17四月2024第二節應變分析20152二、有關變形的一些基本概念（一）首先觀察以下簡單的例子：圖a）表示均勻拉伸，變形體中的單元體P在拉伸后拉長變細，同時移至P1的位置，在不同的方向切取單元體時，單元體變形的表現形式不同。例如斜切的單元體Q移至Q1的同時就歪斜了。圖b）表示一物體在有摩擦的平板間被壓縮成了鼓形，這時中心線上的一個單元體P被壓扁且移至P1，而Q移至Q1時還由于摩擦力的作用而歪斜了；單元體R移至R1時還有明顯的角度偏轉。3圖c）表示理想化的剪切過程，這時單元體P被剪斜了；而單元體Q則僅僅平移至Q1，并未變形。圖d）是彎曲工序，單元體P移至P1時，被壓短而且轉動了角度；單元體Q移至Q1的同時轉動了一個角度，但沒有變形。4以上的例子說明：變形的大小與質點間的相對位移變化有關一點的不同方向，變形數值不同剛性位移，不產生變形。因此:在外力作用下,物體各點的位置要發生變化,即發生位移.5剛性位移：如果物體各點發生位移后仍然保持各點間的初始狀態的相對位置,則物體實際上只產生剛體移動和轉動,稱這種位移為剛性位移。剛性位移不產生變形。位移分為兩種：相對位移：如果物體各點發生位移變形改變各點間的初始狀態的相對位置,即內部質點產生相對位置的改變。

相對位移產生形狀的變化,稱為該物體的變形，6純變形（二）基本概念（1）單元體的變形可分為兩種形式：線應變和角應變。線應變（或正應變）：單元體線尺寸的伸長或縮短角應變（或切應變）：單元體角度的變化（即單元體畸變）物體受力→內部質點產生相對位置的改變和形狀的變化，即變形。應變是表示變形大小的物理量。7（2）對于同一變形的質點，隨著切取單元體的方向不同，則單元體表現出來的變形數值也不同，所以同樣需要引入“點的應變狀態”的概念。（3）物體變形時，單元體一般同時發生平移、轉動、正應變、角應變。

平移、轉動—統稱剛性運動（并不引起變形），只表示剛性位移。物體的變形只與其內部質點的相對位置有關，而與物體的剛體運動無關。

各質點的相對位置變化時，會產生應變。金屬塑性成形原理應變分析8總結：

位移：質點從一點移至另一點

變形：只有質點間的位移不一致時，才產生變形

剛性位移（旋轉和平移）不產生變形

正變形：線尺寸伸長或縮短

剪變形：形狀發生畸變（角度發生變化）剛性位移（旋轉和平移）相對位移（正變形、剪變形）91、概念位移：變形體各點位置的移動。位移分量：設物體內任意點的位移矢量為MM1，則它在三個坐標軸方向的投影就稱為該點的位移分量，分別用u、v、w表示，簡記為ui。一．位移分量和應變（一）位移及其分量10由于物體在變形之后仍應保持連續，故位移分量應是坐標的連續函數，而且一般都有連續的二階偏導數，對于直角坐標系，位移分量函數即為：u=u（x,y,z）v=v（x,y,z）w=w（x,y,z）上式表示某物體內的位移場。位移場112．相對位移1）單元體均勻變形時基本假設（1）變形前是直線，變形后仍為直線（2）變形前后均為平面（3）變形前后仍為平行平面（4）變形前后仍為平行直線變形的大小與位移有關一點的不同方向，變形數值不同金屬塑性成形原理應變分析123．相對位移分量現在來研究變形體內無限接近兩點的位移分量之間的關系。設受力物體內任一點M，其坐標為（x,y,z），小變形后移至M1，其位移分量為ui（x,y,z）。鄰近的點與M點無限接近的一點Mˊ點，其坐標為（x+dx，y+dy，z+dz），小變形后移至M1ˊ，其位移分量為uiˊ（x+dx，y+dy，z+dz）如圖所示。13（1）各點的坐標值M（x，y，z）Mˊ（x+dx，y+dy，z+dz）（2）M1點的位置函數u=u（x，y，z）v=v（x，y，z）w=w（x，y，z）

