第05講一元二次方程、分式方程的解法及應用（知識精講+真題練+模擬練+自招練）【考綱要求】1.理解配方法，會用因式分解法、公式法、配方法解簡單的數字系數的一元二次方程；2.會解分式方程，解分式方程的基本思想是把分式方程轉化成整式方程，把未知問題轉化成已知問題，從而滲透數學的轉化思想．【知識導圖】【考點梳理】考點一、一元二次方程1.一元二次方程的定義只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整式方程，叫做一元二次方程．它的一般形式為(a≠0)．2.一元二次方程的解法（1）直接開平方法：把方程變成的形式，當m＞0時，方程的解為；當m＝0時，方程的解；當m＜0時，方程沒有實數解．（2）配方法：通過配方把一元二次方程變形為的形式，再利用直接開平方法求得方程的解．（3）公式法：對于一元二次方程，當時，它的解為．（4）因式分解法：把方程變形為一邊是零，而另一邊是兩個一次因式積的形式，使每一個因式等于零，就得到兩個一元一次方程，分別解這兩個方程，就得到原方程的解．要點詮釋：直接開平方法和因式分解法是解一元二次方程的特殊方法，配方法和公式法是解一元二次方程的一般方法．3．一元二次方程根的判別式一元二次方程根的判別式為．△>0方程有兩個不相等的實數根；△＝0方程有兩個相等的實數根；△<0方程沒有實數根．上述由左邊可推出右邊，反過來也可由右邊推出左邊．要點詮釋：△≥0方程有實數根.4．一元二次方程根與系數的關系如果一元二次方程(a≠0)的兩個根是，那么．考點二、分式方程1.分式方程的定義分母中含有未知數的有理方程，叫做分式方程．要點詮釋：（1）分式方程的三個重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量.

（2）分式方程與整式方程的區別就在于分母中是否含有未知數(不是一般的字母系數)，分母中含有未知數的方程是分式方程，不含有未知數的方程是整式方程，如：關于的方程和都是分式方程，而關于的方程和都是整式方程.2.分式方程的解法去分母法，換元法．3.解分式方程的一般步驟(1)去分母，即在方程的兩邊都乘以最簡公分母，把原方程化為整式方程(2)解這個整式方程；(3)驗根：把整式方程的根代入最簡公分母，使最簡公分母不等于零的根是原方程的根，使最簡公

分母等于零的根是原方程的增根.口訣：“一化二解三檢驗”.要點詮釋：解分式方程時，有可能產生增根，增根一定適合分式方程轉化后的整式方程，但增根不適合原方程，可使原方程的分母為零，因此必須驗根．考點三、一元二次方程、分式方程的應用1．應用問題中常用的數量關系及題型(1)數字問題(包括日歷中的數字規律)關鍵會表示一個兩位數或三位數，對于日歷中的數字問題關鍵是弄清日歷中的數字規律．(2)體積變化問題關鍵是尋找其中的不變量作為等量關系.(3)打折銷售問題其中的幾個關系式：利潤＝售價-成本價(進價)，利潤率＝×100%．明確這幾個關系式是解決這類問題的關鍵．(4)關于兩個或多個未知量的問題重點是尋找到多個等量關系，能夠設出未知數，并且能夠根據所設的未知數列出方程.(5)行程問題對于相遇問題和追及問題是列方程解應用題的重點問題，也是易出錯的問題，一定要分析其中的特點，同向而行一般是追及問題，相向而行一般是相遇問題．注意：追及和相遇的綜合題目，要分析出哪一部分是追及，哪一部分是相遇.(6)和、差、倍、分問題增長量＝原有量×增長率；現有量＝原有量+增長量；現有量＝原有量-降低量．2．解應用題的步驟(1)分析題意，找到題中未知數和題給條件的相等關系；(2)設未知數，并用所設的未知數的代數式表示其余的未知數；(3)找出相等關系，并用它列出方程；(4)解方程求出題中未知數的值；(5)檢驗所求的答數是否符合題意，并做答．要點詮釋：方程的思想，轉化(化歸)思想，整體代入，消元思想，分解降次思想，配方思想，數形結合的思想用數學表達式表示與數量有關的語句的數學思想．注意：①設列必須統一，即設的未知量要與方程中出現的未知量相同；②未知數設出后不要漏棹單位；③列方程時，兩邊單位要統一；④求出解后要雙檢，既檢驗是否適合方程，還要檢驗是否符合題意．【典型例題】題型一、一元二次方程 【例1-1】用配方法解一元二次方程：【思路點撥】把二次項系數化為1，常數項右移，方程兩邊都加上一次項系數一半的平方，再用直接開平方法解出未知數的值.【答案與解析】移項，得二次項系數化為1，得配方由此可得，【總結升華】用配方法解一元二次方程的一般步驟：①把原方程化為的形式；②將常數項移到方程的右邊；方程兩邊同時除以二次項的系數，將二次項系數化為1；③方程兩邊同時加上一次項系數一半的平方；④再把方程左邊配成一個完全平方式，右邊化為一個常數；⑤若方程右邊是非負數，則兩邊直接開平方，求出方程的解；若右邊是一個負數，則判定此方程無實數解.【例1-2】閱讀材料：為解方程，我們可以將看作一個整體，然后設，那么原方程可化為……①，解得，，當時，，，；當時，，，，故原方程的解為，，，．解答問題：（1）上述解題過程，在由原方程得到方程①的過程中，利用________法達到了解方程的目的，體現了轉化的數學思想；（2）請利用以上知識解方程．【思路點撥】此題考查了學生學以致用的能力，解題的關鍵是掌握換元思想．【答案與解析】（1）換元法；（2）設，那么原方程可化為解得；當時，；當時，不符合題意，舍去．所以原方程的解為，．【總結升華】應用換元法解方程，體現了轉化的數學思想.【變式1】用配方法解方程x2-7x-1=0．【答案】將方程變形為x2-7x=1，兩邊加一次項系數的一半的平方，得x2-7x+=1+，所以有=1+．直接開平方，得x-=或x-=-．所以原方程的根為x=或x=．【變式2】設m是實數，求關于x的方程的根．【答案】x1=1,x2=m+2.【例2-1】關于x的方程有兩個不相等的實數根.(1)求k的取值范圍.(2)是否存在實數k，使方程的兩個實數根的倒數和等于0?若存在，求出k的值；若不存在，說明理由【思路點撥】判別式大于0，二次項系數不等于0.【答案與解析】（1）由△=(k+2)2－4k·＞0∴k＞－1又∵k≠0∴k的取值范圍是k＞－1，且k≠0（2）不存在符合條件的實數k理由：設方程kx2+(k+2)x+=0的兩根分別為x1、x2，由根與系數關系有：x1+x2=，x1·x2=，又=0則=0∴由（1）知，時，△＜0，原方程無實解∴不存在符合條件的k的值.【總結升華】（1）注意隱含條件k≠0；（2）由根與系數關系的應用，求出k的值，要驗證k的值是否符合題意.【例2-2】已知關于x的一元二次方程有兩個相等的實數根，求的值.【思路點撥】由于這個方程有兩個相等的實數根，因此⊿＝，可得出a、b之間的關系，然后將化簡后，用含b的代數式表示a，即可求出這個分式的值．【答案與解析】∵有兩個相等的實數根，∴⊿＝，即．∵∵，∴【總結升華】本題需要綜合運用分式和一元二次方程來解決問題，考查學生綜合運用多個知識點解決問題的能力，屬于中等難度的試題，具有一定的區分度．【變式1】已知關于x的方程．（1）求證方程有兩個不相等的實數根．（2）當m為何值時，方程的兩根互為相反數？并求出此時方程的解．【答案】（1）證明:因為△== 所以無論取何值時，△>0，所以方程有兩個不相等的實數根．（2）解：因為方程的兩根互為相反數，所以， 根據方程的根與系數的關系得，解得， 所以原方程可化為，解得，.【變式2】關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數根．（1）求k的取值范圍（2）請選擇一個k的負整數值，并求出方程的根．【答案】（1）方程有兩個不相等的實數根，∴＞0．即，解得，．（2）若k是負整數，k只能為－1或－2．如果k＝－1，原方程為．解得，，．（如果k＝－2，原方程為，解得，，．）題型二、分式方程【例3-1】解方程：【思路點撥】先去分母將分式方程化為整式方程，求出整式方程的解，再進行檢驗.【答案與解析】方程兩邊都乘以，得【總結升華】首先要確定各分式分母的最簡公分母，在方程兩邊乘這個公分母時不要漏乘，解完后記著要驗根.【例3-2】解方程：【思路點撥】把原方程右邊化為代入原方程求解較為簡單.【答案與解析】原方程變為經檢驗，是原方程的根.【總結升華】因為，，所以最簡公分母為：，若采用去分母的通常方法，運算量較大，可采用上面的方法較好.【變式1】解分式方程：．【答案】方程兩邊同乘以，得． ．． 