莆田錦江中學2023-2024學年上學期期中考試

高三數(shù)學

一、單選題

A-[x\x2-7x<0）B=?

1,已知集合II>,—>,則（）

A.0B.（4,7）C.（0,+a）D.（0,4）

【答案】C

【解析】

【分析】先將集合A化簡，再根據(jù)集合的并集運算得解.

【詳解】因為4={耳%2-7%<（）}={x[0<x<7},8={x|x>4},

故A_B=（0,+oo）.

故選：C.

2.已知〃：%2一%<0,那么命題P的一個必要不充分條件是（）

121

A.0<x<1B.—1<x<1C.—<x<—D.一<x<2

232

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)必要條件的定義對每個選擇進行分析即可求解.

[詳解】p:x2-x<0=0<x<l,

根據(jù)充分條件、必要條件的定義可知：

對于A,0<工<1是P的充要條件,A錯誤；

對于B,—1<x<1是。的必要不充分條件，B正確：

|2

對于C,-<x<一是〃的充分不必要條件，C錯誤；

23

對于D,2<X<2是"的既不充分也不必要條件，D錯誤.

2

故選:B.

3.命題“Vx'l,sinx-爐<1”的否定是（）

A.3x<l.sinx-x2>1B.3x>l,sinx-f>1

c.Vx<l,sinx-A：2>1D.Vx>1,sinx-x2>1

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定為存在量詞命題得出結果.

【詳解】因為全稱量詞命題的否定為存在量詞命題，

故“VxNl,sinx——<1"的否定是,sinx-x2>1M?

故選：B.

x--]

4.函數(shù)/(x)=一廠廠的圖象大致為()

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性可排除BC,根據(jù)單調(diào)性可判斷A,即可求解.

V2_1(_v)2_1X2-1

【詳解】/(月=開二的定義域是卜?00},關于原點對稱，/(-%)=--=/(X),所以

1囚rx\岡

“X)是偶函數(shù)，排除B,C；

當x>0時，/(x)=《sl=x—L易知/(x)在(0,+8)上是增函數(shù)，排除A.

XX

故選：D

5.已知函數(shù)/(X)的導函數(shù)為/"(X),若*x)=2H(l)+liw,則/'。)=()

A.一1B.1C.-2D.2

【答案】A

【解析】

【分析】求得/'(尤)=2/'⑴+L令X=l,即可求解.

X

【詳解】由函數(shù)〃x)=2M?'⑴+hLt,可得r(x)=2/'(l)+J

令x=l,可得/'(1)=2/'(1)+1,解得/=

故選：A.

6.已知兀)，且3cos2a-4sina=l,貝ijtan2a=()

A1R472

37

c1c4行

c.—u.-----

37

【答案】D

【解析】

【分析】由倍角余弦公式并整理得3sin2a+2sina_1=0,結合角的范圍得sine=；,進而求tana,應

用倍角正切公式求值即可.

【詳解】由3cos2a-4sina=3-6sin2cz-4sina=1，即

3sin2a+2sina-1=(3sina-l)(sina+1)=0,

所以sina=—或sina=-1,又aw則sina=一,

2J71

所以cosa--------，則tana=-----產(chǎn),

32V2

c2tana472

由tan2a=--------=-------.

1-tan-a7

故選：D

7.第19屆亞運會將于2023年9月23日至10月8日在杭州舉行，甲、乙等4名杭州亞運會志愿者到游泳、

射擊、體操三個場地進行志愿服務，每名志愿者只去一個場地，每個場地至少一名志愿者，若甲不去游泳

場地，則不同的安排方法共有()

A.12種B.18種C.24種D.36種

【答案】C

【解析】

【分析】本題只需考慮游泳場有2名志愿者和1名志愿者兩種情況即可.

【詳解】①游泳場地安排2人，則不同的安排方法有C；A；=6種,

②游泳場地只安排1人，則不同的安排方法有C；C；A；=18種,

所以不同的安排方法有6+18=24種.

故選：C

8.數(shù)學來源于生活，約3000年以前，我國人民就創(chuàng)造出了屬于自己的計數(shù)方法.十進制的算籌計數(shù)法就是

中國數(shù)學史上一個偉大的創(chuàng)造，算籌實際上是一根根同長短的小木棍.下圖是利用算籌表示數(shù)1?9的一種

方法.例如：3可表示為“三”，26可表示為“=1”，現(xiàn)有5根算籌，據(jù)此表示方法，若算籌不能剩余，則用

1?9這9個數(shù)字表示的所有兩位數(shù)中，個位數(shù)與十位數(shù)之和為5的概率是（）

_——=?

123456789

15?7

A.-B.—C."D.—

312212

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)題意把5根算籌所能表示的兩位數(shù)列舉出來后，求出數(shù)字和為5的兩位數(shù)個數(shù)作答.

