上海七年級下期末精選（壓軸60題16個考點專練）

一.平行線的性質（共3小題）

1.（2023春?閔行區期中）（1）如圖1,E是直線AB,內部一點，AB//CD,連接EA,ED.

①當/A=60。,/。=32°,則乙4皮＞=92

②猜想圖1中/AED，ZA,的關系并驗證;

（2）如圖2,AB//CD,已知NE+/G=a,ZB=p,求/F+/D的度數.（用含有a,0代數式表示）

（3）如圖3,射線也與平行四邊形ABC。的邊交于點E,與邊CD交于點R圖3中a,萬分別是

被射線EE隔開的2個區域（不含邊界），P是位于以上兩個區域內的一點，猜想/PEB,ZPFC,ZEPF

的關系.（不要求說明理由）

【分析】（1）如圖所示，過點E作E/〃A3,根據平行線的性質即可求解①，②；

（2）如圖所示，分別過點E,F,G作FN//AB,GH//AB,根據平行線的性質即可求解；

（3）由（1）,（2）的證明方法，分類討論即可求解.

【解答】解：（1）①60°+32°=92°,

AZAED=92°；

②猜想，ZA+ZD^ZAED,證明過程如下,

如圖所示，過點￡作所〃

圖1

'.'AB//CD,

：.AB//EF//CD,

：.ZA=Z1,ND=N2,

???NA+N0=Z1+N2=NAED,

：.ZA+ZD=ZAED；

(2)如圖所示，分別過點E,F,G作EM〃A8,FN//AB,GH//AB,

圖2

\*AB//CD,

：.AB//EM//FN//GH//CD,

???由(1)可知，ZB+ZNFE=ZBEF,/NFG+/D=/FGD,ZEFN+ZNFG=ZEFG,

：./B+/NFE+/NFG+/D=NBEF+/FDG,

VZE+ZG=a,N3=B，即NBEF+NDG/=a,

???NB+/EFG+/D=NBEF+/FGD,

:?/EFG+/D=NBEF+NFGD-ZB=a-p,

ZF+ZZ)=a-p；

(3)根據題意，

①如圖所示，當點尸在〃區域時，過點尸作尸。〃

圖3

???四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AB//CD,

C.AB//PQ//CD,

；?/PEB+/EPQ=180°,ZPFC+ZFPQ=180°,ZEPQ+ZFPQ=ZEPF,

：.ZPEB+ZEPQ+ZPFC+ZFPQ=ZPEB+ZEPF+ZPFC=360°,

；?NPEB+/PFC+/EPF=36b°；

②如圖所示，當點尸在匕區域時，過點尸作PH〃A8,

圖3

:四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AB//CD,

：.AB//PR//CD,

：.ZPEB=ZEPR,ZPFC=ZFPR,NEPR+/FPR=/EPF,

：./PEB+NPFC=ZEPF；

綜上所述，點尸在a區域時，ZPEB+ZPFC+ZEPF^360°；點尸在6區域時，ZPEB+ZPFC=ZEPF.

【點評】本題主要考查平行線的性質，理解并掌握平行線的性質是解題的關鍵.

2.（2018春?金山區期中）問題情境：如圖1,AB//CD,ZP4B=130°,ZPCD=120°.求NAPC度數.

小明的思路是：如圖2,過P作PE〃AB,通過平行線性質，可得/APC=110。.

問題遷移：如圖3,AD〃8C,點尸在射線0M上運動，ZADP=Za,ZBCP=Z^.

（1）當點尸在A、8兩點之間運動時，ZCPD,/a、N0之間有何數量關系？請說明理由.

（2）如果點P在A、B兩點外側運動時（點尸與點4、B、。三點不重合），請你直接寫出NCP。、Na、

之間的數量關系.

【分析】過尸作構造同旁內角，通過平行線性質，可得NAPC=50°+60°=110°.

（1）過P作尸E〃A。交CD于￡,推出AD〃PE〃BC,根據平行線的性質得出Na=/ZJPE,Zp=Z

CPE,即可得出答案；

（2）畫出圖形（分兩種情況：①點尸在氏4的延長線上，②點P在48的延長線上），根據平行線的性質

得出Na=/OPE,Zp=ZCPE,即可得出答案.

