，C、D為⊙O上兩點，若∠C=25°，則∠ABD=65°．【考點】圓周角定理．【專題】推理填空題．【分析】由已知可求得∠A的度數，再根據圓周角定理及三角形內角和定理即可求得∠ABD的度數．【解答】解：連接AD．∵∠C=25°（已知），∴∠C=∠A=25°；∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°（直徑所對的圓周角是直角），∴∠ABD=90°﹣25°=65°．故答案是：65°．【點評】本題考查了圓周角定理．解答該題時，需熟練運用圓周角定理及其推論．13、(2024云南省曲靖市羅平縣·二模)如圖，⊙O是△ABC的外接圓，若AB=OA=OB，則∠C等于30°．【考點】圓周角定理；等邊三角形的判定與性質．【專題】計算題．【分析】先判斷△OAB為等邊三角形，則∠AOB=60°，然后根據圓周角定理求∠C的度數．【解答】解：∵AB=OA=OB，∴△OAB為等邊三角形，∴∠AOB=60°，∴∠C=∠AOB=30°．故答案為30．【點評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．也考查了等邊三角形的性質．14、(2024云南省·一模)如圖，AD是⊙O的直徑，弦BC⊥AD，連接AB、AC、OC，若∠COD=60°，則∠BAD=30°．【考點】垂徑定理；圓周角定理．【分析】根據圓周角定理得到∠DAC的度數，根據垂徑定理得到答案．【解答】解：∵∠COD=60°，∴∠DAC=30°，∵AD是⊙O的直徑，弦BC⊥AD，∴=，∴∠BAD=∠DAC=30°，故答案為：30°．【點評】本題考查的是垂徑定理和圓周角定理，垂直弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧、等弧所對的圓周角相等是解題的關鍵．三、解答題1、如圖，是⊙的直徑、是延長線上一點，與⊙相切于點,于點.(1)求證:平分;(2)若=4，.①求的長;②求出圖中陰影部分的面積.答案：解:(1)如圖，連接，∥，所以平分.(2)=..2、（2016青島一模）如圖，AB是⊙O的直徑，∠ABC=70°，則∠D的度數為20°．【考點】圓周角定理．【分析】由AB是⊙O的直徑，可得∠ACB=90°，然后由圓周角定理，可求得∠D的度數．【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∵∠ABC=70°，∴∠A=90°﹣∠ABC=20°，∴∠D=∠A=20°．故答案為：20°．3、（2016棗莊41中一模）如圖，在△ABC中，以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點D、E，點F在AC的延長線上，且AC=CF，∠CBF=∠CFB．（1）求證：直線BF是⊙O的切線；（2）若點D，點E分別是弧AB的三等分點，當AD=5時，求BF的長和扇形DOE的面積；（3）填空：在（2）的條件下，如果以點C為圓心，r為半徑的圓上總存在不同的兩點到點O的距離為5，則r的取值范圍為5﹣5＜r＜5+5．【考點】切線的判定；扇形面積的計算．【分析】（1）根據直角三角形的判定證明∠ABF=90°即可；（2）連接DO，EO，根據題意證明△AOD是等邊三角形，得到△ABC是等邊三角形，根據勾股定理求出BF的長，根據扇形面積公式：求出扇形DOE的面積；（3）求出圓心距OC=5，根據題意解答即可．【解答】（1）證明：∵∠CBF=∠CFB，∴CB=CF，又∵AC=CF，∴CB=AF，∴△ABF是直角三角形，∴∠ABF=90°∴直線BF是⊙O的切線；（2）解：連接DO，EO，∵點D，點E分別是弧AB的三等分點，∴∠AOD=60°，又∵OA=OD，∴△AOD是等邊三角形，∴∠OAD=60°，又∵∠ABF=90°，AD=5，∴AB=10，∴BF=10；扇形DOE的面積==π；（3）解：連接OC，則圓心距OC=5，由題意得，5﹣5＜r＜5+5，故答案為：5﹣5＜r＜5+5．4、(2024山東棗莊·模擬)如圖，已知△ABC內接于⊙O，且AB=AC，直徑AD交BC于點E，F是OE上的一點，使CF∥BD．（1）求證：BE=CE；（2）試判斷四邊形BFCD的形狀，并說明理由；（3）若BC=8，AD=10，求CD的長．【考點】垂徑定理；勾股定理；菱形的判定．【分析】（1）證明△ABD≌△ACD，得到∠BAD=∠CAD，根據等腰三角形的性質即可證明；（2）菱形，證明△BFE≌△CDE，得到BF=DC，可知四邊形BFCD是平行四邊形，易證BD=CD，可證明結論；（3）設DE=x，則根據CE2=DE?AE列方程求出DE，再用勾股定理求出CD．【解答】（1）證明：∵AD是直徑，∴∠ABD=∠ACD=90°，在Rt△ABD和Rt△ACD中，，∴Rt△ABD≌Rt△ACD，∴∠BAD=∠CAD，∵AB=AC，∴BE=CE；（2）四邊形BFCD是菱形．證明：∵AD是直徑，AB=AC，∴AD⊥BC，BE=CE，∵CF∥BD，∴∠FCE=∠DBE，在△BED和△CEF中，∴△BED≌△CEF，∴CF=BD，∴四邊形BFCD是平行四邊形，∵∠BAD=∠CAD，∴BD=CD，∴四邊形BFCD是菱形；（3）解：∵AD是直徑，AD⊥BC，BE=CE，∴CE2=DE?AE，設DE=x，∵BC=8，AD=10，∴42=x（10﹣x），解得：x=2或x=8（舍去）在Rt△CED中，CD===2．【點評】本題主要考查了圓的有關性質：垂徑定理、圓周角定理，三角形全等的判定與性質，菱形的判定與性質，勾股定理，三角形相似的判定與性質，熟悉圓的有關性質是解決問題的關鍵．5、(2024上海普陀區·一模)如圖，已知AD是⊙O的直徑，AB、BC是⊙O的弦，AD⊥BC，垂足是點E，BC=8，DE=2，求⊙O的半徑長和sin∠BAD的值．【考點】垂徑定理；解直角三角形．【分析】設⊙O的半徑為r，根據垂徑定理求出BE=CE=BC=4，∠AEB=90°，在Rt△OEB中，由勾股定理得出r2=42+（r﹣2）2，求出r．求出AE，在Rt△AEB中，由勾股定理求出AB，解直角三角形求出即可．【解答】解：設⊙O的半徑為r，∵直徑AD⊥BC，∴BE=CE=BC==4，∠AEB=90°，在Rt△OEB中，由勾股定理得：OB2=0E2+BE2，即r2=42+（r﹣2）2，解得：r=5，即⊙O的半徑長為5，∴AE=5+3=8，∵在Rt△AEB中，由勾股定理得：AB==4，∴sin∠BAD===．