經檢驗：是原方程的解，所以原方程的解是． 【變式2】方程的解是x=．【答案】.【變式3】解方程：【答案】原方程化為方程兩邊通分，得化簡得解得經檢驗：是原方程的根.【變式4】【答案】解此方程此方程無解.【例4-1】若解分式方程產生增根，則m的值是（）A. B.C. D.【思路點撥】先把原方程化為整式方程，再把可能的增根分別代入整式方程即可求出m的值.【答案】D；【解析】由題意得增根是：化簡原方程為：把代入解得，故選擇D.【總結升華】分式方程產生的增根，是使分母為零的未知數的值.【例4-2】m為何值時，關于x的方程會產生增根？【思路點撥】先把原方程化為整式方程，使分母為0的根是增根，代入整式方程求出m的值.【答案與解析】方程兩邊都乘以，得整理，得【總結升華】分式方程的增根，一定是使最簡公分母為零的根.【變式1】若關于的方程無解，則的值是．【答案】1.【變式2】當m為何值時，方程會產生增根()A.2B.－1C.3D.－3【答案】分式方程，去分母得，將增根代入，得m＝3.所以，當m＝3時，原分式方程會產生增根.故選C.題型三、一元二次方程、分式方程的應用【例5-1】輪船在一次航行中順流航行80千米，逆流航行42千米，共用了7小時；在另一次航行中，用相同的時間，順流航行40千米，逆流航行70千米.求這艘輪船在靜水中的速度和水流速度.【思路點撥】在航行問題中的等量關系是“順流速度＝靜水速度＋水流速度；逆流速度＝靜水速度－水流速度”，兩次航行提供了兩個等量關系.【答案與解析】設船在靜水中的速度為x千米/小時，水流速度為y千米/小時由題意，得答：水流速度為3千米/小時，船在靜水中的速度為17千米/小時.【總結升華】流水問題公式：順流速度＝靜水速度＋水流速度；逆流速度＝靜水速度－水流速度；靜水速度＝(順流速度＋逆流速度)÷2；水流速度＝(順流速度－逆流速度)÷2.【例5-2】要在規定的日期內加工一批機器零件，如果甲單獨做，剛好在規定日期內完成，乙單獨做則要超過3天.現在甲、乙兩人合作2天后，再由乙單獨做，正好按期完成.問規定日期是多少天？【思路點撥】設規定日期是x天，則甲的工作效率為，乙的工作效率為，工作總量為1.【答案與解析】設規定日期為x天根據題意，得解得經檢驗是原方程的根答：規定日期是6天.【總結升華】工程問題涉及的量有三個，即每天的工作量、工作的天數、工作的總量．它們之間的基本關系是：工作總量=每天的工作量×工作的天數．【變式1】甲、乙兩班同學參加“綠化祖國”活動，已知乙班每小時比甲班多種2棵樹，甲班種60棵所用的時間與乙班種66棵樹所用的時間相等，求甲、乙兩班每小時各種多少棵樹？【答案】設甲班每小時種x棵樹，則乙班每小時種（x+2）棵樹，由題意得：答：甲班每小時種樹20棵，乙班每小時種樹22棵.【變式2】據林業專家分析，樹葉在光合作用后產生的分泌物能夠吸附空氣中的一些懸浮顆粒物，具有滯塵凈化空氣的作用．已知一片銀杏樹葉一年的平均滯塵量比一片國槐樹葉一年的平均滯塵量的2倍少4毫克，若一年滯塵1000毫克所需的銀杏樹葉的片數與一年滯塵550毫克所需的國槐樹葉的片數相同，求一片國槐樹葉一年的平均滯塵量．【答案】設一片國槐樹葉一年的平均滯塵量為x毫克，由題意得，解得：x=22，經檢驗：x=22是原分式方程的解，且符合題意．答：一片國槐樹葉一年的平均滯塵量為22毫克．【例6-1】某服裝廠生產一批西服，原來每件的成本價是500元，銷售價為625元，經市場預測，該產品銷售價第一個月將降低20%，第二個月比第一個月提高6%，為了使兩個月后的銷售利潤達到原來水平，該產品的成本價平均每月應降低百分之幾？【思路點撥】設該產品的成本價平均每月降低率為x，那么兩個月后的銷售價格為625（1-20%）（1+6%），兩個月后的成本價為500（1-x）2，然后根據已知條件即可列出方程，解方程即可求出結果．【答案與解析】設該產品的成本價平均每月應降低的百分數為x．625（1-20%）（1+6%）-500（1-x）2=625-500整理，得500（1-x）2=405，（1-x）2=0.81．1-x=±0.9，x=1±0.9，x1=1.9（舍去），x2=0.1=10%．答：該產品的成本價平均每月應降低10%．【總結升華】題目中該產品的成本價在不斷變化，銷售價也在不斷變化，要求變化后的銷售利潤不變，即利潤仍要達到125元，關鍵在于計算和表達變動后的銷售價和成本價．【例6-2】某工程由甲、乙兩隊合做6天完成，廠家需付甲、乙兩隊工程費共8700元，乙、丙兩隊合做10天完成，廠家需付乙、丙兩隊工程費共9500元，甲、丙兩隊合做5天完成全部工程的，廠家需付甲、丙兩隊工程費共5500元．⑴求甲、乙、丙各隊單獨完成全部工程各需多少天？⑵若工期要求不超過15天完成全部工程，問由哪個隊單獨完成此項工程花錢最少？請說明理由．【思路點撥】第一問是工程問題，工程問題中有三個量：工作總量，工作效率，工作時間，這三個量之間的關系是：工作總量=工作效率×工作時間第二問只要求出每天應各付甲、乙、丙各隊多少錢，并由第一問求出甲、乙、丙各隊單獨完成這項工作所需的天數，即可求出在規定時間內單獨完成此項工程哪個隊花錢最少.【答案與解析】⑴設甲隊單獨做需天完成，乙隊單獨做需天完成，丙隊單獨做需天完成，依題意，得

×＋②×＋③×，得＋＋＝．④－①×，得＝，即z＝30，④－②×，得＝，即x＝10④－③×，得＝，即y＝15．經檢驗，x＝10，y＝15，z＝30是原方程組的解．⑵設甲隊做一天廠家需付元，乙隊做一天廠家需付元，丙隊做一天廠家需付元，根據題意，得由⑴可知完成此工程不超過工期只有兩個隊：甲隊和乙隊．此工程由甲隊單獨完成需花錢元；此工程由乙隊單獨完成需花錢元.所以，由甲隊單獨完成此工程花錢最少．【總結升華】這是一道聯系實際生活的工程應用題，涉及工期和工錢兩種未知量．對于工期，一般情況下把整個工作量看成1，設出甲、乙、丙各隊單獨完成這項工程所需時間分別為天，天，天，可列出分式方程組．在求解時，把，，分別看成一個整體，就可把分式方程組轉化為整式方程組來解．【中考過關真題練】一．選擇題（共3小題）1．（2018?上海）下列對一元二次方程x2+x﹣3＝0根的情況的判斷，正確的是（）A．有兩個不相等實數根 B．有兩個相等實數根 C．有且只有一個實數根 D．沒有實數根【分析】根據方程的系數結合根的判別式，即可得出Δ＝13＞0，進而即可得出方程x2+x﹣3＝0有兩個不相等的實數根．【解答】解：∵a＝1，b＝1，c＝﹣3，∴Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4×（1）×（﹣3）＝13＞0，∴方程x2+x﹣3＝0有兩個不相等的實數根．故選：A．【點評】本題考查了根的判別式，牢記“當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數根”是解題的關鍵．2．（2017?上海）下列方程中，沒有實數根的是（）A．x2﹣2x＝0 B．x2﹣2x﹣1＝0 C．x2﹣2x+1＝0 D．x2﹣2x+2＝0【分析】分別計算各方程的根的判別式的值，然后根據判別式的意義判定方程根的情況即可．【解答】解：A、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，方程有兩個不相等的實數根，所以A選項錯誤；B、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，方程有兩個不相等的實數根，所以B選項錯誤；C、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，方程有兩個相等的實數根，所以C選項錯誤；D、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×2＝﹣4＜0，方程沒有實數根，所以D選項正確．故選：D．【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關系：當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數根；當Δ＝0時，方程有兩個相等的實數根；當Δ＜0時，方程無實數根．3．（2020?上海）用換元法解方程+＝2時，若設＝y，則原方程可化為關于y的方程是（）A．y2﹣2y+1＝0 B．y2+2y+1＝0 C．y2+y+2＝0 D．