2021年高考理數真題試卷（全國甲卷）

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的。（共12題；共60分）

1.設集合乂={x|0<x<4},N={x||<x<5},則MnN=（）

A.{x|0<x<1}B.{x||<x<4}C.{x|4<x<5}D.{x|0<x<5}

【答案】B

【考點】交集及其運算

【解析】【解答】解：MCN即求集合M,N的公共元素，所以McN={x|gx<4},

故答案為：B

【分析】根據交集的定義求解即可.

2.為了解某地農村經濟情況，對該地農戶家庭年收入進行抽樣調查，將農戶家庭年收入的調查數據整理得

到如下頻率分布直方圖：

根據此頻率分布直方圖，下面結論中不正確的是（）

A.該地農戶家庭年收入低于4.5萬元的農戶比率估計為6%

B.該地農戶家庭年收入不低于10.5萬元的農戶比率估計為10%

C.估計該地農戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元

D.估計該地有一半以上的農戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間

【答案】C

【考點】頻率分布直方圖

【解析】【解答】解：對于A,由頻率分布直方圖得該地農戶家庭年收入低于4.5萬元的農戶比率估計為

0.02+0.04=6%,故A正確；

對于B,由頻率分布直方圖得該地農戶家庭年收入不低于10.5萬元的農戶比率估計為0.02x3+0.04=10%,

故B正確；

對于D,由頻率分布直方圖得該地農戶家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間比率估計為

0.10+0.14+0.20x2=0,64>0.5,故D正確

故不正確的是c

故答案為：C

【分析】根據頻率分布直方圖直接求解即可.

2

3.已知(1-i)z=3+2i，則z=()

3333

A.-1--iB.-1+-iC.--+iD.---i

2222

【答案】B

【考點】復數代數形式的混合運算

■〃刀▼vAA-,b-n3+213+2i(3+2i)i—2+3i4.3.

【解析】【解答】解：2=碇===』=丁=-1+/

故答案為：B

【分析】根據復數的運算法則直接求解即可.

4.青少年視力是社會普遍關注的問題，視力情況可借助視力表測量，通常用五分記錄法和小數記錄法記錄

視力數據，五分記錄法的數據L和小數記數法的數據V滿足L=5+lgV。己知某同學視力的五分記錄法的數

據為4.9,則其視力的小數記數法的數據約為()(=1.259)

A.1.5B,1.2C.0.8D.0.6

【答案】C

【考點】指數式與對數式的互化，對數的運算性質

【解析】【解答】解：由題意得，將L=4.9代入l=5+lgV,得|gV=0.1=一表，

所以v=io10=:-y°，8

*7101.259

故答案為：C

【分析】根據對數的運算法則，結合對數式與指數式的互化求解即可.

5.已知Fl,F2是雙曲線C的兩個焦點，P為C上一點，且NF1PF2=6O。，|PF1|=3|PF2|,則C的離心率為

()

A.—B.—C.y/7D.V13

22

【答案】A

【考點】雙曲線的定義，雙曲線的簡單性質

【解析】【解答】解:由得

|PFI|=3|PF2|,|PFi|-|PF2|=2a|PFi|=3a,|PF2|=a

222

在中，Ef3|FiF2|=|PF1|+|PF2|-2|PF1||PF2|cosZFiPF2

#(2c)2=(3a)2+a2-2x3axaxcos60°

解得c=—a

2

所以e=￡=亞

a2

故答案為：A

【分析】根據雙曲線的定義，結合余弦定理以及離心率公式直接求解即可.

6.在一個正方體中，過頂點A的三條棱的中點分別為E,F,G.該正方體截去三棱徘A-EFG后，所得多面體的三

視圖中，正試圖如右圖所示，則相應的側視圖是（）

【答案】D

【考點】簡單空間圖形的三視圖，由三視圖還原實物圖

【解析】【解答】解：由題意得正方體如圖所示，

則側視圖是

故答案為：D

【分析】根據三視圖的畫法求解即可.

7.等比數列｛a，的公比為q,前n項和為S0,設甲：q>0,乙：｛Sj是遞增數列，則（）

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

【答案】B

【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷

【解析】【解答】解：當ai=-l,q=2時，｛SJ是遞減數列，所以甲不是乙的充分條件；

當脩｝是遞增數列時,即則所以甲是乙的必要條件；

an+i=Sn+i-Sn>0,aiq">0,q>0,

所以甲是乙的必要條件但不是充分條件.

