第02講3.1.2橢圓的簡單幾何性質課程標準學習目標①掌握橢圓的簡單幾何性質，了解橢圓中a，b，c，e的幾何意義。②會根據橢圓的方程解決橢圓的幾何性質，會用橢圓的幾何意義解決相關問題。③會判斷點與橢圓、直線與橢圓的位置關系，會求直線與橢圓相交的弦長。通過本節課的學習，要求掌握橢圓的幾何量a，b，c，e的意義，會利用幾何量之間的關系，求相關幾何量的大小，會利用橢圓的幾何性質解決與橢圓有關的點、弦、周長、面積等問題。知識點01：橢圓的簡單幾何性質焦點的位置焦點在軸上焦點在軸上圖形標準方程（）（）范圍，，頂點，，，軸長短軸長＝，長軸長＝焦點焦距對稱性對稱軸：軸、軸對稱中心：原點離心率，【即學即練1】（2023春·河北石家莊·高二正定中學校考階段練習）若橢圓的離心率為，則橢圓的長軸長為.【答案】或【詳解】因為橢圓的離心率為，易知，當時，橢圓焦點在軸上，，，所以，解得，則，所以橢圓的長軸長為.當時，橢圓焦點在軸上，，，所以，得，滿足題意，此時，所以橢圓的長軸長為.故答案為：或.知識點02：橢圓的簡單幾何性質離心率：橢圓焦距與長軸長之比：.（）當越接近1時，越接近，橢圓越扁；當越接近0時，越接近0，橢圓越接近圓；當且僅當時，圖形為圓，方程為【即學即練2】（2023春·云南玉溪·高二云南省玉溪第三中學校考期末）已知橢圓E：的右焦點為，左頂點為，若E上的點P滿足軸，，則E的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】設，則直線：，由，得，即，

而，，由，得，即，有，又，因此，所以E的離心率為.故選：A知識點03：常用結論1、與橢圓共焦點的橢圓方程可設為：2、有相同離心率：（，焦點在軸上）或（，焦點在軸上）3、橢圓的圖象中線段的幾何特征（如下圖）：（1）；（2），，；（3）,，；知識點04：直線與橢圓的位置關系1、直線與橢圓的位置關系將直線的方程與橢圓的方程聯立成方程組，消元轉化為關于或的一元二次方程，其判別式為.①直線和橢圓相交直線和橢圓有兩個交點(或兩個公共點）；②直線和橢圓相切直線和橢圓有一個切點(或一個公共點)；③直線和橢圓相離直線和橢圓無公共點．【即學即練3】（2023春·江西吉安·高二校考期中）直線與橢圓的位置關系是（

）A．相離 B．相切 C．相交 D．無法確定【答案】C【詳解】聯立，則所以方程有兩個不相等的實數根，所以直線與橢圓相交故選：C.2、直線與橢圓的相交弦直線與橢圓問題（韋達定理的運用）（1）弦長公式：若直線與圓錐曲線相交與、兩點，則：弦長弦長這里的求法通常使用韋達定理，需作以下變形：；（2）結論1：已知弦是橢圓（）的一條弦，中點坐標為，則的斜率為運用點差法求的斜率，設，；、都在橢圓上，兩式相減得：，即，故結論2：弦的斜率與弦中心和橢圓中心的連線的斜率之積為定值：（3）.已知橢圓方程，長軸端點為，，焦點為，，是橢圓上一點，．求：的面積（用、、表示）．設，由橢圓的對稱性，不妨設，由橢圓的對稱性，不妨設在第一象限．由余弦定理知：·①由橢圓定義知：②，則得故【即學即練4】（2023·全國·高三對口高考）通過橢圓的焦點且垂直于x軸的直線l被橢圓截得的弦長等于（

）A． B．3 C． D．6【答案】B【詳解】由題設，不妨設過焦點且垂直于x軸的直線，代入橢圓方程得，可得，故被橢圓截得的弦長等于.故選：B題型01根據橢圓的標準方程研究其幾何性質【典例1】（2023春·上海楊浦·高二校考期中）橢圓與橢圓的（

