第06講函數的零點與方程的解

號目標導航

課程標準課標解讀

1.了解函數的零點與方程的解的關系，

并能結合函數的圖象判定函數的零點.

通過本節課的學習，要求能判定函數零點的存在，同時

2.能根據函數零點存在性定理對函數零點

能解決與函數零點相結合的綜合問題.

存在進行判定，同時能處理與函數零點問

題相結合的求參數及綜合類的問題.

冊:知識精講

空、知識點01函數的零點

函數零點的概念

對于函數y=/(x),我們把使/(x)=0的實數x叫做函數y=/(x)的零點.

【微點撥】1.函數的零點是實數，而不是點.

2.并不是所有的函數都有零點.

3.若函數有零點，則零點一定在函數的定義域內.

受'知識點02函數零點與方程根的聯系

函數丁=/(幻的零點就是方程/(x)=0的實數根，也就是函數y=/(x)的圖象與x軸的交點的橫坐

標.所以方程/(X)=0有實數根=函數y=/(x)的圖象與x軸有交點。函數y=f(x)有零點.

【微點撥】函數的零點、函數的圖象、方程的根的關系.

髻'知識點03函數零點的判斷

如果函數y=/(x)在區間切上的圖象是連續不斷的一條曲線，并且有了(。>/9)<0,那么，函數

,=/。)在區間(。力)內有零點，即存在ce3,6),使得/'??)=(),這個c也就是方程/(x)=0的根.

注意：由零點存在性定理只能判斷出零點存在，不能確定零點的個數.

【微點撥】函數零點的求法

(1)代數法：求方程yu)=o的實數根.

(2)幾何法：與函數y=/(x)的圖象聯系起來，圖象與x軸的交點的橫坐標即為函數的零點.

(3)圖象法：如果函數F(x)能夠寫成F(x)=g(x)-/z(x)形式，則可以看做產g(x)和y=/?(x)圖像交點的橫坐標

【即學即練1】函數尸2儲—3x+l的零點是()

【答案】A

【分析】

令函數值為0,解方程，即可得出結論.

【詳解】

令2丁-3》+1=0，解得X=1或X

函數y=2/_3x+l的零點為1,；

故選：A.

【即學即練2】函數〃x)=C；-x-2的零點所在的區間為(

A.(-3,-2)B.(-2,-1)C.(-1,0)D.（0,1）

【答案】C

【分析】

結合函數零點的存在性定理即可得出結果.

【詳解】

2

因為〃x）=-犬-2是連續的減函數,

/(-3)=—35>0,/(-2)=9^>0,

o4

77

/(-l)=1+l-2>0,/(0)=l-2<0,/(l)=--<0,

有/(-l)/(0)<0,所以/(x)的零點所在的區間為(-1,0).

故選：C

【即學即練3】已知方程必+(相-2)x+5-m=0有兩個不相等的實數根，且都大于2,則實數，"的取值范圍

是()

A.(—5,—4)(4,4-oo)B.(—5,-Ko)

C.(-5,-2)D.(—4,—2)k?J(4,+oo)

【答案】C

【分析】利用二次函數根的分布求解即可.

【解答】解：令/(幻二/+⑺一2?+5-m，

則由已知可得函數/(x)與工軸有兩個不同的交點，且都在2的右側,

二(加-2)2-4(5一團)〉0

由圖可得:^->2,解得：-5<m<-2,

2

/(2)=4+(/n-2)x2+5-m>0

故機的取值范圍為：(-5,-2),

故選：C.

【點評】本題考查了二次函數根的分布問題，涉及到數形結合思想，屬于一基礎題.

【即學即練4】已知函數次x）的圖象是連續不斷的，有如下的x,?r）的對應表

X123456

式X）136.1315.552-3.9210.88-52.488-232.064

則函數7（x）存在零點的區間有（）

A.區間［1,2］和［2,3］B.區間［2,3］和［3,4］

C.區間［2,3］、［3,4］和［4,5］D.區間［3,4］、［4,5］和［5,6］

【答案】C

【解析】本題考點是零點存在問題,因為42）＞0,13）＜0,44）＞0,＜5）＜0,所以在區間［2,3］,［3,4］,［4,5］內

有零點.

【即學即練5］/（x）=』-3了-4的零點是.

