薪符.彩行.港教學選砂2—2第一章課后習題解答

第一章導數及其應用

3.1變化率與導數

練習(P6)

在第3h和5h時，原油溫度的瞬時變化率分別為-1和3.它說明在第3h附近，原油溫度大

約以1C/h的速度下降；在第5h時，原油溫度大約以3C/h的速率上升.

練習(P8)

函數〃?)在/=4附近單調遞增，在/=%附近單調遞增.并且，函數丸?)在。附近比在J附近

增加得慢.說明：體會“以直代曲”的思想.

練習(P9)

函數=的圖象為

根據圖象，估算出'(0.6)*0.3,/(1.2)?0.2.

說明：如果沒有信息技術，教師可以將此圖直接提供給學生，然后讓學生根據導數的幾何意

義估算兩點處的導數.

習題1.1A組(P10)

1、在，。處，雖然叱(幻=明9)，然而叱優一也嗎優)-嗎(…/).

—2-AZ

所以，企業甲比企業乙治理的效率高.

說明：平均變化率的應用，體會平均變化率的內涵.

ZVz_/l(l+A0-/l(l)_grrf,_22

2、—=------------=-4.9A1-3.3,JTTkA>h(1)=-3.3.

ArAr

這說明運動員在r=ls附近以3.3m/s的速度下降.

3、物體在第5s的瞬時速度就是函數s?)在，=5時的導數.

As_s(5+^t)-s(5)_in時、］

——△/+10,/TT9s(5)-10.

NtAZ

因此，物體在第5s時的瞬時速度為10m/s,它在第5s的動能E*=工><3x102=15。j.

2

4,設車輪轉動的角度為e,時間為/,則。=比2?〉0).

由題意可知，當f=0.8時，6=271.所以左=且，于是。=三產.

88

車輪轉動開始后第3.2s時的瞬時角速度就是函數8。）在7=3.2時的導數.

仇3.2+At）—8（3.2）25〃.山…八，小小

——=—--------------=——At+20〃，所以夕（3.2）=20〃.

AtAZ8

因此，車輪在開始轉動后第3.2s時的瞬時角速度為20乃s-L

說明：第2,3,4題是對了解導數定義及熟悉其符號表示的鞏固.

5、由圖可知，函數/（x）在無=-5處切線的斜率大于零，所以函數在1=-5附近單調遞增.同

理可得，函數/（X）在x=T,-2,0,2附近分別單調遞增，幾乎沒有變化，單調遞減，單調

遞減.說明：“以直代曲”思想的應用.

6、第一個函數的圖象是一條直線，其斜率是一個小于零的常數，因此，其導數;"（x）的圖象

如圖（1）所示；第二個函數的導數/''（X）恒大于零，并且隨著x的增加，7?'（》）的值也在增加;

對于第三個函數，當x小于零時，/''（》）小于零，當x大于零時，/'（X）大于零，并且隨著x的

增加，/'（X）的值也在增加.以下給出了滿足上述條件的導函數圖象中的一種.

說明：本題意在讓學生將導數與曲線的切線斜率相聯系.

習題3.1B組（P11）

1、高度關于時間的導數刻畫的是運動變化的快慢，即速度；速度關于時間的導數刻畫的是

速度變化的快慢，根據物理知識，這個量就是加速度.

說明：由給出的V。）的信息獲得S。）的相關信息，并據此畫出5（/）的圖象的大致形狀.這個

過程基于對導數內涵的了解，以及數與形之間的相互轉換.

3、由（1）的題意可知，函數/（X）的圖象在點（1,-5）處的切線斜率為-1,所以此點附近曲

線呈下降趨勢.首先畫出切線的圖象，然后再畫出此點附近函數的圖象.同理可得（2）（3）某

點處函數圖象的大致形狀.下面是一種參考答案.

說明：這是一個綜合性問題，包含了對導數內涵、導數幾何意義的了解，以及對以直代曲思

想的領悟.本題的答案不唯一.