）A．長軸相等 B．短軸相等 C．焦距相等 D．長軸、短軸、焦距均不相等【典例2】（2023秋·高二課時練習）已知P點是橢圓上的動點，A點坐標為，則的最小值為（

）A． B． C． D．【典例3】（2023秋·浙江湖州·高二統考期末）橢圓的長軸長、短軸長、離心率依次是（

）A． B． C． D．【變式1】（2023春·廣東茂名·高二統考期末）已知橢圓的離心率為，下頂點為，點為上的任意一點，則的最大值是（

）A． B． C． D．【變式2】（2023·全國·高三專題練習）若橢圓的離心率為，則橢圓的長軸長為（

）A．6 B．或 C． D．或【變式3】（2023秋·高二課時練習）橢圓的焦距為4，則m的值為．題型02根據橢圓的幾何性質求其標準方程【典例1】（2023秋·新疆烏魯木齊·高二烏魯木齊市第十九中學校考期末）過點且與橢圓有相同焦點的橢圓方程為（

）A． B． C． D．【典例2】（2023春·四川瀘州·高二四川省瀘縣第四中學校考期末）已知橢圓的對稱軸是坐標軸，離心率為，長軸長為12，則橢圓方程為（

）A． B．C．或 D．【典例3】（2023秋·廣東江門·高二臺山市華僑中學校考期中）已知橢圓焦點在軸，它與橢圓有相同離心率且經過點，則橢圓標準方程為.【變式1】（2022秋·高二課時練習）過點且與橢圓有相同焦點的橢圓的標準方程是（

）．A． B．C． D．【變式2】（2023·陜西西安·長安一中校考二模）“蒙日圓”涉及幾何學中的一個著名定理，該定理的內容為：橢圓上兩條互相輸出垂直的切線的交點必在一個與橢圓同心的圓上，該圓稱為橢圓的蒙日圓．若橢圓C：的離心率為，則橢圓C的蒙日圓的方程為（

）A． B． C． D．【變式3】（2023秋·江蘇泰州·高三統考期末）若橢圓的焦點在軸上，且與橢圓：的離心率相同，則橢圓的一個標準方程為.題型03求橢圓的離心率的值【典例1】（2023春·江西宜春·高二江西省宜豐中學校考期末）油紙傘是中國傳統工藝品，至今已有1000多年的歷史.為宣傳和推廣這一傳統工藝，某活動中將一把油紙傘撐開后擺放在戶外展覽場地上，如圖所示.該傘的傘面是一個半徑為的圓形平面，圓心到傘柄底端距離為2，當光線與地面夾角為時，傘面在地面形成了一個橢圓形影子，且傘柄底端正好位于該橢圓的長軸上，該橢圓的離心率（

）

A． B． C． D．【典例2】（2023·河南新鄉·新鄉市第一中學校考模擬預測）已知橢圓的左頂點為，點是橢圓上關于軸對稱的兩點.若直線的斜率之積為，則的離心率為（

）A． B． C． D．【典例3】（2023·遼寧遼陽·統考二模）已知橢圓的右焦點為，過坐標原點的直線與橢圓交于兩點，點位于第一象限，直線與橢圓另交于點，且，若，，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【典例4】（2023春·浙江溫州·高二校聯考期末）已知橢圓的左頂點為，上頂點為，為坐標原點，橢圓上的兩點，分別在第一，第二象限內，若與的面積相等，且，則橢圓的離心率為.【變式1】（2023春·廣東深圳·高二統考期末）已知橢圓的右焦點為，過原點的直線與交于兩點，若，且，則的離心率為（

