學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精配餐作業（十二)函數模型及其應用(時間:40分鐘)一、選擇題1．某電視新產品投放市場后第一個月銷售100臺，第二個月銷售200臺，第三個月銷售400臺,第四個月銷售790臺,則下列函數模型中能較好地反映銷量y與投放市場的月數x之間關系的是（）A．y＝100x B．y＝50x2－50x＋100C．y＝50×2x D．y＝100log2x＋100解析根據函數模型的增長差異和題目中的數據可知，應為指數型函數模型，代入數據驗證即可得，故選C.答案C2．某家具的標價為132元,若降價以九折出售（即優惠10％），仍可獲利10％(相對進貨價)，則該家具的進貨價是(）A．118元 B．105元C．106元 D．108元解析設進貨價為a元，由題意知132×(1－10％）－a＝10%·a，解得a＝108。故選D。答案D3．物價上漲是當前的主要話題，特別是菜價，我國某部門為盡快實現穩定菜價，提出四種綠色運輸方案。據預測,這四種方案均能在規定的時間T內完成預測的運輸任務Q0，各種方案的運輸總量Q與時間t的函數關系如圖所示,在這四種方案中，運輸效率(單位時間的運輸量）逐步提高的是()解析選項B中，Q的值隨t的變化越來越快。故選B。答案B4．(2017·北京模擬)某地區的綠化面積每年平均比上一年增長18％,經過x年，綠化面積與原綠化面積之比為y，則y＝f（x）的圖象大致為(）解析設某地區起始年的綠化面積為a，因為該地區的綠化面積每年平均比上一年增長18%,所以經過x年，綠化面積g(x）＝a（1＋18％）x,因為綠化面積與原綠化面積之比為y,則y＝f(x）＝eq\f(gx,a）＝（1＋18％）x＝1.18x，因為y＝1.18x為底數大于1的指數函數,故可排除C，當x＝0時，y＝1，可排除A，B，故選D。答案D5．某校為了規范教職工績效考核制度,現準備擬定一函數用于根據當月評價分數x（正常情況下0≤x≤100,且教職工平均月評價分數在50分左右，若有突出貢獻可以高于100分)計算當月績效工資y（元）。要求績效工資不低于500元，不設上限，且讓大部分教職工績效工資在600元左右，另外績效工資越低或越高時，人數要越少。則下列函數最符合要求的是（)A．y＝（x－50）2＋500B．y＝＋500C．y＝eq\f(1，1000）(x－50）3＋625D．y＝50［10＋lg（2x＋1）］解析由題意知,擬定函數應用滿足:①是單調遞增函數,且增長速度先快后慢再快；②在x＝50左右增長速度較慢，最小值為500。A中，函數y＝(x－50）2＋500先減后增,不符合要求；B中，函數y＝＋500是指數型函數,增長速度是越來越快的,不符合要求；D中,函數y＝50[10＋lg(2x＋1)］是對數型函數，增長速度是越來越慢的，不符合要求；而C中,函數y＝eq\f（1,1000）(x－50）3＋625是由函數y＝x3經過平移和伸縮變換得到的，符合要求。故選C。答案C二、填空題6．擬定甲、乙兩地通話m分鐘的電話費(單位：元)由f（m)＝1。06(0。5［m]＋1)給出，其中m>0，[m]是不超過m的最大整數（如［3］＝3,[3.7］＝3,［3.1］＝3)，則甲、乙兩地通話6.5分鐘的電話費為________元.解析∵m＝6.5，∴［m]＝6，則f（m）＝1.06×(0。5×6＋1）＝4。24.答案4。247．(2016·唐山模擬)某人計劃購買一輛A型轎車，售價為14.4萬元，購買后轎車一年的保險費、汽油費、年檢費、停車費等約需2。4萬元，同時汽車年折舊率約為10％(即這輛車每年減少它的價值的10%),試問，大約使用________年后，花費在該車上的費用(含折舊費）達到14。4萬元？解析設使用x年后花費在該車上的費用達到14.4萬元，依題意可得，14。4（1－0。9x)＋2。4x＝14.4。化簡得：x－6×0。9x＝0,令f(x)＝x－6×0.9x。因為f（3)＝－1。374〈0,f（4）＝0。