【答案】4,-1

【分析】

令〃x）=0,解方程即可求解

【詳解】

由=丁_3x_4=0,g|J（x-4）（x+l）=0,

解得x,=4,x2=-l.

故答案為：4,-1

【即學即練6］若方程儲+（1-左）%-2僅+1）=0的一個根在區間（2,3）內，則實數攵的取值范圍是

A.（3,4）B.（2,3）

C.（1,3）D.（1,2）

【答案】D

【解析】設/（%）=X2+。一攵）%-2伙+1）,對于方程/+0一攵）》一2（攵+1）=0,判別式為

4=（1—左）2—4xlx］—2僅+1）］=伙+3）&0,當&=一3時，函數/（力的唯一零點為％=-2定（2,3）,

故要使方程42+（—左戶一2（左+1）=0的一個根在區間（2,3）內,只需〃2卜〃3）＜0,即

（4—4k）《IO-5k）＜0,解得1＜攵＜2,故選D.

口能力拓展

考法01

函數零點的求法

求函數的零點一般有兩種方法.

(1)代數法：根據零點的定義，解方程/(x)=(),它的實數解就是函數y=/(x)的零點.

(2)幾何法：若方程/(x)=()無法求解，可以根據函數y=/(x)的性質及圖象求出零點.

【典例1］已知函數/0)=1°8!(2-》)+1。8產.

22

(1)求函數『(x)的定義域;

(2)求函數f(x)的零點.

【答案】(1)(0,2)；(2)1.

【分析】

(1)根據真數大于0即可.

(2)令f(x)=0即可.

【詳解】

f2-x>0

(I)由已知可得《八，解得0<x<2,;J(x)的定義域為(0,2).

［x>0

(2)/(x)=log|(-/+2*，xe(O,2),

2

由/Xx)=0得—f+2x=l,即V—2x+l=0,解得x=l,

，f(x)的零點是1.

【即學即練7］若函數/(x)=f一辦+。的兩個零點是2和3,則函數8(%)=加一辦一1的零點是()

工1?1

A.—1和一B.1和

66

1*11*廠

C.一和一D.---和J3

232

【答案】B

【解析】函數〃％)=%2-始；+6的兩個零點是2和3,由函數的零點與方程根的關系知方程/一,江+爐0

的兩根為2和3.

【即學即練8]已知函數/(x)=<2"一_]'x<"]，則函數/(X)的零點為________.

1+log2x,x>i

【答案】0

【解析】當xWl時，由/。)=2'—1=0,解得x=0；

當尤>1時，由/(x)=l+log2X=0,解得x=g,又因為無>1,所以此時方程無解.

綜上，函數/(x)的零點為0.

【名師點睛】求函數的零點就是求使這個函數的函數值為零時的自變量的值，即解相應的方程.若遇到解

高次方程，可用因式分解法.

考法02

函數零點個數的判斷方法

(1)解方程法：令f(X)=0,如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點.

(2)零點存在性定理法：利用定理不僅要求函數在區間口，回上是連續不斷的曲線，且/(a)-f(b)<0,

還必須結合函數的圖象與性質(如單調性、奇偶性、周期性、對稱性)才能確定函數有多少個零點或零點

值所具有的性質.

(3)數形結合法：轉化為兩個函數的圖象的交點個數問題，先畫出兩個函數的圖象，看其交點個數，其中

交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點.

【典例2】函數1》)=2，+/—2在區間(0,1)內的零點個數是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】因為,"0=2”12+3/>0,所以函數yU)=2'+/-2在(0,1)上遞增，且火0)=1+0—2=—1<0,

/(1)=2+1-2=1>0,所以有1個零點.

(2)已知0<。<1,則函數y=aWTlog?x|的零點的個數為.

【答案】2

【解析】函數丁=即一|1。8,國的零點的個數即為方程加=|log“x|的解的個數，也就是函數

/(x)=aW(0<a<1)與g(x)=|log“玳0<a<1)的圖象的交點的個數.

畫出函數圖象如圖所示,

觀察可得函數/（?=臚（0<。<1）與g（x）=|log。目（0<a<l）的圖象的交點的個數為2,從而函數

y=臚-|lognx|的零點的個數為2.

【名師點睛】判斷函數/（x）=〃（x）-g（x）的零點個數問題，可采用數形結合的方法.