1.2導數的計算

練習(P18)

1、/''(%)=2x—7,所以,"2)=-3，八6)=5.

1

2、(1)(2)y'=2e>

xln2

(3)y'-10x4-6x；(4)y'=-3sinx—4cosx；

ixi

(5)y=--sin-(6)y'=,.

33;-27^1

習題1.2A組(P18)

1、2nr+Ar,所以，S'(r)=lim(2^r+Ar)=Inr.

ArAr=Ar^°

2、//(，)=—9.8,+6.5.

3

3、/(V)=4i

3:4萬丫2

4,(1)y'=3x2H---(2)y=

xln2

/0、,3x2sinx-x3cosx+cosx

⑶，=-----------------(4--)--y=990+1)3

(5)y=—2d>(6)y'sin(2x+5)+4%cos(2x+5).

5、/'(x)=—8+2后.由/(%)=4有4=—8+28/,解得/=30.

6、(1)y'=Inx+l；(2)y=x—l.

7、y=--+1.

71

8、(1)氨氣的散發速度A'?)=500xln0.834x0.834’.

(2)4(7)=-25.5,它表示氨氣在第7天左右時，以25.5克/天的速率減少.

就越來越逼近函數y=cosx.

2、當y=0時，x=0.所以函數圖象與x軸交于點P(0,0).

所以y'k°=—1.

所以，曲線在點尸處的切線的方程為丁=-%.

2、d\t)=-4smt.所以，上午6:00時潮水的速度為-0.42m/h；上午9:00時潮水的速度為

-0.63m/h；中午12:00時潮水的速度為-0.83m/h；下午6:00時潮水的速度為-1.24m/h.

1.3導數在研究函數中的應用

練習(P26)

1、(1)因為/(%)=犬—2x+4,所以/''(x)=2x—2.

當/(x)>0,即1>1時，函數_/(x)=f—2x+4單調遞增;

當―<0,即無<1時，函數/(x)=必一2》+4單調遞減.

(2)因為/(x)=/—x,所以尸(x)=H—1.

當小)>0,即尤>0時，函數/(x)=e、—x單調遞增；

當;''COvO,即無<0時，函數/(x)=e、—x單調遞減.

(3)因為/(x)=3x-d,所以八x)=3-3f.

當八%)>0,即一1cx<1時,函數/(x)=3x-d單調遞增；

當仁(x)<0,即x<-l或x>l時，函數/(x)=3x-d單調遞減.

(4)因為f(%)—x3—x2—x,所以f\x)—3x"-2.x—1.

當/''(x)>0,即x<—；或x>l時，函數/(x)=d-f一x單調遞增;

當了'(%)<。，即一§<九<1時，函數/(%)=V一九2—%單調遞減.

2、

注：圖象形狀不唯一.

3、因為/(x)=ax2+bx+c{a0),所以/'(x)=2ox+b.

(1)當〃>0時，W

/(x)>0,即無>-時函數/(%)=依+Zzx+c(iwO)單調遞增;

r(%)vo,即尤<-時函數/(x)=ax2+bx+c(aw0)單調遞減.

2

/(x)>0,即%<-時函數/(x)=ax2+bx+c(aw0)單調遞增;

時

f\x)<0,即光〉-函數/(%)=。%2+/?%+c(4zwO)單調遞減.

4、證明：因為/(%)=2爐一6/+7,所以/'(%)=6/—12%.

當無￡(0,2)時，/r(x)=6x2-12%<0,

因此函數/(x)=2%3—6尤2+7在(0,2)內是減函數.

練習(P29)

1、12，工4是函數y=/(%)的極值點，

其中％=冗2是函數y=/(x)的極大值點，％=X4是函數丁=/(%)的極小值點.

2、(1)因為/(%)=61—%—2,所以/'(x)=12x—1.

令—(%)=12%—1=0,得%=\.

當九〉七時，/,(%)>0,/(%)單調遞增；當尤<，時，ff(x)<0,/(x)單調遞減.

111149

所以，當工=—時，/(%)有極小值，并且極小值為/(—)=6x(—)2-----2=—-.