0634〉0,所以函數f（x)在(3，4）上應有一個零點。故大約使用4年后，花費在該車上的費用達到14.4萬元。答案48．（2017·湖南五市聯考）有一支隊伍長L米,以一定的速度勻速前進.排尾的傳令兵因傳達命令趕赴排頭，到達排頭后立即返回,且往返速度不變。如果傳令兵回到排尾后，整個隊伍正好前進了L米，則傳令兵所走的路程為________。解析設傳令兵的速度為v′，隊伍行進速度為v，則傳令兵從排尾到排頭的時間為eq\f(L,v′－v)，從排頭到排尾的時間為eq\f(L,v′＋v），往返共用時間為t＝eq\f（L，v′－v)＋eq\f(L，v′＋v)，則傳令兵往返路程S＝v′t。由于傳令兵回到排尾后,整個隊伍正好前進了L米，則L＝vt。故t（v′2－v2)＝2v′L，可得t2（v′2－v2)＝2v′tL，即（v′t）2－2L（v′t)－L2＝0，解得v′t＝（1＋eq\r（2))L，故傳令兵所走的路程為(1＋eq\r(2))L。答案(1＋eq\r（2)）L三、解答題9.如圖所示，已知邊長為8米的正方形鋼板有一個角被銹蝕,其中AE＝4米，CD＝6米。為了合理利用這塊鋼板，在五邊形ABCDE內截取一個矩形BNPM，使點P在邊DE上.(1）設MP＝x米,PN＝y米，將y表示成x的函數，求該函數的解析式及定義域；（2)求矩形BNPM面積的最大值。解析(1）作PQ⊥AF于Q，所以PQ＝8－y,EQ＝x－4,在△EDF中，eq\f(EQ，PQ）＝eq\f（EF，FD），所以eq\f(x－4，8－y）＝eq\f(4，2）,所以y＝－eq\f(1,2）x＋10，定義域為{x|4≤x≤8}。(2）設矩形BNPM的面積為S,則S(x)＝xy＝xeq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(10－\f(x，2)))＝－eq\f（1，2)(x－10）2＋50,所以S(x)是關于x的二次函數，且其開口向下，對稱軸為x＝10，所以當x∈［4，8］時,S（x)單調遞增，所以當x＝8時，矩形BNPM面積取得最大值48平方米。答案(1)y＝－eq\f(1,2）x＋10，定義域為｛x|4≤x≤8｝（2)48平方米10．（2016·撫順模擬）近年來,某企業每年消耗電費約24萬元，為了節能減排,決定安裝一個可使用15年的太陽能供電設備接入本企業電網,安裝這種供電設備的工本費(單位：萬元)與太陽能電池板的面積（單位：平方米)成正比，比例系數約為0。5.為了保證正常用電,安裝后采用太陽能和電能互補供電的模式。假設在此模式下，安裝后該企業每年消耗的電費C(單位：萬元)與安裝的這種太陽能電池板的面積x(單位：平方米）之間的函數關系是C(x）＝eq\f（k,20x＋100）（x≥0,k為常數)。記y為該企業安裝這種太陽能供電設備的費用與該企業15年共將消耗的電費之和。(1)試解釋C（0）的實際意義，并建立y關于x的函數關系式;（2）當x為多少平方米時，y取得最小值？最小值是多少萬元？解析(1)C（0）的實際意義是安裝這種太陽能電池板的面積為0時的用電費用,即未安裝太陽能供電設備時，該企業每年消耗的電費。由C（0）＝eq\f(k,100）＝24,得k＝2400,所以y＝15×eq\f(2400，20x＋100）＋0.5x＝eq\f(1800，x＋5）＋0。5x,x≥0.（2）因為y＝eq\f(1800,x＋5）＋0.5（x＋5)－2。5≥2eq\r(1800×0.5）－2。5＝57.5，當且僅當eq\f（1800,x＋5）＝0．5（x＋5)，即x＝55時取等號，所以當x為55平方米時，y取得最小值，為57.5萬元。答案（1）C（0)的意義見解析y＝eq\f(1800，x＋5）＋0.5x，x≥0(2）當x為55平方米時，y取得最小值，為57.5萬元(時間:20分鐘）1．（2017·秦皇島模擬）某地區要建造一條防洪堤，其橫斷面為等腰梯形,腰與底邊夾角為60°(如圖)，考慮防洪堤堅固性及石塊用料等因素，設計其橫斷面要求面積為9eq\r（3)平方米,且高度不低于eq\r(3)米。