考法03

判斷函數零點、方程的根所在的區間

確定函數的零點（方程的根）所在的區間時，可以利用零點的存在性定理轉化為判斷區間兩端點對應

的函數值是否異號來確定，也可以利用數形結合法，通過畫函數圖象與x軸的交點來確定.

【典例3】以下函數在區間（0,g）上必有零點的是（）

1?4

A.y=2B.C.y=\n（x+—）D.y=2x+l

xJ5

【答案】c

【分析】

根據題意，依次分析選項中函數在區間（0,3）上有沒有零點，綜合即可得答案.

【詳解】

根據題意，依次分析選項：

對于A：,），=[=?,在區間（0,1）單調遞增，且y>0恒成立，在區間（0,；）上沒有零點，不符

合題意；

對于B,y=3，W=春，在區間（0,1）單調遞增，且有y>0恒成立，在區間（0,上沒有零點，不

符合題意；

411

對于C,y=\n（戶=），當工=二時，y=lnI=0,區間（0,—）匕有零點，符合題意；

對于D,y=2x+l,在區間（0,1）單調遞增，且y>0恒成立，在區間（0,1）上沒有零點，不符合題意.

故選：C.

【即學即練9]函數f（x）=log2x+x+l的零點所在的區間是（）

【答案】C

【分析】連續函數f(x)=log2X+x+l在(0*)上單調遞增，推出個)<0,是)>0,根據函數的零點的

判定定理可求.

【解答】解：連續函數/(幻=1密》+》+1在(0,y0)上單調遞增,

,/、.11..14,/2、，源，河八

=g2

'/3嗚§+§+1=°§+§=°g2（12）=log2-y<log2-y<0,

沖尺)<0,

f(x)=log2X+X+1的零點所在的區間為(g>；),

故選：C.

【點評】本題主要考查了函數零點的定義及判定定理的應用，屬于中檔題.

考法04

求與零點(或方程的根)有關的參數的取值范圍

(1)已知函數零點所在區間求參數或參數的取值范圍

根據函數零點或方程的根求解參數的關鍵是結合條件給出參數的限制條件，此時應分三步:

①判斷函數的單調性；

②利用零點存在性定理，得到參數所滿足的不等式；

③解不等式，即得參數的取值范圍.在求解時，注意函數圖象的應用.

(2)已知函數零點的個數求參數或參數的取值范圍

一般情況下，常利用數形結合法，把此問題轉化為求兩函數圖象的交點問題.

2x-a,x>0

【典例4】已知函數〃x)=有三個不同的零點,則實數。的取值范圍是

x2+ax+a,x<0

【答案】(4,48)

【分析】

原問題等價丁一：當后0時，方程2"-a=0有一個非負根，當x<0時，方程/+5+a=0有兩個不等負根,

列出不等式組即可求解.

【詳解】

解：函數/(力=2：一”'讓°八有三個不同的零點，即了(力=0有三個不等實根，

[x+ax+a,x<0

因為X?+ar+a=O至多兩個根，2*-a=0至多，,個根，

所以原問題等價于：當忘0時，方程2*-<2=0有一個非負根，當X<0時，方程/+0￥+4=0有兩個不等負

根，

2°-a<0

所以有，a>0,解得〃>4,

a2-4a>0

所以實數。的取值范圍是(4,例)，

故答案為：(4，口).

【即學即練10】函數f(x)=2'-：-a的一個零點在區間(1,3)內，則實數”的取值范圍是()

A.(7,+oo)B.(—oo,—l)C.(7,+oo)D.(-1,7)

【答案】D

【分析】

3

先判斷出/(x)=2'-3-a在(0,+℃)上是增函數，利用零點存在定理列不等式，即可求〃的范圍.

x

【詳解】

?；y=2、和y=-2在(0,e)上是增函數，

x

3

f⑴=2、-三-a在(0,+8)上是增函數，

x

二只需/(1>/(3)<0即可,BP(-l-a)-(7-a)<0,解得-l<a<7.

故選：D.

考法05

二次函數的零點與一元二次方程根的分布問題

(1)二次函數,y=av2+Zzx+c(a>0)的零點：

/>0/=0/<0

時需要從三個方面考慮：①判別式；②區間端點函數值的正負；③對稱軸％=-2與區間端點的關系.

2a

【典例5］已知函數/'(x)=f+2(m+l)x+2/n+6.

