定積分的概念與性質

5.1

微積分基本公式5.2

定積分的計算5.3

應用與實踐

5.5

目錄

第五章定積分及其應用

廣義積分5.4

定積分的概念與性質

5.1

微積分基本公式5.2

定積分的計算5.3

應用與實踐

5.5

目錄

第五章定積分及其應用

廣義積分5.4

5.1定積分的概念與性質

復習導入不定積分定積分概念性質計算應用5.1定積分的概念與性質?我們以前學過圖形的面積計算，請大家回想一下，有哪些計算公式？

正方形、矩形、三角形、梯形、圓、橢圓等。規則圖形5.1定積分的概念與性質?不規則圖形（如圖）的面積如何求？?一、兩個引例5.1定積分的概念與性質●曲邊梯形的面積上述圖形的面積可歸結為下列兩個圖形的面積之差，即．我們把這類幾何圖形定義為曲邊梯形．5.1定積分的概念與性質曲邊梯形是由連續曲線所圍成的平面圖形。與三條直線曲邊梯形面積如何求？●曲邊梯形的面積5.1定積分的概念與性質abxyoabxyo用矩形面積近似取代曲邊梯形面積顯然，小矩形越多，矩形面積和越接近曲邊梯形面積．（四個小矩形）（九個小矩形）5.1定積分的概念與性質解決步驟：把區間[a,b]分成n個小區間第i個小區間的寬度記為

,即(1)分割用分點

●曲邊梯形的面積5.1定積分的概念與性質在第i個小區間上任取一點

矩形的面積相應小曲邊梯形的面積,即

用以為寬，為高的小近似代替(2)近似代替●曲邊梯形的面積5.1定積分的概念與性質(4)取極限令,則(3)求和

分割越細，近似程度越高，當無限分割時，矩形面積和無限逼近曲邊梯形面積。●曲邊梯形的面積5.1定積分的概念與性質?且設某物體作變速直線運動,已知速度如何計算物體從時刻到時刻所經過的路程？●變速直線運動的路程一、兩個引例5.1定積分的概念與性質解決步驟：第i個小區間的長度記為

把時間區間[a,b]分成n個小區間(1)分割用分點

●變速直線運動的路程5.1定積分的概念與性質(3)求和(2)近似代替(4)取極限,則令●變速直線運動的路程5.1定積分的概念與性質2.變速直線運動的路程1.

曲邊梯形的面積一、兩個引例兩個實例盡管實際意義差別很大，但他們的數學本質怎樣呢？5.1定積分的概念與性質

定義1設函數在區間上有定義，在中插入個分點，把區間分成個小區間每個小區間的長度依次為，在每個小區間上任取一點，作乘積的和式如果和式的極限

存在，則稱這個極限值為函數在上的定積分，記作，即定義15.1定積分的概念與性質積分上限積分下限被積函數被積表達式積分變量積分和二、定積分的概念積分分區間____5.1

定積分的概念與性質3.

規定

2.

定積分只與被積函數和積分區間有關，與積分變量用什么字母表示無關，即有1.定積分是一個和式的極限，它的結果是一個常數。說明●定積分的幾何意義定積分的值等于曲邊梯形面積；(1)(2)定積分的值等于曲邊梯形面積的負值.5.1

定積分的概念與性質●定積分的幾何意義5.1

定積分的概念與性質若在區間上，有正有負,則等于區間上位于軸上方的圖形的面積減去軸下方的圖形的面積，如圖即有其中分別表示圖中所對應的陰影部分的面積．5.1定積分的概念與性質１.答案：2和０．２.答案：利用定積分的幾何意義計算

1．和.２．課堂實訓5.1定積分的概念與性質(k為常數)三、定積分的性質推廣性質1性質2不論相對位置如何，上式均成立．5.1定積分的概念與性質(積分區間可加性)性質35.1定積分的概念與性質性質4在區間上最小值和最大值,則上在區間如果分別是和三、定積分的性質性質4性質55.1定積分的概念與性質(積分中值定理)如果函數使得至少存在一點上上連續，則在區間在閉區間通常稱上的平均值。在為函數當時,由曲線,直線所圍成的曲邊梯形的面積，等于以區間為底、以該區間上某一點處的函數值為高的矩形的面積.性質65.2微積分基本公式一、變上限定積分設函數定義在上，x為區間上的任意一點,定積分表示的是圖中陰影部分的面積．隨著積分上限x在區間內變化，定積分都有惟一確定的值與之相對應,故它是x的函數，稱它為積分上限函數，記作，即5.2微積分基本公式上定理表明，是連續函數的一個原函數，它揭示了定積分與被積函數的原函數之間的關系.

