量子力學課后習題詳解

第一章量子理論基礎

1.1由黑體輻射公式導出維恩位移定律：能量密度極大值所對

應的波長心與溫度T成反比，即

4T=b（常量）；

并近似計算b的數值，準確到二位有效數字。

解根據普朗克的黑體輻射公式

(1)

ekT-1

以及Av-c)

(2)

pvdv=-pvdk，(3)

有

這里的0的物理意義是黑體內波長介于人與人+d人之間的

輻射能量密度。

本題關注的是入取何值時，⑶取得極大值，因此，就得

要求0對人的一階導數為零，由此可求得相應的人的值，

記作（。但要注意的是，還需要驗證外對人的二階導數在乙

處的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的4.就是

要求的，具體如下：

如果令x二篇,則上述方程為

5(1—1)=》

這是一個超越方程。首先，易知此方程有解：X=0,但經過

驗證，此解是平庸的；另外的一個解可以通過逐步近似法或

者數值計算法獲得：x=4.97,經過驗證，此解正是所要求的,

這樣則有

中弋

xk

把X以及三個物理常量代入到上式便知

4/=2.9x10-3

這便是維恩位移定律。據此，我們知識物體溫度升高的話，

輻射的能量分布的峰值向較短波長方面移動，這樣便會根據

熱物體（如遙遠星體）的發光顏色來判定溫度的高低。

1.2在OK附近，鈉的價電子能量約為3eV,求其德布羅意

波長。

解根據德布羅意波粒二象性的關系，可知

E=hv,

如果所考慮的粒子是非相對論性的電子（E動<<"2）,那么

E上

如果我們考察的是相對性的光子，那么

E=pc

注意到本題所考慮的鈉的價電子的動能僅為3eV,遠遠小于

電子的質量與光速平方的乘積，即OSIxUeV,因此利用非相

對論性的電子的能量——動量關系式，這樣，便有

一

P

h

一7W

he

1.24x10-6

=-j一.m

V2X0.51X106X3

=0.71x10-9機

=0.71rlm

在這里，利用了

he=1.24x10^eV-m

以及

“2=0.51xl06eV

最后，對

._he

作一點討論，從上式可以看出，當粒子的質量越大時，這個

粒子的波長就越短，因而這個粒子的波動性較弱，而粒子性

較強；同樣的，當粒子的動能越大時，這個粒子的波長就越

短，因而這個粒子的波動性較弱，而粒子性較強，由于宏觀

世界的物體質量普遍很大，因而波動性極弱，顯現出來的都

是粒子性，這種波粒二象性，從某種子意義來說，只有在微

觀世界才能顯現。

1.3氫原子的動能是￡b（k為玻耳茲曼常數），求T=1K

2

時，氮原子的德布羅意波長。

解根據

\kK=lQ-3eV,

知本題的氫原子的動能為

33

E=-kT=-kK=1.5xW-3eV,

22

顯然遠遠小于〃核‘2這樣，便有

2-he

核。之一

1.24x10-6

=/"2

V2x3.7xl09xl.5xl0*3

=0.37x10-機

=0.37m?i

這里，利用了

〃核=4x931xl06eV=3.7xl09eV

最后，再對德布羅意波長與溫度的關系作一點討論，由

某種粒子構成的溫度為T的體系，其中粒子的平均動能的數

量級為kT,這樣，其相慶的德布羅意波長就為

幾_he_he

^2/JC2Ey)2/jkc2T

據此可知，當體系的溫度越低，相應的德布羅意波長就越K,

這時這種粒子的波動性就越明顯，特別是當波長長到比粒子

間的平均距離還長時，粒子間的相干性就尤為明顯，因此這

時就能用經典的描述粒子統計分布的玻耳茲曼分布，而必須

用量子的描述粒子的統計分布一一玻色分布或費米公布。

1.4利用玻爾一一索末菲的量子化條件，求：

(1)一維諧振子的能量；

(2)在均勻磁場中作圓周運動的電子軌道的可能半徑。

已知外磁場H=10T,玻爾磁子%=9X1O-24J.TT,試計算

運能的量子化間隔△￡,并與T=4K及T=100K的熱運動能量

相比較。

解玻爾——索末菲的量子化條件為

qpdq-nh

其中q是微觀粒子的一個廣義坐標，p是與之相對應的廣義

動量，回路積分是沿運動軌道積一圈，n是正整數。

(1)設一維諧振子的勁度常數為k,諧振子質量為

于是有

2.