(1)若方程/(x)=0有兩個正根.求機的取值范圍;

(2)若函數“X)至少有一個大于-2的零點，求〃?的取值范圍.

【答案】(1)-3<m<-\［5;(2)卜8,一百］VJ(3,+8).

【分析】

(1)由判別式ANO,兩根之和大于0,兩根之積大于0列不等式組，解不等式組即可求解;

(2)分兩種情況討論：①f(x)的兩個零點一個大于-2,一個小于等于-2,②f(x)的兩個零點均大于-2,

由二次函數根的分布列不等式組即可求解.

【詳解】

(I)設/(x)=0的兩根分別為外,尤2,

A=4（//2+l）~-4（2/n+6）>0tn<一小或m>A/5

由題意知：,%=-2（m+1）>。即<tn<-1

X^X2=2/72+6>0m>-3

所以一3<n?W-A/5,

所以加的取值范圍為：-3<m<-V5

(2)①若/(x)的兩個零點一個大于-2,一個小于等于_2,

貝Ij/(-2)=4-4(加+1)+2，〃+6=6-2加<0,可得：m>3

當/(—2)=0時，加=3,此時/(x)=』+8x+12=(x+2)(x+6)不合題意,

②〃x)的兩個零點均大于-2,

22

A=4(/n+l)-8An-24=4(w-5)>0m<一6或相>\[5

則./(-2)=6-2m>0即<m<3

-(/n+l)>-2.m<l

所以〃2W—>/5，

綜上所述，加的取值范圍為(YO，-石卜(3,+8).

【即學即練II】已知函數y=V+〃?x+2,下列說法中正確的是()

A.當〃7>2夜時，函數有2個零點

B.當機<0時，函數有2個正零點

C.若函數在(1，+8)上有2個零點，則〃?>-3

D.若函數有2個零點，且其中一個大于-1,另一個小于-1,則〃?>-3

【答案】A

【分析】

結合二次函數零點分布、判別式等知識對選項逐一分析，由此確定正確選項.

【詳解】

A選項：當機>2正時，A=/n2-4x2=w2-8>0,故函數有兩個零點，故A正確;

B選項：若“=-1,則4=加一8<0，沒有零點，故B錯誤；

C選項：若函數在(1，+8)上有2個零點，

m

——>1

2

則有<1+旭+2>0,

A=/H2-8>0

解得：-3<m<-272,故C錯誤；

D選項：由題意可知，當x=—1時，y=l+2<。,

解得：加>3,故D錯誤.

故選:A.

忽略零點存在性定理成立的條件

【典例6】函數/(x)=x+，的零點個數為()

X

A.0B.1

C.2D.3

【錯解】因為/(一1)=一2<(),/(1)=2>0,所以函數/(x)有一個零點，故選B.

【錯因分析】函數的定義域決定了函數的一切性質，分析函數的有關問題時必須先求出函數的定義域.通

過作圖(圖略)，可知函數/'(x)=x+L的圖象不是連續不斷的，而零點存在性定理不能在包含間斷點的

X

區間上使用.

【正解】函數/(X)的定義域為{x|x#O},當x>0時，/(X)>0；當x<0時，f(x)<Q.

所以函數/(x)沒有零點，故選A.

【名師點睛】零點存在性定理成立的條件缺一不可，如果其中一個條件不成立，那么就不能使用該定理.

M分層提分

題組A基礎過關練

2

1.函數/(%)=ln(x+1)---的零點所在的大致區間是()

X

A.(3,4)B.(2,e)

C.(1,2)D.(0,1)

【答案】C

2

【解析】???/(%)=ln(%+l)一一在(0,+oo)單調遞增，:/(I)=ln2-2<0,/(2)=ln3-l>0,.V(1)/

x

(2)<0,...函數的零點在(1,2)之間，故選C.

2.方程2*=2-x的根所在區間是()

A.(-1,0)B.(2,3)

C.(1,2)D.(0,1)

【答案】D

【解析】令f(x)=2x+x-2,則/(0)=1-2=-1<0,/(I)=2+1-2=1>0,：.f(0)/(1)<0,二函數/(x)

在區間(0,1)上必有零點，①

XV2'>0,ln2>0,：.f(x)=2'ln2+l>0,...函數f(x)在R上單調遞增,至多有一個零點.②

綜上①②可知：函數/(x)=2，+x-2在R有且只有一個零點沏，且(0,1).