【點評】本題考查了垂徑定理，勾股定理，解直角三角形的應用，能根據垂徑定理求出BE是解此題的關鍵．6、(2024上海浦東·模擬)（本題滿分10分）如圖，AB是⊙O的弦，C是AB上一點，∠AOC=90°，OA=4，OC=3，求弦AB的長．解：過點O作OD⊥AB于D在Rt△AOC中，，AC=5在Rt△AOC中，；在Rt△ADO中，，所以，.因為在⊙O中，OD⊥AB，所以AB=2AD=，所以AB=．7、（2024天津市南開區·一模）如圖，AB是⊙O的直徑，C，P是上兩點，AB=13，AC=5．（1）如圖（1），若點P是的中點，求PA的長；（2）如圖（2），若點P是的中點，求PA的長．【考點】相似三角形的判定與性質；勾股定理；等腰直角三角形；圓心角、弧、弦的關系；圓周角定理．【專題】幾何綜合題．【分析】（1）根據圓周角的定理，∠APB=90°，P是弧AB的中點，所以三角形APB是等腰三角形，利用勾股定理即可求得．（2）根據垂徑定理得出OP垂直平分BC，得出OP∥AC，從而得出△ACB∽△0NP，根據對應邊成比例求得ON、AN的長，利用勾股定理求得NP的長，進而求得PA．【解答】解：（1）如圖（1）所示，連接PB，∵AB是⊙O的直徑且P是的中點，∴∠PAB=∠PBA=45°，∠APB=90°，又∵在等腰三角形△APB中有AB=13，∴PA===．（2）如圖（2）所示：連接BC．OP相交于M點，作PN⊥AB于點N，∵P點為弧BC的中點，∴OP⊥BC，∠OMB=90°，又因為AB為直徑∴∠ACB=90°，∴∠ACB=∠OMB，∴OP∥AC，∴∠CAB=∠POB，又因為∠ACB=∠ONP=90°，∴△ACB∽△0NP∴=，又∵AB=13AC=5OP=，代入得ON=，∴AN=OA+ON=9∴在Rt△OPN中，有NP2=0P2﹣ON2=36在Rt△ANP中有PA===3∴PA=3．【點評】本題考查了圓周角的定理，垂徑定理，勾股定理，等腰三角形判定和性質，相似三角形的判定和性質，作出輔助線是本題的關鍵．8、(2024山西大同·一模）如圖，已知：AB是的弦，CD是的直徑，CD⊥AB，垂足為E，且點E是OD的中點，的切線BM與AO的延長線相交于點M，連接AC、CM（1）若AB=，求的半徑及弧AB的長度.（2）求證：四邊形ABMC是菱形.答案：解（1）連接OB∵OA=OB，E是AB的中點∴∠AOE=∠BOE,OE⊥AB又∵OE=OA∴∠OAB=30°，∠AOE=60°設AO為x，則OE=x∴x=4∴弧AB長l=（2）由（1）∠OAB=∠OBA=30°∠BOM=∠COM=60°，∠AMB=30°∴AB=BM在△COM和△BOM中OC=OB∠COM=∠BOMOM=OM∴△COM≌△BOM（SAS）∴CM=BM=AB ∴AB∥CM∴ABCD是菱形9、（2024河北石家莊·一模）先閱讀材料，再解答問題：小明同學在學習與圓有關的角時了解到：在同圓或等圓中，同弧（或等弧）所對的圓周角相等．如圖，點A、B、C、D均為⊙O上的點，則有∠C=∠D．小明還發現，若點E在⊙O外，且與點D在直線AB同側，則有∠D＞∠E．請你參考小明得出的結論，解答下列問題：（1）如圖1，在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（0，7），點B的坐標為（0，3），點C的坐標為（3，0）．①在圖1中作出△ABC的外接圓（保留必要的作圖痕跡，不寫作法）；②若在x軸的正半軸上有一點D，且∠ACB=∠ADB，則點D的坐標為（7，0）；（2）如圖2，在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（0，m），點B的坐標為（0，n），其中m＞n＞0．點P為x軸正半軸上的一個動點，當∠APB達到最大時，直接寫出此時點P的坐標．【考點】圓的綜合題．【分析】（1）①作出△ABC的兩邊的中垂線的交點，即可確定圓心，則外接圓即可作出；②D就是①中所作的圓與x軸的正半軸的交點，根據作圖寫出坐標即可；（2）當以AB為弦的圓與x軸正半軸相切時，對應的∠APB最大，根據垂徑定理和勾股定理即可求解．【解答】解：（1）①②根據圖形可得，點D的坐標是（7，0）；（2）當以AB為弦的圓與x軸正半軸相切時，作CD⊥y軸，連接CP、CB．∵A的坐標為（0，m），點B的坐標為（0，n），∴D的坐標是（0，），即BC=PC=，在直角△BCD中，BC=，BD=，則CD==，則OP=CD=，故P的坐標是（，0）．【點評】本題考查了垂徑定理以及勾股定理，正確理解當以AB為弦的圓與x軸正半軸相切時，對應的∠APB最大，是關鍵．10、（2024廣東·一模）（本題滿分10分）定義：數學活動課上，樂老師給出如下定義：有一組對邊相等而另一組對邊不相等的凸四邊形叫做對等四邊形．理解：（1）如圖1，已知A、B、C在格點（小正方形的頂點）上，請在方格圖中畫出以格點為頂點，AB、BC為邊的兩個對等四邊形ABCD；（2）如圖2，在圓內接四邊形ABCD中，AB是⊙O的直徑，AC=BD．求證：四邊形ABCD是對等四邊形；（3）如圖3，在Rt△PBC中，∠PCB=90°，BC=11，tan∠PBC=，點A在BP邊上，且AB=13．用圓規在PC上找到符合條件的點D，使四邊形ABCD為對等四邊形，并求出CD的長．解：（1）如圖1所示（畫2個即可）．（2）如圖2，連接AC，BD，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=∠ACB=90°，在Rt△ADB和Rt△ACB中，∴Rt△ADB≌Rt△ACB，∴AD=BC，又∵AB是⊙O的直徑，∴AB≠CD，∴四邊形ABCD是對等四邊形．（3）如圖3，點D的位置如圖所示：①若CD=AB，此時點D在D1的位置，CD1=AB=13；②若AD=BC=11，此時點D在D2、D3的位置，AD2=AD3=BC=11，過點A分別作AE⊥BC，AF⊥PC，垂足為E，F，設BE=x，∵tan∠PBC=，∴AE=，在Rt△ABE中，AE2+BE2=AB2，即，解得：x1=5，x2﹣5（舍去），∴BE=5，AE=12，∴CE=BC﹣BE=6，由四邊形AECF為矩形，可得AF=CE=6，CF=AE=12，在Rt△AFD2中，，∴，，綜上所述，CD的長度為13、12﹣或12+．