故答案為：B

【分析】根據充要條件的判定，結合等比數列的性質求解即可.

8.2020年12月8日，中國和尼泊爾聯合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單位：m），三角高程測量法

是珠峰高程測量方法之一.右圖是三角高程測量法的一個示意圖，現有以A,B,C三點，且A,B,C在同一

水平而上的投影A，8，C滿足C'B=45。，/4'B'C'=60。.由c點測得B點的仰角為15。，曲，

BB'與CC'的差為100：由B點測得A點的仰角為45。,則A,C兩點到水平面4'B'C'的高度差A4’-

CC,約為（）<V3?1,732；

A.346B.373C.446D.473

【答案】B

【考點】正弦定理，正弦定理的應用

【解析】【解答】解：如圖，過C作BB，的垂線交BB，于點M,過B作AA，的垂線交AA，于點N,

在△ABC'中，由正弦定理得武;=得

在△BCM中，由正弦定理得點=片，

則/=晟，解得”=瑞“273,

得A,C兩點到水平面A'BC的高度差AA'-CC'=273+100=373.

故答案為：B

【分析】根據正弦定理求解即可.

9.若aef0,^),tan2a=^^,則tana=()

【答案】A

【考點】二倍角的正弦公式，二倍角的余弦公式，同角三角函數間的基本關系，同角三角函數基本關系的

運用

【解析】【解答】解：由題意得tan2a=^=§『=『,

cos2a1—zsina2—sma

則2sina（2—sina）=1—2sin2a,解得sina=],

又因為&Er0,?）,所以cosa=—sin2a=百

/4

n；IM.sina715

9r以tana=——=——

cosa15

故答案為：A

【分析】根據二倍角公式，結合同角三角函數基本關系求解即可.

10.將4個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為（）

1224

C

A---1

3B.53D.5

【答案】C

【考點】古典概型及其概率計算公式，排列、組合的實際應用，排列、組合及簡單計數問題

【解析】【解答】解：將4個1和2個0隨機排成一行共有4種排法，

先將4個1全排列，再用插空法將2個0插入進行排列，共有d種排法，

則所求概率為P=：=g

故答案為：C

【分析】根據古典概型，結合插空法求解即可.

11.已知A,B,C是半徑為1的求。的球面上的三個點，且ACJ_BC,AC=BC=1,則三棱錐O-ABC的體積為（）

A.立B.且C.立D.包

121244

【答案】A

【考點】球面距離及相關計算，棱柱、棱錐、棱臺的體積

【解析】【解答】解：記^ABC的外接圓圓心為01,由ACJ_BC,AC=BC=1知01為AB的中點，且AB=

V2,0C=f,

又球的半徑為1,所以0A=0B=0C=l,所以0A2+OB2=AB2,001=y，

則OOi2+OiC2=OC2

則OOilOiC,OOilAB,

所以00」平面ABC,

所以4TBC=g448c，。。1=5TT，￥=噂

故答案為：A

【分析】根據直角三角形的幾何性質，結合三棱錐的外接球的性質，運用三棱錐的體積公式直接求解即

可.

12.設函數f(x)的定義域為R,f(x+l)為奇函數,f(x+2)為偶函數，當xe[1,2]時，f(x)=ad+b.若f(0)+

f⑶=6,則瑕)=()

9375

B-2CqD.-

【答案】D

【考點】函數奇偶性的性質，函數的值

【解析】【解答】解：因為f(x+l)是奇函數,所以f⑴=0,即a+b=0,則b=-a,

又f(0)=f(-l+l)=f(-l+2)==f(l)=0,

由f(0)+f(3)=6得a=-2,

所以雇)=/(2+習=/(2一|)=/(一分=/(一)1)=一北+1)=一/6+2)

=-/(-1+2)=-/(1)

故答案為：D

【分析】根據函數的奇偶性，利用函數的性質求解即可.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。(共4題；共20分)

13.曲線y=筮在點I，一3)處的切線方程為------。

【答案】5x-y+2=0

【考點】導數的幾何意義，直線的點斜式方程

【解析】【解答】解：由題意得八號鏟=舟，所以在點(-1，-3)處的切線斜率k=5,故

切線方程為y+3=5(x+l),即5x-y+2=0

故答案為：5x-y+2=0

【分析】根據導數的幾何意義，結合直線的點斜式方程求解即可.