如果函數在區間上連續，則函數在區間上可導，且它的導數就是，即定理15.2微積分基本公式【解】根據定理1，可得

設，求例1設，求例2公式【解】5.1定積分的概念與性質

為方便計算，公式中的通常記為．因此上述公式可寫成

二、牛頓-萊布尼茨公式如果函數是連續函數在區間上的一個原函數，則定理2

定積分的值等于被積函數的一個原函數在積分上、下限處的函數值之差。5.2微積分基本公式所以，由牛頓——萊布尼茨公式有求定積分例3

【解】因為，5.2微積分基本公式求定積分例4【解】【思考】定積分的計算與定積分的運算有什么異同？5.2微積分基本公式

求定積分例5【解】5.2微積分基本公式被積函數是分段函數由積分區間的可加性，得求定積分例6【解】5.2微積分基本公式※1．變上限積分函數的概念．※

2．變上限積分函數求導方法．

3．利用牛頓－萊布尼茲公式計算定積分．5．計算定積分的常用技巧．4．分段函數的定積分．小結5.3定積分的計算一、定積分的換元積分法設函數在上連續，滿足(1)(2)當從變化到時，單調地從變化到；(3)在上連續．則上式稱為定積分的換元公式．定理2計算．所以且當時，;當時，5.3定積分的計算例1

,則,【解】令

計算,則且當時，．所以;當時，5.3定積分的計算例2【解】令

【解】令,則,且當時，.所以當時，5.3定積分的計算計算※例３設在上連續，試證明：(1)若在上為偶函數，則(2)若在上為奇函數，則令,則．在中，

當當時；時，。【證明】因為于是得5.3定積分的計算※例4【證明】

(1)若為偶函數,則,且(2)若為奇函數，則．且有所以5.3定積分的計算所以●重要結論(2)奇函數的圖像關于原點對稱(1)偶函數的圖像關于y軸對稱5.3定積分的計算【解】因為被積函數是奇函數,關于原點對稱．所以且積分區間

利用重要結論，奇、偶函數在對稱區間上的積分計算可以得到簡化，甚至不經計算即可得到結果.5.3定積分的計算計算定積分

．例5計算定積分．對稱．所以

【解】被積函數是偶函數，是奇函數，且積分區間

關于原點是非奇非偶函數，5.3定積分的計算例6

或二、定積分的分部積分法5.3定積分的計算

設函數，在區間上具有連續導數，則定理3二、定積分的分部積分法計算【解】【解】計算5.3定積分的計算例7例8計算5.3定積分的計算例9【解】1．求定積分．*3．求定積分.（答案：）2．求定積分．（答案：）（答案：

）4．求定積分.5.3定積分的計算課堂實訓（答案：）5.4反常積分一、無窮區間上的反常積分由曲線與軸、軸所“圍成”的開口圖形的面積A如何求？

?5.4反常積分

【基本思路】在上任取一點，先求由與軸、軸及所圍成的曲邊梯形的面積，即求閉區間上的定積分然后再讓

,所得的極限即為所求開口圖形的面積．我們把

稱為函數

在區間

上的反常積分．5.4反常積分

設函數定義在區間上，任取,如果極限存在，則稱此極限為函數在無窮區間上的反常積分，記作

,即這時也稱反常積分收斂；如果上述極限不存在，則稱反常積分發散．類似定義定義15.4反常積分

如果的原函數為，若記則三種無限區間的反常積分可形式上寫成:用上述記號，省去了極限符號，書寫更簡便些．但應注意，要始終理解為求極限值．5.4反常積分求例1求例2【解】【解】5.4反常積分

與軸圍成的面積.

【解】

表示由曲線(1)求例3單調增加，即

．當時,函數因此

發散．5.4反常積分當時，當時，因此，當時，收斂,其值為；當時，發散．討論積分的收斂性.