鄰近的點14（3）M1ˊ點的位置函數u+δu=u（x+dx，y+dy，z+dz）=f1（x+dx，y+dy，z+dz）v+δv=v（x+dx，y+dy，z+dz）=f2（x+dx，y+dy，z+dz）w+δw=w（x+dx，y+dy，z+dz）=f3（x+dx，y+dy，z+dz）鄰近的點15（4）相對位移的表達式按泰勒級數展開忽略高階小量，得簡記為：uiˊ（x+dx，y+dy，z+dz），將函數uiˊ按泰勒級數展開，并略去二階以上的高階微量，并利用求和約定，則得16同理，得

若已知變形物體內的一點M的位移分量，則與其臨近一點Mˊ點的位移分量可用M的位移分量及其增量來表示。uiˊ=ui+du位移增量相對位移的意義：某一方向上的相對位移增量等于該方向上的位移分量在三個坐標方向變化量之和。17金屬塑性成形原理應變分析若無限接近兩點的連線M

Mˊ平行于某軸，如平行X軸，則：Mˊ則在X方向上的相對位移增量等于該方向上的位移分量在X坐標方向變化量。18（二）應變及其分量1.名義應變及其分量名義應變又稱相對應變或工程應變。

材力，彈塑性理論所討論的變形一般都是小變形，一般在10－3→10－2數量級。在此基礎上，我們將進一步討論大塑性變形的特點。名義應變包括：

線應變(正應變)

切應變。19αxyαyxABCPP1x0yx0yx0yA’1A1C’1C1ABCPP(P1)CB1AC1B1ΦxyA1C1γyxγxy單元體在xoy坐標平面內的應變B1xoy坐標平面內:變形前PABC，變形后P1A1B1C1分析變化情況：

PA、PC長度發生變化

PA與PC的夾角發生變化20（1）線應變（或正應變）：單元體線尺寸的伸長或縮短如圖線元PA的正應變而棱邊PA在x軸上的線應變21同樣:平行y軸的棱邊在y軸方向上的線應變和平行z軸的棱邊在z軸方向上的線應變同樣可求得。因此有：線應變分量22假設單元體在平面內發生了切應變，使線元PC和PA所夾的直角減小為(圖b)。這相當與C點在垂直于PC方向偏移了δrt。（2）切應變：單元體角度的變化23圖3-24b所示工程切應變，可看成是線元PA和PC同時向內偏轉相同的角度其結果如圖3-24C，即定義工程切應變切應變24實際上PA和PC偏轉的角度不一定相同。假設它們的實際偏轉角度分別為αxy和αyx，偏轉結果仍然使∠CPA縮小Фxy

其中γxy和γyx一般稱為切應變。γxy的下標符號表示為x方向的線元，向y方向偏轉的角度。25實際變形<>設

實際變形切應變

剛性轉動

8℃

2℃

5℃

5℃

ωz=3℃26則相當于PA，PC先同時偏轉γxy和γyx（假設5℃）。然后整個單元體繞Z軸轉一個角度ωz（假設3℃）。因此，αxy和αyx已包括了剛體的轉動。即γxy=ωz+αxy272、質點的應變狀態及應變張量將切應變及剛體轉動推廣至三維：切應變：γij

切應變分量28三個方向的剛體轉動（順時針方向）29

變形體內某質點作為單元體，變形后的應變分量有九個，三個正應變，六個剪應變。它們構成應變張量。它也是一個對稱的張量，具有應力張量的一切性質。i—線元方向j—變形的方向302、對數應變（1）相對線應變(也稱工程應變或名義應變)相對應變不能真實地反映實際變形情況。因l0不變31（2）相對斷面收縮率式中A0——試樣原始斷面積