【解答】解：過尸作PE〃A2,

"."AB//CD,

J.PE//AB//CD,

ZAPE=180°-ZA=50°,ZCPE=180°-ZC=60°,

AZAPC=500+60°=110°,

故答案為：110。；

(1)ZCPZ)=Za+Zp,理由如下：

如圖3,過尸作P￡〃AO交CO于E,

U：AD//BC,

J.AD//PE//BC,

：.Za=ZDPE,/B=NCPE,

：.ZCPD=ZDPE+ZCPE=Za+Z^；

(2)當尸在BA延長線時，ZCPD=Z^-Za；

理由：如圖4,過P作PE〃AO交CO于E,

'：AD//BC,

J.AD//PE//BC,

:?/a=/DPE,NB=NCPE,

：.ZCPD=ZCPE-ZDPE=Z^-Na；

理由：如圖5,過尸作PE〃A。交CD于E,

'.'AD//BC,

J.AD//PE//BC,

：.Za=ZDPE,/B=/CPE,

：.ZCPD=ZDPE-ZCPE=Za-Zp.

【點評】本題考查了平行線的性質和判定的應用，主要考查學生的推理能力，解決問題的關鍵是作輔助

線構造內錯角以及同旁內角.

3.（2018春?奉賢區期中）已知：AB//DE.

（1）如圖1,點C是夾在AB和。E之間的一點，當ACLC。時，垂足為點C,你知道/A+/。是多少

嗎？這一題的解決方法有很多，

例如（力過點C作A8的平行線；

3)過點C作。E的平行線;

(山)連接AD；

(zv)延長AC、相交于一點.

請你選擇一種方法(可以不選上述四種)，并說明理由.

(2)如圖2,點Ci、C2是夾在和。E之間的兩點，請想一想：/A+NCI+2C2+/￡>=540度,

并說明理由.

(3)如圖3,隨著與CD之間點增加，那么NA+NC1+/C2+……+/C〃+i+/￡>=1805+2)度.(不

必說明理由)

【分析】(1)過點C作AB的平行線CT,利用平行線的性質，即可得到/A+/ACO+/O=180°X2=

360°,再根據AC_LCD,即可得出/A+NQ=360°-90°=270°；

(2)過Ci作CiF〃AB,過C2作C2G〃OE,則利用平行線的性質，即可得到/A+NC1+NC2+/。的度

數；

(2)利用規律即可得到/A+NC1+/C2+……+ZCn+i+ZD的度數.

【解答】解：(1)如圖1,過點C作AB的平行線CR

'：AB//DE,

J.CF//DE,

：.ZA+ZACF=180°,ZZ)CF+ZD=180°,

/.ZA+ZACD+ZZ>=180°X2=360°,

XVAC1CZ),

AZA+ZD=360°-90°=270°；

(2)如圖2,過Ci作Ci尸〃A3,過C2作C"G"DE,則

,JAB//DE,

：.C1F//AB//C1G//DE,

：.ZA+ZACiF=180°,NFC1C2+/C1C2G=180°,ZGC2D+Z0=180°,

ZA+ZACiC2+ZCiC2Z)+Zr>=180°X3=540°,

故答案為：540；

（3）如圖3,ZA+ZC1+ZC2++ZCn+i+ZZ)=180oX(n+2),

故答案為：180（力+2）.

【點評】本題主要考查了平行線的性質，解題時注意：兩直線平行，同旁內角互補.

--平行線的判定（共2小題）

4.（2018春?浦東新區期末）如圖，是一個由4條線段構成的“魚”形圖案，已知：Nl=50°,N2=50°,

Z3=130°.找出圖中所有的平行線，并說明理由.

【分析】根據平行線的判定方法即可解決問題；

【解答】解：:/1=50°,Z2=50°,

.\Z1=Z2,

J.BF//CE,

VZ2=50°,N3=130°,

.\Z2+Z3=180°,

J.BC//EF.

【點評】本題考查平行線的判定，解題的關鍵是熟練掌握平行線的判定方法，屬于中考常考題型.

5.（2018春?閔行區期末）如圖，已知NABE+/CEB=180°,Z1=Z2,請說明B/〃EG的理由.

（請寫出每一步的依據）

E

【分析】直接利用平行線的判定與性質得出/BEG,進而得出答案.

【解答】解：VZABE+ZC￡B=180°,

：.AB//CD（同旁內角互補，兩直線平行），

；./ABE=/BED（兩直線平行，內錯角相等），

VZ1=Z2,

AABE-N1=NBED-Z2（等式的基本性質）,

?.ZFBE=/BEG（等量代換）,

...86〃EG（內錯角相等，兩直線平行）.

【點評】此題主要考查了平行線的判定與性質，得出即是解題關鍵.

三.平行線的判定與性質（共2小題）

6.（2021春?思明區校級期中）已知AM〃CN,點8為平面內一點，于8.

（1）如圖1,直接寫出//和NC之間的數量關系NA+NC=90°

（2）如圖2,過點8作于點。，求證：ZABD=ZC；

（3）如圖3,在（2）間的條件下，點E、/在。M上，連接BE、BF、CF,8尸平分/OBC,BE平分/

ABD,若NFCB+/NCF：求NEBC的度數.