y2+y﹣2＝0【分析】方程的兩個分式具備倒數關系，設＝y，則原方程化為y+＝2，再轉化為整式方程y2﹣2y+1＝0即可求解．【解答】解：把＝y代入原方程得：y+＝2，轉化為整式方程為y2+1＝2y，即y2﹣2y+1＝0．故選：A．【點評】考查了換元法解分式方程，換元法解分式方程時常用方法之一，它能夠把一些分式方程化繁為簡，化難為易，對此應注意總結能用換元法解的分式方程的特點，尋找解題技巧．二．填空題（共9小題）4．（2016?上海）如果關于x的方程x2﹣3x+k＝0有兩個相等的實數根，那么實數k的值是．【分析】根據方程有兩個相等的實數根結合根的判別式，即可得出關于k的一元一次方程，解方程即可得出結論．【解答】解：∵關于x的方程x2﹣3x+k＝0有兩個相等的實數根，∴Δ＝（﹣3）2﹣4×1×k＝9﹣4k＝0，解得：k＝．故答案為：．【點評】本題考查了根的判別式，解題的關鍵是找出9﹣4k＝0．本題屬于基礎題，難度不大，解決該題型題目時，根據方程解的情況結合根的判別式得出方程（不等式或不等式組）是關鍵．5．（2022?上海）某公司5月份的營業額為25萬，7月份的營業額為36萬，已知5、6月的增長率相同，則增長率為20%．【分析】設平均每月的增長率為x，根據5月份的營業額為25萬元，7月份的營業額為36萬元，表示出7月的營業額，即可列出方程解答．【解答】解：設平均每月的增長率為x，由題意得25（1+x）2＝36，解得x1＝0.2，x2＝﹣2.2（不合題意，舍去）所以平均每月的增長率為20%．故答案為：20%．【點評】本題考查了一元二次方程的應用，根據數量關系列出關于x的一元二次方程是解題的關鍵．6．（2020?上海）如果關于x的方程x2﹣4x+m＝0有兩個相等的實數根，那么m的值是4．【分析】一元二次方程有兩個相等的實根，即根的判別式Δ＝b2﹣4ac＝0，即可求m值．【解答】解：依題意，∵方程x2﹣4x+m＝0有兩個相等的實數根，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4m＝0，解得m＝4，故答案為：4．【點評】此題主要考查的是一元二次方程的根判別式，當Δ＝b2﹣4ac＝0時，方程有兩個相等的實根，當Δ＝b2﹣4ac＞0時，方程有兩個不相等的實根，當Δ＝b2﹣4ac＜0時，方程無實數根．7．（2019?上海）如果關于x的方程x2﹣x+m＝0沒有實數根，那么實數m的取值范圍是m＞．【分析】由于方程沒有實數根，則其判別式Δ＜0，由此可以建立關于m的不等式，解不等式即可求出m的取值范圍．【解答】解：由題意知Δ＝1﹣4m＜0，∴m＞．故填空答案：m＞．【點評】總結：一元二次方程根的情況與判別式△的關系：（1）Δ＞0?方程有兩個不相等的實數根；（2）Δ＝0?方程有兩個相等的實數根（3）Δ＜0?方程沒有實數根．8．（2021?上海）若一元二次方程2x2﹣3x+c＝0無實數根，則c的取值范圍為c＞．【分析】根據根的判別式的意義得到Δ＝（﹣3）2﹣4×2×c＜0，然后求出c的取值范圍．【解答】解：∵一元二次方程2x2﹣3x+c＝0無實數根，Δ＝（﹣3）2﹣4×2×c＜0，解得c＞，∴c的取值范圍是c＞．故答案為：c＞．【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判別式Δ＝b2﹣4ac：當Δ＞0，方程有兩個不相等的實數根；當Δ＝0，方程有兩個相等的實數根；當Δ＜0，方程沒有實數根．9．（2022?上海）解方程組：的結果為．【分析】由x2﹣y2＝3可知（x+y）（x﹣y）＝3，再根據x+y＝1計算出x﹣y＝3，然后與x+y＝1聯立計算即可．【解答】解：∵x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝3，且x+y＝1，∴x﹣y＝3，∴可得方程組，解得：．故答案為：．【點評】本題考查了高次方程組的解法，根據題干尋找解題方向及熟練掌握常見公式如平方差公式等是解題的關鍵．10．（2018?上海）方程組的解是，．【分析】方程組中的兩個方程相加，即可得出一個一元二次方程，求出方程的解，再代入求出y即可．【解答】解：②+①得：x2+x＝2，解得：x＝﹣2或1，把x＝﹣2代入①得：y＝﹣2，把x＝1代入①得：y＝1，所以原方程組的解為，，故答案為：，．【點評】本題考查了解高次方程組，能把二元二次方程組轉化成一元二次方程是解此題的關鍵．11．（2017?上海）方程＝1的解是x＝2．【分析】根據無理方程的解法，首先，兩邊平方，解出x的值，然后，驗根解答出即可．【解答】解：，兩邊平方得，2x﹣3＝1，解得，x＝2；經檢驗，x＝2是方程的根；故答案為x＝2．【點評】本題考查了無理方程的解法，解無理方程的基本思想是把無理方程轉化為有理方程來解，在變形時要注意根據方程的結構特征選擇解題方法，解無理方程，往往會產生增根，應注意驗根．12．（2016?上海）方程＝2的解是x＝5．【分析】利用兩邊平方的方法解出方程，檢驗即可．【解答】解：方程兩邊平方得，x﹣1＝4，解得，x＝5，檢驗：把x＝5代入方程，左邊＝2，右邊＝2，左邊＝右邊，則x＝5是原方程的解，故答案為：x＝5．【點評】本題考查的是無理方程的解法，正確利用兩邊平方的方法解出方程，并正確進行驗根是解題的關鍵．三．解答題（共5小題）13．（2021?上海）解方程組：．【分析】解方程組的中心思想是消元，在本題中，只能用代入消元法解題．【解答】解：，由①得：y＝3﹣x，把y＝3﹣x代入②，得：x2﹣4（3﹣x）2＝0，化簡得：（x﹣2）（x﹣6）＝0，解得：x1＝2，x2＝6．把x1＝2，x2＝6依次代入y＝3﹣x得：y1＝1，y2＝﹣3，∴原方程組的解為．【點評】本題以解高次方程組為背景，旨在考查學生對消元法的靈活應用能力．14．（2020?上海）去年某商店“十一黃金周”進行促銷活動期間，前六天的總營業額為450萬元，第七天的營業額是前六天總營業額的12%．（1）求該商店去年“十一黃金周”這七天的總營業額；（2）去年，該商店7月份的營業額為350萬元，8、9月份營業額的月增長率相同，“十一黃金周”這七天的總營業額與9月份的營業額相等．求該商店去年8、9月份營業額的月增長率．【分析】（1）根據該商店去年“十一黃金周”這七天的總營業額＝前六天的總營業額+第七天的營業額，即可求出結論；（2）設該商店去年8、9月份營業額的月增長率為x，根據該商店去年7月份及9月份的營業額，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論．【解答】解：（1）450+450×12%＝504（萬元）．答：該商店去年“十一黃金周”這七天的總營業額為504萬元．（2）設該商店去年8、9月份營業額的月增長率為x，依題意，得：350（1+x）2＝504，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合題意，舍去）．答：該商店去年8、9月份營業額的月增長率為20%．【點評】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．15．（2019?上海）解方程：﹣＝1【分析】分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經檢驗即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：2x2﹣8＝x2﹣2x，即x2+2x﹣8＝0，分解因式得：（x﹣2）（x+4）＝0，解得：x＝2或x＝﹣4，經檢驗x＝2是增根，分式方程的解為x＝﹣4．【點評】此題考查了解分式方程，利用了轉化的思想，解分式方程注意要檢驗．16．（2017?上海）解方程：﹣＝1．【分析】兩邊乘x（x﹣3）把分式方程轉化為整式方程即可解決問題．【解答】解：兩邊乘x（x﹣3）得到3﹣x＝x2﹣3x，∴x2﹣2x﹣3＝0，∴（x﹣3）（x+1）＝0，∴x＝3或﹣1，經檢驗x＝3是原方程的增根，∴原方程的解為x＝﹣1．【點評】本題考查解分式方程，解題的關鍵是熟練掌握解分式方程的步驟，注意解分式方程必須檢驗．17．（2016?上海）解方程：﹣＝1．【分析】根據解分式方程的步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數化為1進行計算即可．