-2024學年青島超銀高級中學高一數學（下）4月考試卷2024.4考試時長：120分鐘滿分：150分注意事項：1．答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、準考證號、考試科目填寫在規定的位置上．2．第Ⅰ卷每小題選出答案后，請將對應題目的答案寫在答題紙相應位置上．第Ⅰ卷（共60分）一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1．若，，則等于（）A．B．C． D．2．在中，，，若點滿足，以作為基底，則等于（）A．B．C． D．3．已知向量，滿足，則向量的夾角為（

）A． B． C． D．4．已知，則等于（）A．－ B．± C．－1 D．15．將曲線C1：上的點向右平移個單位長度，再將各點橫坐標縮短為原來的，縱坐標不變，得到曲線C2，則C2的方程為（

）A． B．C． D．6．已知，且，則（

）A． B． C． D．7．已知點是的重心，過點的直線與邊分別交于兩點，為邊的中點．若，則（

）A． B． C．2 D．8．若O是所在平面內的一點，且滿足，則的形狀為（）A．等邊三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9．下列化簡正確的是（

）A．B．C．D．10．已知向量，，，則下列結論正確的是（

）A． B．C． D．11．已知函數（其中，，）的部分圖像，則下列結論正確的是（

）A．函數的圖像關于直線對稱B．函數的圖像關于點對稱C．將函數圖像上所有的點向右平移個單位，得到函數，則為奇函數D．函數在區間上單調遞增12．已知是邊長為2的等邊三角形，，分別是、上的兩點，且，，與交于點，則下列說法正確的是（）（

）A． B．C． D．在方向上的投影為第Ⅱ卷（共90分）三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中橫線上）13．直線l上有不同的三點A，B，C，O是直線l外一點，對于向量(是銳角)總成立，則．14．已知向量，則在方向上的投影向量是．15．已知平面直角坐標系中，向量，，若與的夾角為銳角.則實數的取值范圍為．16．如圖，在四邊形中，，，且，則實數的值為，若是線段上的動點，且，則的最小值為．四、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．已知向量和，則,,求：(1)的值；(2)的值；(3)與的夾角θ的余弦值．18．如圖，在中，，E是AD的中點，設，.(1)試用，表示，；(2)若，與的夾角為，求.19．已知是鈍角，是銳角，，.(1)求的值；(2)求的值.20．試分別解答下列兩個小題：(1)設，是不共線的兩個向量，試確定實數，使得和共線；(2)已知是坐標原點，，，，在上是否存在點，使得？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．21．已知函數，，，.(1)求函數的最小正周期和單調遞增區間；(2)若，，求的值.22．如圖所示，摩天輪的半徑為，最高點距離地面高度為，摩天輪的圓周上均勻地安裝著個座艙，并且運行時按逆時針勻速旋轉，轉一周大約需要.甲，乙兩游客分別坐在，兩個座艙里，且他們之間間隔個座艙(本題中將座艙視為圓周上的點).

（1）求劣弧的弧長(單位：)；（2）設游客丙從最低點處進艙，開始轉動后距離地面的高度為，求在轉動一周的過程中，關于時間的函數解析式；（3）若游客在距離地面至少的高度能夠獲得最佳視覺效果，請問摩天輪轉動一周能有多長時間使甲，乙兩位游客都有最佳視覺效果.1．D【分析】根據直接求解.【詳解】因為，，所以.故選:D.2．A【分析】結合圖形，將和分別用和，和表示，代入方程即可求解.【詳解】如圖，因，則，即，解得：.故選：A.3．B【分析】由平面向量運算律根據模長可得，再由數量積定義可得夾角為.【詳解】根據題意由可得，又，可得，設向量的夾角為，所以，可得，即.故選：B4．D【分析】根據兩角差的余弦公式以及輔助角公式即可求解.【詳解】，故選：D5．A【分析】根據三角函數的變換規則計算可得.【詳解】解：將向右平移個單位長度得到，再將各點橫坐標縮短為原來的，縱坐標不變得到；故選：A6．D【分析】使用二倍角公式得到關于一元二次方程，求解，再根據同角三角函數的基本關系求出，最后根據二倍角正弦公式計算可得；【詳解】由得，即，解得或（舍）.又，所以，所以.故選：D.7．A【分析】由三角形重心的性質，結合向量的線性運算得到，再由三點共線，即可求解.【詳解】如圖所示，由三角形重心的性質，可得，所以，所以，即，因為三點共線，可得，所以.故選：A．