【分析】（1）根據平行線的性質以及直角三角形的性質進行證明即可;

（2）先過點2作根據同角的余角相等，得出NA8￡）=NCBG,再根據平行線的性質，得出/

C=/CBG,即可得到/A3Z）=NC；

（3）先過點8作根據角平分線的定義，得出再設ZABF=p,

tg?ZCBF+ZBFC+ZBCF=180°,可得（2a+0）+3a+（3a+0）=180°,根據AB_LBC,可得0+0+2a

=90°,最后解方程組即可得到/ABE=15°,進而得出NEBC=NABE+NABC=15°+90°=105°.

【解答】解：（1）如圖1,AM與8C的交點記作點O,

'JAM//CN,

；.NC=ZAOB,

VABXBC,

???NA+NAO8=90°,

AZA+ZC=90°,

故答案為：NA+NC=90°；

(2)如圖2,過點8作3G〃0M,

*：BD±AMf

：.DB±BG,BPZAB￡>+ZABG=90°,

XVABXBC,

：.ZCBG+ZABG=90°,

/ABD=NCBG,

*：AM//CN,BG//AM,

：.CN//BG,

：.ZC=ZCBG.

：.ZABD=ZC；

(3)如圖3,過點3作5G〃0M,

TB尸平分ND5C,5萬平分NA5O,

ZDBF=ZCBF,ZDBE=NABE,

由(2)可得NA8D=NC8G,

ZABF=ZGBF,

設NQBE=a,ZABF=p,貝U

ZABE=a,NABD=2a=NCBG,ZGBF=^=ZAFB,NBFC=3NDBE=3cc,

/.ZAFC=3a+P，

VZAFC+ZNCF=180°,ZFCB+ZNCF=180°,

???ZFCB=ZAFC=3a+P，

△8C/中，由NC3/+NBR7+N3b=180°,可得

(2a+p)+3a+(3a+0)=180°,①

由A5_LBC,可得

p+P+2a=90°,②

由①②聯立方程組，解得a=15°,

AZABE=15°,

AZEBC=ZABE+ZABC=150+90°=105°.

【點評】本題主要考查了平行線的性質的運用，解決問題的關鍵是作平行線構造內錯角，運用等角的余

角（補角）相等進行推導.余角和補角計算的應用，常常與等式的性質、等量代換相關聯.解題時注意

方程思想的運用.

7.（2021春?徐匯區校級期中）已知BC//GF,EF//DC,EF//AB,猜想/A與NC的關系如何？

并說明理由.

解：因為AE〃GRBC〃GF（已知）

所以8c（在同一平面內內，平行于同一直線的兩直線平行）：

所以//+/B=180°（兩直線平行，同旁內角互補）；

同理，NC+NB=180°；

所以（同角的補角相等）.

【分析】根據平行線的判定與性質、平行公理、補角的性質填空即可.

【解答】解：因為BC//GF（B^D）

所以AE〃2C（在同一平面內內，平行于同一直線的兩直線平行）；

所以/A+NE=180。（兩直線平行，同旁內角互補）；

同理，ZC+ZB=180°；

所以NA=/C.（同角的補角相等）；

故答案為：在同一平面內內，平行于同一直線的兩直線平行；B；兩直線平行，同旁內角互補；&ZA=

ZC；同角的補角相等.

【點評】此題考查了平行線的判定與性質，用到的知識點是平行線的判定與性質、平行公理、補角的性

質，關鍵是綜合運用有關性質進行證明.

四.三角形的面積（共1小題）

8.(2023春?松江區期中)如圖，已知△A3C的面積是60,請完成下列問題：

(1)如圖1,ZXABC中，若AO是5C邊上的中線，則△A3。的面積=△AC。的面積(填“〉”、

“V”或“=”)；

(2)如圖2,若C。、此分別是△ABC的A3、AC邊上的中線，求四邊形A0OE的面積可以用如下方

法：

連接AO,由AD=DB得SAADO=SABDO,

同理，可得S^CEO=SZVIEO.

設S^ADO=XJS/^AEO=yj貝！JS/\BDO=XJS/\CEO=y?

由題意得心48￡：=/近痂=30,SAADC=^S/\ABC=30.

可列方程組［2乂切=30,解得_(x=10_,

Ix+2y=30—ly=10-

通過解這個方程組可得四邊形ADOE的面積為20；

(3)如圖3,AD：￡)5=1：3,CE：AE=2：3,請直接寫出四邊形AOOE的面積2更.(不用書寫

—17―

過程)

【分析】(1)根據等底等高的兩個三角形面積相等知，三角形的中線把三角形的面積分為相等的兩部分,

所以S^ABD=S/\ACD；

(2)根據三角形的中線能把三角形的面積平分，等高三角形的面積的比等于底的比，即可得到結果；

(3)連接AO,由A￡＞：DB=1：3,得至!j5.。。=」5會。。，同理可得S4CEO=2S^A￡：O,設SAAOO=X,

33

S4CEO=y,貝1J&BQO=3X,由題意得列方程組即可得到結果.