14.已知向量a=(3,l),b=(l,0),c=a+kb,若a_Lc,則k=。

【答案】一日

【考點】平面向量的坐標運算，數量積判斷兩個平面向量的垂直關系

J

【解析】【解答】解：；=；+o=(3,1)+fc(1,o)=(3+M)

由第1二=3,(3+k)+l=0，解得仁智

故答案為：一弓

【分析】根據向量的坐標運算，結合向量垂直的判斷條件求解即可.

15.已知Fi，F2為橢圓C：直+e=1的兩個焦點，P,Q為C上關于坐標原點堆成的兩點，且

164

|PQI=|F1F2|，則四邊形PFQF2的面積為。

【答案】8

【考點】橢圓的定義，三角形中的幾何計算

【解析】【解答】解：由|PQI=|FF2|,得|OP|=?FIF2|,所以PFIJ_PF2,

所以SPF1QF2=2s4PF/2=2XNXtan-^=8

故答案為：8

【分析】根據橢圓的定義及直角三角形的性質，結合三角形的面積公式求解即可

16.已知函數f(x)=2cos(3x+力)的部分圖像如圖所示，則滿足條件rf(x)-f(-^))(/(x)-

/(￡))>0的最小正整數x為o

【答案】2

【考點】一元二次不等式的解法，余弦函數的圖象

【解析】【解答】解：由衛=業一三=注得T=n,3=2

41234

將點&°)代入f(淄=2cos(2x+0),得2cos(2+w)=0

則'

所以

所以/(%)=2cos(2x-嵩)

(f(x)-f(-y))(/(%)-/(y))>0等價于(f(x)-1)(/(%)+V3)>0

則f(x)<-遮或/(x)>1

由圖象得最小整數》€(三,學,

所以x=2

故答案為：2

【分析】根據余弦函數的圖象與性質求解即可.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題,

每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據要求作答。(共5題；共60分)

17.甲、乙兩臺機床生產同種產品,產品按質量分為一級品和二級品，為了比較兩臺機床產品的質量，分別

用兩臺機床各生產了200件產品，產品的質量情況統計如下表：

一級品二級品合計

甲機床15050200

乙機床12080200

合計270130400

(1)甲機床、乙機床生產的產品中一級品的頻率分別是多少？

(2)能否有99%的把握認為甲機床的產品質量與乙機床的產品質量有差異?

付.1^2_n(ad-bc)2

(a+b)6c+d)fa+c?<b+d)

P(K，Nk)0.0500.0100.001

K3.8416.635。10,828

【答案】(1)(1)由題意可知：甲機床生產的產品中一級品的頻率是：黑=,

2004

乙機床生產的產品中一級品的頻率是：黑=1

400+(150X80-50'120)2

(2)由于K2=10.256>6,635

270X130X200X200

所以，有99%的把握認為甲機床的產品質量與乙機床的產品質量有差異。

【考點】頻率分布表，獨立性檢驗，獨立性檢驗的應用

【解析】【分析】(1)根據頻率=頻數/總體直接求解即可；

(2)根據獨立性檢驗的方法直接求解即可.

18.已知數列｛a。｝的各項均為正數，記Sn為｛a"的前n項和，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明

另外一個成立.

①數列｛a,是等差數列：②數列｛底｝是等差數列；③az=3ai

注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.

【答案】選①②作條件證明③：

2

設V5n=an+b(a>0),貝ijSn=(an+b),

當n=1時，a1=Si=(a+b)2；

22

當n22時，an=Sn-Sn_1=(an+b)—(an-a+b)=a(2an—a+2b)；

因為｛an｝也是等差數列，所以(a+b)2=a(2a—a+2b)，解得b=0；

所以%=a2(2n-l),所以<22=3%.

選①③作條件證明②：

因為。2=3%,｛冊｝是等差數列，

所以公差d=a2—%=2%,

所以Sn=n%+"。；Ad=n2al,即yfs^=y[a[n,

因為Vsn+1-瘋=炳5+1)-Vain=炳，

所以｛后｝是等差數列.