121212122^^

(2)因為/(X)=%3_27X,所以八x)=3/-27.

令/'0)=3必—27=0,得％=±3.

下面分兩種情況討論：

①當/''(x)〉。，即x<—3或x>3時；②當/''(x)<0,即—3<x<3時.

當X變化時，f\x),/(X)變化情況如下表:

X(-00,-3)-3(-3,3)3(3,+oo)

/'(X)+0一0+

/(X)單調遞增54單調遞減-54單調遞增

因此，當x=-3時，/(x)有極大值，并且極大值為54；

當％=3時，有極小值，并且極小值為-54.

(3)因為/(x)=6+12x—Y,所以0(x)=12—3爐.

令八x)=12-=0,得x=±2.

下面分兩種情況討論：

①當_f(x)>0,即一2<x<2時；②當/'(x)<0,即x<—2或x>2時.

當了變化時，變化情況如下表：

(-8,-2)-2(-2,2)2(2,+8)

/'(X)一0+0一

/(X)單調遞減-10單調遞增22單調遞減

因此，當x=-2時，/(X)有極小值，并且極小值為-10；

當x=2時，/(x)有極大值，并且極大值為22

(4)因為_/(x)=3x—V,所以八乃=3-3爐.

令八x)=3-3x2=0,得％=±1

下面分兩種情況討論：

①當/''(x)>0,即一1<X<1時；②當/''(x)<0,即x<-4或尤>1時.

當x變化時，/'(x),“九)變化情況如下表：

X(F,-1)-1(-1,1)1

/'(X)一0+0一

/(X)單調遞減-2單調遞增2單調遞減

因此，當％=-1時，/(無)有極小值，并且極小值為-2；

當x=l時，/(x)有極大值，并且極大值為2

練習(P31)

1149

(1)在［0,2］上，當％時，/(x)=6x2—x-2有極小值，并且極小值為/(石)=—五.

又由于/(0)=—2,/(2)=20.

4Q

因此，函數/(》)=6必-x-2在［0,2］上的最大值是20、最小值是-一.

24

(2)在［-4,4］上，當x=—3時，/(x)=%3-27x有極大值，并且極大值為/(-3)=54；

當％=3時，/(x)=d-27x有極小值，并且極小值為/(3)=-54；

又由于/(T)=44,/(4)=-44.

因此，函數/(%)=^-27%在［-4,4］上的最大值是54、最小值是-54.

(3)在［-；,3］上，當尤=2時，/(x)=6+12x-/有極大值，并且極大值為/(2)=22.

又由于八一3)=||，八3)=5

因此，函數/(x)=6+12x-/在~g,3］上的最大值是22、最小值是

(4)在［2,3］上，函數/(x)=31-/無極值.

因為/'(2)=-2,/(3)=-18,

因此，函數/(幻=3%-^在［2,3］上的最大值是-2、最小值是-18.

習題1.3A組(P31)

1、(1)因為/(x)=—2x+l,所以/''(%)=-2<0.

因此，函數/(x)=-2x+l是單調遞減函數.

TTTC

(2)因為/(x)=x+cosx,xe(0,—),所以/''(x)=1—sinx>0,xe(0,—).

因此，函數/(x)=x+cosx在(0,9)上是單調遞增函數.

(3)因為/(x)=—2x—4,所以/'(x)=—2<0.

因此，函數/'(x)=2x-4是單調遞減函數.

(4)因為/(乃=2/+4%，所以廣(幻=6爐+4〉0.

因此，函數/(x)=2x3+4x是單調遞增函數.

2、(1)因為/(%)=/+2%—4,所以7''(%)=2x+2.

當_f(x)>0,即x>-L時，函數/(%)=三+2工一4單調遞增.

當一(%)<0,即1<-1時，函數/(x)=必+2x-4單調遞減.

(2)因為/(x)=2x2-3x+3,所以八x)=4x-3.

3

當/>'(x)>0,即x〉一時，函數/(x)=2x2-3x+3單調遞增.