即方程2，=2-x的根所在區間是(0,1).故選D.

3.若a<b<c，則函數/(同="-。)(》-。)+(》一。)(工一(;)+(X一(;)(*一4)的兩個零點分別位于區間()

(A)(a,5)和伍,c)內(B)(-co,a)和(a,》)內

(C)他,。)和(。,+8)內(D)(-co,a)和(C,+8)內

【答案】A

【解析】由題意a<6<c,可得/(a)=(a—6)(。—。)>0,fl,b)=(b—c)(b—a)<0,

_/(c)=(c-a)(c-力>0.顯然貝a)y(與<0,所以該函數在(a,〃)和S，c)上均有零點，故選A.

4.函數/3=卜2一1)占2一4的零點個數是()

A.1B.2

C.3D.4

【答案】B

【解析】要使函數有意義，則小-420,即應2或正-2.由/(x)=0得/-4=0或/_[=0(不成立

舍去).即x=2或x=-2,；.函數的零點個數為2個.故選B.

5.列函數中，既是偶函數又存在零點的是()

A.y=ln%B.錯誤!未找到引用源。c.y=sin%D.y=cosx

【答案】D

【解析】本題主要考查函數的奇偶性和零點的概念.

選項A：錯誤!未找到引用源。的定義域為(0,+8)，故錯誤!未找到引用源。不具備奇偶性，故A錯誤；

選項B：錯誤!未找到引用源。是偶函數，但錯誤!未找到引用源。無解，即不存在零點，故8錯誤；

選項C：錯誤!未找到引用源。是奇函數，故C錯：選項￡>：錯誤!未找到引用源。是偶函數，

且錯誤!未找到引用源。錯誤!未找到引用源。，錯誤!未找到引用源。，故。項正確.

6.若/(x)為奇函數，且xo是(x)-e*的一個零點，則-xo一定是下列哪個函數的零點()

A.y=/(x)e'+lB.y=f(-x)eJ-l

C.y=f(x)eA-lD.y=f(-x)e'+l

【答案】A

【解析】??>)是y=/(x)-e，的一個零點，.?./(知)-e&=0,又為奇函數，

〃-Xo)+e*。

Ai,

：.f(-X0)=-/'(x0)./.-/■(-xo)-e%=0,即F(-xo)+e~=0,故/(-xo)e-+1=0；

故TO一定是y=/(x)ev+l的零點，故選A.

7.函數/(x)=d-x_l的零點所在的區間是()

A.(-oo,-l)B.(-1,0)C.(0,1)D.(l,+oo)

【答案】D

【分析】判斷函數的連續性，由零點判定定理判斷求解即可.

【解答】解：函數/。)=/一彳-1是連續函數,

/(0)=0-0-1<0

f(1)=1-1-1<0

x=2時，(2)=8-2-1=5>0.

:.f(1)f(2)<0,

由零點判定定理可知函數的零點在(1,2).

因為(1,2)=(1,+00),函數的零點所在的區間是

故選：D.

【點評】本題考查了函數零點的判定定理的應用，屬于基礎題.

8.若方程-f+奴+4=0的兩實根中一個小于-1,另一個大于2,則a的取值范圍是()

A.(0,3)B.[0,3]

C.(-3,0)D.(-a),0)D(3,+oo)

【答案】A

【分析】令/（幻=-/+6+4,則由題意利用二次函數的性質，求得實數a的取值范圍.

【解答】解：令/（幻=_/+5+4,

由題意，可得第：。。

|-l-a+4>0

即1-4+2。+4>0所以OVCY3,

故選：A.

【點評】本題主要考查一元二次方程根的分布與系數的關系，二次函數的性質，體現了函數思想，屬于基

礎題.

9.設即，分別是函數/（X）和g（x）=xlog^-l的零點（其中a>\）,則為+依的取值范圍是（）

A.[4,+oo）B.（4,+oo）

C.[5,+oo）D.（5,+oo）

【答案】D

【解析】由設為，分別是函數/（x）和g（x）=xlog?x-l的零點（其中a>l）,可知汨是方程a"=’

X

的解；q是方程L=log.x的解；則內，工2分別為函數y=’的圖象與函數和函數y=logd的圖象

XX

交點的橫坐標；設交點分別為A（XI,—）,B（必—）?由〃>1,知041V1,X2>\,又因為y=a'和y

*x2

=k）g〃.r以及y=工的圖象均關于?直線y=A■對稱，所以兩交點一定關于y=x對稱，山丁點A（xi，—），

XXj

關于直線y=X的對稱點坐標為（L,X1）,所以芭=L,有X[X2=1,而X|rX2，

X]x2

則由+4￥2=汨+幻+312224兀+3%2>2+3=5,即汨+4也￡（5,+oo）,故選D.