11、（2024廣東深圳·一模）如圖，在邊長為2的圓內接正方形ABCD中，AC是對角線，P為邊CD的中點，延長AP交圓于點E．（1）∠E=45度；（2）寫出圖中現有的一對不全等的相似三角形，并說明理由；（3）求弦DE的長．【考點】相似三角形的判定與性質；圓周角定理．【專題】幾何綜合題．【分析】由“同弧所對的圓周角相等”可知∠E=∠ACD=45°，∠CAE=∠EDC，所以△ACP∽△DEP；求弦DE的長有兩種方法：一，利用△ACP∽△DEP的相似比求DE的長；二、過點D作DF⊥AE于點F，利用Rt△DFE中的勾股定理求得DE的長．【解答】解：（1）∵∠ACD=45°，∠ACD=∠E，∴∠E=45°．（2）△ACP∽△DEP，理由：∵∠AED=∠ACD，∠APC=∠DPE，∴△ACP∽△DEP．（3）方法一：∵△ACP∽△DEP，∴．∵P為CD邊中點，∴DP=CP=1∵AP=，AC=，∴DE=．方法二：如圖2，過點D作DF⊥AE于點F，在Rt△ADP中，AP=．又∵S△ADP=AD?DP=AP?DF，∴DF=．∴DE=DF=．【點評】此題主要考查相似三角形的判定及圓周角定理的運用．整式與因式分解一、選擇題1．(2024重慶銅梁巴川·一模）計算（﹣2a2b）3的結果是（）A．﹣6a6b3 B．﹣8a6b3 C．8a6b3 D．﹣8a5b3【分析】根據冪的乘方和積的乘方的運算法則求解．【解答】解：（﹣2a2b）3=﹣8a6b3．故選B．2．(2024重慶巴蜀·一模）下列計算正確的是（）A．a2+a2=2a4 B．（﹣a2b）3=﹣a6b3 C．a2?a3=a6 D．a8÷a2=a4【分析】根據同底數冪的乘除法、合并同類項以及積的乘方和冪的乘方進行計算即可．【解答】解：A、a2+a2=2a2B，故A錯誤；B、（﹣a2b）3=﹣a6b3，故B正確；C、a2?a3=a5，故C錯誤；D、a8÷a2=a6，故D錯誤；故選B．3．(2024重慶巴南·一模）計算2x3?（﹣x2）的結果是（）A．﹣2x5 B．2x5 C．﹣2x6 D．2x6【分析】先把常數相乘，再根據同底數冪的乘法性質：底數不變指數相加，進行計算即可．【解答】解：2x3?（﹣x2）=﹣2x5．故選A．4．（2024天津北辰區·一摸）如圖，用火柴棍拼成一排由三角形組成的圖形.若拼成的圖形中有個三角形，則需要火柴棍的根數是（）.（A）（B）（C） （D）答案：D5．（2024天津南開區·二模）下列計算正確的是（

）A．a+3a=4a2 B．a4?a4=2a4C．(a2)3=a5 D．(-a)3÷(-a)=a2考點：整式的運算答案：D試題解析：a+3a=4a，a4?a4=a8，（a2）3=a6，（﹣a）3÷（﹣a）=（﹣a）2=a2，故選D．6、（2016泰安一模）若x=1，，則x2+4xy+4y2的值是（）A．2 B．4 C． D．【考點】完全平方公式．【分析】首先用完全平方公式將原式化簡，然后再代值計算．【解答】解：原式=（x+2y）2=（1+2×）2=4．故選B．7、（2016泰安一模）下列各式，分解因式正確的是（）A．a2+b2=（a+b）2 B．xy+xz+x=x（y+z）C．x2+x3=x3（+1） D．a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2【考點】因式分解-運用公式法；因式分解-提公因式法．【分析】根據因式分解的定義，以及完全平方公式即可作出判斷．【解答】解：A、a2+b2+2ab=（a+b）2，故選項錯誤；B、xy+xz+x=x（y+z+1），故選項錯誤；C、結果不是整式，不是分解因式，故選項錯誤；D、正確．故選D．8、（2016泰安一模）方程（x﹣1）（x+2）=2（x+2）的根是x1=﹣2，x2=3．【考點】解一元二次方程-因式分解法；因式分解-提公因式法．【專題】因式分解．【分析】把右邊的項移到左邊，提公因式法因式分解求出方程的根．【解答】解：（x﹣1）（x+2）﹣2（x+2）=0（x+2）（x﹣1﹣2）=0（x+2）（x﹣3）=0x+2=0或x﹣3=0∴x1=﹣2，x2=3．故答案是：x1=﹣2，x2=3．9．(2024新疆烏魯木齊九十八中·一模)下列計算正確的是（）A．2a2+4a2=6a4 B．（a+1）2=a2+1 C．（a2）3=a5 D．x7÷x5=x2【考點】完全平方公式；合并同類項；冪的乘方與積的乘方；同底數冪的除法．【分析】根據合并同類項對A進行判斷；根據完全平方公式對B進行判斷；根據冪的乘方法則對C進行判斷；根據同底數冪的除法法則對D進行判斷．【解答】解：A、2a2+4a2=6a2，所以A選項不正確；B、（a+1）2=a2+2a+1，所以B選項不正確；C、（a2）5=a10，所以C選項不正確；D、x7÷x5=x2，所以D選項正確．故選D．【點評】本題考查了完全平方公式：（a±b）2=a2±2a+b2．也考查了合并同類項、冪的乘方以及同底數冪的除法法則．10．(2024云南省曲靖市羅平縣·二模)下列運算正確的是（）A．a2+a2=a4 B．a6÷a3=a2 C．a3×a2=a5 D．（a3b）2=a5b3【考點】同底數冪的除法；合并同類項；同底數冪的乘法；冪的乘方與積的乘方．【分析】根據同底數冪的乘法、除法，積的乘方，進行判定即可解答．【解答】解：A、a2?a2=a4，故錯誤；B、a6÷a3=a3，故錯誤；C、正確；D、（a3b）2=a6b2，故錯誤；故選：C．【點評】本題考查了同底數冪的乘法、除法，積的乘方，解決本題的關鍵是熟記同底數冪的乘法、除法，積的乘方．11．(2024上海閔行區·二模)如果單項式2anb2c是六次單項式，那么n的值取（）A．6 B．5 C．4 D．3【考點】單項式．【分析】直接利用單項式的次數確定方法得出n的值即可．【解答】解：∵單項式2anb2c是六次單項式，∴n+2+1=6，解得：n=3，故n的值取3．故選：D．【點評】此題主要考查了單項式的次數，正確把握定義是解題關鍵．12．(2024浙江杭州蕭山區·模擬)下列式子的計算結果為26的是（）A．23+23 B．23?23 C．（23）3 D．212÷22【考點】同底數冪的除法；合并同類項；同底數冪的乘法；冪的乘方與積的乘方．【專題】計算題；實數．【分析】各項計算得到結果，即可作出判斷．【解答】解：A、原式=23?