【解答】解：(1)如圖1,過A作A”_L3C于“，

*：AD是△ABC的BC邊上的中線，

:?BD=CD,

**,SAABD=7BD，AH，SAACD*D?AH，

??S/\ABD=S/\ACD,

故答案為：=;

(2)解方程組得］x=l0,

1Y=IO

SAAOD=SABOD=10,

*,*S四邊形A/)OB=SaAOZ)+Sz\AOE=10+10=20,

故答案為：卜=1°,20；

ly=10

(3)如圖3,連接AO,

VAD：DB=1：3,

S/xADO~--S/^BDO)

3

,/CE：AE=2：3,

2

SACEO=—SAAEOJ

3

、3

設S^ADO=XfS叢CEO=y,貝USABDO=3X,Sz\AEO==y,

oi

由題思得：SAABE=—SAABC=40,S/\ADC=—S/^ABC=15>

54

3

4x-^-y=40

可列方程組為：

x+yy=15

V---1-5-5-

17

解得：

40

.3=915

S四邊形AZ)OE=Sz\ADO+Sz\AEO=x+―y---?

217

故答案為：—.

17

A

O

B

圖3

A

【點評】本題考查了三角形的中線能把三角形的面積平分，等高三角形的面積的比等于底的比，熟練掌

握這個結論是解題的關鍵.

五.坐標與圖形性質（共1小題）

9.（2017春?楊浦區校級期末）如圖，以直角三角形AOC的直角頂點。為原點，以OC、OA所在直線為x

軸和y軸建立平面直角坐標系，點A（0,a）,C（b,0）滿足“a-2b+|6-2|=0.

（1）則C點的坐標為（2,0）；A點的坐標為（0,4）.

（2）已知坐標軸上有兩動點P、。同時出發，P點從C點出發沿x軸負方向以1個單位長度每秒的速度

勻速移動，。點從。點出發以2個單位長度每秒的速度沿y軸正方向移動，點。到達A點整個運動隨之

結束.AC的中點。的坐標是（1,2）,設運動時間為秒.問：是否存在這樣的使

△ODQ?若存在，請求出f的值；若不存在，請說明理由

（3）點尸是線段AC上一點，滿足NR?C=/PC。，點G是第二象限中一點，連。G,使得NAOG=N

A。尺點E是線段。4上一動點，連CE交OF于點H,當點E在線段。4上運動的過程中,

Z0EC

【分析】（1）根據絕對值和算術平方根的非負性，求得。，6的值即可；

（2）先得出CP=f,OP—2-t,0Q—2t,AQ—4-It,再根據SAODP=SAODQ,列出關于Z■的方程，求得

f的值即可；

（3）過H點作AC的平行線，交無軸于P,先判定OG〃AC,再根據角的和差關系以及平行線的性質，

得出NP80=NG0P=/l+N2,/OHC=NOHP+/PHC=/GOF+/4=/I+/2+/4,最后代入

NOHC+/ACE進彳亍計算即可.

ZOEC

【解答】解：(1)vVa-2b+|^-2|=0,

.,.a-2b—0,b-2=0,

解得a=4,b=2,

：.A(0,4),C(2,0)；

(2)由條件可知：尸點從C點運動到。點時間為2秒，。點從。點運動到A點時間為2秒,

；.0<rW2時，點。在線段上，

即CP=t,OP=2-t,OQ=2t,AQ=4-2t,

OPy(2t)x2=2-t，SOQXDX2TX1=T，

?*,SADOp4''i>4'"ADOQ4'""2'

,:SAODP=S/\ODQ，

??2-t~~t,

:.t=1；

(3)/匕AC耳的值不變,其值為2.

Z0EC

VZ2+Z3=90°,

又?.,N1=N2,/3=/FCO,

：.ZGOC+ZACO=180°,

???OG//AC,

：.Z1=ZCAO,

：.NOEC=NCAO+N4=Z1+Z4,

如圖，過“點作AC的平行線，交工軸于P,則N4=NPHC,PH//OG,

：./PHO=NGOF=/

；?/OHC=/OHP+/PHC=/GOF+N4=/T+/2+/4,

.ZOHC+ZACEZ1+Z2+Z4+Z42(Z1+Z4)n

ZOECZ1+Z4Z1+Z4

【點評】本題主要考查了坐標與圖形性質，解決問題的關鍵值作輔助線構造平行線.解題時注意：任意

一個數的絕對值都是非負數，算術平方根具有非負性，非負數之和等于。時，各項都等于0.