【解答】解：去分母得，x+2﹣4＝x2﹣4，移項、合并同類項得，x2﹣x﹣2＝0，解得x1＝2，x2＝﹣1，經檢驗x＝2是增根，舍去；x＝﹣1是原方程的根，所以原方程的根是x＝﹣1．【點評】本題考查了解分式方程，熟記解分式方程的步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數化為1是解題的關鍵，注意驗根．【中考挑戰滿分模擬練】一．選擇題（共7小題）1．（2022?松江區校級模擬）下列方程中，有實數根的是（）A． B． C．x3+3＝0 D．x4+4＝0【分析】根據任何數的算術平方根以及偶次方一定是非負數即可作出判斷．【解答】解：A、≥0，因而方程一定無解；B、x﹣1≥0，解得：x≥1，則﹣x＜0，故原式一定不成立，方程無解；C、x3+3＝0，則x＝﹣，故選項正確；D、x4+4≥4，故原式一定不成立，故方程無解．故選：C．【點評】本題考查了任何數的算術平方根以及偶次方一定是非負數．2．（2022?嘉定區二模）下列關于x的一元二次方程中有兩個不相等的實數根的是（）A．x2+4＝0 B．x2+2x＝0 C．x2﹣4x+4＝0 D．x2﹣x+2＝0【分析】分別計算四個方程的根的判別式的值，然后根據根的判別式的意義判斷方程根的情況即可．【解答】解：A．因為Δ＝02﹣4×4＝﹣16＜0，則方程沒有實數解，所以A選項不符合題意；B．因為Δ＝22﹣4×0＝4＞0，則方程有兩個不相等的實數解，所以B選項符合題意；C．因為Δ＝（﹣4）2﹣4×4＝0，則方程有兩個相等的實數解，所以C選項不符合題意；D．因為Δ＝（﹣1）2﹣4×2＝﹣7＜0，則方程沒有實數解，所以D選項不符合題意．故選：B．【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關系：當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數根；當Δ＝0時，方程有兩個相等的實數根；當Δ＜0時，方程無實數根．3．（2022?松江區校級模擬）下列方程有兩個相等的實數解的是（）A．x2+5x﹣6＝0 B．x2﹣5x+6＝0 C．x2﹣6x+9＝0 D．x2+6x﹣9＝0【分析】先分別計算各方程的根的判別式的值，然后根據判別式的意義分別進行判斷．【解答】解：A、Δ＝52﹣4×（﹣6）×1＝49＞0，則方程有兩個不相等的實數根，所以A選項不符合題意；B、Δ＝（﹣5）2﹣4×1×6＝1＞0，則方程有兩個不相等的實數根，所以B選項不符合題意；C、Δ＝（﹣6）2﹣4×9×1＝0，則方程有兩個相等的實數根，所以C選項符合題意；D、Δ＝62﹣4×（﹣9）×1＞0，則方程兩個不相等的實數根，所以D選項不符合題意．故選：C．【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判別式Δ＝b2﹣4ac：當Δ＞0，方程有兩個不相等的實數根；當Δ＝0，方程有兩個相等的實數根；當Δ＜0，方程沒有實數根．4．（2022?徐匯區模擬）下列方程中，有實數根的是（）A．x3＝﹣1 B．＝0 C．x2+5x+8＝0 D．＝1【分析】解各個選項給出的方程，根據是否有解得結論．【解答】解：（﹣1）3＝﹣1，所以x3＝﹣1有實數根，故A合題意；x4≥0，x4+1≥1，所以沒有實數根，故B不合題意；方程x2+5x+8＝0的根的判別式Δ＝25﹣32＝﹣7＜0，所以方程C沒有實數根，故C不合題意；分式方程變形得x2﹣x+1＝0，其根的判別式Δ＝1﹣4＝﹣3＜0，所以方程D沒有實數根，故D不合題意．故選：A．【點評】本題考查了解方程，掌握高次方程、無理方程、一元二次方程、分式方程的解法是解決本題的關鍵．5．（2022?寶山區二模）關于一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的根的情況，下列判斷正確的是（）A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根 C．有且只有一個實數根 D．沒有實數根【分析】先計算根的判別式的值得到Δ＞0，然后根據根的判別式的意義對各選項進行判斷．【解答】解：∵Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣2）＝1+8＝9＞0，∴方程有兩個不相等的實數根．故選：A．【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關系：當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數根；當Δ＝0時，方程有兩個相等的實數根；當Δ＜0時，方程無實數根．6．（2022?金山區校級模擬）關于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有兩個實數根，則k的取值范圍是（）A．k＞4 B．k≤4 C．k≥4 D．k＜4【分析】利用根的判別式的意義得到Δ＝（﹣4）2﹣4×k≥0，然后解不等式即可．【解答】解：根據題意得Δ＝（﹣4）2﹣4×k≥0，解得k≤4．故選：B．【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關系：當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數根；當Δ＝0時，方程有兩個相等的實數根；當Δ＜0時，方程無實數根．7．（2022?閔行區二模）在下列方程中，有實數根的是（）A． B．x2+3x+1＝0 C．x2+2x+3＝0 D．【分析】根據的值是非負數，即可判斷選項A；根據根的判別式即可判斷選項B和選項C，方程兩邊都乘x﹣1得出x＝1，再進行檢驗，即可判斷選項D．【解答】解：A．＝﹣1，∵≥0，∴此方程無實數根，故本選項不符合題意；B．x2+3x+1＝0，∵Δ＝32﹣4×1×1＝9﹣4＝5＞0，∴方程有兩個不相等的實數根，故本選項符合題意；C．x2+2x+3＝0，∵Δ＝22﹣4×1×3＝4﹣12＝﹣8＜0，∴方程無實數根，故本選項不符合題意；D．＝，方程兩邊都乘x﹣1，得x＝1，檢驗：當x＝1時，x﹣1＝0，所以x＝1是增根，即原方程無實數根，故本選項不符合題意；故選：B．【點評】本題考查了解無理方程，根的判別式和解分式方程等知識點，注意：二次根式中a≥0，≥0．二．填空題（共21小題）8．（2022?楊浦區二模）如果關于x的方程x2﹣3x+k＝0有兩個相等的實數根，那么實數k的值是．【分析】根據方程有兩個相等的實數根結合根的判別式，即可得出關于k的一元一次方程，解方程即可得出結論．【解答】解：∵關于x的方程x2﹣3x+k＝0有兩個相等的實數根，∴Δ＝（﹣3）2﹣4×1×k＝9﹣4k＝0，解得：k＝．故答案為：．【點評】本題考查了根的判別式，解題的關鍵是找出9﹣4k＝0．本題屬于基礎題，難度不大，解決該題型題目時，根據方程解的情況結合根的判別式得出方程（不等式或不等式組）是關鍵．9．（2022?嘉定區校級模擬）如果關于x的方程x2﹣2x+m＝0（m為常數）有兩個相等實數根，那么m＝1．【分析】本題需先根據已知條件列出關于m的等式，即可求出m的值．【解答】解：∵x的方程x2﹣2x+m＝0（m為常數）有兩個相等實數根∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1?m＝04﹣4m＝0m＝1故答案為：1【點評】本題主要考查了根的判別式，在解題時要注意對根的判別式進行靈活應用是本題的關鍵．10．（2022?金山區二模）方程的解是4．【分析】將方程變形，化為整式方程，解整式方程再檢驗即可得答案．【解答】解：∵1﹣＝0，∴＝1，∴x﹣3＝1，∴x＝4，經檢驗，x＝4是原方程的解，故答案為：4．【點評】本題考查解無理方程，解題的關鍵是將無理方程化為有理方程，注意解無理方程須檢驗．11．（2022?青浦區模擬）如果關于x的方程2x2+3x﹣k＝0沒有實數根，那么k的取值范圍是k＜﹣．【分析】根據判別式的意義得到Δ＝32﹣4×2×（﹣k）＜0，然后解不等式即可．【解答】解：根據題意得Δ＝32﹣4×2×（﹣k）＜0，解得k＜﹣．故答案為：k＜﹣．【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判別式Δ＝b2﹣4ac：當Δ＞0，方程有兩個不相等的實數根；當Δ＝0，方程有兩個相等的實數根；當Δ＜0，方程沒有實數根．