E=^-+-kx2

2〃2

這樣，便有

p=±^2^(E-^kx2)

這里的正負號分別表示諧振子沿著正方向運動和沿著負方

向運動，一正一負正好表示一個來回，運動了一圈。此外，

根據

E^-kx2

2

可解出住

這表示諧振子的正負方向的最大位移。這樣，根據玻爾

索末菲的量子化條件，有

-^kx2)dx+[(-)^2^(￡~^kx2)dx=nh

=[-gkx2)dx+[，2〃(E—gkx2)dx=n力

[C\2//(E--kx2)dx=-h

=>去V22

為了積分上述方程的左邊，作以下變量代換;

―陛sin，

這樣,便有

TC_____________________”sin6n,

1、2〃ECGS2Od—h

kJ2

n________

￡yj2/.iEcos0--cos6d0=-h

k2

=>2

n

B2￡-^cos26dd=-h

2k2

這時,令上式左邊的積分為A,此外再構造一個積分

B二^2￡.psin2Odd

'?*k

這樣,便有

7C

A+8=2E出d?=2E兀

￡U

2(1)

7t

A-B=E2E.痔cos26k/e

2

=cos2/(29)

EA-cos(pd(p.

這里夕=29,這樣，就有

A-B=1-舟sin0=U(2)

根據式（1）和（2）,甌

7￡

A=ETC.

這樣，便有

〃儲

其中

2%

最后，對此解作一點討論。首先，注意到諧振子的能量

被量子化了；其次，這量子化的能量是等間隔分布的。

(2)當電子在均勻磁場中作圓周運動時，有

N/=quB

p-/AV=qBR

這時，玻爾——索末菲的量子化條件就為

qBRd(RB)=nh

qBR2-2乃=nh

又因為動能耐E=*，所以，有

?(qBR)2q2B2R2

E=---------=-----------

2〃2〃

其中，Ms=◎是玻爾磁子，這樣，發現量子化的能量也是等

間隔的，而且

△E=BMnR

具體到本題，有

△E=10X9X10&J=9x10-23J

根據動能與溫度的關系式

E^-kT

2

以及

M-K=10"=i6x10-22j

可知，當溫度T=4K時，

E=1.5x4x1.6x10-22/=96x10-22j

當溫度T=100K時，

￡=1.5xl00xl.6xl0-22J=2.4X10-20J

顯然，兩種情況下的熱運動所對應的能量要大于前面的量子

化的能量的間隔。

1.5兩個光子在一定條件下可以轉化為正負電子對，如果

兩光子的能量相等，問要實現實種轉化，光子的波長最大是

多少？

解關于兩個光子轉化為正負電子對的動力學過程，如

兩個光子以怎樣的概率轉化為正負電子對的問題，嚴格來

說，需要用到相對性量子場論的知識去計算，修正當涉及到

這個過程的運動學方面，如能量守恒，動量守恒等，我們不

需要用那么高深的知識去計算，具休到本題，兩個光子能量

相等，因此當對心碰撞時，轉化為正風電子對反需的能量最

小，因而所對應的波長也就最長，而且，有

2

E=hv=piec

此外，還有

lhe

E=pc=7

A,

于是，有

he2

A

2.=-heF

1.24x10"

=-----------Tin

0.51X106

=2.4x10小〃？

=2.4xl0~3nm

盡管這是光子轉化為電子的最大波長，但從數值上看，

也是相當小的，我們知道，電子是自然界中最輕的有質量的

粒子，如果是光子轉化為像正反質子對之類的更大質量的粒

子，那么所對應的光子的最大波長將會更小，這從某種意義

上告訴我們，當涉及到粒子的衰變，產生，轉化等問題，一

般所需的能量是很大的。能量越大，粒子間的轉化等現象就

越豐富，這樣，也許就能發現新粒子，這便是世界上在造越

來越高能的加速器的原因：期待發現新現象，新粒子，新物

理。

第二章波函數和薛定謂方程

2.1證明在定態中，幾率流與時間無關。

證：對于定態，可令

/(f,t)=〃⑺f(t)

_/Et

=t/(r)e卜

?a.