六.三角形三邊關系（共1小題）

10.（2022春?徐匯區校級期末）周長為30,各邊互不相等且都是整數的三角形共有」2_個.

【分析】不妨設三角形三邊為。、b、c,且。由三角形三邊關系定理及題設條件可確定c的取值

范圍，以此作為解題的突破口.

【解答】解：設三角形三邊為a、b、c,且a<6<c.

*.*tz+/?+c=30,a+b>c

：.10<c<15

???c為整數

；.c為11,12,13,14

?①當c為14時，有5個三角形，分別是：14,13,3；14,12,4；14,11,5；14,10,6；14,9,

7；

②當c為13時，有4個三角形，分別是：13,12,5；13,11,6；13,10,7；13,9,8；

③當C為12時，有2個三角形，分別是：12,H,7；12,10,8；

④當c為11時，有1個三角形，分別是：11,10,9；

故答案為：12個.

【點評】此題主要考查學生對三角形三邊關系的理解及運用能力.

七.三角形內角和定理（共4小題）

11.（2017春?浦東新區期末）（1）己知：如圖1,尸是直角三角板ABC斜邊AB上的一個動點，CD、CE分

別是/AC尸和/BCP的平分線，試探究：當點尸在斜邊4B上移動時，NQCE的大小是否會發生變化，

請說明你的理由.

（2）把直角二角板的直角頂點C放在直尺的一邊上，點A和點8在直線的上方（如圖2）,此

時NACM與/BCN的數量關系是NACM+/8CN=90°；當把這把直角三角板繞頂點C旋轉到點A

在直線MN的下方，點B仍然在直線MN的上方時（如圖3）,NACM與/8CN的數量關系是/BCN

-NACM=90°；當把這把直角三角板繞頂點C旋轉到點A和點B都在直線MN的下方時（如圖4）,

ZACM與ZBCN的數量關系是NACM+/BCN=270°.

【分析】（1）根據角平分線定義得出/QCP=」NACP,NPCE=Z/BCP,那么，ZDCE=ZDCP+Z

22

PCE=-^ZACP+^ZBCP=-^ZACB=45°；

222

（2）當點A和點8在直線MN的上方時，根據平角的定義易得/ACM+N8CN=90；

當點A在直線MN的下方，點B仍然在直線MN的上方時，由/8CN=180°-ZBCM,ZACM=9Q°

-ZBCM,可得/BCN-/ACM=90°；

當點A和點8都在直線MN的下方時，由NBCN=180°-ZBCM,ZACM=90°+ZBCM,可得/ACM+

/BCN=27G.

【解答】解：（1）如圖1,/OCE的大小不會發生變化，理由如下：

?:CD、CE分別是/ACP和/BCP的平分線，

：.ZDCP=^-ZACP,/PCE=L/BCP,

22

ZDCE=ZDCP+ZPCE=-lzACP+-lzBCP=^ZACB=45°；

222

(2)當點A和點B在直線MN的上方時(如圖2),ZACM+ZBCN^ISO°-ZACB=180°-90°=

90°；

當點A在直線MN的下方，點B仍然在直線MN的上方時(如圖3),

'：ZBCN=1SO°-ZBCM,ZACM=90°-ZBCM,

：.ZBCN-ZACM=(180°-ZBCM)-(90°-NBCM)=90°；

當點A和點B都在直線MN的下方時(如圖4),

VZBC7V=18O°-ZBCM,ZACM=9Q°+ZBCM,

：.ZACM+ZBCN^(180°-/BCM)+(90°+ZBCM)=270°.

故答案為90°,ZBCN-ZACM=90°,NACM+/BCN=270°.

【點評】本題考查了角平分線定義，平角的定義，角的和差計算，準確識圖是解題的關鍵.

12.（2019春?金山區期中）已知：如圖，AABC

求證：ZA+ZB+ZC=180°.

證明：如圖，作BC的延長線CD,過點C作CE〃AB,

CE//AB,

???Zl=NB（兩條直線平行，同位角相等）

/2=/A（兩直線平行，內錯角相等），

VZl+Z2+ZACB=180°（平角的定義），

AZA+ZB+ZACB=180°（等量代換）.

BCD

【分析】作BC的延長線CD,過點C作CE〃氏1,根據平行線的性質得到=Z2=ZA,由平角

的定義得到/l+/2+/ACB=180°,等量代換即可得到結論.

【解答】解：?"￡〃"，（已知）

/.Z1=ZB,（兩條直線平行，同位角相等）.