12．（2022?徐匯區二模）如果關于x的一元二次方程2x2﹣3x+k＝0有兩個不相等的實數根，那么實數k的取值范圍是k＜．【分析】根據根的判別式的意義得到Δ＝（﹣3）2﹣4×2×k＞0，然后解不等式即可．【解答】解：根據題意得Δ＝（﹣3）2﹣4×2×k＞0，解得k＜，所以實數k的取值范圍是k＜．故答案為：k＜．【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關系：當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數根；當Δ＝0時，方程有兩個相等的實數根；當Δ＜0時，方程無實數根．13．（2022?上海模擬）如果關于x的方程x2++m＝0有實數根，那么實數m的最大值是．【分析】利用根的判別式的意義得到Δ＝（）2﹣4m≥0，解不等式得到m的取值范圍，從而得到m的最大值．【解答】解：根據題意得Δ＝（）2﹣4m≥0，解得m≤，所以實數m的最大值為．故答案為：．【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關系：當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數根；當Δ＝0時，方程有兩個相等的實數根；當Δ＜0時，方程無實數根．14．（2022?黃浦區校級二模）如果關于x的方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0有實數根，那么m的取值范圍是m≤．【分析】利用根的判別式的意義得到Δ＝（2m﹣1）2﹣4m2≥0，然后解不等式即可．【解答】解：根據題意得Δ＝（2m﹣1）2﹣4m2≥0，所以m≤．故答案為：m≤．【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關系：當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數根；當Δ＝0時，方程有兩個相等的實數根；當Δ＜0時，方程無實數根．15．（2022?嘉定區校級模擬）某小區2012年屋頂綠化面積為2000平方米，計劃2014年屋頂綠化面積要達到2880平方米，如果每年屋頂綠化面積的增長率相同，那么這個增長率是20%．【分析】一般用增長后的量＝增長前的量×（1+增長率），如果設人均年收入的平均增長率為x，根據題意即可列出方程．【解答】解：設平均增長率為x，根據題意可列出方程為：2000（1+x）2＝2880，（1+x）2＝1.44．1+x＝±1.2．所以x1＝0.2，x2＝﹣2.2（舍去）．故x＝0.2＝20%．即：這個增長率為20%．故答案是：20%．【點評】此題考查了一元二次方程的應用．對于平均增長率問題，在理解的基礎上，可歸結為a（1+x）2＝b（a＜b）；平均降低率問題，在理解的基礎上，可歸結為a（1﹣x）2＝b（a＞b）．16．（2022?浦東新區校級模擬）方程＝4的根是x＝5．【分析】方程的兩邊平方，化無理方程為整式方程，求解驗根即可．【解答】解：方程兩邊平方，得3x+1＝16，整理，得3x＝15，解得x＝5．經檢驗x＝5是原方程的解．所以原方程的解為x＝5．故答案為：x＝5．【點評】本題考查了無理方程的解法，把無理方程轉化為整式方程是解決本題的關鍵．17．（2022?寶山區模擬）方程的解是x＝2．【分析】兩邊平方得出關于x的整式方程，解之求得x的值，再根據二次根式有意義的條件得出符合方程的x的值，可得答案．【解答】解：兩邊平方得（x﹣2）（x﹣1）＝0，則x﹣2＝0或x﹣1＝0，解得：x＝2或x＝1，又，解得：x≥2，則x＝2，故答案為：x＝2．【點評】本題主要考查無理方程，解無理方程的基本思想是把無理方程轉化為有理方程來解，在變形時要注意根據方程的結構特征選擇解題方法．常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，設輔助元素法，利用比例性質法等．18．（2022?徐匯區模擬）方程的解是x＝1．【分析】先把方程兩邊平方，把無理方程轉化成有理方程，求出方程的解，再進行檢驗即可求出答案．【解答】解：，兩邊平方得：x2﹣1＝x﹣1，x2﹣x＝0，x（x﹣1）＝0，解得：x1＝0，x2＝1，檢驗：當x1＝0時，左邊＝，方程無意義，當x2＝1時，左邊＝右邊＝0，則原方程的解是x＝1；故答案為：x＝1．【點評】此題考查了無理方程，關鍵是通過把方程兩邊平方，把無理方程轉化成有理方程，要注意檢驗．19．（2022?虹口區二模）方程的根是x＝1．【分析】把方程兩邊平方去根號后即可轉化成整式方程，解方程即可求得x的值，然后進行檢驗即可．【解答】解：兩邊平方得：2﹣x＝x2，整理得：x2+x﹣2＝0，解得：x＝1或﹣2．經檢驗：x＝1是方程的解，x＝﹣2不是方程的解．故答案是：x＝1．【點評】在解無理方程是最常用的方法是兩邊平方法及換元法，本題用了平方法．20．（2022?楊浦區二模）方程的解為3．【分析】首先把方程兩邊分別平方，然后解一元二次方程即可求出x的值．【解答】解：兩邊平方得：2x+3＝x2∴x2﹣2x﹣3＝0，解方程得：x1＝3，x2＝﹣1，檢驗：當x1＝3時，方程的左邊＝右邊，所以x1＝3為原方程的解，當x2＝﹣1時，原方程的左邊≠右邊，所以x2＝﹣1不是原方程的解．故答案為3．【點評】本題主要考查解無理方程，關鍵在于首先把方程的兩邊平方，注意最后要把x的值代入原方程進行檢驗．21．（2022?普陀區二模）如果關于x的方程（x﹣1）2＝m沒有實數根，那么實數m的取值范圍是m＜0．【分析】根據負數沒有平方根，即可解答．【解答】解：如果關于x的方程（x﹣1）2＝m沒有實數根，那么實數m的取值范圍是：m＜0，故答案為：m＜0．【點評】本題考查了解一元二次方程﹣直接開平方法，熟練掌握負數沒有平方根是解題的關鍵．22．（2022?浦東新區校級模擬）如果一元二次方程2x2﹣x+k＝0無實數根，那么k的取值范圍是k＞．【分析】由于方程有實數根，則根的判別式Δ＜0，由此建立關于k的不等式，解不等式即可求得k的取值范圍．【解答】解：∵一元二次方程2x2﹣x+k＝0無實數根，∴Δ＝b2﹣4ac≥0，即（﹣1）2﹣4×2?k＜0，解得k＞．故答案為：k＞．【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關系，當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數根；當Δ＝0時，方程有兩個相等的實數根；當Δ＜0時，方程無實數根．上面的結論反過來也成立．23．（2022?嘉定區二模）用換元法解方程時，如果設＝y，那么原方程可化為關于y的整式方程是2y2﹣3y+1＝0．【分析】當分式方程比較復雜時，通常采用換元法使分式方程簡化，可設y＝．【解答】解：設y＝，則＝．則原方程可化為：2y2﹣3y+1＝0．故答案為：2y2﹣3y+1＝0．【點評】當分式方程比較復雜時，通常采用換元法使分式方程簡化．24．（2022?金山區校級模擬）用換元法解方程＝3時，設＝y，那么原方程化成關于y的整式方程是y2﹣3y+2＝0．【分析】根據題意，用含y的式子表示出方程并整理方程即可．【解答】解：設＝y，則．所以原方程可變形為：．方程的兩邊都乘以y，得y2+2＝3y．即y2﹣3y+2＝0．故答案為：y2﹣3y+2＝0．【點評】本題考查了換元法．換元法解方程一般四步：設元（未知數），換元，解元，還元．25．（2022?黃浦區二模）一輛汽車，新車購買價20萬元，第一年使用后折舊20%，以后該車的年折舊率有所變化，但它在第二，三年的年折舊率相同．已知在第三年年末，這輛車折舊后價值11.56萬元，如果設這輛車第二、三年的年折舊率為x，那么根據題意，列出的方程為20（1﹣20%）（1﹣x）2＝11.56．【分析】設這輛車第二、三年的年折舊率為x，則第二年這就后的價格為20（1﹣20%）（1﹣x）元，第三年折舊后的而價格為20（1﹣20%）（1﹣x）2元，與第三年折舊后的價格為11.56萬元建立方程．【解答】解：設這輛車第二、三年的年折舊率為x，由題意，得20（1﹣20%）（1﹣x）2＝11.56．故答案是：20（1﹣20%）（1﹣x）2＝11.56．