10.函數/1）=卜-2Hm:在定義域內零點的個數為（）

A.0B.1

C.2D.3

【答案】c

【解析】由題意，函數/(%)的定義域為(0,+00)；由函數零點的定義，/(x)在(0,+00)內的零點即

是方程|%-2卜11?=0的根.令力=仇-2|,j2=lnx(x>0),在一個坐標系中畫出兩個函數的圖象.由圖得，兩

個函數圖象有兩個交點，故方程有兩個根，即對應函數有兩個零點.故選C.

題組B能力提升練

1.已知錯誤!未找到引用源。是定義在錯誤!未找到引用源。上的奇函數，當錯誤!未找到引用源。時，錯誤!

未找到引用源。，則函數錯誤!未找到引用源。的零點的集合為()

A.錯誤!未找到引用源。B.錯誤!未找到引用源。C.錯誤!未找到引用源。

D.錯誤!未找到引用源。

【答案】D

【解析】因為錯誤!未找到引用源。是定義在錯誤!未找到引用源。上的奇函數，當錯誤!未找到引用源。時,

錯誤!未找到引用源。，

所以當錯誤!未找到引用源。時，錯誤!未找到引用源。，所以錯誤!未找到引用源。，

所以錯誤!未找到引用源。，

由錯誤!未找到引用源。解得錯誤!未找到引用源。或錯誤!未找到引用源。；由錯誤!未找到引用源。解得錯

誤!未找到引用源。，

所以函數錯誤!未找到引用源。的零點的集合為錯誤!未找到引用源。，故選D.

2.已知函數/(x)=('一’若函數g(x)=/(x)-收一2x|/eR)恰有4個零點，則女的取值范圍是

-x,x<0.

()

A.(―00,——)L(2V2,+oo)B.(―℃,——)L(0,2-\/2)

C.(-00,0)U(0,272)D.(—00,0),(2>/2,4-oo)

【答案】D

【解析】注意到g（0）=0,所以要使g（x）恰有4個零點，只需方程I丘-2|=乎乎恰有3個實根即可,

\x\

令h（x）=卒?，即y=|近一21與人口）=答的圖象有3個不同交點.

\x\k|

因為〃(x)=4?=,%x>0

國I1，x<0

如圖1,y=2與父無）=曾有2個不同交點，不滿足題意;

當次=0時,此時y=2

\x\

當k<0時，如圖2,此時y=|"一2|與力（無）=（一恒有3個不同交點，滿足題意;

kl

當&>0時，如圖3,當y=2與>相切時，聯立方程得f—日+2=0,

令△=（）得公—8=0,解得左=2返（負值舍去），所以4>2行.

綜上，上的取值范圍為（一8,0）.（2拒,+oo）.故選：D.

【名師點晴】本題主要考查函數與方程的應用，考查數形結合思想，轉化與化歸思想，是一道中檔題.

2\fx,0<x<1,

3.【2019年高考天津文數】已知函數,f（x）=卜若關于x的方程/(x)=—,x+a(aGR)恰

x>l.4

lx

有兩個互異的實數解，則。的取值范圍為（）

59595959

A.B.C.{1}D.0U⑴

4544544,4

【答案】D

2>/x,0<x<1,

【解析】作出函數/（x）="

的圖象，以及直線y=如圖,

x>i4

lx

關于“的方程八])=一%+心源)恰有兩個互異的實數解’即為二,⑴和工一%+必")

19

的圖象有兩個交點，平移直線y=-：x,考慮直線經過點(1⑵和(1,1)時，有兩個交點，可得

44

或°=2，考慮直線丁=一9》+4(。€1<)與>=，在X>1時相切，ax-^-x2=1,由/=。2一1=0，

44x4

-50"1

解得4=1(T舍去)，所以。的取值范圍是{1}.故選D.

e*x<0

4.【2018年高考全國I卷理數】已知函數/(x)={'-g(x)=/(x)+x+a.若g⑴存在2個

[Inx,x>0,

零點，則。的取值范圍是()

A.[-1,0)B.[0,+oo)

C.[-1,+oo)D.[1,+oo)

【答案】C

【解析】畫出函數/(x)的圖象，y=e，在y軸右側的圖象去掉，再畫出直線曠=一》，之后上下移動，可

以發現當直線過點(0,1)時，直線與函數圖象有兩個交點，并且向下可以無限移動，都可以保證直線與函

數的圖象有兩個交點，即方程"x)=T-a有兩個解，也就是函數g(x)有兩個零點，此時滿足-“W1,

即a2-1.故選C.