/2=NA,（兩直線平行，內錯角相等）.

VZ1+Z2+ZACB=18O°,（平角的定義），

AZA+ZB+ZACB=180°,（等量代換）.

故答案為：己知；兩條直線平行，同位角相等；兩直線平行，內錯角相等；平角的定義；等量代換

【點評】本題考查的是平行線的性質，根據題意作出輔助線，構造出平行線是解答此題的關鍵.

13.（2019春?徐匯區校級期中）如圖，已知NA=NC,BE平分/ABD,DF平分NBDC.說明/1=/2的

理由.

解：因為NA=NC（已知），

所以（內錯角相等兩直線平行）.

所以（兩直線平行內錯角相等）.

因為BE平分NA8。（已知），

所以N1,NABD（角平分線的定義）.

同理

所以/1=/2（等量代換）.

【分析】根據平行線的判定和性質即可解決問題;

【解答】解：因為NA=/C（已知），

所以42〃。。（內錯角相等兩直線平行），

所以（兩直線平行內錯角相等），

因為8E平分（已知），

所以N1蔣/ABD（角平分線的定義），

同理N2-1NBD0

所以N1=N2（等量代換）.

故答案為內錯角相等兩直線平行，兩直線平行內錯角相等，角平分線的定義，等量代換；

【點評】本題考查三角形內角和定理，平行線的判定和性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，

屬于中考常考題型.

14.（2017春?普陀區期中）如圖1,ZAiBC,N4CM的角平分線助2、CA2相交于點A2,

（1）如果/4=68°,那么/A2的度數是多少，試說明理由；

（2）如圖2,如果/A2BC、NA2CM的角平分線BA3、相交于點人3,請直接寫出乙心的度數；

（3）如圖2,重復上述過程，ZAn-iBC.N4/CM的角平分線BA”、CA”相交于點4得到乙4”,設N

Ai=e,請用。表示（直接寫出答案）

解：（1）結論：442=34度.說理如下：因為胡2、CA2平分N4BC和N4CM（己知），

所以/48C=2/1,ZAiCM=2Z2（角平分線的定義）.

因為,N2=/l+/a（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個

內角的和）,

（完成以下說理過程）

44

【分析】（1）利用角平分線的定義和三角形的外角的性質即可求解;

（2）根據（1）的解法即可直接求解；

（3）利用（1）的結論求解.

【解答】解：⑴結論：/上=34度.

說理如下：因為8A2、CA2平分/A18C和/ACM（已知），

所以N4BC=2N1,ZAiCM=2Z2（角平分線的意義）.

因為N4CM=NALBC+NAI,N2=N1+/A2,（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和）,

所以/42=工/4,

2

因為NAi=68°,

所以乙42=34°,

故答案為：34；角平分線的定義；Ai；A2；

(2)ZA3=17°.

(3)ZAn―—―

2n-1

【點評】本題考查了角的平分線的定義以及三角形的外角的性質：三角形的一個外角等于與它不相鄰的

兩個內角的和，正確解決（1）,讀懂題意是關鍵.

八.三角形的外角性質（共3小題）

15.（2021春?徐匯區校級期末）將一副三角尺疊放在一起：

（1）如圖①，若Nl=4/2,請計算出NC4E的度數；

（2）如圖②，若/ACE=2/BCD,請求出NACD的度數.

【分析】（1）根據/氏4c=90°列出關于Nl、Z2的方程求解即可得到N2的度數，再根據同角的余角

相等求出/CAE=/2,從而得解；

（2）根據NACB和/DCE的度數列出等式求出/ACE-N8CD=30°,再結合已知條件求出/BCD,

然后根據。代入數據計算即可得解.

【解答】解：（1）,：ZBAC=90°,

；.N1+/2=9O°,

VZ1=4Z2,

.\4Z2+Z2=90°,

；./2=18°,

XVZDAE=90°，

.*.Z1+ZCAE=Z2+Z1=9O°,

：.ZCAE=Z2=IS°；

（2）VZACE+ZBCE^90°,

ZBCD+ZBCE^60°,

：.ZACE-ZBCD=30°,

又/ACE=2/BCD,

：.2/BCD-/BCD=3U°,

ZBCD=30°,

/.ZACD=ZACB+ZBCD^9Q°+30°=120°.

【點評】本題考查了三角形的外角性質，三角形的內角和定理，準確識圖理清圖中各角度之間的關系是

解題的關鍵.

16.（2018春?浦東新區期末）閱讀、填空并將說理過程補充完整：如圖，已知點。、E分別在△ABC的邊

AB、AC上，且延長DE與BC的延長線交于點F,ZBAC和NBFD的角平分線交于點

G.那么AG與尸G的位置關系如何？為什么？

解：AGLFG.將AG、OF的交點記為點P,延長AG交BC于點Q.