【點評】一道折舊率問題，考查了列一元二次方程解實際問題的運用，解答本題時設出折舊率，表示出第三年的折舊后價格并運用價格為11.56萬元建立方程是關鍵．26．（2022?普陀區模擬）試寫出一個二元二次方程，使該方程有一個解是，你寫的這個方程是x2+y2＝5（寫出一個符合條件的即可）．【分析】根據（﹣1）2+22＝5列出方程即可．【解答】解：∵（﹣1）2+22＝5，∴x2+y2＝5，故答案為：x2+y2＝5．【點評】此題考查高次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊成立的未知數的值，根據解寫方程應先列算式再列方程是關鍵．27．（2022?松江區二模）方程＝3的解是x＝3．【分析】方程兩邊平方得出x+6＝9，求出方程的解，再進行檢驗即可．【解答】解：＝3，方程兩邊平方得：x+6＝9，解得：x＝3，經檢驗x＝3是原方程的解，即原方程的解是x＝3，故答案為：x＝3．【點評】本題考查了解無理方程，能把無理方程轉化成有理方程是解此題的關鍵．28．（2022?普陀區模擬）方程的解是x＝﹣1．【分析】根據方程可知等號左邊的x+1≤0，等號右邊根號里面的x+1≥0，聯立不等式組，即可解答本題．【解答】解：∵，∴，解得，x＝﹣1，故答案為：x＝﹣1．【點評】本題考查解無理方程，解題的關鍵是明確無理方程的解法，由無理方程可以發現隱含條件．三．解答題（共18小題）29．（2022?黃浦區二模）解方程：．【分析】觀察可得方程最簡公分母為（x2﹣9）．去分母，轉化為整式方程求解．結果要檢驗．【解答】解：方程兩邊同乘以（x+3）（x﹣3）得：（1分）4x＝x2﹣9+2（x+3）﹣2（x﹣3），（2分）整理得：x2﹣4x+3＝0，（2分）解得：x1＝1，x2＝3，（3分）經檢驗：x2＝3是原方程的增根，（1分）所以，原方程的解為x＝1．（1分）【點評】（1）解分式方程的基本思想是“轉化思想”，把分式方程轉化為整式方程求解；（2）解分式方程一定注意要驗根．30．（2022?崇明區二模）解方程組：．【分析】分解因式，將二元二次方程組化為二元一次方程組即可求解．【解答】解：由②得：（x﹣y）（x﹣4y）＝0，∴x﹣4y＝0或x﹣y＝0，∴原方程組可以化為兩個二元一次方程組：或，解，得，解，得，∴原方程組的解是或．【點評】本題考查解二元二次方程組，解題的關鍵是將二元二次方程組降次，化為二元一次方程組．31．（2022?嘉定區校級模擬）解方程組：．【分析】用代入法即可解答，把①化為x＝1+y，代入②得（1+y）2+2y+3＝0即可．【解答】解：由①得y＝x﹣2③把③代入②，得x2﹣2x（x﹣2）﹣3（x﹣2）2＝0，即x2﹣4x+3＝0解這個方程，得x1＝3，x2＝1代入③中，得或．∴原方程組的解為或．【點評】考查了高次方程，解答此類題目一般用代入法比較簡單，先消去一個未知數再解關于另一個未知數的一元二次方程，把求得結果代入一個較簡單的方程中即可．32．（2022?青浦區模擬）解方程：+＝．【分析】根據解分式方程的步驟，求出方程+＝的解即可．【解答】解：去分母得：x（x﹣2）+12＝3（x+2），去括號得：x2﹣2x+12＝3x+6，移項，合并同類項得：x2﹣5x+6＝0，解得：x＝2或x＝3，檢驗：（1）把x＝2代入得：x2﹣4＝0，∴x＝2不是原方程的解．（2）把x＝3代入得：x2﹣4≠0，∴x＝3是原方程的解．【點評】此題主要考查了解分式方程問題，要明確解分式方程的步驟：①去分母；②求出整式方程的解；③檢驗；④得出結論．33．（2022?金山區二模）解方程：．【分析】分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經檢驗即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：3x﹣1﹣（2x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，整理得：3x2﹣2x﹣1＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣，檢驗：把x＝1代入得：（x+1）（x﹣1）＝0，把x＝﹣代入得：（x+1）（x﹣1）≠0，∴x1＝1是原方程的增根，x2＝﹣是原方程的根，則原方程的根是x＝﹣．【點評】此題考查了解分式方程，利用了轉化的思想，解分式方程注意要檢驗．34．（2022?寶山區二模）解方程：．【分析】分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經檢驗即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：x﹣2+4＝x2﹣4，即x2﹣x﹣6＝0，分解因式得：（x﹣3）（x+2）＝0，解得：x＝3或x＝﹣2，當x＝3時，（x+2）（x﹣2）≠0；當x＝﹣2時，（x+2）（x﹣2）＝0，∴x＝﹣2是增根，分式方程的解為x＝3．【點評】此題考查了解分式方程，利用了轉化的思想，解分式方程注意要檢驗．35．（2022?楊浦區三模）解方程：．【分析】根據解分式方程的一般步驟計算．【解答】解：方程兩邊同乘（x+1）（x﹣1），得，x（x﹣1）﹣4＝（x+1）（x﹣1）整理得，x＝﹣3，檢驗：當x＝﹣3時，（x+1）（x﹣1）≠0，x＝﹣3是原方程的解．【點評】本題考查的是分式方程的解法，解分式方程時，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母為0，所以應如下檢驗：①將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解．②將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值為0，則整式方程的解不是原分式方程的解．36．（2022?黃浦區校級二模）解方程：【分析】由于x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），本題的最簡公分母是（x+1）（x﹣1），方程兩邊都乘最簡公分母，可把分式方程轉換為整式方程求解．【解答】解：方程兩邊都乘（x+1）（x﹣1），得x2﹣3x+（2x﹣1）（x+1）＝0，整理得3x2﹣2x﹣1＝0，解得x1＝1，x2＝﹣．經檢驗，x1＝1是增根，x2＝﹣是原方程的根．∴原方程的根是x＝﹣．【點評】（1）解分式方程的基本思想是“轉化思想”，方程兩邊都乘最簡公分母，把分式方程轉化為整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要代入最簡公分母驗根．（3）本題需注意：當分母是多項式，又能進行因式分解時，應先進行因式分解，才能確定最簡公分母．37．（2022?徐匯區二模）解方程組．【分析】把組中的第二個方程利用因式分解法化為兩個一次方程，再與組中的第一個方程組成新的方程組，求解即可．【解答】解：，由（2）得：（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）＝0，∴x﹣y+4＝0或x﹣y﹣4＝0．（1）和新方程組成新的方程組為或，解這兩個方程組得或．所以原方程組的解為，．【點評】本題考查了高次方程，掌握整式的因式分解，把二元二次方程組轉化為一元一次方程組是解決本題的關鍵．38．（2022?松江區二模）解方程組：．【分析】因式分解組中方程②，把①整體代入得新方程，新方程和①組成方程組，求解即可．【解答】解：，由②，得（x﹣2y）（x+y）＝10③，把①代入③，得x﹣2y＝5④．由①④組成新的方程組為，解得．所以原方程組的解為：．【點評】本題考查了高次方程，解決本題亦可把①變形，用代入法求解．39．（2022?閔行區二模）解方程組：．【分析】因式分解方程組中的方程②，化為兩個一元一次方程，與組中的方程①重新構成新的方程組，求解即可．【解答】解：，由②得：（2x+3y）（2x﹣3y）＝0．∴2x+3y＝0，2x﹣3y＝0，∴原方程組可化為，．解方程組解得；解方程組得．∴原方程組的解為：，．【點評】本題考查了高次方程，把高次方程轉化為一元一次方程是解決本題的關鍵．40．（2022?金山區校級模擬）解方程組：．