【名師點睛】該題考查的是有關已知函數零點個數求有關參數的取值范圍問題，在求解的過程中，解題的

思路是將函數零點個數問題轉化為方程解的個數問題，將式子移項變形，轉化為兩條曲線交點的問題，畫

出函數的圖象以及相應的直線，在直線移動的過程中，利用數形結合思想，求得相應的結果.即：首先根

據g（x）存在2個零點，得到方程/（x）+x+a=o有兩個解，將其轉化為/（力=-％-。有兩個解，即直

線丁=-x—a與曲線y=有兩個交點，根據題中所給的函數解析式，畫出函數/'（x）的圖象，再畫出

直線y=一%,并將其上下移動，從圖中可以發現，當一。<1時一，滿足y=-x—a與曲線有兩個

交點，從而求得結果.

5.（多選題）若函數y=d-2x+a有兩個零點，則實數”的值可能是（）

A.-1B.0C.1D.2

【答案】AB

【分析】

由函數y=f-2x+a有兩個零點，轉化為二次方程有兩個不等實根，利用判別式能求出。的取值范圍.

【詳解】

函數y=V-2x+a有兩個零點，所以二次方程x2-2x+a=0有兩個不等實根，

Zl=22-4?>0,

解得a<I.

A3選項都符合.

故選：AB.

6.（多選題）下列說法正確的有（）

A.函數在定義域上是減函數

X

B.B函數的圖象都過點（1點

C.函數y=x+±2在區間⑵3］上的值域是r3,1-r

xL3.

D.函數/（幻=2，-/有且只有兩個零點

【答案】BC

【分析】

A選項函數定義域是兩段，函數在兩個區間分別遞減，根據募函數性質判定B選項，根據函數單調性判定C

選項，利用根的存在性定義和特殊值判定D選項.

【詳解】

f（x）=:定義域為（—,（））j（（）,y），不能說在定義域上是減函數，所以A選項錯誤；

哥函數的圖象都過點（草），所以B選項正確;

2211

函數y=x+4,當xw[2,3]時，y=l-4>0,在區間[2,3]上單調遞增，其值域是3,-,所以C選項正確;

xxL3_

函數f(x)=2，-x2j(_l)<0J(0)>0,所以1,0)有零點，

/(2)=0,x=2是函數函數f(x)=2，-x2的零點，

"4)=0,x=4是函數函數/(幻=2,-產的零點，所以D選項說法錯誤.

故選：BC

7.(多選題)己知函數小)=尸：2：+1心。則下列判斷正確的是()

[-X2+2x+l,x<0

A./(x)為奇函數

B.對任意則有(“一々)[/(西)一/(無2)]?0

C.對任意xeR,則有/(x)+/(—x)=2

D.若函數y=|/(x)|-〃式有兩個不同的零點，則實數〃，的取值范圍是(ro,0)(4,^o)

【答案】CD

【分析】

根據函數的奇偶性、單調性判斷A,B；分情況討論并計算可判斷C；構造函數，將函數的零點轉化為兩個

函數圖象的交點問題可判斷D而作答.