A1——拉伸后試樣斷面積32（3）對數應變（也稱真實應變）當試樣從l0增加到ln時，則總應變為設在單向拉伸過程中某瞬時試樣的長度為l，該瞬時后試樣的長度又伸長了dl，則其應變增量為l—為試樣的瞬時長度。dl—為瞬時長度的改變量稱為對數應變，是用應變增量的積分來表示的全量應變，它反映了物體變形的實際情況，故又稱為真實應變。33對數應變的定義為：塑性變形過程中，在應變主軸方向保持不變的情況下應變增量的總和。34均勻拉伸時或以上是對數應變和相對應變的關系。三種應變的關系將（a）式按臺勞級數展開：得（a）∴35在小變形時，又∵∴均勻拉伸階段，由于體積不變，即∴以上公式將三種應變形式聯系起來了。136即:三種應變的關系為:37對數應變的特點：1）對數應變反映了瞬態變形，更能真實地表示實際變形過程。

真實性38如而2）對數應變具有可加性

可加性39例：將50cm長桿料拉伸至總長90cm，總應變為若分兩個階段

（1）50cm～80cm

（2）80cm～90cm則相對應變

40拉伸前后試樣尺寸試樣拉伸在不同階段時的尺寸而對數應變

表明對數應變具有可加性413）對數應變能真實反映出拉、壓變形的應變值，與實驗結果較吻合可比性壓

拉壓

顯然，拉、壓的相對應變絕對值不等拉例：對數應變：相對應變壓前2L→

壓后L

拉L→

2L42課堂練習：有一試棒均勻連續拉伸五次，每拉一次斷面收縮20%，試用相對伸長、斷面收縮率和對數應變分別求出各次的應變值和總應變值。并分析哪種應變表達方式比較合理。43提示：故44二、小應變幾何方程（位移分量與應變分量之間的關系）教材P91由于變形物體內的點產生了位移，因而引起了質點的應變。因此，質點的應變是由位移所確定的，一旦物體內的位移場確定以后，則物體內的應變場也就被確定了。下面就來建立位移分量和應變分量之間的關系。

位移分量和應變分量究竟存在何種關系？

45

設在圖中，abcd為單元體變形前在xoy坐標平面上的投影，而a1b1c1d1為位移及變形后的投影。圖中b、c點為a點的鄰近點，并設ac=dx，ac//ox軸；ab=dy，ab//oy軸；a點的位移分量為u、v。c點的位移分量為u+δuc、v+δvc。b點的位移分量為u+δub、v+δvb。C點位移增量b點位移增量根據式（3-44），有棱邊ab（即dy）在y方向的線應變為47根據圖3-31中的幾何關系，可求出棱邊時ac（即dx）在x方向的線應變εx，即為在X方向上的相對位移增量。4848由圖3-31的幾何關系，有∵∴其值遠小于１U49同理可得因而工程切應變為