【詳解】1根算籌只能表示1，2根算籌可表示2和6,3根算籌可表示3和7,4根算籌可表示4和8,5根

算籌可表示5和9,

因此5根算籌表示的兩位數(shù)有14,18,41,81,23,27,32,72,63,67,36,76,共12個,

其中個位數(shù)與十位數(shù)之和為5的有14,41,23,32,共4個，

4I

所以所求概率為「二百二二

123

故選：A

二、多選題

1—V

9.關于函數(shù)〃x）=lno7,下列選項中正確的有（）

A./（x）的定義域為（F,-1）U（1,M）

B./（x）為奇函數(shù)

c./(x)在定義域上是增函數(shù)

D.函數(shù)/(X)與y=ln(l—x)—ln(l+x)是同一個函數(shù)

【答案】BD

【解析】

1y

【分析】①求函數(shù)/(X)的定義域，可令一^>0,解出此不等式的解集即可得到所求函數(shù)的定義域；

1+X

②判斷函數(shù)的奇偶性，要用定義法，由函數(shù)解析式研究/(-X)與/(X)的關系，即可證明出函數(shù)的性質(zhì)；

③此函數(shù)是一個減函數(shù)，由定義法證明要先任取士,毛且王<々,再兩函數(shù)值作差,判斷差的符號，再由定義得

出結論.

④判斷函數(shù)事都是同一函數(shù)，首先看定義域，定義域相同，然后看解析式,解析式也相同，即為同一函數(shù).

1—x

【詳解】①由題意令一^>0,解得一1〈尤<1,所以數(shù)定義域是(T,l),A錯誤；

1+x

1-\r1-\r

②由A知函數(shù)的定義域關于原點對稱，且f(-x\=ln——=-ln——=-/(x)函數(shù)是奇函數(shù),B正

\'1-x\+x

確；

③此函數(shù)在定義域上是減函數(shù)，證明如下：任取士屬于(-U)且不<超,

￡/、.1-X.1-X,,(1-%)(1+尤2)

f(x.\-=In----L-In----=--In-----u---",

dIJ1+玉l+x2(1-%2)(1+%))

由于內(nèi),々屬于(T，D且玉<%2，

/.1-%1>1-x2>01+x2>1+>0,

可得富臀〉1

(l-x2)(l+x,)

所以ln°F(K)

>0,

(1F(1+X)

即有/(%)-/(42)>°，即/(3)>/(%2)，

故函數(shù)在定義域是減函數(shù),C錯誤；

④函數(shù)y=ln(l—x)—ln(l+x)定義域：h+x〉o,即(一1,1),

1-x

y=In(1-x)-In(1+x)=In=/(x)，

1+x

故函數(shù)/(x)與y=足(1-%)-111(1+%)是同一個函數(shù),。正確.

故選BD

【點睛】本題考查函數(shù)的基本性質(zhì)：定義域、奇偶性、單調(diào)性，只需按照定義判斷即可.

10.已知函數(shù)/(X)的圖象是由函數(shù)y=2sinxcosx的圖象向右平移N個單位得到，則()

A./(x)的最小正周期為萬

■JTJT

B.“X)在區(qū)間上單調(diào)遞增

C.“X)的圖象關于直線x三對稱

D./(X)的圖象關于點],0)對稱

【答案】AD

【解析】

【分析】用二倍角公式化簡y=2sinxcosx,向右平移后得/(x)=sin(2x—三)，分別代入正弦函數(shù)的單

調(diào)區(qū)間，對稱軸，對稱中心分別對四個選項判斷即可.

【詳解】因為y=2sinxcosx=sin2x,向右平移/個單位得/(x)=sin2[x-2)=sin(2x-方)則

2兀

最小正周期為7=與=兀，故A選項正確；

2

']IJIj11

令一一+2lai<2x一一<-+2kji,解得——+kn<x<—+kn,所以單調(diào)遞增區(qū)間為

2321212

兀5兀

--+lai,—+laiMeZ,故B選項錯誤；

jrjrSjrKTT

令2x——=上+阮,解得尤=」+一/eZ,故C選項錯誤；

32122

令2x—Z=E，解得x='+所以函數(shù)/(x)的對稱中心為佟+E,o],ZeZ,故D選項正確.

36koJ

故選：AD

11.如圖，在底面為正方形的四棱錐中，24_L平面ABC。，AP=AB=1，則下列說法正確

的是()

A.異面直線依與AC所成的角為60°

B.直線PO與平面PAC所成的角為30°

C.平面與平面的夾角為30°

D.點C到面尸比)的距離為苴

3

【答案】ABD

【解析】

【分析】A選項，證明兩兩垂直，建立空間直角坐標系，利用異面直線夾角余弦公式進行求

解；B選項，證明3D，平面PAC，故可取3。=(一1,1,0)為平面24。的法向量，利用線面角的向量求

解公式進行求解；C選項，求出兩平面的法向量，利用相關公式求出兩平面夾角；D選項，利用點到平面

的距離公式求出答案.