）A． B． C． D．【變式2】（2023·海南海口·海南華僑中學校考模擬預測）已知，分別是橢圓：（）的左，右焦點，是上的一點，若，且，則的離心率為（

）A． B． C． D．【變式3】（2023春·貴州遵義·高二統考期中）已知是橢圓的右焦點，直線與橢圓交于，兩點，若，則該橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【變式4】（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學校考模擬預測）已知是橢圓：的右焦點，過作直線的垂線，垂足為，，則該橢圓的離心率為.題型04求橢圓的離心率的最值或范圍【典例1】（2023春·湖南益陽·高二統考期末）若橢圓上存在點，使得到橢圓兩個焦點的距離之比為，則稱該橢圓為“倍徑橢圓”.則“倍徑橢圓”的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【典例2】（2023春·上海青浦·高二統考期末）點為橢圓的右頂點，為橢圓上一點（不與重合），若（是坐標原點），則橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【典例3】（2023·陜西西安·統考一模）已知橢圓上一點，它關于原點的對稱點為，點為橢圓右焦點，且滿足，設，且，則該橢圓的離心率的取值范圍是.【典例4】（2023·甘肅定西·統考模擬預測）過原點作一條傾斜角為的直線與橢圓交于A，B兩點，F為橢圓的左焦點，若，則該橢圓的離心率e的取值范圍為．【變式1】（2023·全國·高三專題練習）已知c是橢圓）的半焦距，則取最大值時橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【變式2】（2023·重慶萬州·重慶市萬州第三中學校考模擬預測）已知點，為橢圓上的兩點，點滿足，則的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式3】（2023秋·浙江嘉興·高二統考期末）已知點是橢圓：的右焦點，點關于直線的對稱點在上，其中，則的離心率的取值范圍為.【變式4】（2023·重慶沙坪壩·重慶南開中學校考模擬預測）已知為圓上一點，橢圓焦距為6，點關于直線的對稱點在橢圓上，則橢圓離心率的取值范圍為．題型05根據橢圓離心率求參數【典例1】（2023秋·高二單元測試）設橢圓的離心率分別為．若，則（

）A． B． C． D．【典例2】（2023春·江蘇鎮江·高二江蘇省揚中高級中學校考階段練習）橢圓（）的左、右焦點分別是，，斜率為1的直線l過左焦點，交C于A，B兩點，且的內切圓的面積是，若橢圓C的離心率的取值范圍為，則線段AB的長度的取值范圍是（

）A． B． C． D．【典例3】（2023·全國·高二專題練習）橢圓的左、右焦點分別是，斜率為的直線過左焦點且交于兩點，且的內切圓的周長是，若橢圓的離心率為，則線段的長度的取值范圍是【變式1】（2023秋·重慶沙坪壩·高二重慶市第七中學校校考期末）已知橢圓的離心率，則的值可能是（

）A．3 B．7 C．3或 D．7或【變式2】（2023春·上海松江·高三上海市松江二中校考階段練習）設，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，若，則的取值范圍是.【變式3】（2023·吉林長春·校聯考一模）已知橢圓C：的左、右焦點分別為、，點、在橢圓C上，滿足，，若橢圓C的離心率，則實數λ取值范圍為.題型06直線與橢圓的位置關系【典例1】（2023·全國·高三對口高考）若直線與橢圓有且只有一公共點，那么的值為（

）A． B． C． D．【典例2】（2023春·上海浦東新·高二統考期中）已知橢圓，直線，則直線l與橢圓C的位置關系為（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定【變式1】（2023·廣東廣州·統考模擬預測）已知以為焦點的橢圓與直線有且僅有一個公共點，則橢圓的長軸長為（

）A． B． C． D．【變式2】（2023·全國·高三專題練習）已知直線與橢圓恒有公共點，則實數m的取值范圍（

）A． B．C． D．題型07直線與橢圓相切【典例1】（2023·全國·高三專題練習）已知過圓錐曲線上一點的切線方程為.過橢圓上的點作橢圓的切線，則過點且與直線垂直的直線方程為（