了=也(內仁-/*▽/)

2m

Itj—jEt-，Et-，Et-jEl

=——L^(r)e-V(〃(f)e/)*一〃*(f)e'「▽(^(r)e)J

2m

=畀[〃0)▽〃*(f)—〃*(『)▽〃(亍)]

2m

可見7與，無關。

2.2由下列定態波函數計算幾率流密度：

(1)入=-eikr(2)%」e-ikr

rr

從所得結果說明弘表示向外傳播的球面波，巴表示向內(即

向原點)傳播的球面波。

解：［和占只有八分量

1a

在球坐標中V=i^—+e--+e

°dr0r80中rsin。d(p

—?1fl**

(1)4=丁(〃丫-一〃I

2m

=-[-ikr—(-e-ikr)--e-ikr-(-eikr)]r

2mredrrrdrr0

ihA.1.,1、11I、、-

=-[-(—￡7kf——(z—+ik-)]r

2mrrrrrTr()

hk_hk_

r

=-mr7^=mr-

入與亍同向。表示向外傳播的球面波。

一i方**

⑵JfM-M

業[-e-ikr—(1eikr)--eikr—(-e*)用

2mrdrrrdrr

\+ik-)—(—f-ik

2mrrrrr

力k一力k一

/。=

可見，入與尸反向。表示向內（即向原點）傳播的球面波。

補充：設以x）=*,粒子的位置幾率分布如何？這個波函數

能否歸一化？

?/［夕*y/dx=［dx=oo

?二波函數不能按W（x）/dx=l方式歸一化。

其相對位置幾率分布函數為

0=|/=］表示粒子在空間各處出現的幾率相同。

2.3一粒子在一維勢場

oo,x<0

U(x)=<0,0<x<iz

oo,x>a

中運動，求粒子的能級和對應的波函數。

解：U(x)與t無關,是定態問題。其定態S—方程

方2?2

-----V叭x)+U(x)”(x)=E"(x)

2mdx-

在各區域的具體形式為

方2>2

x<0茄而巴(x)+U(x)%(x)==(x)①

II:0<x<a②

21nax~

方2i2

III:x>a茄而%(x)+U(x)%(x)=E%(x)

由于(1)、(3)方程中,由于U(x)=8,要等式成立，必須

弘(x)=0

〃2(x)=°

即粒子不能運動到勢阱以外的地方去。

d2i//(x)+2mE

方程(2)可變為2勿2(x)=0

dx2方2

令尸=坐，得

tr

^^+加)=。

dx~

其解為(x)=Asinfcx+Bcoskx④

根據波函數的標準條件確定系數A,B,由連續性條件，得

/2(0)=%(0)

〃2(。)=匕⑷⑥

=>6=0

⑥=>Asinka=0

???AH0

sinka=0

=>ka=nji(〃=1,2,3,???)

由歸一化條件

2I-2〃

得A4Isin——4xa1x=1I

J)a

m兀,a

由[sinx*sin—xax=-oe

aa2mn

…誓(―可見E是量子化的。

對應于E?的歸一化的定態波函數為

'2.〃)~Et

—sin——xe"n0<x<

匕(x,f)=<aa

0,x<a,x>a

#

2.4.證明(2.6-14)式中的歸一化常數是A，=3

1a

A，.n兀,、

Asin——(x+a),x<a

證a

0,|x|>a

(2.6-14)

由歸一化，得

1=j]Af2sin2+a)dx

Af2f—[l-cos-^(x+(7)]6k

J"2a

A'2_A2_

------Xcos——(x-^a)dx

2aa

-a

,,2A”anTU/、

=A~a---------sin--(X+Q)

2n7ta-a

=A,2a

???歸一化常數4=」#

yja

2.5求一維諧振子處在激發態時幾率最大的位置。

解：力熹；

2a2ax

a)}(x)=阮(%)「=4a?-xe~

2〃

_2a3

-x2e~a2x2

五

￥二筌2心2”，

令小0=0,得

dx

x=0x=±-x=±co

a

由q(x)的表達式可知，x=0,%=±8時，例(x)=0。顯然不是最

大幾率的位置。

而右昔)='[(2—6a2x2)-2a2武2》—2。2/)k一小：

=隼[(1-5a2,_2a。4)味.一

d'ay(x)04a'1

dxx=±+—i7V兀e

2

可見X=±[=±|A是所求幾率最大的位置。#

a\

2.6在一維勢場中運動的粒子，勢能對原點對稱:

U(-x)=U(x),證明粒子的定態波函數具有確定的宇稱。

證：在一維勢場中運動的粒子的定態S-方程為

方2d2

—T以x)+U(x)"(x)=Ei//1x)