因為AG、BG分別平分4BAC和即（已知）

所以/BAG=NC4G,/PFG=NQFG（角平分線定義）

又因為/用。=/C4G+/4￡￡>,/FOG=/BAG+/B

（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和）

ZAED=ZB（已知）

所以/尸尸。=/FOG（等式性質）

（請完成以下說理過程）

【分析】根據角平分線的定義得到/54G=NC4G,NPFG=/QFG,根據三角形的外角的性質得到/

EPQ=/PQG得至ijFP=F。，根據等腰三角形的三線合一證明.

【解答】解：AGLFG.將AG、。尸的交點記為點P,延長AG交8C于點Q.

因為AG、PG分別平分/8AC和/8陽（已知）

所以/54G=/CAG,NPFG=/QFG（角平分線定義）

又因為N"Q=NC4G+NAE。，NPQG=NBAG+NB（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的

和）

ZAED=ZB（已知）

所以NFPQ=NFQG（等式性質）

所以廠?=f。（等角對等邊）

又因為/PFG=/QFG

所以AGLBG（等腰三角形三線合一）.

故答案為：/CAG；ZPFG=ZQFG；ZCAG；ZFQG；ZBAG；ZFQG.

【點評】本題考查的是等腰三角形的性質、三角形的外角的性質，掌握等腰三角形的三線合一是解題的

關鍵.

17.（2018春?普陀區期中）如圖，已知△ABC中，NBAC=70°,ZB=30°,點尸是AB上一點，且NBCF

=25°,點。在邊C4的延長線上，AE平分NBA。，說明CP〃AE的理由.

解:因為點。在邊CA的延長線上（已知），

所以/BAC+/3AD=180°（鄰補角定義）.

因為/8AC=70°（已知），

所以/54。=180°-ZBAC=110°（等式性質）.

因為AE平分（已知），

所以/胡2=工/54。=55°（角平分線定義）.

2

因為/AFC=NB+/BCF=55°（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和）,

所以/AFC=NEAB（等量代換）.

所以CF//AE（內錯角相等，兩直線平行）.

D

E

BC

【分析】求出NBA。和/EAB的度數，求出/AFC的度數，推出/AFC=/EA8,根據平行線的判定得

出即可.

【解答】解：：點。在邊CA的延長線上（已知），

：.ZBAC+ZBAD=18Q（鄰補角定義），

VZBAC=70°（已知），

/.ZBAD=180°-ZBAC=110°（等式性質）.

YAE平分乙BA。（已知），

ZEAB=ZEAB=1-ZBAD=55°（角平分線定義），

2

VZAFC=ZB+ZBCF=55°（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和），

；./AFC=/EAB（等量代換），

.??CF〃AE（內錯角相等，兩直線平行），

故答案為：鄰補角定義，角平分線定義，/B,ZBCF,三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的

和，ZAFC,NEAB,內錯角相等，兩直線平行.

【點評】本題考查了平行線的性質和判定，能求出是解此題的關鍵.

九.全等三角形的判定（共2小題）

18.（2022春?徐匯區校級期末）已知△ABC中，4B=8CWAC,作與△ABC只有一條公共邊，且與△ABC

全等的三角形，這樣的三角形一共能作出7個.

【分析】只要滿足三邊對應相等就能保證作出的三角形與原三角形全等，以腰為公共邊時有6個，以底

為公共邊時有一個，答案可得.

【解答】解：以為公共邊有三個，以CB為公共邊有三個，以AC為公共邊有一個，

所以一共能作出7個.

故答案為：7.

【點評】本題考查了全等三角形的作法；做三角形時要根據全等的判斷方法的要求，正確對每種情況進

行討論是解決本題的關鍵.

19.（2019春?浦東新區期末）公園里有一條“Z"字形道路ABC。，如圖所示，其中A8〃C￡）,在AB,CD,

8C三段路旁各有一只小石凳E,F,M,且M是8C的中點，試說明三只石凳E,F,M恰好

在一條直線上.（提示：可通過證明NEM尸=180°）

【分析】先根據SAS判定△BEN名從而得出通過角之間的轉換可得到E,M,

尸在一條直線上.

【解答】證明：連接ME,MF.

.?.乙B=/C（兩線平行內錯角相等）.

BE=CF（已知）

在和△CEW中，＜NB=NC（已證）

,BM=CM仲點定義）

；.ABEMmACFM（SAS）.

:./BME=NCMF,

：.ZEMF=ZBME+ZBMF=ZCMF+ZBMF=ZBMC=180°,

：.E,M,尸在一條直線上.