4

3

當/''(x)<0,即TV/時，函數/(%)=2%2-3》+3單調遞減.

(3)因為/(x)=3x+V,所以0(x)=3+3/>0.

因此，函數/(x)=3x+d是單調遞增函數.

(4)因為70)=X3+f—x,所以/0)=3/+2%—1.

當/''(%)>0,即x<—1或X〉g時，函數/(X)=+%2一X單調遞增.

當/''(%)<0,即—1<X<；時，函數/(X)=+%2-X單調遞減.

3、(1)圖略.(2)加速度等于0.

4、(1)在x=%2處，導函數y=/'(x)有極大值；

(2)在％=石和x=》4處，導函數y=/'(%)有極小值；

(3)在x=%3處，函數y=/(x)有極大值；

(4)在x=%5處，函數y=/(%)有極小值.

5、(1)因為/(x)=6必+》+2,所以/'(x)=12x+l.

令r(x)=i2x+i=o,得％=吊.

當X〉-J時，/'(%)>0,/(x)單調遞增；

當x〈—七時，f\x)<0,/(%)單調遞減.

11114Q

所以，X=---時，/(%)有極小值,并且極小值為/(---)=6x(---)2----2=---.

1212121224

(2)因為&)=X3—⑵,所以/。)=3/—12.

令尸(x)=3f—12=0,得］=±2.

下面分兩種情況討論：

①當八%)>0,即x<—2或x>2時；②當/'(x)<0,即—2<x<2時.

當X變化時，/(X),/(X)變化情況如下表:

X(-8,-2)-2(-2,2)2(2,+QO)

/'(X)+0一0+

/(X)單調遞增16單調遞減—16單調遞增

因此，當犬=-2時，/(X)有極大值，并且極大值為16；

當x=2時，/(x)有極小值，并且極小值為-16.

(3)因為/(x)=6—12x+d,所以r(x)=—12+3/?

令廣(%)=—12+3/=0,得％=±2.

下面分兩種情況討論：

①當_f(x)>0,即x<—2或%>2時；②當/'(x)<0,即一2<無<2時.

當x變化時，/'(x),“九)變化情況如下表：

X(-00,-2)-2(-2,2)2(2,+00)

/'(X)+0一0+

/(X)單調遞增22單調遞減-10單調遞增

因此，當x=-2時，/(X)有極大值，并且極大值為22；

當x=2時，有極小值，并且極小值為-10.

(4)因為/(x)=48x—/，所以尸(x)=48—3/.

令尸(x)=48-3/=0,得1=±4.

下面分兩種情況討論：

①當r(x)>0,即尤<—2或x>2時；②當/''(x)<0,即一2<x<2時.

當x變化時，變化情況如下表：

(-00,-4)-4(T4)4(4,+oo)

/'(X)—0+0—

/(x)單調遞減-128單調遞增128單調遞減

因此，當x=T時，/(x)有極小值，并且極小值為-128；

當％=4時，有極大值，并且極大值為128.

147

6、(1)在［-1,1］上，當x=-上時，函數/。)=6f+工+2有極小值，并且極小值為二.

1224

由于/(—1)=7，/(1)=9，

47

所以，函數/(》)=6必+%+2在上的最大值和最小值分別為9,—.

24

(2)在［-3,3］上，當％=-2時，函數/(x)=d—12x有極大值，并且極大值為16；

當x=2時，函數/(x)=x3-12x有極小值，并且極小值為-16.

由于/(—3)=9,”3)=—9，

所以，函數/(X)=X3_12X在［-3,3］上的最大值和最小值分別為16,-16.

(3)在［-上，函數/(x)=6-12X+X5在［—；1］上無極值.

由于〃」)=箸，阿=-5,

所以，函數/(x)=6-12x+/在［_」/］上的最大值和最小值分別為當，-5.

327

(4)當x=4時，/(x)有極大值，并且極大值為128..

由于/(-3)=-117,45)=115,

所以，函數/(x)=48x-/在卜3,5］上的最大值和最小值分別為128,-117.