（1+1）=24，不合題意；B、原式=23+3=26，符合題意；C、原式=29，不合題意；D、原式=212﹣2=210，不合題意．故選B．【點評】此題考查了同底數冪的除法，合并同類項，同底數冪的乘法，以及冪的乘方與積的乘方，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．13．(2024浙江金華東區·4月診斷檢測下列運算正確的是（）A．a＋a＝2a2 B．a2·a＝2a2 C．(－ab)2＝2ab2 D．(2a)2÷a＝4a答案：D14．(2024浙江金華東區·4月診斷檢測自2016年1月21日開建的印尼雅萬高鐵是中國和印尼合作的重大標志性項目，這條高鐵的總長為152公里.其中“152公里”用科學記數法可以表示為（）A． B． C． D．答案：B15(2024浙江麗水·模擬)(-x4)3等于（）．A．x7B．x12C．-x7D．-x12答案:D16.（2024紹興市浣紗初中等六校·5月聯考模擬）.下列計算正確的是（）A.B. C. D.答案：C17.（2024吉林東北師范大學附屬中學·一模）下列計算一定正確的是（A）．（B）．（C）．（D）．答案：B18.（2024江蘇常熟·一模）設邊長為3的正方形的對角線長為a．下列關于a的四種說法：①a是無理數；②a可以用數軸上的一個點來表示；③3＜a＜4；④a是18的算術平方根．其中，所有正確說法的序號是（）A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④【考點】估算無理數的大小；算術平方根；無理數；實數與數軸；正方形的性質．【分析】先利用勾股定理求出a=3，再根據無理數的定義判斷①；根據實數與數軸的關系判斷②；利用估算無理數大小的方法判斷③；利用算術平方根的定義判斷④．【解答】解：∵邊長為3的正方形的對角線長為a，∴a===3．①a=3是無理數，說法正確；②a可以用數軸上的一個點來表示，說法正確；③∵16＜18＜25，4＜＜5，即4＜a＜5，說法錯誤；④a是18的算術平方根，說法正確．所以說法正確的有①②④．故選C．【點評】本題主要考查了勾股定理，實數中無理數的概念，算術平方根的概念，實數與數軸的關系，估算無理數大小，有一定的綜合性．19.（2024河南三門峽·二模）下列計算正確的是（）A．|－a|=a B．a2·a3=a6C． D．()0=0答案：C20.（2024河南三門峽·一模）下列計算正確的是（）A．a+2a=3a2 B．a?a2=a3 C．（2a）2=2a2 D．（﹣a2）3=a6答案：B二、填空題1．（2024天津北辰區·一摸）計算，結果等于_______．答案：2．（2024天津南開區·二模）分解因式：x3﹣4x=

．考點：因式分解答案：x（x+2）（x﹣2）試題解析：x3﹣4x，=x（x2﹣4），=x（x+2）（x﹣2）．故答案為：x（x+2）（x﹣2）．3．（2024天津市和平區·一模）計算（x3）2的結果等于x6．【考點】冪的乘方與積的乘方．【分析】根據冪的乘方，底數不變，指數相乘，即可解答．【解答】解：（x3）2=x6，故答案為：x6．【點評】本題考查了冪的乘方，解決本題的關鍵是熟記冪的乘方，底數不變，指數相乘．4．（2016·天津市南開區·一模）已知a+b=3，a﹣b=﹣1，則a2﹣b2的值為﹣3．【考點】平方差公式．【專題】計算題．【分析】原式利用平方差公式化簡，將已知等式代入計算即可求出值．【解答】解：∵a+b=3，a﹣b=﹣1，∴原式=（a+b）（a﹣b）=﹣3，故答案為：﹣3．【點評】此題考查了平方差公式，熟練掌握平方差公式是解本題的關鍵．5.(2024四川峨眉·二模）計算：．答案：6.（2024江蘇丹陽市丹北片·一模）方程x2﹣4=0的解是，化簡：（1﹣a）2+2a=答案：x=2或-2，；7.（2024江蘇省南京市鐘愛中學·九年級下學期期初考試）若a：b：c=1：3：2，且a+b+c=24，則a+b﹣c=．答案：8．8.（2024上海市閘北區·中考數學質量檢測4月卷）計算：=．答案：9．（2024上海市閘北區·中考數學質量檢測4月卷）分解因式：=．答案：3x（x－2）；10.（2024吉林長春朝陽區·一模）計算（2a3）2的結果是（）A．4a6 B．4a5 C．2a6 D．2a5【考點】冪的乘方與積的乘方．【分析】根據積的乘方，即可解答．【解答】解：（2a3）2=4a6．故選A．【點評】本題主要考查了冪的乘方的性質，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．11．（2024湖南省岳陽市十二校聯考·一模）下列各式計算正確的是（）A．2+b=2b B． C．（2a2）3=8a5 D．a6÷a4=a2【考點】同底數冪的除法；實數的運算；合并同類項；冪的乘方與積的乘方．【分析】根據積的乘方、同底數冪的除法，即可解答．【解答】解：A、2與b不是同類項，不能合并，故錯誤；B、與不是同類二次根式，不能合并，故錯誤；C、（2a2）3=8a6，故錯誤；D、正確．故選：D．【點評】本題考查了積的乘方、同底數冪的除法，解決本題的關鍵是熟記同底數冪的除法法則．12．（2024河北石家莊·一模）下列計算中，正確的是（）A．a+a11=a12 B．5a﹣4a=a C．a6÷a5=1 D．（a2）3=a5【考點】同底數冪的除法；合并同類項；冪的乘方與積的乘方．【分析】根據同底數冪的除法，冪的乘方及合并同類項的運算法則計算即可．【解答】解：A、a與a11是相加，不是相乘，所以不能利用同底數冪相乘的性質計算，故A錯誤；B、5a﹣4a=a，故B正確；C、應為a6÷a5=a，故C錯誤；D、應為（a2）3=a6，故D錯誤．故選：B．【點評】此題比較簡單，考查的是同底數冪的除法，冪的乘方及合并同類項的運算法則，需要同學們熟練掌握．13.（2024河北石家莊·一模）若ab=﹣3，a﹣2b=5，則a2b﹣2ab2的值是（）A．﹣15 B．15 C．2 D．﹣8【考點】因式分解-提公因式法．【分析】直接將原式提取公因式ab，進而分解因式得出答案．【解答】解：∵ab=﹣3，a﹣2b=5，a2b﹣2ab2=ab（a﹣2b）=﹣3×5=﹣15．故選：A．【點評】此題主要考查了提取公因式法分解因式，正確找出公因式是解題關鍵．14.（2024河大附中·一模）下列運算正確的是()A．a3?a2=a6B．