則切應變為:50按同樣的方法，由單元體在yoz和zox坐標平面上投影的幾何關系可得其余應變分量與位移分量之間關系的公式，綜合上述可得應變分量與位移分量之間關系-小應變幾何方程3-6651用角標符號表示為式（3-66）表示小變形時位移分量和應變分量之間的關系，它是由變形幾何關系導到，故稱為小應變幾何方程。如果物體中的位移場已知，則可由小應變幾何方程求得應變場。3-66a52為了便于記憶可以將坐標原點取在六面體的一個頂點，而在圖上畫出三個棱邊dx、dy、dz，這些棱邊的伸長量是du、dv、dw。這時正應變可以作為總伸長與棱邊原長之比寫出如下：伸長量53為了寫出切應變可以假想平行六面體的棱邊在對應的平面內有轉動，因而棱邊的端點有位移，這里把轉角作為端點位移與原棱邊原長之比，而將切應變作為對應平面內兩轉角之和的一半寫出來。應變分析圖例如：轉動54例題1試求物體中坐標為x=1，y=1，z=1的p點的應變張量、應變偏量與最大剪應變。解:根據應變—位移關系式（小應變幾何方程），得設物體中的位移函數為5556將p點坐標x=1，y=1，z=1代入上述各式，并注意得p點的應變張量如下所以與上述εijˊ相對應的應變偏量為57三、點的應變狀態和應變張量(任意方向上的應變P85)借助于一點的應力狀態概念來描述一點的應變狀態，即過一點任意方向上的正應力與切應力的有無情況?？梢杂靡晃⒕€段在某方向上的變形來加以描述。58現設變形體內任一點a（x,y,z），過該點三個相互垂直線上的應變分量εij已知。即鄰近的點由a引一任意方向線元ab，其長度為r，方向余弦為l、m、n。已知59(a)(b)小變形前，b點可視為a點無限接近的一點。a點坐標為（x，y，z），b點坐標為（x+dx，y+dy，z+dz）。則ab在三個坐標軸上的投影為dx、dy、dz，方向余弦及r分別為60變形前ab變形后a1b1小變形后，線元ab移至a1b1，其長度為r1=r+dr，同時偏轉角度為αr，如圖所示。61為求得r1，可將ab平移至a1N，構成三角形a1Nb1。由解析幾何可知，三角形一邊在三個坐標軸上的投影將分別等于另外兩邊在坐標軸上的投影之和。在這里，Na1的三個投影即為dx、dy、dz.現求ab方向上的線應變εr。而Nb1的投影（即為b點相對a點的位移增量）為du、dv、dw.62變形前ab2=r2=dx2+dy2+dz2變形后a1b12=（r+dr）2=(dx+du)2+(dy+dv)2+(dz+dw)2=(dx2+dy2+dz2)+du2+dv2+dw2)+2(dxdu+dydv+dzdw)（r+dr）2-r2=(du2+dv2+dw2)+2(dxdu+dydv+dzdw)(c)忽略微量du2，dv2，dw2，得63將式（C）兩邊除以r2，

令r的方向余弦為l，m，n（d）將式(3-43)中dui的值代入式（d），(3-43)64比較任意斜面上的法向應力∴線應變它與全應力與應力分量之間關系的表達形式是一樣的，反映了全應變與應變分量之間的關系。整理后得：3-5265下面求線元變形后的偏轉角，即圖中的αr

為了推導方便，可設r=1。由N點引按直角三角形NMb1（e）a1M=r=1故a1M=r=166于是式（e）可寫成金屬塑性成形原理應變分析金（f）67如果沒有剛體轉動，則求得的αr就是切應變γr。為了除去剛體轉動的影響，即只考慮純剪切變形，可將式（3-43）改寫為剛體轉動68顯然，上式后面的第二項是由于剛性轉動引起的位移增量分量，而第一項才是由純剪切變形引起的相對位移增量分量，若以duiˊ表示，則如將式（g）代入式（f），即可求得切應變的表達式為（g）3-53（3-52）、（3-53）與任意斜面上的應力表達式形式完全相似。因此應變的有關公式可以借鑒應力的相應表達式。69NMb1(xi+dxi+ui+dui)a1(xi+ui)uia(xi)b(xi+dxi)ui+duiduir1r1=+drαr0xyz任意方向線元的應變70四．體積不變條件（是什么？）

1．含義：塑性變形前后，材料體積保持不變。變形后，單元體的體積為

設單元體初始邊長為dx、dy、dz，則變形前體積為體積變化率2．條件方程71體積不變條件表明：

塑性變形時三個正應變之和等于零；

三個正應變不可能全部同號。塑性變形時，由于塑性變形前后，材料體積保持不變。對于彈性變形72（1）確定塑性加工毛坯尺寸（計算尺寸）（2）確定應變分量之間得關系（3）可以作為塑性變形是否協調的近似判據。例題P883.作用7374特征方程金屬塑性成形原理應變分析主應變，應變分量的不變量，主剪應變和最大剪應變1、主應變：剪應變等于零時所對應的正應變稱主應變。用ε1、ε2、ε3表示。五、點的應變狀態與應力狀態的比較對主軸坐標：752應變張量不變量第三不變量第二不變量第一不變量對于彈性變形對于塑性變形763主剪應變，最大剪應變mnl000則方向為與主應變方向成若77應變莫爾圓

