2025屆新高考數學精準沖刺復習計數原理與概率

考點梳理考情回顧高考預測統計圖表與統

計量2023新高考Ⅰ卷第9題2021新高考Ⅰ卷第9題2021新高考Ⅱ卷第9題1.統計圖表與統計量：通常

以頻率分布直方圖、條形圖

等為背景，重點考查平均

數、方差、百分位數等.2.計數問題：重點考查兩個

計數原理和二項式定理等.3.概率：重點考查事件的關

系，以及和事件、積事件、

互斥事件、相互獨立事件的

概率.計數原理與二

項式定理2023新高考Ⅰ卷第13題2023新高考Ⅱ卷第3題2022新高考Ⅰ卷第13題2022新高考Ⅱ卷第5題事件的關系與

概率2023新高考Ⅱ卷第12題2022新高考Ⅰ卷第5題2021新高考Ⅰ卷第8題

1.（2022·新高考Ⅱ卷）甲、乙、丙、丁、戊5名同學站成一排參加文藝

匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同的排列方式共有（

B

）A.12種B.24種C.36種D.48種2.（2022·新高考Ⅰ卷）從2至8的7個整數中隨機取2個不同的數，則這2個

數互質的概率為（

D

）BD3.（2022·全國甲卷）某社區通過公益講座來普及社區居民的垃圾分類

知識.為了了解講座效果，隨機抽取10位社區居民，讓他們在講座前和

講座后各回答一份垃圾分類知識問卷，這10位社區居民在講座前和講座

后問卷答題的正確率如圖所示，則下列說法中正確的是（

B

）A.講座前問卷答題的正確率的中位數小于70％B.講座后問卷答題的正確率的平均數大于85％C.講座前問卷答題的正確率的標準差小于講座后問卷答題的正確率的

標準差D.講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前問卷答題的正確率的極

差答案：B4.（多選）（2023·新高考Ⅰ卷）有一組樣本數據

x

1，

x

2，…，

x

6，其中

x

1是最小值，

x

6是最大值，則下列說法中，正確的是（

BD

）A.x2，x3，x4，x5的平均數等于x1，x2，…，x6的平均數B.x2，x3，x4，x5的中位數等于x1，x2，…，x6的中位數C.x2，x3，x4，x5的標準差不小于x1，x2，…，x6的標準差D.x2，x3，x4，x5的極差不大于x1，x2，…，x6的極差

BD－28

1.統計量（1）

平均數反映了數據取值的平均水平；標準差、方差描述了一組數

據圍繞平均數波動的大小.標準差、方差越大，數據的離散程度越大，

越不穩定；標準差、方差越小，數據的離散程度越小，越穩定.（2）

百分位數的計算步驟第一步：按從小到大排列原始數據.第二步：計算

i

＝

n

×

p

％.第三步：若

i

不是整數而大于

i

的最小整數為

j

，則第

p

百分位數為

第

j

項數據；若

i

是整數，則第

p

百分位數為第

i

項與第（

i

＋1）項

數據的平均數.

3.事件的關系與概率（1）

和事件的概率：

P

（

A

＋

B

）＝

P

（

A

）＋

P

（

B

）－

P

（

AB

）；特別地，若兩個事件互斥，則

P

（

A

＋

B

）＝

P

（

A

）＋

P

（

B

）.（2）

積事件的概率：

P

（

AB

）＝

P

（

A

）·

P

（

B

｜

A

）；特別地，若兩個事件相互獨立，則

P

（

AB

）＝

P

（

A

）

P

（

B

）.AB

BB（3）

全概率公式

熱點1

計數原理與二項式定理[典例設計]例1（1）

（2023·衡陽聯考）第22屆國際足聯世界杯于2022年11月20

日至2022年12月18日在卡塔爾舉行.現要安排甲、乙等5名志愿者去A，

B，C三個足球場服務，要求每個足球場都有人去，且每人只能去一個

足球場，則甲、乙兩人被分在同一個足球場的安排方法共有（

C

）A.12種B.18種C.36種D.48種C

（2）

（2022·岳陽質檢）將唱歌、跳舞、小品、雜技、相聲五個節目制成一個節目單，其中小品、相聲不相鄰且相聲、跳舞相鄰的節目單共有

36

種（用數字作答）.[對點訓練]1.（2023·內江模擬）現安排編號分別為1，2，3，4的四位志愿者去做

三項不同的工作，若每項工作都需安排志愿者，每位志愿者恰好安排一

項工作，且編號為相鄰整數的志愿者不能被安排做同一項工作，則不同

的安排方法共有（

C

）A.36種B.24種C.18種D.12種

C1234567891011121314151617181920212223242.如圖，玩具計數算盤的三檔上各有7個算珠，現將每檔算珠分為左、

右兩側，左側的每個算珠表示數2，右側的每個算珠表示數1（允許一側

沒有算珠），記上、中、下每檔的數字之和分別為

a

，

b

，

c

.若

a

，

b

，

c

成等差數列，則不同的分珠方法共有

種.32

[典例設計]