【點評】此題主要考查了學生對全等三角形的判定的掌握情況，注意共線的證明方法.

一十.全等三角形的判定與性質（共26小題）

20.（2021秋?奉賢區校級期末）已知，點尸是直角三角形ABC斜邊上一動點（不與A,8重合），分別

過A,8向直線CP作垂線，垂足分別為E,F,。為斜邊A8的中點.

（1）如圖1,當點尸與點Q重合時，AE與BF的位置關系是,QE與QF的數量關系式

OE=OF；

（2）如圖2,當點尸在線段A8上不與點。重合時，試判斷與。P的數量關系，并給予證明；

（3）如圖3,當點尸在線段（或AB）的延長線上時，此時（2）中的結論是否成立？請畫出圖形并給

予證明.

【分析】（1）證義ZVIEQ即可；

（2）延長BQ交AE于證△EBQg△D4Q,推出。尸=QD根據直角三角形斜邊上中線性質求出即

可；

（3）延長E0、FB交于D,證△AEQ0推出。0=。￡,根據直角三角形斜邊上中線性質求出即

可.

【解答】解：（1）AE//BF,QE=QF,

理由是：如圖1,

?.?。為A8中點，

：.AQ^BQ,

"：BF.LCP,AE±CP,

：.BF//AE,ZBFQ=ZAEQ=90°,

在△8FQ和△AE。中

,ZBFQ=ZAEQ

-ZBQF=ZAQE

BQ=AQ

J.ABFQ^AAEQ（AAS）,

：.QE=QF,

故答案為：AE//BF；QE=QF.

⑵QE=QF,

證明：如圖2,延長尸0交AE于。，

:,。為A2中點，

：.AQ=BQ,

'JBFLCP,AELCP,

J.BF//AE,

：.ZQAD=ZFBQ,

在△FBQ和△ZMQ中

，ZFBQ=ZDAQ

?BQ=AQ

ZBQF=ZAQD

：./\FBQ^/\DAQ(ASA),

:.QF=QD,

'：AE1CP,

E。是直角三角形DEF斜邊上的中線，

:.QE=QF=QD,

即QE=QF.

(3)(2)中的結論仍然成立，

證明：如圖3所示，延長EQ、FB交于D,

'JBFLCP,AELCP,

C.DF//AE,

：.Z1=ZD,

在和△EAQ中，

'AQ=BQ

'Z1=ZD-

Z2=Z3

:.△DBgXEAQ(AAS),

：.QE=QD,

?:/EFD=90°

：.FQ是RtAEFD斜邊DE上的中線,

：.QE=QF.

D

【點評】本題考查了全等三角形的性質和判定，直角三角形斜邊上中線性質的應用，注意：①全等三角

形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS,②全等三角形的性質是：全等三角形的對應邊相等，對應角相

等.

21.（2021春?浦東新區期末）如圖，在△ABC和中，AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=90°.

Cl)當點。在AC上時，如圖①，線段2。，CE有怎樣的數量關系和位置關系？請證明你的猜想；

(2)將圖①中的△ADE繞點A順時針旋轉a(0。<a<90°),如圖②，線段B。，CE有怎樣的數量關

系和位置關系？請說明理由.

E

【分析】(1)延長交CE于R易證△EAC烏△ZMB,可得BD=CE,ZABD^AACE,根據NAEC+

ZACE=90°,PTZABD+ZAEC=90°,即可解題；

(2)延長3D交CE于R易證NA4O=NEAC,即可證明△EAC絲△D4B,可得B￡)=CE,/ABD=N

ACE,根據NABC+NACB=90°,可以求得/CBF+/BCF=90°,即可解題.

【解答】證明：(1)延長8。交CE于尸，

在△EAC和△ZMB中，

'AE=AD

<ZEAC=ZDAB>

AC=AB

.?.△EAC名ADAB(SAS),

：.BD=CE,ZABD=ZACE,

'：ZAEC+ZACE=90a,

/.ZABD+ZAEC^9Q°,

ZBF￡=90°,即ECLBD-,

(2)延長8。交CE于凡

B圖②C

'：ZBAD+ZCAD=90°,ZCAD+ZEAC=9Q°,

：.ZBAD=ZEAC,

?.?在△EAC和△D4B中，

，AD=AE

,ZBAD=ZEAC-

AB=AC

.".AEAC^ADAB(SAS),

：.BD=CE,ZABD=ZACE,

VZABC+ZACB^90°,

：.ZCBF+ZBCF=ZABC-ZABD+ZACB+ZACE=90°,

ZBFC=90°,即ECLBD.

【點評】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應邊、對應角相等的性質，本題中求證△

EAC^^DAB是解題的關鍵.

22.(2