【詳解】A選項，因為24,平面ABCD,AB,ADu平面ABCD,

所以A4_LAB，PAYAD，

又四邊形4BC0為正方形，故A8,AD,PA兩兩垂直,

以A為坐標原點，所在直線分別為x,%z軸，建立空間直角坐標系,

則*0,0,1),8(1,(),0),4(0,0,0),c(l,1,0),。(0,1,0),

則P3=(l,0,—l),AC=(l,l,0),

阿時」(I,O,T).(I』,0)L

設直線PB與AC所成的角大小為0,則COSe=Ms(PB,AC)i

網(wǎng)JAC]Vi+TxVi+T2

故。=60°,A正確;

B選項，因為四邊形A8CQ為正方形，所以ACLBD，

又B4_L平面ABC。，平面ABCO,故B4_L8D，

因為ACcB4=A,AC,P4u平面PAC,

所以3。，平面PAC,故可取BD=(-1,1,0)為平面PAC的法向量,

設直線產(chǎn)。與平面PAC所成角大小為。，

\PDBd1(0,1,0)11

則sina=cos(PD,BD)=:??=卜/八/4=一，

\/|叫?叫Vl+lxVl+12

故直線PO與平面PAC所成的角為30°,B正確；

C選項，設平面P8D的法向量為〃=(x,y,z),

n-BD=(x,y,z)-(-1,1,0)=-x+j=0

令y=l得x=z=l,

n-PD=(x,y,z)-(0,l,-l)=y-z=0

故〃=(1,1,1),

平面248的法向量為加=(0,1,0)，

|m-n||(O,l,Q)-(l,M)|_^

m|-|n|Jl+1+13

故平面PBD與平面Q45的夾角不為30°,C錯誤;

D選項，由C選項知，平面P%)的法向量為"=(1,1,1),

\n-CB\1(1,1,1).(0,-1,0)16

故點C到面PBD的距離d=——>-------=-,D正確.

|?|G3

故選：ABD

12.已知偶函數(shù)“X)對"wR,都有x+2)+〃x+2)=0,且x?0,2)時，/(x)=x+l,下列

結論正確的是().

A.函數(shù)“X)的圖象關于點(2,0)中心對稱

B./(x)是周期為4的函數(shù)

C./(-2)=0

【答案】ACD

【解析】

【分析】由/(—x+2)+/(x+2)=0可推出函數(shù)/(力的對稱中心即可判斷A項，根據(jù)/(x)為偶函數(shù)及

/(—x)+/(x+2)=0可推出函數(shù)“X)的周期可判斷B項，采用賦值法、偶函數(shù)性質(zhì)、周期性即可判斷C

項、D項.

【詳解】對于A項，由/(—x+2)+/(x+2)=0得“X)的圖象關于(2,0)中心對稱，故A正確：

對于B項，因為“X)為偶函數(shù)，所以"X—2)=〃—x+2),

又因為〃—x+2)+/(x+2)=0,所以"x—2)=-〃x+2),

所以/(x)=—/(x+4),

所以〃x+8)=—〃x+4)=,f(x),即是周期為8的函數(shù)，故B項錯誤;

對于C項，因為/(-x+2)=-/(x+2),

所以令x=(),則,f(2)=—/(2),即,"2)=0,

又因為“X)為偶函數(shù)，所以/(—2)=〃2)=0,故C項正確；

對于D項，因為xe[0,2)時，/(x)=x+l,/(x)的周期為8,7(x)為偶函數(shù)，

所以=)=1，故口項正確.

故選：ACD.

三、填空題

13.某工廠月產(chǎn)品的總成本y(單位：萬元)與月長量X(單位：萬件)有如下一組數(shù)據(jù)，從散點圖分析可

知y與X線性相關.如果回歸方程是y=x+3.5,那么表格中數(shù)據(jù)的值為.

X/萬件1234

》/萬件3.85.6a8.2

【答案】6.4##—

【解析】

【分析】分別求出工廠總成本和月長量的平均值，代入回歸方程，即可求出表格中數(shù)據(jù)。的值.

【詳解】由題意及表知,

-1+2+3+45_117.6+a

x=---------=—y=1(3.8+5.6+a+8.2)=

4

???回歸方程是y=x+3.5.

-------=2.5+3.5，

4

a—6.4.

故答案為：6.4.

（K°

14.x+-的二項展開式中，/項的系數(shù)為__________.

I尤1

【答案】210

【解析】

【分析】先求出二項式展開式的通項公式，然后令x的次數(shù)為2,求出，?，代入通項公式中可求得結果.