選②③作條件證明①：

2

設y/^n=an+b(a>0),貝USn=(an+b),

當n=1時，ai=Si=(a+b)2；

當n>2時，4=Sn—Sn_i=(an+b)2—(an—a+b)2=a(2an-a+2b)；

_

因為a2-3aj,所以a(3a+2b)=3(a+b)2,解得b=0或b=y;

22

當b=0時，ax=a,an=a(2n-1),當n>2時，髭-07H1=滿足等差數列的定義，此時｛a?｝

為等差數列；

當b——y時，=an+b=an-a,=-<0不合題意，舍去.

綜上可知｛%>｝為等差數列.

【考點】數列的概念及簡單表示法，等差數列的通項公式，等差數列的前n項和

【解析】【分析】選(1)(2)做條件時，證明③：根據等差數列的定義得出/S；=an+b(a>0)，且｛%>｝

也是等差數列，進一步遞推出③。2=3%;

若選①③作條件證明②：由。2=3%,顯然d=a2-%=2al再寫出前n項的和與ai,n的關系式

瘋=g?n,進而證明｛后｝是等差數列.；

選②③作條件證明①：先設JT=an+b(a>0),進一步形為S"=(an+b)2,再根據an與

sn的關系，分n為1,n>l,推導出%-%-1=2。2,顯然｛%>｝為等差數列。

19.己知直三棱柱ABC-A1BG.中,側面AAiBiB為正方形，AB=BC=2,E,F分別為AC和CJ的中點,D為

棱AiBi上的點,BF±AiBi.

(1)證明：BFXDE；

(2)當為BiD何值時，面BBiJC與面DFE所成的二面角的正弦值最小？

【答案】(1)因為三棱柱ABC-A^B^C^是直三棱柱，所以BB11底面ABC,所以BB11AB

因為A\B[〃AB,BF,所以BFLAB,

又BBCBF=B,所以AB1平面BCCXBX.

所以BA.BC.BBy兩兩垂直.

以B為坐標原點，分別以BA,BC,BBI所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系，如圖.

所以8(0,0,0)Q(2,0,0),C(0,2,0),Bi(O,0,2Ml(2,0,2)。式0,2,2),

E(l,l,0),F(0,2,l).

由題設￡>(a,0,2)(0<a<2).

因為BF=(0,2,1),DE=(1-a,l,-2),

所以FFD￡,=0X(l-a)+2Xl+1X(-2)=0,所以BF1DE.

(2)設平面DFE的法向量為m-(x,y,z),

因為EF=(-1,1,1),DE=(1-a,l,-2),

所以｛(m-EF=0即(-x+y+z=0

所以m.DE=0'即Ql-a)x+y-2Z=0-

令z=2—a,貝1］濟=(3,1+a,2—a)

因為平面BCC$i的法向量為瓦？=(2,0,0)，

設平面BCC1B1與平面DEF的二面角的平面角為9,

AI|加曲|

貝n,0.|.COS81=——zr-=--/6=/3.

I河川2xJ2a2_2a+14V2a2-2a+14

當a=g時，2a2-2a+4取最小值為日，

3_V6

此時cos。取最大值為第=可.

所以(Sin8)min=J1-(彳)2=*

此時當。=2.

【考點】直線與平面垂直的判定，用空間向量求平面間的夾角，二面角的平面角及求法

【解析】【分析】(1)根據條件，先證明BA.BC.BB,兩兩垂直，再建立如圖所示空間直角坐標系，定

義相關點的坐標，用空間向量證明BF1OE.

(2)先設O(a,0,2)設出平面平面DFE的法向量及平面BCC1B1的法向量，分別求出二法向量，再

由向量的夾角公式，得到夾角余弦值，當其值最大時正弦值最小，確定此時的a值即為BiD的值。

20.拋物線C的頂點為坐標原點0,焦點在x軸上，直線L：x=l交C于P,Q兩點，且OPJ_OQ.已知點M

(2,0)，且0M與L相切,

(1)求0M的方程；

(2)設AIA,A3,是C上的三個點，直線A1A2,A1A3均與OM相切，判斷A2A3與0M的位置關系，

并說明理由.