(2a)3=6a3C．(a-b)2=a2-b2D．3a2-a2=2a2答案：D15．（2024湖北襄陽·一模）下列計算正確的是（）A.B.C.D.答案：D16.（2024廣東東莞·聯考）計算（﹣2x2）3的結果是（）A．﹣2x5 B．﹣8x6 C．﹣2x6 D．﹣8x5【考點】冪的乘方與積的乘方．【分析】根據積的乘方法則：把每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘；冪的乘方法則：底數不變，指數相乘進行計算即可．【解答】解：原式=（﹣2）3（x2）3=﹣8x6，故選：B．【點評】此題主要考查了冪的乘方，積的乘方，關鍵是熟練掌握計算法則，注意結果符號的判斷．17.（2024廣東深圳·一模）下列運算中，正確的是（）A．a2+a3=a5 B．a6÷a3=a2 C．（a4）2=a6 D．a2?a3=a5【考點】同底數冪的除法；合并同類項；同底數冪的乘法；冪的乘方與積的乘方．【分析】根據合并同類項法則，同底數冪相除，底數不變指數相減；冪的乘方，底數不變指數相乘；同底數冪相乘，底數不變指數相加，對各選項分析判斷后利用排除法求解．【解答】解：A、a2與a3不是同類項，不能合并，故本選項錯誤；B、a6÷a3=a3，故本選項錯誤；C、（a4）2=a8，故本選項錯誤；D、a2?a3=a5，故本選項正確．故選D．【點評】本題考查了同底數冪的除法，同底數冪的乘法，合并同類項法則，冪的乘方的性質，理清指數的變化是解題的關鍵．18.（2024廣東河源·一模）下列計算正確的是（）A．B．C．D．答案：C19.（2024河南三門峽·一模）分解因式：答案：二、填空題1．(2024浙江金華東區·4月診斷檢測因式分解：.答案：2．(2024浙江杭州蕭山區·模擬)分解因式：m4n﹣4m2n=m2n（m+2）（m﹣2）．【考點】提公因式法與公式法的綜合運用．【專題】計算題；因式分解．【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式=m2n（m2﹣4）=m2n（m+2）（m﹣2），故答案為：m2n（m+2）（m﹣2）【點評】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關鍵．3．（2024紹興市浣紗初中等六校·5月聯考模擬）因式分解：＝答案：m(2m+1)(2m-1);4.(2024浙江麗水·模擬)x2﹣9=.答案：(x+3)(x-3).5.（2016蘇州二模）分解因式：=答案：6．(2024新疆烏魯木齊九十八中·一模)分解因式：a2﹣b2﹣2b﹣1=（a+b+1）（a﹣b﹣1）．【考點】因式分解-分組分解法．【分析】首先將后三項組合利用完全平方公式分解因式，進而利用平方差公式分解即可．【解答】解：a2﹣b2﹣2b﹣1=a2﹣（b2+2b+1）=a2﹣（b+1）2=（a+b+1）（a﹣b﹣1）．故答案為：（a+b+1）（a﹣b﹣1）．【點評】此題主要考查了分組分解法分解因式，熟練利用公式是解題關鍵．7．(2024云南省曲靖市羅平縣·二模)已知a﹣b=1，則代數式2a﹣2b+2014值是2016．【考點】代數式求值．【分析】等式a﹣b=1兩邊同時乘以2得2a﹣2b=2，然后代入計算即可．【解答】解：∵a﹣b=1，∴2a﹣2b=2，∴原式=2+2014=2016．故答案為2016．【點評】本題主要考查的是求代數式的值，依據等式的性質求得2a﹣2b=2是解題的關鍵．8．(2024上海閔行區·二模)在實數范圍內分解因式：a3﹣2a=a（a+）（a﹣）．【考點】提公因式法與公式法的綜合運用．【分析】先提取公因式a，再根據平方差公式進行二次分解即可求得答案．【解答】解：a3﹣2a=a（a2﹣2）=a（a+）（a﹣）．故答案為：a（a+）（a﹣）．【點評】本題考查了提公因式法，公式法分解因式．注意提取公因式后利用平方差公式進行二次分解，注意分解要徹底．9．(2024上海浦東·模擬)分解因式：答案：10．（2024遼寧丹東七中·一模）因式分解：ax-4ax+4a=_________.答案：a(x－2﹚211.（2024湖南省岳陽市十二校聯考·一模）如圖所示，把同樣大小的黑色棋子擺放在正多邊形的邊上，按照這樣的規律擺下去，則第n（n是大干0的整數）個圖形需要黑色棋子的個教是n（n+2）【考點】規律型：圖形的變化類．【分析】根據題意，分析可得第1個圖形需要黑色棋子的個數為2×3﹣3，第2個圖形需要黑色棋子的個數為3×4﹣4，第3個圖形需要黑色棋子的個數為4×5﹣5，依此類推，可得第n個圖形需要黑色棋子的個數是（n+1）（n+2）﹣（n+2），計算可得答案．【解答】解：第1個圖形是三角形，有3條邊，每條邊上有2個點，重復了3個點，需要黑色棋子2×3﹣3個，第2個圖形是四邊形，有4條邊，每條邊上有3個點，重復了4個點，需要黑色棋子3×4﹣4個，第3個圖形是五邊形，有5條邊，每條邊上有4個點，重復了5個點，需要黑色棋子4×5﹣5個，…則第n個圖形需要黑色棋子的個數是（n+1）（n+2）﹣（n+2）=n（n+2）．故答案為：n（n+2）．【點評】此題考查圖形的變化規律，解題時注意圖形中有重復的點，即多邊形的頂點．12.（2024湖南省岳陽市十二校聯考·一模）分解因式：x3﹣x=x（x+1）（x﹣1）．【考點】提公因式法與公式法的綜合運用．【專題】因式分解．【分析】本題可先提公因式x，分解成x（x2﹣1），而x2﹣1可利用平方差公式分解．【解答】解：x3﹣x，=x（x2﹣1），=x（x+1）（x﹣1）．故答案為：x（x+1）（x﹣1）．【點評】本題考查了提公因式法，公式法分解因式，先提取公因式后再利用平方差公式繼續進行因式分解，分解因式一定要徹底．13．（2024湖南省岳陽市十二校聯考·一模）多項式是a3﹣2a2﹣1是三次三項式．【考點】多項式．【分析】利用每個單項式叫做多項式的項，多項式中次數最高的項的次數叫做多項式的次數，進而得出答案．【解答】解：多項式是a3﹣2a2﹣1是三次三項式．故答案為：三、三．【點評】此題主要考查了多項式的次數與系數的確定方法，正確把握定義是解題關鍵．14．（2024湖南湘潭·一模）分解因式．答案：15.（2024黑龍江大慶·一模）因式分解：=________________．答案：16.（2024黑龍江大慶·一模）已知實數m、n滿足，，則=________．