習題3.3B組(P32)

1、(1)證明：設/'(x)=sinx-尤，xe(0,TT).

因為/'(x)=cosx—l<0,xe(0,TT)

所以/'(%)=5也%-了在(0,乃)內單調遞減

因此/(x)=sinx-x</(0)=0,xe(0,7i),BPsin%<%,xG(0,7i).圖略

(2)證明：設/(x)=x-f，xe(0,1).

因為/''(%)=l—2x,xe(O,l)

所以，當xw(0,5)時，/,(x)=l-2x>0,/(x)單調遞增，

/(x)=12〉/(0)=0；

當xe(g,l)時，/'(%)=1—2%<0,/(x)單調遞減，

/(x)=x-x2>/(l)=0；

Xy(1)=l>0.因此，x-x2>0,xe(O,l).圖略

(3)證明：設/(%)=靖—1—x,x^O.

因為/'(x)=eX—l,XHO

所以,當尤>0時，f'(x)=ex-l>0,單調遞增，

/(x)="——>/(0)=0；

當尤<0時，f'(x)=eA-1<0,/(x)單調遞減，

綜上，ex-l>x,XHO.圖略

(4)證明：設/(%)=lnx-x,x>0.

因為/''(x)=L—1,無20

X

所以，當0<%<1時，/(%)=--1>0,_/■(%)單調遞增，

X

/(x)=lnx-x</(I)=-1<0；

當x>l時，/'(%)=--1<0,/(%)單調遞減，

/(%)=lnx-x</(I)=-1<0；

當x=l時，顯然Inlvl.因此，］nx<x.

由(3)可知，ex>x+l>x,x>0.

.綜上，inx<x<ex,x>0圖略

2、(1)函數“^)=加+/+5+2的圖象大致是個“雙峰”圖象，類似“/、,，或“s”

的形狀.若有極值，則在整個定義域上有且僅有一個極大值和一個極小值，從圖象上能大致估

計它的單調區間.

(2)因為/(x)=ax3+Z?x2+cx+d,所以/'(%)=3ax2+2bx+c.

下面分類討論：

當時，分〃>0和〃<0兩種情形：

①當a>0,且"-3ac>0時，

設方程/'(x)=3ax2+2bx+c=0的兩根分別為七,々，且再<々，

當f(x)=3ax2+2bx+c>。，即％<占或%>%時，函數/(%)=+bx1+cx+d單調遞增;

當了'(%)=3〃%2+2bx+c<0,即再<%<9時，函數/(%)=ax3+bx2+cx+d單調遞減.

當〃>0,且/?2_3QC<0時，

止匕時/r(x)=3ax2+2bx+c>0,函數/(%)=ax3+bx2+cx+d單調遞增.

②當〃<0,且/一3QC>0時，

設方程/'(%)=3加+2Zzx+c=0的兩根分別為九1，%2，且王<犬2，

當fr(x)=3ax2+2bx+c>0,即再<X<々時，函數/(%)=+bx2+cx+d單調遞增；

當/'(%)=3。%2+2Zzx+c<0，即％或Jr〉馬時，函數/(%)=ad+"2+c%+d單調遞減.

當a<0,且"一3。。<0時，

止匕時/r(x)=3ax2+2bx+c<0,函數/(%)=展+bx2+cx+d單調遞減

1.4生活中的優化問題舉例

習題1.4A組(P37)

1、設兩段鐵絲的長度分別為X,1-X,則這兩個正方形的邊長分別為二，S,兩個正方

44

形的面積和為S=/(X)=(：)2+(7)2=,(2X2—2氏+/)，0<x</.

令r(x)=0,即4x—2/=0,x=g.

當xw(0,3)時，/(%)<0；當xe(g,/)時，/(x)>0.

因此，X=g是函數/(X)的極小值點，也是最小值點.

所以，當兩段鐵絲的長度分別是L時，兩個正方形的面積和最小.