【答案】(1)依題意設拋物線。鏟=2px(p>O),P(l,yo),Q(l,-y()),

OP10Q,???OP-0Q=1-=1—2p=0,2p=1,

所以拋物線C的方程為y2=x,

M(0,2),OM與x=l相切，所以半徑為1,

所以0M的方程為(x-2)2+y2=1；

(2)設41(右'1)/2(如、2)/3(43/3)

若力斜率不存在，則方程為x=1或x=3,

若71^2方程為X=1,根據對稱性不妨設41(1,1),

則過為與圓M相切的另一條直線方程為y=l,

此時該直線與拋物線只有一個交點，即不存在&,不合題意；

若方程為x=3,根據對稱性不妨設人2(3,-6)，

AXA2

則過A與圓M相切的直線為小為y-V3=y(x-3),

Vk-力一一_]_]_3_n

k

乂A1A3-Xi_X3-yi+y3-^+y3-3,y3-u)

x=O4(o,o)，此時直線關于%軸對稱，

3AXA3,A2A3

所以直線A2A3與圓M相切；

若直線斜率均存在，

A.A2,AAA3,A2A3

則%的=島;，或遇3=島？％2方=土)

1

所以直線方程為y-y[=—,

A^2yi+yz

整理得％-(為+y2)y+yi72=o，

同理直線的方程為x-O14-y)y+7173=0，

AXA33

直線A2A3的方程為%-(%+y3)y+y2y3=o，

???4遇2與圓M相切，=1

14Ji+竽(yi詈+y21)z

整理得(尤-1必+2yly2+3-*=0,

4遇3與圓河相切，同理01-1)因+2yly3+3-y；=0

所以y-L,y-i為方程Oj-l)y2+2yly+3-yj=0的兩根，

._2yj_3-y：

丫2+y-i=~行，丫2,乃=而"，

M到直線A2A3的距離為：

3_yj

|2+^^|

J2+y2y3l_*_1

Jl+（，2+乃＞|2月

1為-1

=M+II=史=i

J（y：-l）2+4*yl+1，

所以直線A2A3與圓M相切；

綜上若直線4通2，&43與圓M相切，則直線A2A3與圓M相切.

【考點】平面向量的綜合題，圓的標準方程，點的極坐標和直角坐標的互化，圓的參數方程

2

【解析】【分析】(1)先設拋物線的方程C:y=2px(p>0),由對稱性，可知IP(l,yo),(2(l,-yo)，進

而由OPJ.OQ,可以很容易求出拋物線的P值，進而寫出拋物線的方程；

由于圓M的圓心已知，且與x=l相切，立刻知道半徑，故很容易求得M的方程；

(2)先設出&(XiyD/2(X2，y2)/3(X3，y3)三點的坐標，分公42斜率不存在及直線A1A2,A1A3,A2A3

斜率均存在討論，分別寫出相應的直線方程，根據相關直線與圓相切的條件，分別代入拋物線方程,

利用達定理，點到直線距離公式等知識，推導結論。

21.己知a>0且an,函數f(x)=[(x>0),

ax

(1)當a=2時，求f(x)的單調區間；

(2)若曲線y=f(x)與直線y=l有且僅有兩個交點，求a的取值范圍.

【答案】⑴當a=2時，/(尤)=%()=空2熹理=匕鏟父，

令/(X)=0得x=S,當0cx時，f'(X)>0,當%>專時，/(x)<0,

函數/(%)在(0,由上單調遞增；注,+叼上單調遞減:

(2)/(x)=^=1oa*=工。<=>x\na-alnx^~=~，設函數9。)=產,

則9'0)=與等，令g'Q)=0，得x=e,

在(0,e)內g'(x)>0,g(x)單調遞增；

在(e,+8)上g(X)<0,g(x)單調遞減；

???g(x)m=。⑻=十，

又g(l)=0,當X趨近于+8時，g(x)趨近于0,

所以曲線y=f(x)與直線y=l有且僅有兩個交點，即曲線y=g(x)與直線y=*有兩個交點的充

分必要條件是0<整<十，這即是0<g(a)<g(e),

所以a的取值范圍是(l,e)u(e,+8).

【考點】函數的單調性與導數的關系，導數在最大值、最小值問題中的應用

【解析】【分析】（1）當a=2時，函數f（x）=|J,用導數研究其單調性；

（2）首先將問題轉化為方程?=（有兩個解的問題，進一步轉化為函數g（x）=?與函數力（乃=野

有兩聽問題，然后利用導數研究相關函數的單調性及函數的最大值，進而得到結果。

四、選修4一4：坐標系與參數方程］（共1題；共10分）

22.在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為p

=2V2cos0.

（1）將C的極坐標方程化為直角坐標方程；

（2）設點A的直角坐