）A． B．C． D．【典例2】（2023春·河南周口·高二校聯考階段練習）已知橢圓的右頂點為A，上頂點為B，則橢圓上的一動點M到直線AB距離的最大值為．【變式1】（2023·全國·高二專題練習）橢圓上的點P到直線x+2y-9=0的最短距離為（）A． B． C． D．【變式2】（2023·廣西·統考一模）在平面直角坐標系中，動點在橢圓上運動，則點到直線的距離的最大值為．題型08弦長【典例1】（2023·全國·高三對口高考）已知橢圓，過左焦點作傾斜角為的直線交橢圓于、兩點，則弦的長為．【典例2】（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓，設直線被橢圓C截得的弦長為，求k的值．【典例3】（2023秋·山東濱州·高二統考期末）已知橢圓C的兩個焦點分別是，，并且經過點．(1)求橢圓C的標準方程；(2)若直線與橢圓C相交于A，B兩點，當線段AB的長度最大時，求直線l的方程．【變式1】（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓，過左焦點的斜率為1的直線與橢圓分別交于A，B兩點，求．【變式2】（2023秋·青海西寧·高二期末）已知點，橢圓的離心率為，是橢圓的右焦點，直線的斜率為，為坐標原點．(1)求橢圓E的方程：(2)設過橢圓的左焦點且斜率為的直線與橢圓交于不同的兩、，求的長．【變式3】（2023·江蘇南通·統考模擬預測）已知橢圓的左、右頂點是雙曲線的頂點，的焦點到的漸近線的距離為.直線與相交于A，B兩點，.(1)求證：(2)若直線l與相交于P，Q兩點，求的取值范圍.題型09中點弦和點差法【典例1】（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓C：，過點的直線l與橢圓C交于A，B兩點，若點P恰為弦AB的中點，則直線l的斜率是（

）A． B． C． D．【典例2】（2023·全國·高三對口高考）直線截橢圓所得弦的中點M與橢圓中心連線的斜率為．【典例3】（2023春·新疆塔城·高二統考開學考試）已知過點的直線，與橢圓相交于A，B兩點，且線段AB以點M為中點，則直線AB的方程是.【典例4】（2023·全國·高三對口高考）中心在原點，一個焦點為的橢圓被直線截得弦的中點的橫坐標為，則橢圓的方程為．【變式1】（2023春·湖北荊州·高二沙市中學校考階段練習）若橢圓的弦AB被點平分，則AB所在直線的方程為（

）A． B．C． D．【變式2】（2023·四川巴中·南江中學校考模擬預測）已知橢圓四個頂點構成的四邊形的面積為，直線與橢圓C交于A，B兩點，且線段的中點為，則橢圓C的方程是（