2〃dx

①

將式中的X以(T)代換，得

-Uw(-x)+U(—x)w(—x)=Ew(—x)②

2//dx

利用U(-x)=U(x),得

力2d-

--—"(-X)+U(x)“(-x)=Ew(—x)

2judx

比較①、③式可知，以-x)和“(X)都是描寫在同一勢場作

用下的粒子狀態的波函數。由于它們描寫的是同一個狀態，

因此"(T)和以X)之間只能相差一個常數C。方程①、③可相互

進行空間反演(X-T)而得其對方，由①經XfT反演，可得

③，

=>=cy/(x)

④

由③再經TfX反演，可得①，反演步驟與上完全相同，即

是完全等價的。

=>y/(x)=ci//(-x)

⑤

④乘⑤，得

/(X)?(-X)=cV(x>(-x)

可見，C2=1

C=±1

當C=+1時，^(-x)="(x),=>以x)具有偶宇稱，

當C=-1時，M~x)=,(x),=>夕⑶具有奇宇稱，

當勢場滿足U(-x)=U(x)時，粒子的定態波函數具有確定的

宇稱。#

2.7一粒子在一維勢阱中

t/0>0,|x|>a

U(x)=<

0,|x|<a

運動，求束縛態(0<E<U。)的能級所滿足的方程。

解法一：粒子所滿足的S-方程為

方2d2

--^)+f/(xW)=￡^)

按勢能U(x)的形式分區域的具體形式為

T力2d2

1:1/2-(x)+UoHi(x)=E，|(x)-CD<x<a

2〃dx

①

h1d2

II:匕(x)=E%(x)

2〃dx2

-a<x<a②

力2^2

HI：一丁7T”3(X)+UO/3(X)=E73(X)6Z<X<00

2/Jdx

整理后，得

T,,2〃(U0-E)④

1:W\-------Ti------W\=0

n

II:.+2〃,Ew、=0

h2

in：明一哈斗3=0

_2〃(U°-E)

令k;-

則

I：叫-k：i//[=0⑦

II:.W；-2=。⑧

III:=0⑨

各方程的解為

%=Ae*，x+Bek|X

k=Csink2x+Dcosk2x

kx

憶=Ee+ix+Fe''

由波函數的有限性，有

〃[(一8)有限=>A=0

〃3(°°)有限=>￡>=()

因此

%=Bek'x

憶=Fe-k|X

由波函數的連續性，有

k(-a)=〃2(—a)，=Be-"=-Csink2a+Dcosk2a(10)

必(一a)=必(一a),=>1<再6一"=k2Ccosk2a+k2Dsink2a(11)

k,a

“2(a)=^3(a),=>Csink2a+Dcosk2a=Fe~(12)

k,a

必(a)=k2Ccosk2a-k2Dsink2a=-kjFe-(13)

整理（10）、（11）、（12）、（13）式，并合并成方程組，得

k,a

e~B+sink2aC-cosk2aD+0=0

kje^^B-k2cosk2aC-k2sink2aD+0=0

k,a

0+sink2aC+cosk2aD-e-F=0

k,a

0+k2cosk2aC-k2sink2aD+k,e-F=0

解此方程即可得出B、C、D、F,進而得出波函數的具

體形式，要方程組有非零解，必須

e-k|a

sink2a-cosk2a0

k,e-k'a-kcoska-ksinka0

2222=0

e-k,a

0sink2acosk2a

k,Be-k,a

0k2cosk2a-k2sink2a

-k2cosk2a~k2sink2a0

ka-ka—

0=e-'sink2acosk2a-e'

ka

k2cosk2a-k2sink2akte-'

sink2a-cosk2a0

-k,a

_（e知sink2acosk2a-e

k2cosk2a-k2sink2a

k,ak,a2

=e~[-k1k2e-cosk^a+kjefsink2acosk2a+

-k,a2-113

+k1k2esink2a+k^e"sink2acosk2a]-

k,a2

一k】e"[Ke艱sink2acosk2a+k2ecosk2a+

k,a2

+1<2一小sink2acosk2a-k2e-sink2a]

=e2k叫一2k]k2cos2k2a+k；sin2k?a-kJsin2k2a]

2k,a

=e-[（k2-k；）sin2k2a-2kjk2cos2k2a]