答案：-4或217.（2016·廣東東莞·聯考）分解因式：x2y﹣2xy+y=y（x﹣1）2．【考點】提公因式法與公式法的綜合運用．【分析】先提取公因式y，再根據完全平方公式進行二次分解．完全平方公式：a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2．【解答】解：x2y﹣2xy+y，=y（x2﹣2x+1），=y（x﹣1）2．故答案為：y（x﹣1）2．【點評】本題考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式進行二次分解，注意分解要徹底．18.（2024廣東深圳·一模）因式分解：2ax2+4ax+2a=2a（x+1）2．【考點】提公因式法與公式法的綜合運用．【專題】計算題．【分析】原式提取2a，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式=2a（x2+2x+1）=2a（x+1）2．故答案為：2a（x+1）2．【點評】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關鍵．解答題1．(2024重慶銅梁巴川·一模）化簡下列各式（1）（a﹣b）2+（2a﹣b）（a﹣2b）（2）．【分析】（1）利用乘法公式展開，然后合并同類項即可；（2）先把括號內通分后進行同分母的減法運算，再把分子分母因式分解和除法運算化為乘法運算，然后約分即可．【解答】解：（1）原式=a2﹣2ab+b2+2a2﹣ab﹣4ab+2b2=3a2﹣7ab+3b2；（2）原式=、====．2．(2024重慶巴蜀·一模）化簡：（1）（a﹣2b）2﹣（2a+b）（b﹣2a）﹣4a（a﹣b）（2）÷（﹣a﹣b）【分析】（1）原式利用完全平方公式，平方差公式，以及單項式乘以多項式法則計算，去括號合并即可得到結果；（2）原式括號中兩項通分并利用同分母分式的減法法則計算，同時利用除法法則變形，約分即可得到結果．【解答】解：（1）原式=a2﹣4ab+4b2﹣b2+4a2﹣4a2+4ab=a2+3b2；（2）原式=÷=?=．3．(2024重慶巴南·一模）先閱讀下列材料：我們已經學過將一個多項式分解因式的方法有提公因式法和運用公式法，其實分解因式的方法還有分組分解法、拆項法、十字相乘法等等．（1）分組分解法：將一個多項式適當分組后，可提公因式或運用公式繼續分解的方法．如：ax+by+bx+ay=（ax+bx）+（ay+by）=x（a+b）+y（a+b）=（a+b）（x+y）2xy+y2﹣1+x2=x2+2xy+y2﹣1=（x+y）2﹣1=（x+y+1）（x+y﹣1）（2）拆項法：將一個多項式的某一項拆成兩項后，可提公因式或運用公式繼續分解的方法．如：x2+2x﹣3=x2+2x+1﹣4=（x+1）2﹣22=（x+1+2）（x+1﹣2）=（x+3）（x﹣1）請你仿照以上方法，探索并解決下列問題：（1）分解因式：a2﹣b2+a﹣b；（2）分解因式：x2﹣6x﹣7；（3）分解因式：a2+4ab﹣5b2．【分析】仿照題中的方法，得到十字相乘法的技巧，分別將各項分解即可．【解答】解：（1）原式=（a+b）（a﹣b）+（a﹣b）=（a﹣b）（a+b+1）；（2）原式=（x﹣7）（x+1）；（3）原式=（a﹣b）（a+5b）．4.（2024吉林東北師范大學附屬中學·一模）（6分）先化簡，再求值：，其中．答案：解：原式．當時，原式．5.（2024吉林長春朝陽區·一模）先化簡，再求值：（x+2）2﹣（x+1）（x﹣1），其中x=﹣．【考點】整式的混合運算—化簡求值．【分析】先算乘法，再合并同類項，最后代入求出即可．【解答】解：（x+2）2﹣（x+1）（x﹣1）=x2+4x+4﹣x2+1=4x+5，當x=﹣時，原式=4×（﹣）+5=3．【點評】本題考查了整式的混合運算的應用，主要考查學生的計算能力和化簡能力，題目比較好，難度適中．6．（2024湖南湘潭·一模）（本小題6分）已知，求的值．答案．，．.．9．（2024河北石家莊·一模）老師在黑板上寫了一個正確的演算過程，隨后用手掌捂住了的多項式，形式如下：﹣（a+2b）2=a2﹣4b2（1）求所捂的多項式；（2）當a=﹣1，b=時求所捂的多項式的值．【考點】整式的加減；代數式求值．【分析】（1）根據題意列出整式相加減的式子，再去括號，合并同類項即可；（2）把a=﹣1，b=代入（1）中的式子即可．【解答】解：（1）原式=（a2﹣4b2）+（a+2b）2=a2﹣4b2+a2+4b2+4ab=2a2+4ab；（2）當a=﹣1，b=時，原式=2×（﹣1）2+4×（﹣1）×=2﹣4．【點評】本題考查的是整式的加減，熟知整式的加減實質上就是合并同類項是解答此題的關鍵．10.（2024黑龍江大慶·一模）計算：．答案：解：原式==-8平移旋轉與對稱一．選擇題1．(2024山西大同·一模）“珍惜生命，注意安全”是一個永恒的話題。在現代化的城市中，交通安全萬萬不能被忽視，下列四個圖形是國際通用的四種交通標志，其中不是中心對稱圖形是（）2．(2024重慶巴南·一模）下列圖形中，是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．【解答】解：A、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形．故此選項正確；B、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形．故此選項錯誤；C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形．故此選項錯誤；D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形．故此選項錯誤．故選：A．3．(2024重慶巴蜀·一模）巴蜀中學剪紙比賽中，下列獲得一等獎的四幅作品中，是軸對稱圖形的為（）A． B． C． D．【分析】根據軸對稱圖形的概念：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進行分析即可．【解答】解：A、不軸對稱圖形，故此選項錯誤；B、不是軸對稱圖形，故此選項錯誤；C、不軸對稱圖形，故此選項錯誤；D、是軸對稱圖形，故此選項正確；故選：D．