【分析】因式分解②，得兩個二元一次方程，這兩個二元一次方程和①聯立組成新的方程組，求解即可．【解答】解：由②，得（x+5y）（x﹣y）＝0，所以x+5y＝0③或x﹣y＝0④．由①③、①④組成新的方程組為：，．解這兩個方程組，得，．所以原方程組的解為；，．【點評】本題考查了高次方程，掌握因式分解和二元一次方程組的解法是解決本題的關鍵．41．（2022?上海模擬）已知x＝﹣1是方程的解，求實數a的值．【分析】把x＝﹣1代入方程中可得﹣＝1，然后按照解分式方程的步驟進行計算即可解答．【解答】解：由題意得：﹣＝1，5﹣4（a+4）＝a2﹣16，解得：a＝﹣5或a＝1，檢驗：當a＝﹣5時，a2﹣16≠0，∴a＝﹣5是原方程的根，當a＝1時，a2﹣16≠0，∴a＝1是原方程的根，∴實數a的值為﹣5或1．【點評】本題考查了解分式方程，一元二次方程的解，一定要注意解分式方程必須檢驗．42．（2022?嘉定區二模）解方程組：【分析】由②得出（x+6y）（x﹣y）＝0，求出x+6y＝0，x﹣y＝0③，由①和③組成兩個二元一方程組，再求出方程組的解即可．【解答】解：，由②得：（x+6y）（x﹣y）＝0，即x+6y＝0，x﹣y＝0③，則由①和③組成兩個方程組，，解之得：，，即原方程組的解是，．【點評】本題考查了解高次方程組，能把高次方程組轉化成二元一次方程組（低次方程組）是解此題的關鍵．43．（2022?楊浦區二模）解方程組：．【分析】由②得出（x﹣3y）（x+y）＝0，求出x﹣3y＝0，x+y＝0③，由①和③組成兩個二元一方程組，再求出方程組的解即可．【解答】解：，由②得：（x﹣3y）（x+y）＝0，即x﹣3y＝0，x+y＝0③，則由①和③組成兩個方程組，，解之得：，，即原方程組的解是，．【點評】本題考查了解高次方程組，能把高次方程組轉化成二元一次方程組（低次方程組）是解此題的關鍵．44．（2022?上海模擬）近年來，自動駕駛的無人配送車紛紛落地使用．無人配送車都是由電池驅動的，主要有“換電”和“充電”兩種能源補給方式，“充電”方式需要企業建造高標準的充電樁，初始固定成本偏高．如圖是某無人配送車企業針對一個配送區域所繪制的兩種能源補給方式的總平均成本y（單位：元）與人口數x（單位：萬人）的函數關系圖象（直線），已知兩種能源補給方式的初始固定成本差為21元．（1）求兩種能源補給方式各自的y關于x的函數解析式；（不要求寫函數的定義域）（2）目前該配送區域人口為50萬，經過數據分析，兩年后企業全部采用“充電”能源補給方式的總平均成本更低，求估計的該區域人口的年平均增長率．（百分數保留一位小數）（參考數據：≈5.477，≈5.916，≈6.325，≈6.708）【分析】（1））由題意得“充電”補給方式的初始固定成本為51元，設“充電”補給方式y關于x的解析式為y＝k1x+b1，把（0，51），（30，36）代入，利用待定系數法即可求出一次函數解析式，設“換電”補給方式y關于x的解析式為y＝k2x+b2，把（0，30），（30，24）代入，利用待定系數法即可求出一次函數解析式；（2）聯立，解得：，得出當配送區域人口為70萬人時，兩種方式的總平均成本一樣，設該區域人口的年平均增長率為a，由題意得列出一元二次方程，解方程得出增長率為0.183，由兩年后“充電”能源補給方式的總平均成本更低，得出該區域人口的年平均增長率要大于18.3%．【解答】解：（1）∵30+21＝51（元），∴“充電”補給方式的初始固定成本為51元，設“充電”補給方式y關于x的解析式為y＝k1x+b1，把（0，51），（30，36）代入得：，解得：，∴“充電”補給方式y關于x的解析式為y＝﹣x+51，設“換電”補給方式y關于x的解析式為y＝k2x+b2，把（0，30），（30，24）代入得：，解得：，∴“換電”補給方式y關于x的解析式為y＝﹣x+30；（2）聯立，解得：，∴當配送區域人口為70萬人時，兩種方式的總平均成本一樣，設該區域人口的年平均增長率為a，由題意得：50（1+a）2＝70，解得：a1＝0.183，a2＝﹣2.183（不符合題意，舍去），∵兩年后“充電”能源補給方式的總平均成本更低，∴該區域人口的年平均增長率要大于18.3%．【點評】本題考查了一次函數的應用，一元二次方程的應用，掌握待定系數法求一次函數解析式，列一元二次方程，解一元二次方程是解決問題的關鍵．45．（2022?靜安區二模）現有某服裝廠接到一批襯衫生產任務，該廠有甲乙兩個生產襯衫的車間，甲車間要完成3000件，乙車間要完成2500件．已知甲車間比乙車間每天多生產125件，如果兩車間同時開工，且甲車間比乙車間提前2天完成任務，那么甲車間和乙車間分別用了幾天完成各自的任務？【分析】設乙車間每天生產x件，則甲車間每天生產（x+125）件，根據“兩車間同時開工，且甲車間比乙車間提前2天完成任務”列分式方程，求解即可．【解答】解：設乙車間每天生產x件，則甲車間每天生產（x+125）件，根據題意，得，解得x1＝250，x2＝﹣625（不合題意，舍去）經檢驗，x1＝250是原方程的根，且符合題意，3000÷（250+125）＝8（天），2500÷250＝10（天），答：甲車間用8天完成任務，乙車間用10天完成任務．【點評】本題考查了分式方程的應用，根據題意建立等量關系是解題的關鍵．46．（2022?閔行區二模）北京冬奧會期間，海內外掀起一股購買冬奧會吉祥物“冰墩墩”的熱潮．某玩具廠接到6000箱“冰墩墩”的訂單，需要在冬奧會閉幕之前全部交貨．為了盡快完成訂單，玩具廠改良了原有的生產線，每天可以多生產20箱“冰墩墩”，結果提前10天完成任務，求該玩具廠改良生產線前每天生產多少箱“冰墩墩”？【分析】設玩具廠改良生產線前每天生產x箱“冰墩墩”，根據改良生產線后提前10天完成任務，列分式方程，求解即可．【解答】解：設玩具廠改良生產線前每天生產x箱“冰墩墩”，根據題意，得，化簡得：x2+20x﹣12000＝0，解得x1＝100，x2＝﹣120（不合題意，舍去），經檢驗，x1＝100是原方程的根，且符合題意，答：玩具廠改良生產線前每天生產100箱“冰墩墩”．【點評】本題考查了分式方程的應用，根據題意建立等量關系是解題的關鍵．【名校自招練】一．填空題（共17小題）1．（2018?浦東新區校級自主招生）已知關于x的方程x2+（a﹣2）x+a+1＝0的兩實根x1、x2滿足，則實數a＝3﹣．【分析】先根據根與系數的關系得出兩根之積與兩根之和，代入進行計算即可．【解答】解：∵關于x的方程x2+（a﹣2）x+a+1＝0的兩實根為x1、x2，∴Δ＝（a﹣2）2﹣4（a+1）≥0，即a（a﹣8）≥0，∴當a≥0時，a﹣8≥0，即a≥8；當a＜0時，a﹣8＜0，即a＜8，所以a＜0．∴a≥8或a＜0，∴x1+x2＝2﹣a，x1?x2＝a+1，∵x12+x22＝4，（x1+x2）2﹣2x1?x2＝（2﹣a）2﹣2（a+1）＝4，∴（x1+x2）2﹣2x1?x2＝（2﹣a）2﹣2（a+1）＝4，解得a＝3±．∵3＜＜4，∴6＜3+＜7（不合題意舍去），3﹣＜0；∴a＝3﹣．故答案為：a＝3﹣．【點評】本題考查的是根與系數的關系，熟記x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時，x1+x2＝﹣，x1x2＝是解答此題的關鍵．2．（2016?閔行區校級自主招生）設x，y為實數，則代數式2x2+4xy+5y2﹣4x+2y+5的最小值為0．【分析】根據配方法把原式變成平方和的形式，根據非負數的性質解答．【解答】解：2x2+4xy+5y2﹣4x+2y+5＝（x2+4xy+4y2）+（x2﹣4x+4）+（y2+2y+1）＝（x+2y）2+（x﹣2）2+（y+1）2≥0，∵（x+2y）2≥0，（x﹣2）2≥0，（y+1）2≥0，∴當x＝2，y＝﹣1時等號成立，∴當x＝2，y＝﹣1時，代數式2x2+4xy+5y2﹣4x+2y+5的最小值為0，故答案為：0．【點評】本題考查的是配方法的應用，掌握配方法的一般步驟、完全平方公式是解題的關鍵．3．（2018?浦東新區校級自主招生）關于x、y的方程組有2組解．【分析】先把y＝1兩邊平方得到y2?x＝1，得到x＝y﹣2，再把x＝y﹣2代入方程xx﹣y＝yx+y得y﹣2（x﹣y）＝yx+y，然后討論：當y＝1時，x＝1；當y≠1，則﹣2（x﹣y）＝x+y，所以y＝3x，x＝，再代入x＝y﹣2即可得到y的值，從而可確定方程組的解．