解：令

x

＝1，可得

a

0＋

a

1＋

a

2＋

a

3＋

a

4＋

a

5＝35＝243.令

x

＝－1，可

得

a

0－

a

1＋

a

2－

a

3＋

a

4－

a

5＝1.所以（

a

0＋

a

2＋

a

4）2－（

a

1＋

a

3＋

a

5）2＝（

a

0＋

a

1＋

a

2＋

a

3＋

a

4＋

a

5）（

a

0－

a

1＋

a

2－

a

3＋

a

4－

a

5）＝

243.

總結提煉

（1）

求多個二項展開式中特定項的方法對于幾個多項式的積的展開式中的特定項問題，一般都可以根據因式

連乘的規律，結合組合思想求解，但要注意適當地分類討論，以免重

復或遺漏.（2）

賦值法研究二項展開式的系數和問題“賦值法”普遍適用于恒等式，是一種重要的方法，對形如（

ax

＋

b

）

n

（

cx

＋

d

）

m

（

a

，

b

，

c

，

d

∈R）的式子求其展開式的各項系數

之和，常用賦值法.[對點訓練]3.在1＋（1＋

x

）＋（1＋

x

）2＋（1＋

x

）3＋（1＋

x

）4＋（1＋

x

）5＋

（1＋

x

）6的展開式中，含

x

3項的系數是

（

C

）A.25B.30C.35D.40

C4.（2023·武漢模擬）在（

x

2－2

x

－1）5的展開式中，含

x

3項的系數

為

?.

－40

熱點2

統計圖表與統計量[典例設計]例3（1）

（2023·浙江聯考模擬）如圖所示為我國跨境電商在2016～

2022年的交易規模與增速圖，則下列結論中，正確的是（

D

）A.這7年我國跨境電商交易規模的平均數為8.0萬億元B.這7年我國跨境電商交易規模的增速越來越快C.這7年我國跨境電商交易規模的極差為7.6萬億元D.圖中我國跨境電商交易規模的6個增速的中位數為13.8％答案：D

（2）

（多選）（2023·銅陵三模）近年來，加強青少年體育鍛煉，重視

體質已經在社會形成高度共識.某校為了了解學生的身體素質狀況，舉

行了一場體能測試.現隨機抽取200名學生的測試成績，進行適當分組

后，畫出如下頻率分布直方圖，則下列說法中，正確的是（

ACD

）A.a＝0.020B.在被抽取的學生中，成績在區間[80，100]內的學生有70人C.估計全校學生體能測試成績的平均數是77.5分D.估計全校學生體能測試成績的第69百分位數是84分答案：ACD

總結提煉

（1）

準確理解各類圖表的含義在解決統計圖表的相關問題中，需準確審圖，弄清楚圖表的含義和區

別是解決此類問題的關鍵，如條形圖的高度表示頻數，頻率分布直方

圖的面積表示頻率，扇形統計圖描述各部分占總體的百分比.（2）

準確理解頻率分布直方圖中的各種“數”①

眾數：最高小矩形底邊中點的橫坐標；②

中位數：垂直于橫軸且平

分頻率分布直方圖的面積的直線與橫軸交點的橫坐標；③

平均數：頻

率分布直方圖中每個小矩形的面積乘小矩形底邊中點的橫坐標之和.[對點訓練]5.（多選）中國營養學會把走路稱為“最簡單、最優良的鍛煉方式”，

它不僅可以幫助減肥，還可以增強心肺功能、血管彈性、肌肉力量等.

甲、乙兩人利用手機記錄了去年下半年每個月的走路里程（單位：千

米），現將兩人的數據繪制成如圖所示的折線圖，下列說法中，正確的

是（

ABC

）A.甲走路里程的極差是11千米B.乙走路里程的中位數是27千米C.甲下半年每月走路里程的平均數小于乙下半年每月走路里程的平均

數D.甲下半年每月走路里程的標準差小于乙下半年每月走路里程的標準

差答案：ABC

熱點3

和事件、積事件的概率[典例設計]例4現將除顏色外其他完全相同的6個紅球和6個白球平均放入A，B兩

個不透明的盒子中（A中3個紅球、3個白球，B中3個紅球、3個白

球），甲從盒子A中，乙從盒子B中各隨機取出一個球，若2個球同色，

則將取出的2個球全部放入盒子A中；若2個球異色，則將取出的2個球全

部放入盒子B中.按上述規則取球兩次后，盒子