4．(2024重慶銅梁巴川·一模）下列四個圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．【解答】解：A、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形．故錯誤；B、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形．故錯誤；C、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形．故錯誤；D、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形．故正確．故選D．5．（2024天津北辰區·一摸）下列圖標，既可以看作是中心對稱圖形又可以看作是軸對稱圖形的是（）.（A）（B）（D）（A）（B）（D）（C）答案：B6．（2024天津市和平區·一模）下列圖形中是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【考點】中心對稱圖形．【分析】根據中心對稱圖形的定義進行解答，找到圖形的對稱中心．【解答】解：A、不是中心對稱圖形，故本選項錯誤，B、為軸對稱圖形，而不是中心對稱圖形，故本選項錯誤，C、為軸對稱圖形，而不是中心對稱圖形，故本選項錯誤，D、為中心對稱圖形，故本選項正確．故選D．【點評】本題主要考查對中心對稱圖形的定義的掌握，解題的關鍵是看那個圖形能夠找到對稱中心，是否符合中心對稱圖形的定義．7．（2024天津市南開區·一模）下列圖形中，既可以看作是軸對稱圖形，又可以看作是中心對稱圖形的為（）A． B． C． D．【考點】中心對稱圖形；軸對稱圖形．【專題】常規題型．【分析】根據軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．【解答】解：A、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故本選項正確；B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項錯誤；C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項錯誤；D、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項錯誤．故選A．【點評】本題考查了中心對稱及軸對稱的知識，判斷軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部沿對稱軸疊后可重合，判斷中心對稱圖形是要尋找對稱中心，圖形旋轉180度后與原圖重合．8。（2024天津市南開區·一模）將一副三角尺（在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，在Rt△EDF中，∠EDF=90°，∠E=45°）如圖擺放，點D為AB的中點，DE交AC于點P，DF經過點C，將△EDF繞點D順時針方向旋轉α（0°＜α＜60°），DE′交AC于點M，DF′交BC于點N，則的值為（）答案:C．【點評】本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．也考查了相似三角形的判定與性質．9.（2024天津五區縣·一模）下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）【考點】中心對稱圖形；軸對稱圖形．【分析】根據軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．【解答】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；B、不是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；C、既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形，符合題意；D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意．故選：C．【點評】本題考查了軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念．如果一個圖形繞某一點旋轉180°后能夠與自身重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，這個點叫做對稱中心．如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸．10、（2016蘇州二模）下列圖形是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D． 答案：B11、（2016齊河三模）在下列交通標志中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）答案：C12、（2016青島一模）下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【考點】中心對稱圖形；軸對稱圖形．【分析】根據軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．【解答】解：①是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形；②是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形；③是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形；④是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形．故選B．13、（2016泰安一模）下列圖形中，是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【考點】中心對稱圖形．【專題】數形結合．