8．D【分析】根據平面向量的線性運算可以得出，進而得到，由此可判斷出的形狀.【詳解】∵，，∴，兩邊平方，化簡得∴.∴為直角三角形.因為不一定等于，所以不一定為等腰直角三角形.故選：D.9．AC【分析】A選項，由正切的和角公式化簡得到答案；B選項，由余弦二倍角公式求出答案；C選項，由正切二倍角公式進行求解；D選項，通分后，利用輔助角公式，倍角公式和誘導公式求出答案.【詳解】A選項，，即，化簡得：，A正確；B選項，，B錯誤；C選項，，C正確；D選項，，D錯誤.故選：AC10．AC【分析】對于A：利用向量共線的條件可以判斷；對于B：直接求出，即可判斷；對于C：計算出，即可判斷；對于D：直接計算出即可判斷.【詳解】對于A：因為，，所以，所以.故A正確；對于B：因為，，所以，所以.故B錯誤；對于C：因為，，所以，所以，所以.故C正確；對于D：因為，，所以，因為，所以.故D錯誤.故選：AC.11．ACD【解析】根據函數圖象求得解析式，再根據三角函數圖象性質及伸縮平移變換分別判斷各個選項.【詳解】由圖象得函數最小值為，故，，故，，故函數，又函數過點，故，解得，又，即，故，對稱軸：，解得，當時，，故A選項正確；對稱中心：，解得，對稱中心為，故B選項錯誤；函數圖像上所有的點向右平移個單位，得到函數，為奇函數，故C選項正確；的單調遞增區間：，解得，又，故D選項正確；故選：ACD.12．BCD【分析】以E為原點建立平面直角坐標系，根據條件寫出所有點的坐標求解即可.【詳解】由題意可知：E為中點，則，以E為原點，分別為x軸，y軸正方向建立平面直角坐標系，如圖所示：

所以，設，，所以，解得，即O是中點，，所以B正確；，所以C正確；因為，所以，所以A錯誤；易知，則在方向上的投影為，所以D正確.故選：BCD13．【分析】利用共線向量基本定理可求出，由平面向量基本定理可建立的等量關系，求解即可求出的取值.【詳解】因為直線l上有不同的三點A，B，C,所以存在實數，使得，所以，即，所以，所以，因為是銳角，所以．故答案為：14．【分析】在方向上的投影向量是:，先求出，代入即可.【詳解】因為,則在方向上的投影向量是:故答案為：.15．且【分析】根據題意得，且與不同向共線，再利用平面向量數量積的坐標公式以及向量共線列式即可得解.【詳解】因為，，所以，因為與的夾角為銳角，所以，且與不同向共線，由，得，則；由與共線，得，則，此時與同向共線，故；綜上，且.故答案為：且16．【分析】可得，利用平面向量數量積的定義求得的值，然后以點為坐標原點，所在直線為軸建立平面直角坐標系，設點，則點（其中），得出關于的函數表達式，利用二次函數的基本性質求得的最小值.【詳解】，，，，解得，以點為坐標原點，所在直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標系，,∵，∴的坐標為,∵又∵,則，設，則（其中），，，，所以，當時，取得最小值.故答案為：；.【點睛】本題考查平面向量數量積的計算，考查平面向量數量積的定義與坐標運算，考查計算能力，屬于中等題.17．(1)；(2)；(3)．【分析】（1）（2）根據平面向量的數量積的定義即可求解；（3）根據平面向量的夾角公式即可求解．【詳解】（1）∵,,.∴；（2）∵,∴

；（3）∵,∴18．(1)，(2)【分析】（1）利用向量加法減法的三角形法則及數乘運算即可求解；（2）根據（1）的結論，利用向量的數量積運算法則即可求解.【詳解】（1）因為，所以，所以.因為E是AD的中點，所以.（2）因為，與的夾角為，所以，由（1）知，，，所以.19．(1)；(2).【分析】（1）根據誘導公式可得，再由二倍角的余弦公式即可求解；（2）根據同角三角函數的基本關系分別求出，，由及兩角差的正弦公式即可求解.【詳解】（1）.（2）因為是鈍角，是銳角，，所以，，，所以，.所以,20．(1)；(2)存在或滿足題意，理由見解析.【分析】（1）利用向量共線定理即得；（2）設，，然后利用向量共線的坐標表示及向量垂直的坐標表示可得，即得.【詳解】（1）由于和共線，設，，由于，是不共線的兩個向量，所以，解之得．（2）設，，則，從而，，，∵，∴，從而，即，解之得：或，所以存在或滿足題意．21．(1)，（開閉均可）(2)【分析】(1)利用二倍角以及輔助角公式基本公式將函數化為的形式,結合三角函數的圖象和性質,求出周期及單調區間；（2）利用，再由角的變換,誘導公式及二倍角的余弦公式求值即可.【詳解】（1），所以周期，令，解得，所以函數的單調遞增區間為.（開閉均可）（2），，即，.22．（1）；（2），其中；（3）.【分析】（1）根據弧長的計算公式可求的長度.（2）建立如圖所示的平面直角坐標系，利用三角函數的定義可求關于時間的函數解析式.（3）利用（2）中所得的解析式并令，求出不等式的解后可得甲，乙兩位游客都有最佳視覺效果的時間長度.【詳解】（1）因為摩天輪的圓周上均勻地安裝著個座艙，故每個座艙與中心連線所成的扇形的圓心角為，故.（2）建立如圖所示