※例

3【解】5.4反常積分二、有限區間上無界函數的反常積分設函數在上連續，且，若存在，則稱則稱此極限值為函數在區間上的反常積分，記作，即此時也稱反常積分收斂，否則稱反常積分發散。類似地可定義：其中定義25.4反常積分二、有限區間上無界函數的反常積分求【解】因為，所以是反常積分，則例45.4反常積分

【解】因為，所以是反常積分，且又由于故反常積分發散，所以也發散．討論反常積分的斂散性．例55.4反常積分

【解】

當時，則有

當時，則有

因此，當時，該反常積分收斂，其值為；當時，該反常積分發散．討論反常積分（為常數)的斂散性．例65.4反常積分1．計算．（答案：）（答案：發散）2．計算

．3．計算．（答案：）1．廣義積分的概念．3．無界函數的計算與判斂

．小結2．無窮限的廣義積分的計算與判斂

．課堂實訓5.5應用與實踐※一、微元法5.5應用與實踐yf(x)dx通常將這種在微小的局部上進行數量分析的方法稱為微元法.這樣便得到了總量的積分式.5.5應用與實踐二、平面圖形的面積1．直角坐標系中平面圖形的面積

面積的值等于圖形的上邊界所對應的函數與下邊界所對應的函數之差在區間上的定積分．5.5應用與實踐(２)由左、右兩條連續曲線、（）與兩條平行直線、所圍成的圖形的面積的計算公式：

面積的值等于圖形的右邊界所對應的函數與左邊界所對應的函數之差在區間上的定積分．5.5應用與實踐【解】畫草圖．

觀察上圖，運用面積公式Ⅰ可得所求面積為解方程組,得【案例1】求由曲線和直線所圍成的平面圖形的積．

選作積分變量．圖形在軸上的投影區間為定積分的積分區間．5.5應用與實踐【解】解方程組得兩交點坐標為(0,0)和(1,1)．求解面積問題的步驟：(1)作草圖：求曲線的交點，確定積分變量和積分限；(2)寫出面積的定積分表達式；(3)計算定積分．【案例2】計算兩條拋物線與所圍成的面積．選取為積分變量，則積分區間為，根據面積公式(1)，所求的面積為5.5應用與實踐

【解】因為橢圓關于兩坐標軸對稱，所求橢圓的面積等于橢圓在第一象限部分與兩坐標軸所圍圖形的面積的4倍，即令則且有【案例3】求橢圓所圍成的面積．5.5應用與實踐5.5應用與實踐【解】解方程組得交點坐標為(2,-2)和(8,4)．所求的面積為【案例4】求由曲線與直線所圍成的平面圖形的面積．【另解】選為積分變量，根據公式（1）得所求面積5.5應用與實踐※2．極坐標系中平面圖形的面積從而得所求曲邊扇形的面積為5.5應用與實踐

【解】用曲邊扇形的面積公式計算．由于圖形關于極軸對稱，所以所求面積為【例4】求心形線所圍圖形的面面積.5.5應用與實踐三、旋轉體的體積由平面圖形繞定直線旋轉一周生成的立體稱為旋轉體，定直線稱為旋轉軸．

1.連續曲線與直線及軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉一周生成的旋轉體，其體積可用微元法求得：在區間上取小間,將該小區間上的旋轉體視作底面積為、高為的薄圓柱，得體積微元5.5應用與實踐則旋轉體的體積為2.連續曲線與直線及軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉一周生成的旋轉體體積為5.5應用與實踐【例5】求由橢圓所圍成的圖形分別繞軸和軸旋轉所生成的旋轉體的體積．【解】

由于橢圓關于坐標軸對稱，所以所求的體積是橢圓在第一象限內形成的曲邊梯形繞坐標軸旋轉所生成的旋轉體體積的二倍，即當繞軸旋轉時，由公式(4)得5.5應用與實踐當繞軸旋轉時，由公式(5)得5.5應用與實踐四、定積分的其他應用(為常數）．由物理學知識知道：質量為和，相距為的兩質點間的引力為【例6】設有均勻的細桿，長為，質量為，另有一質量為的質點位于細桿所在的直線上，且到桿的近端距離為，求桿與質點之間的引力．

【解】已知兩質點之間的引力公式，所以將細桿分成許多微小的小段，這樣可以把每一段近似看成一個質點，而且這許多小段對質量為的質點的引力都在同一方向上，因此可以相加．5.5應用與實踐所以細桿與質點之間的引力為如圖所示，取積分變量為，在中的任意子區間上細桿的相對應小段的質量為，該小段與質點距離近似為，于是引力的微元為5.5應用與實踐●功

【例8】

一圓臺形狀的容器高為5m，上底圓半徑為2m，下底圓半徑為3m，問將容器內盛