）A． B．C． D．【變式3】（2023·全國·高三專題練習）直線l與橢圓交于A，B兩點，已知直線的斜率為1，則弦AB中點的軌跡方程是．【變式4】（2023春·福建廈門·高二廈門一中校考階段練習）直線不與軸重合，經過點，橢圓上存在兩點、關于對稱，中點的橫坐標為.若，則橢圓的離心率為.題型10橢圓中三角形面積問題【典例1】（2023秋·高二課時練習）已知經過橢圓的右焦點的直線的傾斜角為，交橢圓于A、B兩點，是橢圓的左焦點，求的周長和面積．【典例2】（2023春·北京·高二北京師大附中校考期中）已知橢圓的離心率為，其左焦點為.直線交橢圓于不同的兩點.(1)求橢圓的方程；(2)求的面積.【典例3】（2023春·四川·高二統考期末）已知點是圓上的任意一點，點，線段的垂直平分線交于點.(1)求動點的軌跡的方程；(2)若過點的直線交軌跡于、兩點，是的中點，點是坐標原點，記與的面積之和為，求的最大值.【變式1】（2023春·湖南衡陽·高二校聯考期末）已知是橢圓的左頂點，過點的直線與橢圓交于兩點（異于點），當直線的斜率不存在時，．(1)求橢圓C的方程；(2)求面積的取值范圍．【變式2】（2023春·江西九江·高二江西省湖口中學校考期中）已知橢圓的離心率為，且橢圓上任意一點到橢圓兩個焦點的距離之和為.直線交橢圓于不同的兩點，(1)求橢圓的方程；(2)橢圓左焦點為，求的面積.【變式3】（2023春·河南洛陽·高二統考期末）已知圓，點是圓上的動點，是拋物線的焦點，為的中點，過作交于，記點的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程；(2)過的直線交曲線于點、，若的面積為（為坐標原點），求直線的方程．題型11橢圓的定點、定值、定直線問題【典例1】（2023春·廣東韶關·高二校考階段練習）已知橢圓的右焦點為，A、B分別是橢圓的左、右頂點，為橢圓的上頂點，的面積為.(1)求橢圓的方程；(2)設直線與橢圓交于不同的兩點，，點，若直線的斜率與直線的斜率互為相反數，求證：直線過定點.【典例2】（2023春·河南平頂山·高二統考期末）已知橢圓經過點，且離心率為.(1)求橢圓E的方程；(2)若經過點，且斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點P，Q（均異于點A），證明：直線AP與AQ的斜率之和為定值.【典例3】（2023·河南洛陽·模擬預測）已知橢圓：的離心率為，右焦點為，A，B分別為橢圓的左、右頂點.(1)求橢圓的方程；(2)過點作斜率不為0的直線，直線與橢圓交于P，Q兩點，直線AP與直線BQ交于點M，記AP的斜率為，BQ的斜率為.求證：①為定值；②點M在定直線上.【變式1】（2023·四川成都·校考一模）已知分別為橢圓的左，右頂點，為其右焦點，，且點在橢圓上．(1)求橢圓的標準方程；(2)若過的直線與橢圓交于兩點，且與以為直徑的圓交于兩點，證明：為定值．【變式2】（2023秋·江西萍鄉·高三統考期末）已知橢圓E的中心在原點，周長為8的的頂點，為橢圓E的左焦點，頂點B，C在E上，且邊BC過E的右焦點.(1)求橢圓E的標準方程；(2)橢圓E的上、下頂點分別為M，N,點若直線PM,PN與橢圓E的另一個交點分別為點S，T，證明：直線ST過定點，并求該定點坐標.【變式3】（2023·北京海淀·中央民族大學附屬中學校考模擬預測）已知曲線．(1)若曲線C是橢圓，求m的取值范圍．(2)設，曲線C與y軸的交點為A，B（點A位于點B的上方），直線與曲線C交于不同的兩點M，N．設直線AN與直線BM相交于點G．試問點G是否在定直線上？若是，求出該直線方程；若不是，說明理由．題型12橢圓中的向量問題【典例1】（2023春·河南周口·高二校考開學考試）已知橢圓的右焦點，長半軸長與短半軸長的比值為2．(1)求橢圓的標準方程；(2)設為橢圓的上頂點，直線與橢圓相交于不同的兩點，，若，求直線的方程．【典例2】（2023春·江蘇南京·高二校考階段練習）在平面直角坐標系中，橢圓：的左頂點到右焦點的距離是3，離心率為．(1)求橢圓的標準方程；(2)斜率為的直線經過橢圓的右焦點，且與橢圓相交于，兩點．已知點，求的值．【變式1】（2023·全國·高三對口高考）若點O和點F分別是橢圓的中心和左焦點，點P為該橢圓上的任意一點，則的最大值為（

）A．6 B．5 C．4 D．2【變式2】（2023春·河南洛陽·高二校聯考階段練習）已知、是橢圓的左、右焦點，點在橢圓上，且.(1)求橢圓的方程；(2)已知，兩點的坐標分別是，，若過點的直線與橢圓交于，兩點，且以為直徑的圓過點，求出直線的所有方程.題型13新定義問題1．（2023·全國·高二專題練習）開普勒第一定律也稱橢圓定律?軌道定律，其內容如下：每一行星沿各自的橢圓軌道環繞太陽，而太陽則處在橢圓的一個焦點上.將某行星看作一個質點，繞太陽的運動軌跡近似成曲線，行星在運動過程中距離太陽最近的距離稱為近日點距離，距離太陽最遠的距離稱為遠日點距離.若行星的近日點距離和遠日點距離之和是18（距離單位：億千米），近日點距離和遠日點距離之積是16，則（