產.工o

（k；-）sin2k2a-2k}k2cos2k2a=0

即麻-⑹次25_2塊2=0為所求束縛態能級所滿足的方程。

#

解法二：接（13）式

kk

-Csink2a+Dcosk2a=—Ccosk2a+—Dsink2a

K%

kk

Csinka+Dcoska=——-Ccoska+-Dsinka

22K2%2

—coska+sinka—sinka-caska

]22k1]22

=0

kk

—2cosAra+sinka-(—2sinA：a-cos/a)

A】22h2

-(—cosJt,a+sinJt,a)(—sinJl2a-cosk2a)

*%

kk

-(—2coska+sinka)(—2sinka-coska)=0

*22k[22

k,k

(—cosfctz+sinA:a)(—sinfc^-cosfca)=0

*22%2

k?kk

~^sinkacoska+—sin2ka-----cos2ka-sinAcosA2a=0

k122k12k'J2

&22k

(—14—y)sin2k2。---cos2k—0

*%

(k；-fcf)sin2k2a-2kxk2cos2k2a=0

#

解法三:

11

(11)-(13)=>2k2Dsink2a=k^'(B+F)

-k,a

(10)+(12)z=>2Dcosk2a=e(B+F)

(11)-(13)1,

-------------nk9tgk9a=k(a)

(10)+(12)------22

(11)+(13)=>2kzecosA2a=一3(F-B)e~Uc,a

(12)-(10)n2Csink2a=(F—B)eTW

色3nkctgka=-k

(12)-(10)，，

令=k2a,77=k2a,貝

Jtgj=〃(c)

或JctgJ=-77(d)

產+〃2=（1+月）=警￡

(f)

n

合并(a)、(b):

__lkxk2利用-M

*

解法四：(最簡方法-平移坐標軸法)

Ttj2

1：_『W\+UoW[=Eyf[(xW0)

2"

TT力,

n：-產?(0<x<2?)

IH：一富步；+Uo〃3=E獷3

(x>2Q)

2H

心〃3)

%=0

方2

度

=4出2匕一n

〃。一￡)

20匕

K-力2=0

V7]-k；%=0(1)k；=2〃(Uo-E)/力2

*+kM=0(2)k；=2〃E"2束縛態0VEVU°

嫉—kM=o(3)

%=Ae+k,x+Be~k,x

Wi=Csin^2x+DCOSA^2X

+k,xk,x

^3=Ee+Fe~

%(-00)有限=>5=0

〃3(oo)有限=>E=0

因此

由波函數的連續性,有

%(0)=〃2(0)，nA=D(4)

歸(0)=必(0),nk1A=k2C(5)

2k,a

必(2a)=〃；(2a),=>k2Ccos2k2a-k2Dsin2k2a=-k^e(6)

2k,a

(2a)=〃3(2a),=>Csin2k2a+Deos2k2a=Fe_(7)

⑺代入⑹

k、k

Csin2k2a+Dcos2k2a=——-Ccos2k2a+—￡)sin2k2a

k1%

利用(4)、(5),得

kk

-Asin2k?a+Acos2k9a=-Acos2k?a+—Dsin2k9a

k2k.

kk

A[(--------)sin2ka4-2cos2ka]=0

k2ki22

??,Aw0

kk

/.(—?------)sin2k2a+2cos2k2a=0

k?k1

兩邊乘上(-顯1<2)即得

(k；-k；)sin2k2a-2k]k2cos2k2a=0

#

2.8分子間的范德瓦耳斯力所產生的勢能可以近似表示為

oo,x<0,

UQ<x<a

U(x)=<°9

-[/),a<x<b,

0,b<x,

求束縛態的能級所滿足的方程。

解：勢能曲線如圖示，分成四個區域求解。

定態S-方程為

+U(x)y/{x)=E甲(x)

2〃dx2

對各區域的具體形式為

力2

I:一「巴"+U(x)%=Ey/\(x<0)

2〃

h2〃

II:——“2+〃o”2=EW?(0<x<?)

2〃

力2,〃?