應變莫爾圓，類似應力莫爾圓

O3OO1O2εε1ε2ε3γγ12γ13γ23應變莫爾圓ε378用主應變的個數和符號來表示應變狀態的簡圖稱主應變狀態圖，簡稱為主應變簡圖或主應變圖。三個主應變中絕對值最大的主應變，反映了該工序變形的特征，稱為特征應變。4、主應變簡圖79如用主應變簡圖來表示應變狀態，根據體積不變條件和特征應變，則塑性變形只能有三種變形類型。比較主應力圖80

壓縮類變形。特征應變為負應變。另兩個應變為正應變。

剪切類變形（平面變形）一個應變為零，其他兩個應變大小相等，方向相反。

伸長類變形。特征應變為正應變，另兩個應變為負應變。815、應變偏張量和球張量，八面體應變和等效應變應變球張量

應變偏張量塑性變形時，體積不變，，這時應變偏張量就是應變張量82得：與τ8的推導過程一樣，即等效應變：將八面體剪應變取絕對值，乘以系數，所得之參量叫做等效應變。（比較等效應力，乘）八面體應變83單向應力狀態時，主應變為ε1，ε2=ε3塑性變形時，故這時84等效應變特點：1、是一個不變量。2、在塑性變形時，其數值等于單向均勻拉伸或均勻壓縮方向上的線應變ε1。即85問題的引出-知識要點回顧小應變幾何方程六個應變分量取決于三個位移分量？這六個分量之間應該存在某種聯系？六．應變連續方程（協調方程）由上述小應變幾何方程可知，六個應變分量取決于三個位移分量，所以六應變分量不是的任意的，其間必存在一定的關系。861．討論協調方程的目的金屬塑性成形原理應變分析概念：六個應變分量之間的關系稱為應變連續方程或協調方程。1）校核應變場不滿足協調方程，應變場是不可解的，不真實的，不連續的。2）尋求補充方程87物體變形后必須仍然保持其整體性和連續性，即變形協調性。否則會出現下圖（b）那樣的“撕裂”現象，或圖（c）那樣的“套疊”現象，從而破壞了變形后必須仍然保持的整體性和連續性。圖變形狀態分析88

2．協調方程由對y取兩階偏導,得1)已知線應變求切應變在xoy平面內，有εx,

εy,γxy對x取兩階偏導,得89兩式相加,得同理,在YZ平面上

在XZ平面上

故

上式表明：在一個坐標平面內，兩個線應變分量一經確定，則切應變分量也就確定。即小應變幾何方程90在每個坐標平面內，兩個線應變一經確定，則切應變分量隨之被確定！切應變到線應變？91對X，Z求導，得

對X，Y求導，得金屬塑性成形原理應變分析2)已知切應變求線應變由由兩式相加，得92故

同理

金屬塑性成形原理應變分析上式表明：在三維空間內，三個切應變分量一經確定，則線應變分量也就確定。93在三維空間內三個切應變分量一經確定，則線應變分量也就被確定！94設試問上述應變場在什么情況下成立？其中a、b為常數，例題例題解答95應變連續方程的物理意義：只有當應變分量之間滿足上述方程時，物體變形后才是連續的，否則，變形后會出現“撕裂”現象，或“套疊”現象，從而破壞了變形后必須仍然保持的整體性和連續性。需要指出的是：

如果已知位移分量ui，則由小應變幾何方程求得的應變分量自然滿足連續方程。

但若先用其他方法求得應變分量，則要同時滿足連續方程，才能由小應變幾何方程求得正確的位移分量。96判斷題：如果已知位移分量，則按幾何方程求得的應變分量自然滿足協調方程；若是按其它方法求得的應變分量，也自然滿足協調方程，則不必校驗其是否滿足連續性條件。（）填空題：材料經過連續兩次拉伸變形，第一次的真實應變為ε1＝０.1，第二次的真實應變為ε２＝０.25，則總的真實應變ε＝