）A．39 B．52 C．86 D．972．（2023·廣東韶關·統考模擬預測）韶州大橋是一座獨塔雙索面鋼砼混合梁斜拉橋，具有樁深，塔高、梁重、跨大的特點，它打通了曲江區、湞江區、武江區交通道路的瓶頸，成為連接曲江區與芙蓉新城的重要交通橋梁，大橋承擔著實現韶關“三區融合”的重要使命，韶州大橋的橋塔外形近似橢圓，若橋塔所在平面截橋面為線段，且過橢圓的下焦點，米，橋塔最高點距橋面米，則此橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．3．（多選）（2023·全國·高二專題練習）青花瓷又稱白地青花瓷，常簡稱青花，中華陶瓷燒制工藝的珍品，是中國瓷器的主流品種之一，屬釉下彩瓷.如圖為青花瓷大盤，盤子的邊緣有一定的寬度且與桌面水平，可以近似看成由大小兩個橢圓圍成.經測量發現兩橢圓的長軸長之比與短軸長之比相等.現不慎掉落一根質地均勻的長筷子在盤面上，恰巧與小橢圓相切，設切點為，盤子的中心為，筷子與大橢圓的兩交點為，點關于的對稱點為.給出下列四個命題其中正確的是（

）A．兩橢圓的焦距長相等 B．兩橢圓的離心率相等C． D．與小橢圓相切4．（多選）（2023春·湖南長沙·高二長沙市明德中學校考期中）加斯帕爾?蒙日（圖1）是18～19世紀法國著名的幾何學家,他在研究圓錐曲線時發現:橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上,其圓心是橢圓的中心,這個圓被稱為“蒙日圓”（圖2）．已知長方形R的四邊均與橢圓相切,則下列說法正確的是（

）A．橢圓C的離心率為 B．橢圓C的蒙日圓方程為C．橢圓C的蒙日圓方程為 D．長方形R的面積最大值為18A夯實基礎B能力提升C綜合素養A夯實基礎一、單選題1．（2023秋·高二課時練習）橢圓的焦點坐標為（

）A． B．C． D．2．（2023·安徽·校聯考模擬預測）已知橢圓的長軸長是短軸長的2倍，則的離心率為（

）A． B． C． D．3．（2023春·上海長寧·高二上海市第三女子中學校考期中）橢圓和（

）A．長軸長相等 B．短軸長相等 C．焦距相等 D．頂點相同4．（2023·河南·校聯考模擬預測）關于橢圓C：，有下面四個命題：甲：長軸長為4；乙：短軸長為2；丙：離心率為；丁：．如果只有一個假命題，則該命題是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁5．（2023春·河南·高三階段練習）已知分別為橢圓的兩個焦點，且的離心率為為橢圓上的一點，則的周長為（

）A．6 B．9 C．12 D．156．（2023春·福建福州·高二校聯考期中）橢圓中，點為橢圓的右焦點，點A為橢圓的左頂點，點B為橢圓的短軸上的頂點，若，此橢圓稱為“黃金橢圓”，“黃金橢圓”的離心率為（

）A． B． C． D．7．（2023秋·高二課時練習）過橢圓的中心作直線與橢圓交于A、B兩點，為橢圓的左焦點，則面積的最大值為（

）A．6 B．12 C．24 D．488．（2023春·全國·高二衛輝一中校聯考階段練習）已知橢圓C：的左、右焦點分別為，，圓：，點P和點B分別為橢圓C和圓A上的動點，當取最小值3時，的面積為（

）A． B． C．2 D．二、多選題9．（2023春·湖南常德·高二常德市一中校考期中）關于橢圓有以下結論，其中正確的有（

）A．離心率為 B．長軸長是C．焦距2 D．焦點坐標為10．（2023·全國·高三專題練習）橢圓的左、右焦點分別為，，點P在橢圓C上，若方程所表示的直線恒過定點M，點Q在以點M為圓心，C的長軸長為直徑的圓上，則下列說法正確的是（

）A．橢圓C的離心率為 B．的最大值為4C．的面積可能為2 D．的最小值為三、填空題11．（2023·全國·高三對口高考）橢圓上的點到直線:的距離的最小值為．12．（2023春·新疆烏魯木齊·高二烏市八中校考開學考試）過橢圓：的右焦點且傾斜角為的直線被橢圓截得的弦長為四、解答題13．（2023秋·高二課時練習）已知是橢圓的兩個焦點，點P在橢圓上，如果是直角三角形，求點的坐標．14．（2023·全國·高三專題