【分析】根據中心對稱圖形的定義來判斷：把一個圖形繞某一點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，這個點叫做對稱中心．【解答】解：A、將此圖形繞任一點旋轉180度都不能與原來的圖形重合，所以這個圖形不是中心對稱圖形；B、將此圖形繞某一點旋轉180度正好與原來的圖形重合，所以這個圖形是中心對稱圖形；C、將此圖形繞任一點旋轉180度都不能與原來的圖形重合，所以這個圖形不是中心對稱圖形；D、將此圖形繞任一點旋轉180度都不能與原來的圖形重合，所以這個圖形不是中心對稱圖形．故選B．14．（2024紹興市浣紗初中等六校·5月聯考模擬）下面給出的是一些產品的圖案，從幾何圖形的角度看，這些圖案既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（▲）ABCD[中^國教#*育%&出版網]答案：D15．(2024新疆烏魯木齊九十八中·一模)如圖，下列圖形中是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【考點】中心對稱圖形．【分析】根據中心對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解．【解答】解：A、不是中心對稱圖形，故本選項正確；B、不是中心對稱圖形，故本選項錯誤；C、不是中心對稱圖形，故本選項錯誤；D、是中心對稱圖形，故本選項錯誤．故選D．【點評】本題考查了中心對稱圖形的概念，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后兩部分重合．16．(2024云南省曲靖市羅平縣·二模)如圖所示，將△ABC繞點A按逆時針旋轉30°后，得到△ADC′，則∠ABD的度數是（）A．30° B．45° C．60° D．75°【考點】旋轉的性質．【專題】計算題．【分析】先根據旋轉的性質得AB=AD，∠BAD=30°，則利用等腰三角形的性質得到∠ABD=∠ADB，然后根據三角形內角和計算∠ABD的度數．【解答】解：∵△ABC繞點A按逆時針旋轉30°后，得到△ADC′，∴AB=AD，∠BAD=30°，∴∠ABD=∠ADB，∴∠ABD=（180°﹣30°）=75°．故選D．【點評】本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．解決本題的關鍵是得到△ABD為等腰三角形．17．(2024鄭州·二模)如圖，邊長為6的等邊三角形ABC中，E是對稱軸AD上的一個動點，連接EC，將線段EC繞點C逆時針旋轉60°得到FC，連接DF．則在點E運動過程中，DF的最小值是[w&^ww~.*zz@]A．6 B．3 C．2 D．1.5[中國*教育^#出&版網%]答案：D18.(2024上海閔行區·二模)下列圖形中，既是軸對稱又是中心對稱圖形的是（）A．正五邊形 B．等腰梯形 C．平行四邊形 D．圓【考點】中心對稱圖形；軸對稱圖形．【分析】根據軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．【解答】解：A、是軸對稱圖形．不是中心對稱圖形，因為找不到任何這樣的一點，旋轉180度后它的兩部分能夠重合；即不滿足中心對稱圖形的定義，故此選項錯誤；B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；C、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項錯誤；D、是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故此選項正確．故選：D．【點評】此題主要考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念：軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合；中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后兩部分重合．19．(2024陜西師大附中·模擬)如圖，OA⊥OB，等腰直角△CDE的腰CD在OB上，∠ECD=45°，將△CDE繞點C逆時針旋轉75°，點E的對應點N恰好落在OA上，則的值為（） A.B.C.D.【答案】C20.（2024廣東·一模）如圖，已知□ABCD中，AE⊥BC于定E,以點B為中心，取旋轉角等于∠ABC,把△BAE順時針旋轉，得到△BA/E/,連接DA/.若∠ADC=600,∠ADA/=500,則∠DA/E/的大小為（）A.1300B.1500C.1600D.1700答案：C21.（2024廣東深圳·一模）下列圖形中既是軸對稱，又是中心對稱的是（）A． B． C． D．【考點】中心對稱圖形；軸對稱圖形．【分析】根據軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．【解答】解：A、既不是軸對稱，也不是中心對稱，故本選項錯誤；B、是軸對稱，也是中心對稱，故本選項正確；C、不是軸對稱，不是中心對稱，故本選項錯誤；D、是軸對稱，不是中心對稱，故本選項錯誤．故選B．【點評】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念：軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合；中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后與原圖重合。22．（2024廣東河源·一模）①②①②A．向下移動1格B．向上移動1格C．向上移動2格D．向下移動2格答案：D二．填空題1．（2024天津南開區·二模）如圖，已知Rt△ABC，AC=5，BC=12，∠ACB=900，將△ABC繞點B順時針旋轉，得到△A/BC/，連接CC/，與AB交于點D．則△ACD與△BC/D的周長和等于

.考點：圖形的旋轉答案：42試題解析：∵將△ABC繞點B順時針旋轉,∴∠CBC/BC=BC/∴△BC/C是等邊三角形，∴C/C=C/B=CB=12.∵Rt△ABC，AC=5，BC=12，∠AC