2,T%*

2、如圖所示，由于在邊長為。的正方形鐵片的四角截去一Iq—T

四個邊長為X的小正方形，做成一個無蓋方盒，所以無

蓋方盒的底面為正方形，且邊長為。-2龍，高為x.

(1)無蓋方盒的容積V(x)=(a-2x)2%,Q<x<^.〃

(2)因為V(x)=4%3—4依2

(第2題)

所以V'(x)=12x2—8奴+/.

令『(x)=0,得x=巴(舍去)，或％=@.

26

當xe(0,q)時，V'(x)>0；當xc(q,q)時，V'(x)<0.

662

因此，x=V是函數V(x)的極大值點，也是最大值點.

所以，當x=3時，無蓋方盒的容積最大.

6

3、如圖，設圓柱的高為力，底半徑為R,

則表面積S=2=R/Z+2=R2

由丫="尺2〃，得〃=二.

兀R2

i,V,2V

因此，S(R)=2TIR--+2^=——+2"尺2,R>0.

兀R“R

2VV

令S'(R)=—--+4^7?=0,解得E=

R

當Re(01上)時，S'(R)<0；

V2兀

當ReQ上,+s)時，S'(R)>0.

V2兀

因此，R=是函數S(R)的極小值點，也是最小值點.此時，h=\=2&=2R.

所以，當罐高與底面直徑相等時，所用材料最省.

4、證明:由于/(x)」之(x-q)2,所以尸(x)=2之(x—q).

n;=in;=1

1ri

令1(%)=0,得％=一2《，

ni=i

1n

可以得到，x=.是函數〃%)的極小值點，也是最小值點.

n,=1

這個結果說明，用n個數據的平均值工之％表示這個物體的長度是合理的,

n;=i

這就是最小二乘法的基本原理.

5、設矩形的底寬為xm,則半圓的半徑為土m,半圓的面積為巴二n?,

28

2

矩形的面積為矩形的另一邊長為今―￡)m

e1/d7/、冗x2〃7ix”兀、2a八8a

因此鐵絲的長為/(%)=X~\--------(1H)%H90<%<J

2x44xVn

令r(x)=i+色-至=o,得％=、呼二(負值舍去).

4x2V4+^-

當X，。層M"；當X，(虐'竹)時’/，W>0-

因此，x=是函數/(%)的極小值點，也是最小值點.

所以，當底寬為、「亙m時，所用材料最省.

6、利潤L等于收入R減去成本C,而收入R等于產量乘單價.

由此可得出利潤L與產量q的函數關系式，再用導數求最大利潤.

收入R=q，p=q(25—q)=25(J—q?,

88

利潤L=K—C=(25“一,/)—(100+44)=—工/+2%一100,0<q<200.

88

求導得L，=—：q+21

令Z/=0,即—%+21=0,q=84.

當qe(0,84)時，L'>0；當qw(84,200)時，L'<0；

因此，q=84是函數L的極大值點，也是最大值點.

所以，產量為84時，利潤L最大，

習題1.4B組(P37)

1、設每個房間每天的定價為了元，

r—1SO1

2

那么賓館利潤￡(%)=(50--io)(%-20)=--X+70X-1360,180<x<680.

令L'(x)=—/x+70=0,解得x=350.

當xe(180,350)時，L'(x)>0；當xe(350,680)時，￡,(x)>0.

因此，x=350是函數L(x)的極大值點，也是最大值點.

所以，當每個房間每天的定價為350元時，賓館利潤最大.

2、設銷售價為x元/件時，

b—x4Sb

禾！J潤L(x)=(X-Q)(C+C------x4)=c(x-tz)(5——x),a<x<一.

bb4

人“、8c4ac+5bc八々刀”曰4a+5b

令1/(%)=——%+-----------=0,解得x=---------.

bb8

、[//4。+5~、一Y,/、八、1/Aa+5b5b、心“、八

當％W(Q,------)時，￡(%)>0；當％w(---------,一)時，￡(%)<0.

884

當x=《至是函數〃X)的極大值點，也是最大值點.

所以，銷售價為超3元/件時，可獲得最大利潤.