III:一3一U|夕3=E〃3(a<x<b)

2〃

方2

IV:+0=(b<x)

2〃

對于區域I,U(x)=8,粒子不可能到達此區域，故

%(x)=o

①

而.“2=0

稻

2〃W+E)

r3十人=0②

方2

川+,心=。

對于束縛態來說，有-U<E<0

22〃(U°—E)

??_kfi//2~01④

方2

,22屋5+E)

+女;獷3=03⑤

方2

+后沙4=。k：=—2〃￡/力2⑥

各方程的解分別為

夕2=Aek'x+Be~k'x

=CsinA:x+

憶2Dcosk2x

夕4=Ee+kiX+Fe-kiX

由波函數的有限性，得

九(8)有限,nE=0

??-4=Fe-"

由波函數及其一階導數的連續，得

%(0)=匕(0)n8=—A

.2A(e""k,x)=Csincos

(。)=%3)=-e~k2a+Dk2a

⑦

(a)=(a)=A%(*"+cossin

必《e)=Ck2k2a-Dk2k2a⑧

%3)=〃43)=>sincosk3b

Ck2b+Dk2h=Fe~

⑨

6)=>sincoskib

必(〃)=〃；(Ck2k2b-Dk2k2b=-Fk3e~

⑩

巾⑦(8).彳早kH+e%=Ceos七a-Deos七a(口)

kakia

k2e'-e~CsinA^a+OcosA2a

2

由⑨、⑩得(k2cosk2b)C一(々sink2b)D=(-k3sink2b)C-(k3cosk2b)D

(12)

cosk2b+sink2b)C=(-—cosk2b+sink2b)D=0

士3

令”第箸A則①式變為

11

e—eK2

(夕sinA2a-cosk2a)C+(夕cosA2a+sink2a)D=0

聯立(12)、(13)得，要此方程組有非零解，必須

(—cos42〃+sinA2〃)(——-sink2b+cosk2b)

兒343=0

(gsinA2a-cosk2a)cosA:2A+sinA;2a)

即(J3cosA2a+sink2a)(—cosk2b+sink2b)一(夕sin42a—cos七。)?

k3

k

?(一,sin@+c°s3)=0

k3

k、k、

/3—cosk2bcosk2a+—sink2bsink2a+/3sink2bcosk2a+

"無3

k,k、

+sink2bsink2a+P-sink2bsink2a----sink2bcask2a)-

-J3cosk2bsink2a+cosk2bcosk2a=0

sink2(b-a)(j3———)+cos-?)((/7—+1)=0

kig

tgk2(b-a)=(l+^-j3)I/一0

把￡代入即得

…kek'a+e-k'\Lkkk'a+e'k'\

2—7-----)/(#2--x7-e------7—)

tgk22(b-a)=(l+—kakaka0

k3e'-e-'/gk2e'-e^

此即為所要求的束縛態能級所滿足的方程。

#

附：從方程⑩之后也可以直接用行列式求解。見附頁。

kaka

(e'-e-')-sink2a-cosk2a0

(ek'a+e~k'a)k-kcoskaks\nka0

22222=0

0sinA2〃cosA2〃-e*。

0k2cosfc2^-k2sink2bge"招

一A2cos七。々2sin々2〃0

kakitt

0=(e*,"-e-')sink2bcosAr26-e~

kia

k2cos/k2b-k2sink2bk3e~

一sinA2a-cosA:2a0

_左】（小+產")=ka

sink2bcos々2》一e-'

k3

k2cosk2b-k2sink2bk3e~0

=（*。_e如kya

)(—k2k3e~cosA2。cosA2〃一sinA2a

kyakya

cosk25-k2kye~sinA2asink2b-k\e~cosfc2asin右))

klbkbkibkyb

-kl(e+e~')(.k2k3e^sink2acosk2b-k2e~cosfc2a

cos々28+k3e2cosk2asink2b+k2e-的"sink2asink2b})

=(*照—e知)[-k2k3cosk2(b-a)+kjsink2(b-a)]e…

一(e"一?如)伏/3sin-2(--。)+欠止2cosMS-a)-—"#

=/慳[一(陽+k3)k2cosk2(b-a)+(k；-k出3)sink2(b-a)]e-2

kiak3h

e-[{k}-k3)k2cosk2(b-a)+(k^kxk3)sink2(b-a)]e

=0

[-(A]+3)42+(左；-4*3)tg%2(》-a)NA"

kyb

-[(k{-k3)k2,Ar3)tgk2(b-a)]e~=0

2kia2k

[(A；-k{k3)e-(k；+k[k3)]tgk2(b-a)-(k{+k3)k2e^

-(k}-k3)k2=0

此即為所求方程。#

補充練習題一

1、設以x）=AJ5**（a為常數），求A=?

解：由歸一化條件，有

l=A2「e5x2d(x)=A2，「e-aMd(ax)

=A2—Te-ydy=A