【解答】解：把y＝1兩邊平方得到y2?x＝1，則x＝y﹣2，把x＝y﹣2代入方程xx﹣y＝yx+y得y﹣2（x﹣y）＝yx+y，當y＝1時，x＝1，當y≠1，則﹣2（x﹣y）＝x+y，所以y＝3x，x＝，∴＝，解得y＝，∴x＝．經檢驗方程組的解為或．故答案為2．【點評】本題考查了解無理方程：通過平方法或換元法把無理方程轉化為整式方程，再解整式方程，然后把整式方程的解代入原方程進行檢驗確定無理方程的解．也考查了a0＝1（a≠0）以及負整數指數冪．4．（2017?浦東新區校級自主招生）設實數x，y分別滿足99x2+2019x+1＝0．y2+2019y+99＝0并且xy≠1．則＝﹣．【分析】根據題意可知x與是方程99x2+2019x+1＝0的兩個根，由根與系數的關系分別求出兩根的和與兩根的積，代入代數式即可求出代數式的值．【解答】解：∵y2+2019y+99＝0，∴y≠0，方程y2+2019y+99＝0兩邊除以y2得，99×+2019×+1＝0，∴x和是方程足99x2+2019x+1＝0的兩個根，∴x+＝，，∴＝x+10×+＝＝﹣．故答案為：﹣．【點評】本題主要考查的是一元二次方程根與系數的關系及代數式求值．將根與系數的關系與代數式變形相結合解題是一種經常使用的解題方法．5．（2017?楊浦區校級自主招生）已知a2＝7﹣3a，b2＝7﹣3b，且a≠b，則+＝﹣．【分析】由a、b滿足條件a2＝7﹣3a，b2＝7﹣3b，可知a、b為方程x2+3x﹣7＝0的兩個根，由根與系數的關系可得出a+b＝﹣＝﹣3，ab＝＝﹣7，再將分式轉化成只含a+b和ab的分式，代入數據即可得出結論．【解答】解：∵a2＝7﹣3a，b2＝7﹣3b，∴a、b為方程x2+3x﹣7＝0的兩個根，∴a+b＝﹣＝﹣3，ab＝＝﹣7．＝＝＝＝＝﹣．故答案為：﹣．【點評】本題考查了根與系數的關系、分式的化簡以及完全平方公式的應用，解題的關鍵是求出a+b＝﹣3，ab＝﹣7．本題屬于基礎題，難度不大，解決該題型題目時，根據根與系數的關系找出兩根之和與兩根之積是關鍵．6．（2016?寶山區校級自主招生）已知a是非零實數，則a2+的最小值等于2．【分析】原式變形后配方，再利用非負數的性質求出最小值即可．【解答】解：∵a是非零實數，∴原式＝a2﹣2+（）2+2＝（a﹣）2+2≥2，則a2+的最小值等于2，故答案為：2【點評】此題考查了配方法的應用，以及非負數的性質，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵．7．（2022?徐匯區校級自主招生）如果方程x3﹣7x2+（10+k）x﹣2k＝0的三個根可以作為一個等腰三角形的邊長，則實數k＝6或．【分析】先確定x＝2是方程的一個根，再由x2﹣5x+k＝0有兩個相等的根或x2﹣5x+k＝0有一個根是2，分別求解k的值，根據等腰三角形的三邊關系進行驗證即可．【解答】解：由題意可知x3﹣7x2+（10+k）x﹣2k＝0有兩個相等的根，∵當x＝2時，x3﹣7x2+（10+k）x﹣2k＝0，∴x3﹣7x2+（10+k）x﹣2k＝（x﹣2）（x2﹣5x+k），∵方程的三個根可以作為一個等腰三角形的邊長，∴x2﹣5x+k＝0有兩個相等的根或x2﹣5x+k＝0有一個根是2，當x2﹣5x+k＝0有兩個相等的根時，Δ＝25﹣4k＝0，解得k＝，此時方程的根為x＝，∴三角形的三條邊長分別為2，，；當x2﹣5x+k＝0有一個根是2時，k＝6，此時方程的根為x＝2或x＝3，∴三角形的三條邊長分別為2，2，3；綜上所述：k的值為6或，故答案為：6或．【點評】本題考查等腰三角形的性質，高次方程的解法，熟練掌握一元二次方程的解法，等腰三角形的性質是解題的關鍵．8．（2019?徐匯區校級自主招生）已知兩二次方程ax2+ax+b＝0與ax2+bx+b＝0各取一根，這兩根乘積為1，求這兩根的平方和為3．【分析】設方程兩根分別為：m、，則，兩式相減得到（a﹣b）（m2+m﹣1）＝0，即可得到m2+m﹣1＝0，得m﹣＝﹣1，進而得到m2+＝（m﹣）2+2＝3．【解答】解：設方程兩根分別為：m、，則相減可得：（a﹣b）（m2+m﹣1）＝0，若a＝b，則x2+x+1＝0，無實根若a≠b，則m2+m﹣1＝0，得m﹣＝﹣1，∴m2+＝（m﹣）2+2＝3，故答案為3．【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0根與系數的關系的應用，用到的知識點：x1+x2＝﹣，x1?x2＝．9．（2017?楊浦區校級自主招生）已知關于x的方程（a﹣1）x2+2x﹣（a+1）＝0的根都是整數，則滿足條件的整數a的值為1，﹣1，0，2，3．【分析】首先利用當a＝1時，得到一個一元一次方程，直接得出根；當a≠1，把x＝1代入方程，得出a的取值．【解答】解：①當a＝1時，x＝1；②當a≠1時，原式可以整理為：[（a﹣1）x+a+1]（x﹣1）＝0，易知x＝1是方程的一個整數根，再由x＝＝﹣1+且x是整數，知1﹣a＝±1或±2，∴a＝﹣1，0，2，3．故答案為：1，﹣1，0，2，3．【點評】此題主要考查了方程整數解的求法，從特殊解入手求解，比較簡單．10．（2017?楊浦區校級自主招生）＝1的解有2個．【分析】分兩種情況考慮：1、底數為1；2、指數為0，底數不為0，分別求出解即可．【解答】解：當x﹣3＝1，即x＝4時，方程成立；當x﹣3＝﹣1，即x＝2時，指數中分母為0，不合題意；當＝0，x﹣3≠0時，整理得：x2﹣8x+15＝0，即（x﹣3）（x﹣5）＝0，x≠3，解得：x＝5，經檢驗x＝5是分式方程的解，綜上，方程的解為x＝4或x＝5，共2個．故答案為：2【點評】此題考查了解分式方程，絕對值，以及零指數冪，熟練掌握各自的性質及分式方程的解法是解本題的關鍵．11．（2016?徐匯區校級自主招生）方程的解為x＝2【分析】設y＝，則原方程轉化為y++1＝3，解該分式方程即可．【解答】解：設y＝，則原方程轉化為y++1＝3整理，得：（y﹣1）2＝0，解得y＝1，所以＝1，整理，得：x+1＝3，解得x＝2．經檢驗x＝2是原方程的根．故答案是：x＝2．【點評】本題主要考查換元法在解分式方程中的應用．換元法是借助引進輔助元素，將問題進行轉化的一種解題方法．這種方法在解題過程中，把某個式子看作一個整體，用一個字母去代表它，實行等量替換．這樣做，常能使問題化繁為簡，化難為易，形象直觀．12．（2019?寶山區校級自主招生）若關于x的方程（x﹣4）（x2﹣6x+m）＝0的三個根恰好可以組成某直角三角形的三邊長，則m的值為．【分析】運用根與系數關系、根的判別式，根據勾股定理列方程解答即可．【解答】解：設某直角三角形的三邊長分別為a、b、c，依題意可得x﹣4＝0或x2﹣6x+m＝0，∴x＝4，x2﹣6x+m＝0，設x2﹣6x+m＝0的兩根為a、b，∴（﹣6）2﹣4m≥0，m≤9，根據根與系數關系，得a+b＝6，ab＝m，則c＝4，①c為斜邊時，a2+b2＝c2，（a+b）2﹣2ab＝c2∴62﹣2m＝42，m＝10（不符合題意，舍去）；②a為斜邊時，c2+b2＝a2，42+（6﹣a）2＝a2，a＝，b＝6﹣a＝，∴m＝ab＝＝，故答案為．【點評】本題考查了一元二次方程的解，熟練運用根與系數關系、根的判別式是解題的關鍵．13．（2019?寶山區校級自主招生）設方程（x+1）（x+11）+（x+11）（x+21）+（x+1）（x+21）＝0的兩根為x1，x2，則（x1+1）（x2+1）＝．【分析】先將方程（x+1）（x+11）+（x+11）（x+21）+（x+1）（x+21）＝0化簡，然后根據韋達定理得出x1+x2和x1x2的值，再化簡要求的式子，最后將x1+x2和x1x2的值代入化簡后的式子即可．【解答】解：∵（x+1）（x+11）+（x+11）（x+21）+（x+1）（x+21）＝0∴x2+12x+11+x2+32x+231+x2+22x+21＝0∴3x2+66x+263＝0∵Δ＝662﹣4×3×263＝4356﹣3156＞0∴由韋達定理得：x1+x2＝﹣22，x1x2＝∵（x1+1）（x2+1）＝x1x2+（x1+x2）+1＝﹣22+1＝故答案為：．【點評】本題考查了一元二次方程的根與系數的關系及方程和代數式的化簡，計算具有一定的難度．14．（2017?浦東新區校級自主招生）建平中學社團活動豐富多彩，有JTV社（金蘋果電視臺）、04辯論社、智能機器人社、健美操社……，在一次社團文化節上．中國象棋社開展了社員PK活動