8

1.5定積分的概念

練習(P42)

8

3-

說明：進一步熟悉求曲邊梯形面積的方法和步驟，體會“以直代曲”和“逼近”的思想.

練習(P45)

,,1?12

1、As產As,'=v(-)Ar=[-(-)2+2]--=-(-；)9,—1-?一,1=1,2,，幾.

nnnnnn

于是§=z加產Z=Z

z=li=li=l〃

力-(與，+馬

二nnn

222

=-(-)----(^)---(-)■-+2

nnnnnn

=-^[l+22++W2]+2

n

1n(n+1)(2〃+1).

=—--------------------1-2

"36

=--(l+-)(l+—)+2

3n2n

取極值，得

s=lim￡[-v(-)]=lim^[-^-(l+--)(1+^-)+2]=1

nnn18n3,n2n3

說明：進一步體會“以不變代變”和“逼近,”的思想.

22

2、——km.

3

說明：進一步體會“以不變代變”和“逼近”’的思想，熟悉求變速直線運動物體路程的方法

和步驟.

練習(P48)

,2々

x3dx=4.該七明：進一步熟悉定積分的定義和幾何意義.

Jo

從幾何上看，表示由曲線y=d與直線％=0,尤=2,y=0所圍成的曲邊梯形的面積S=4.

習題1.5A組(P50)

WO；_11

1、(1)［2(x-l)tZx?￥［(1+——)-l］x——=0.495；

Ji￡100100

2500?_11

(2)r「(x—1)仆>［(1+——)-l］x——=0.499；

Jl白500500

WOO1

(3)「2(x—1)小>［(1+---)-l］x-----=0.4995.

Jl官10001000

說明：體會通過分割、近似替換、求和得到定積分的近似值的方法.

2、距離的不足近似值為：18x1+12x1+7x1+3x1+0x1=40(m)；

距離的過剩近似值為：27x1+18x1+12x1+7x1+3x1=67(m).

3、證明：令/(x)=l.用分點?=%0<Xj<<<%,<<4=b

將區間［a,b］等分成〃個小區間，在每個小區間［%._］，知上任取一點。。=L2,,,

nn

作和式=￡---n--=b-a,

i=li=l〃

從而fIdx=limV-——=b-a,

JanT9yi

i=l

說明：進一步熟悉定積分的概念.

4、根據定積分的幾何意義，J；J1-甘力；表示由直線％=0,x=l,y=0以及曲線丫=51—%2

所圍成的曲邊梯形的面積，即四分之一單位圓的面積，因此二無=?.

/?0.1

5、(1)Ixdx——.

J-i4

由于在區間［-1,0］上工3?0,所以定積分『/dx表示由直線無=0,x=-l,y=o和曲線

y=d所圍成的曲邊梯形的面積的相反數.

(2)根據定積分的性質，得fx,dx=fx3dx+［x,dx=-—+—=0.

J-iJ-iJo44

由于在區間［-1,0］上KO,在區間［0,1］上d20,所以定積分,產3公等于位于工軸上方的

曲邊梯形面積減去位于％軸下方的曲邊梯形面積.

(3)根據定積分的性質，得［-2x^dx=,f0x5dx+［x3dx=--1-1-4=—15

J-iJ-iJo44

由于在區間［-1,0］上尤3K0,在區間［0,2］上920,所以定積分『產3dx等于位于工軸上方的

曲邊梯形面積減去位于x軸下方的曲邊梯形面積.

說明：在(3)中，由于/在區間［—1,0］上是非正的，在區間［0,2］上是非負的，如果直接利

用定義把區間［-1,2］分成"等份來求這個定積分，那么和式中既有正項又有負項，而且無法抵

擋一些項，求和會非常麻煩.利用性質3可以將定積分「三心化為「\3必；+1》3公，這樣，/

J-lJ-lJo

在區間和區間。2］上的符號都是不變的，再利用定積分的定義，容易求出［產3公，

1V公，進而得到定積分廣產3公的值.由此可見，利用定積分的性質可以化簡運算.