。97七、應變增量與應變速率張量全量應變：反映變形體在某一變形過程階段終了的變形大小，稱之為全量應變。它只考慮過程的兩個極端，而不考慮變形過程的某一瞬間。一、全量應變與應變增量的概念98而塑性變形一般都是大變形，且大變形的整個過程十分復雜。因此，前面討論的小應變時的公式在大變形中不能直接使用。但是，大變形又是由很多瞬間的小變形累加而成，因此有必要分析大變形過程中某個特定瞬間的變形情況。所以提出了應變增量及應變速率的概念。99全量應變度量基準是變形以前的原始尺寸。而增量則是指變形過程中某一極短階段的無限小應變，其度量基準不是原始尺寸，而是變形過程某一瞬間的尺寸。101二、速度分量（1）含義：單位時間的位移分量討論全量應變時，只是用了某變形過程終了時的位移場，所以沒有引入時間參數。在描述整過變形過程時，則必須引入時間參數，這時的位移分量為式中x、y、z是物體中一點在某時刻的坐標，它也是時間的函數。所以，位移分量ui對時間的全導數就是該點的移動速度分量，一般以表示，可記為102102所以，單位時間內的位移分量稱為移動速度。一般以表示，可記為速度分量簡記103速度場位移是坐標的連續函數，而位移速度既是坐標的連續函數，又是時間的函數。104小變形時，ui很小，全導數中的牽連部分可以忽略不計，則有速度分量：金屬塑性成形原理應變分析速度場←位移場對時間的導數。105三、位移增量和應變增量

設在變形過程中的某一瞬時(如P′點)，物體各點的速度分量為，在隨后的一個無限小時間間隔dt之內，質點產生的位移稱為位移增量。位移增量速度分量xyzduu0PP1

全量位移ui，而P′P′′=PP′′-PP′=duiP106產生位移增量dui之后，變形體內各質點就有相應的無限小應變增量。

應變增量與位移增量之間的關系，也即幾何方程，在形式上與小變形幾何方程相同。將小變形幾何方程中的ui改成dui，即可求得應變增量的各個分量，一般用符號dεij表示，于是應變增量的幾何方程為：應變增量與位移增量之間的關系107說明：1）應變增量與小應變張量在表達形式上一樣。（具有三個主方向，三個主應變增量，偏張量，球張量，等效應變增量等）2）應變增量主軸與當時的全量應變主軸不一定重合。3)dεij中的d表示增量，不是微分的符號。對一般的塑性變形過程，dεij并不表示εij的微分；對dεij積分也毫無意義，并不等于εij。應變增量張量108同理，得應變速率幾何方程四、應變速率張量定義：單位時間的應變稱為應變速率，俗稱變形速度。用表示，單位1/s109金屬塑性成形原理應變分析說明：1）

應變速率反映了物體內各質點位移速度的差別

2）應變速率取決于工具運動速度和物體形狀尺寸

應變速率張量

110在試驗機上均勻壓縮一柱體，下墊板不動，上壓板以下移，取柱體下端為坐標圓點，壓縮方向為x軸。柱體某瞬時高度為h，此時，柱體內各質點在x方向上的速度為例題：應變速率分量：單向均勻壓縮時的位移速度hx0u111h=100mm錘鍛若h=10mm，則上述的變形速度都增加10倍。因此應變速率取決于工具運動速度和物體形狀尺寸

設單向均勻壓縮時的位移速度hx0u112八、塑性加工中常用的變形量的計算方法(自學)壓下量Δh=H－hΔB=b－B寬展量式中H和B—拔長及軋制前的高度和寬度；h和b—拔長及軋制后的高度和寬度；1．絕對變形量絕對變形量是指變形前后某主軸方