【詳解】

對于A,/(1)=4,/(-1)=-2,即/⑴，則/(X)不是奇函數，即A不正確；

對于B,x<O0t/(x)=-x2+2x+l,/(X)在(-<?,0)上遞增,xNO時f(x)=f+2x+l,f(x)在(0,*?)上

遞增，

并且-02+2-0+1=。2+2?0+1,于是得“X)在R上單調遞增，對任意西,々eR,X1<*2，/(3)</(々)，則

(占-七)"(％)-/(七)]>0,B不正確；

對于C,x>0時一x<0,/(x)+/(-x)=(x2+2x+l)+[-(-x)2+2(-x)+1]=2,

x<0時一x>0,/(%)+/(-%)=(-^+2x+l)+[(-x)2+2(-x)+l]=2,

x=0時，/(x)+/(-x)=2/(0)=2

綜上得：對任意xeR，則有/(力+〃-力=2成立，C正確;

對于D,因1/(0)1=1,則。不是y=|f(x)|-w的零點,

x/0時，|f(x)|r依=0=機=上詈，令g(x)=以詈，y=m,依題意函數y=g(x)的圖象與直線，=加

有兩個公共點，

f(x)NO時，X>1-V2,f(x)<0時，X<1-A/2.

1cc

XH---F2,X>0

X

于是得g(x)=—xH--F2,1—A/2?x<0由對勾函數知,g*)在(0數上遞減,在(L+功上遞增,又g(x)在

X

x----2,x<l-5/2

x

口-&,0)上遞減，在(-8,1-上遞增，如圖:

直線＞=叫與y=g(x)的圖象有兩個公共點，叫＞4,直線y=性與y=g(x)的圖象有兩個公共點，嗎＜0,

從而得函數y=g(X)的圖象與直線y=機有兩個公共點時機＜0或機＞4,

所以實數機的取值范圍是(e,0)U(4,+8),D正確.

故選：CD

8.(多選題).設函數/(x)=or2+bx+c(a,b,cwR,a＞0),則下列說法正確的是()

A.若〃司=》有實根，則方程/(/(x))=x有實根

B.若〃司=尤無實根，則方程〃〃x))=x無實根

C.若則函數y=/(x)與y=〃/(x))都恰有2個零點

D.若小卜初則函數y=/(x)與y=f(f(x))都恰有2零點

【答案】ABD

【分析】

直接利用代入法可判斷A選項的正誤；推導出f(x)-x>0對任意的xwR恒成立，結合該不等式可判斷B

選項的正誤；取,f(x)=d-心結合方程思想可判斷C選項的正誤；利用二次函數的基本性質可判斷D選

項的正誤.

【詳解】

對于A選項，設〃x)=x有實根x=%,則/(/(%))=，(％)=%,A選項正確；

對于B選項，因為a>0,若方程=x無實根，則〃x)-x>0對任意的xeR恒成立，

故/(〃x))>〃x)>x,從而方程f(/(x))=x無實根,B選項正確；

對于C選項，取〃x)=x2—x,則=函數y=〃x)有兩個零點，

則f(〃x))=[〃x)[2-〃x)=0,可得〃x)=0或，(")=1,即d—x=0或V-X”

解方程f-x=O可得x=0或1,解方程x2—x—1=0,解得x=生叵.

2

此時，函數y=f(/(x))有4個零點，c選項錯誤；

對于D選項，因為/[/卜點])<。，設‘=/(-卻則’=/(必

因為f(f)<o且〃>0,所以，函數/(X)必有兩個零點，設為占、々且為<三，

則不<1<當，所以，方程/(司=再無解，方程〃對=々有兩解，

因此，若嚀)卜°，則函數y=/(x)與y=/(/(x))都恰有2零點，D選項正確.

故選：ABD.

【點睛】

思路點睛：對于復合函數y=/[g(x)]的零點個數問題，求解思路如下：

(|)確定內層函數〃=g(x)和外層函數y=f(“)；

(2)確定外層函數y=/(〃)的零點“=/(，’=1,2,3,…,〃)；

(3)確定直線〃=%。=1,2,3,,〃)與內層函數"=g(x)圖象的交點個數分別為外、生、%、、則函

數y=/[g(x)]的零點個數為4+。2+/++??.

9.已知2GR,函數f(x)=1，'一，當2=2時，不等式/(x)<0的解集是.若函

x-4x+3,x<A

數f(x)恰有2個零點，則力的取值范圍是.

【答案】｛.v|l<x<4);(I,3JU(4,+oo)

x—4,x>2

【解析】當4=2時，函數/(x)=4,,顯然迂2時，不等式x-4<0的解集為｛x|2Sr<4｝；x<2

x-4x4-3,x<2

時，不等式f(x)<0化為/口x+3<0,解得l<x<2,綜上，不等式的解集為：｛.m4<4｝.

函數/'(x)恰有2個零點，函數/(x)=4,’—的草圖如圖：

%--4x+3,x<