在(2)(3)中，被積函數在積分區間上的函數值有正有負，通過練習進一步體會定積分的

幾何意義.

習題1.5B組(P50)

1、該物體在f=0到，=6(單位：s)之間走過的路程大約為145m.

說明：根據定積分的幾何意義，通過估算曲邊梯形內包含單位正方形的個數來估計物體走過

的路程.

2、(1)v=9.81r.

8j11QXQ

(2)過剩近似值：y9.81x-x-=9.81x-x——=88.29(m)；

tT2242

8；—111Rv7

不足近似值：y9.81x^x-=9.81x-x—=68.67(m)

￡2242

(3)［9.81A*；［9.81d=78.48(m).

JoJo

3、(1)分割

在區間［0,/］上等間隔地插入〃-1個分點，將它分成n個小區間：

［0,-］,……,［^^-,1］,

nnnn

記第i個區間為［四二更,U］(z=l,2,..n),其長度為

nn

人il(z-l)ZI

nnn

把細棒在小段［0」］,d，3］,……，［生二尊力上質量分別記作：

nnnn

八叫，△加2，,△加〃,

則細棒的質量△叫.

1=1

(2)近似代替

當"很大，即Ar很小時，在小區間上，可以認為線密度P(x)=f的值變

nn

化很小，近似地等于一個常數，不妨認為它近似地等于任意一點。.處的函數

nn

值/0=會于是，細棒在小段四二更當上質量Am產=(z=l,2,〃).

nnn

(3)求和

flfifi7

得細棒的質量m=XA〃Z=￡身-.

i=li=li=l〃

(4)取極限

細棒的質量m=limy^2—,所以根=『》2公..

n—>00ytJO

1.6微積分基本定理

練習(P55)

50(3)迪—2；(4)24；

(1)50；(2)

33

31

(5)——ln2；(6)-；(7)0；(8)-2.

22

說明：本題利用微積分基本定理和定積分的性質計算定積分.

習題1.6A組(P55)

409

1、(1)(2)---31n2；(3)-+In3-ln2；

322

_n/u、3/.

(4)(5)——+1；(6)e2—e—2In2.

~~68

說明：本題利用微積分基本定理和定積分的性質計算定積分.

2、J。sinxdx=[-cosx]^-2.

它表示位于X軸上方的兩個曲邊梯形的面積與X軸下方的曲邊梯形的面積之差.或表述為：

位于X軸上方的兩個曲邊梯形的面積(取正值)與X軸下方的曲邊梯形的面積(取負值)的代

數和.

習題1.6B組(P55)

1、(1)原式=弓62寸)=[一；；(2)原式=[；sin2x]?=g—9；

(3)原式=[^-.

In21In2

r兀cosinx1

2、(1)sinmxdx=[---------f乃=---[cosm兀-cos(-mTr)]=0；

)一冗mm

(2)fcosmxdx=‘i11mx匕乃=—[sinmji-sin(-m^)]=0；

1冗mm

/c、1?2ry1-cos2iwc7xsin2mxM

(3)Jsinmxdx=J------------cbc=r[------------]_?=7i；

/“、1,i1+cos2mx_xsin2mxM

(4)cosm2xdx-----------------cbc=r[—+--------]”=??

kth2t

3、(1)5(0=￡-(1-e-)dt=[-t+-^e-y0=-t+-^e*_與=4%+245e-°--245.

"kkkkkk

(2)由題意得4%+245e"'-245=5000.

這是一個超越方程，為了解這個方程，我們首先估計t的取值范圍.

根據指數函數的性質，當f>0時，從而5000<49r<5245,

50005245

因此,----<t<-----

4949

因止匕245/°入石土3.36x10',245/,必而?1.24xl0-7,

所以，1.24x10-7<245e{2'<3.36x101

從而，在解方程4%+2456“，_245=5000時，245e"r可以忽略不計.

5245

因止匕，.49/—24575000,解之得----(s).

49

說明：B組中的習題涉及到被積函數是簡