記防洪堤橫斷面的腰長為x米，外周長（梯形的上底線段BC與兩腰長的和）為y米。要使防洪堤橫斷面的外周長不超過10.5米，則其腰長x的范圍為(）A．［2,4］ B．[3，4］C．［2，5］ D．[3，5］解析根據題意知，9eq\r(3)＝eq\f（1，2）（AD＋BC）h，其中AD＝BC＋2·eq\f(x,2)＝BC＋x,h＝eq\f(\r（3），2)x，所以9eq\r（3）＝eq\f(1，2）(2BC＋x）eq\f（\r(3）,2)x，得BC＝eq\f（18,x）－eq\f(x，2），由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(h＝\f(\r（3),2）x≥\r（3),,BC＝\f（18,x）－\f（x，2)〉0，）)得2≤x<6。所以y＝BC＋2x＝eq\f（18,x）＋eq\f(3x，2）(2≤x〈6），由y＝eq\f（18,x)＋eq\f（3x,2）≤10。5，解得3≤x≤4。因為[3，4]?[2,6）,所以腰長x的范圍為[3,4]。故選B。答案B2．加工爆米花時，爆開且不糊的粒數占加工總粒數的百分比稱為“可食用率”。在特定條件下，可食用率p與加工時間t（單位：分鐘）滿足函數關系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常數），如圖記錄了三次實驗的數據。根據上述函數模型和實驗數據，可以得到最佳加工時間為()A．3.50分鐘 B．3.75分鐘C．4。00分鐘 D．4.25分鐘解析由實驗數據和函數模型知,二次函數p＝at2＋bt＋c的圖象過點（3，0。7），（4，0。8),（5，0.5），分別代入解析式，得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（0.7＝9a＋3b＋c，,0。8＝16a＋4b＋c,，0。5＝25a＋5b＋c,)）解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a＝－0.2，，b＝1.5,,c＝－2.））所以p＝－0。2t2＋1。5t－2＝－0.2(t－3。75)2＋0。8125，所以當t＝3。75分鐘時，可食用率p最大。故選B.答案B3．某地政府鑒于某種日常食品價格增長過快，欲將這種食品價格控制在適當范圍內，決定給這種食品生產廠家提供政府補貼，設這種食品的市場價格為x元/千克，政府補貼為t元/千克,根據市場調查，當16≤x≤24時，這種食品日供應量p萬千克、日需求量q萬千克近似地滿足關系：p＝2（x＋4t－14)(t>0），q＝24＋8lneq\f(20,x）。當p＝q時的市場價格稱為市場平衡價格.（1)將政府補貼表示為市場平衡價格的函數，并求出函數的值域；(2)為使市場平衡價格不高于20元/千克，政府補貼至少為多少元/千克?解析(1）由p＝q得2（x＋4t－14）＝24＋8lneq\f（20,x）(16≤x≤24,t〉0)，即t＝eq\f(13,2)－eq\f(1，4)x＋lneq\f（20，x）(16≤x≤24）。因為t′＝－eq\f（1，4)－eq\f（1,x)<0，所以t是x的減函數.所以tmin＝eq\f（13,2)－eq\f(1，4)×24＋lneq\f（20，24）＝eq\f(1，2)＋lneq\f(20，24）＝eq\f(1，2）＋lneq\f(5,6）;tmax＝eq\f（13，2）－eq\f（1,4）×16＋lneq\f（20,16）＝eq\f（5,2)＋lneq\f(5，4），所以值域為eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1（\f(1,2)＋ln\f（5，6),\f(5，2)＋ln\f（5，4))）。(2)由（1）知t＝eq\f(13，2)－eq\f(1,4)x＋lneq\f(20，x）(16≤x≤2