考點三一元二次方程知識整合一、一元二次方程的概念1．一元二次方程只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整式方程叫做一元二次方程．2．一般形式（其中為常數，），其中分別叫做二次項、一次項和常數項，分別稱為二次項系數和一次項系數．注意：（1）在一元二次方程的一般形式中要注意，因為當時，不含有二次項，即不是一元二次方程；（2）一元二次方程必須具備三個條件：①必須是整式方程；②必須只含有一個未知數；③所含未知數的最高次數是2．二、一元二次方程的解法1．直接開平方法適合于或形式的方程．2．配方法（1）化二次項系數為1；（2）移項，使方程左邊只含有二次項和一次項，右邊為常數項；（3）方程兩邊同時加上一次項系數一半的平方；（4）把方程整理成的形式；（5）運用直接開平方法解方程．3．公式法（1）把方程化為一般形式，即；（2）確定的值；（3）求出的值；（4）將的值代入即可．4．因式分解法基本思想是把方程化成的形式，可得或．考向一一元二次方程解法典例引領1．解下列方程：(1)；(2)．2．解方程：(1)；（配方法）(2)；（公式法）(3)；（因式分解法）(4)．（選擇適當的方法）3．解方程：(1)；(2)．4．用適當的方法解下列方程：．5．提出問題：為解方程，我們可以令，于是原方程可轉化為，解此方程，得（不符合要求，舍去）．當時，．原方程的解為．以上方法就是換元法解方程，從而達到了降次的目的，體現了轉化的思想．解決問題：運用上述換元法解方程：．6．換元法是數學中的一種解題方法．若我們把其中某些部分看成一個整體，用一個新字母代替（即換元），則能使復雜的問題簡單化．如：解二元一次方程組，按常規思路解方程組計算量較大．可設，，那么方程組可化為，從而將方程組簡單化，解出和的值后，再利用，解出和的值即可．用上面的思想方法解方程：(1)；(2)7．解下列方程：(1)；(2)．8．解方程：(1)；(2)．9．解下列方程：(1)；(2)10．解方程(1)(2)11．解下列方程：(1)（配方法）(2)12．閱讀材料：為解方程，我們可以將看作一個整體，設，則原方程可化為①，解得．當時，，∴，∴．當y＝4時，，，∴．故原方程的解為，，，．解答問題：(1)上述解題過程，在由原方程得到方程①的過程中，利用法達到了降次的目的．(2)請利用以上知識解方程．13．閱讀材料：解方程時，我們可以將視為一個整體，設，則，原方程化為，解此方程，得，．當時，，，；當時，，，．∴原方程的解為，，，．以上方法就叫換元法，達到了降次轉化為一元二次方程的目的．這一過程體現了數學整體思想和轉化的思想．類比應用：運用上述方法解方程：．14．定義：若一個整數能表示成（，是整數）的形式，則稱這個數為“平和數”．例如，5是“平和數”．理由：因為．再如，（，是整數），所以也是“平和數”．解決問題：(1)請你再寫一個小于5的“平和數”_____；判斷29是否為“平和數”____（填“是”或“否”）；(2)若二次三項式（是整數）是“平和數”，可配方成（，為常數），則_____．(3)已知“平和數”（，是整數）的值為0，則的值為_____；(4)已知（，是整數，是常數），要使為“平和數”，請寫出符合條件的的值_____；(5)已知實數，滿足，求的最小值．15．學習的本質是自學．周末，小睿同學在復習配方法后，他對代數式進行了配方，發現，小睿發現是一個非負數，即，他繼續探索，利用不等式的基本性質得到，即，所以，他得出結論是的最小值是2，即的最小值是2．小睿同學又進行了嘗試，發現求一個二次三項式的最值可以用配方法，他自己設計了兩個題，請你解答．(1)求代數式的最小值．(2)求代數式的最值．16．推理能力有助于形成實事求是的科學態度與理性精神．我們知道任何實數的平方一定是一個非負數，即：，且．據此，我們可以得到下面的推理：∵，而∴，故有最小值，最小值是．試根據以上方法判斷代數式是否存在最大值或最小值？若有，請求出它的最大值或最小值．變式拓展1．用適當的方法解下列方程：(1)；(2)．2．選擇適當的方法解下列方程(1)(2)3．解方程：．4．解下列方程：(1)；(2)．5．解下列方程：(1)；(2)．6．解方程(1)(2)7．解一元二次方程：(1)(2)8．用適當的方法解下列方程：(1)；(2)．9．解下列一元二次方程：(1)；(2)．10．我們知道：；，這一種方法稱為配方法．由此可得：，，∴當時，有最小值為；，∴當時，有最大值為25．利用以上的方法解答下列問題：(1)填空：按上面材料提示的方法配方：_____________=_____________．(2)應用：如圖，已知線段是上的一個動點，設，以為一邊作正方形，再以為一組鄰邊作長方形．問：當點在上運動時，長方形的面積是否存在最大值？若存在，請求出這個最大值；否則請說明理由．11．解下列方程：(1)；(2)；（用配方法）(3)；(4)．12．讀材料：若，求m，n的值．解：∵，∴，∴，∴，，∴，．根據你的觀察，探究下面的問題：(1)已知，則______，______．(2)已知的三邊長a，b，c都是正整數，且滿足，求c的值．13．閱讀理解：一位同學將代數式變形為，得到后分析發現，那么當時，此代數式有最小值是4．請同學們思考以下問題：(1)已知代數式，此代數式有最值（填“大”或“小”），且值為．(2)已知代數式，此代數式有最值（填“大”或“小”），且值為．(3)通過閱讀材料分析代數式的最值情況，寫出詳細過程及結論．14．是一個一元四次方程．根據該方程特點，通常用“換元法”解方程：設，則_______，于是原方程可變為________，解得，______．當時，，．當______時，_______，______．原方程有4個根，分別是________．15．閱讀下面的材料：為解方程，我們可以將視為一個整體，然后可設，則，原方程可化為，解得，．當時，，，；當時，，，．綜上所述，原方程的解為，，，．(1)根據材料解方程：；(2)已知實數，滿足，求的值．16．轉化是數學解題的一種極其重要的數學思想，實質是把新知識轉化為舊知識，把未