【詳解】[尤+:）的二項展開式的通項公式為=C；O-M°2，

令10-2廠=2,得r=4,

所以/項的系數(shù)為C：0=210,

故答案為：210

15.若兀＜8＜型且sin8=-。，則tan（e-￥]=_____.

2514；

【答案】

【解析】

【分析】先根據(jù)平方關系及商數(shù)關系求出cos。,tan。，再利用兩角差正切公式即可得解.

QQ_______A

【詳解】因為兀<。<三且sin8=-±,所以cos6=—Jl—sin?e=——,

255

3

所以tan8=一,

4

八兀3.

/、tan6/-tan———11

|n]441

則tan0—=------------------=------=—.

I4J1+tan0tan—1+一

44

故答案為：一L.

7

16.我們將服從二項分布的隨機變量稱為二項隨機變量，服從正態(tài)分布的隨機變量稱為正態(tài)隨機變量.概率

論中有一個重要的結論是棣莫弗一拉普拉斯極限定理，它表明，若隨機變量Y~B（〃，P）,當“充分大

時，二項隨機變量y可以由正態(tài)隨機變量x來近似，且正態(tài)隨機變量x的期望和方差與二項隨機變量y

的期望和方差相同.棣莫弗在1733年證明了P=L的特殊情形.1812年，拉普拉斯對一般的P進行了證明.

2

現(xiàn)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣100次，則利用正態(tài)分布近似估算硬幣正面向上次數(shù)不超過60次的概率為

（附：若X,則P（〃一CT<X<〃+（T）H0.683,P（jU-2a<X<p+2a）?0.954,

P（//-3cr<X<M+3b）a0.997）

【答案】0.977

【解析】

【分析】利用二項分布的期望和方差的公式以及正態(tài)分布的3o■原則求解即可.

【詳解】拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣100次，設硬幣正面朝上次數(shù)為X,則X

故￡（X）=100x；=50,D（X）=100x；x（l-；）=25,

由已知得X-N（M，，）,且4=E（X）=50,/=￡>（X）=25,

因為尸（40WXW60）a0.954,

所以。（40WXW60）=l—尸（X<40）—尸（X>60）=l—2尸（X>60）解得P（X>60）=0.023,

所以P(XW60)=1—尸(X>60)=1—0.023=0.977,

故答案為：0.977.

四、解答題

17.已知函數(shù)=sin[2x+mJ+sin(2x-1J+J^cos2x.

(1)求函數(shù)/(x)的最小正周期;

(2)當xe0,]時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間和值域.

【答案】(1)兀

(2)f(x)的減區(qū)間為；函數(shù)/*)的值域為[石,2]

【解析】

7T

【分析】(1)化簡得/(x)=2sin(2x+W),從而利用周期公式即可求解；

or

(2)令二+2E?2x+二4也+2航,AeZ,求解并結合xe0.J即可求得單調(diào)減區(qū)間；由于

232L2J

xw0,-,可得2x+—w-,再結合正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

L2」333

【小問1詳解】

因為sin(2x+—)=—sin2x+—cos2x,sin(2x--)=—sin2x--cos2x,

322322

所以/(幻=5吊2%+8(：052%=25皿(2%+三)，

271

所以/(X)的最小正周期是——=兀；

2

【小問2詳解】

7TTT3冗7T7冗

令一+2kn<2x+—<-——F2kn,kGZ,解得一+kn<x<---Fkit,kGZ,

2321212

令攵=0,則jr〈7二兀

1212

IT-I兀兀

由于xe0,-,所以/*)的減區(qū)間為—.

因為無￡0,一,貝I12xH—G一,—,所以sin2尤H—jG----,1

[2」3|_33」I3J|_2

所以2sin[2x+；)e[―32],即函數(shù)/(幻的值域為[―瘋2].

18.如圖，B4_L平面A8CD,四邊形A8CZ)為矩形，24=45=2，4)=4,點尸是P3的中點，點

E在邊8C上移動.

p.

F

/興W—

百\z

DC

（1）求三棱錐E—AAD的體積；

（2）證明：AFYPE.

Q

【答案】（1）-

3

（2）證明見解析

【解析】

【分析】（1）等體積法解決即可；（2）線面垂直的判定定理，性質(zhì)定理相結合解決即可.

【小問1詳解】

Q4J_平面ABCO,四邊形ABCD為矩形，

,S^EAD=gAD-AB=4,

I8

VE-PAD=VP-EAD=~S&EAD'PA=^'

【小問2詳解】

證明：Q4_L平面ABC。，

:.PAA.BC,

又?PA=AB=2＞且點/是PB的中點，

：.AF±PB,

又Q4_LBC,BC1AB,PAAB=A,

平面ELB，

又AEu平面Q4B,

:.BC1AF,

由AFLPB，AFIBC,PBcBC=B,

.?.AF_L平面PBC,

QPEu平面PBC,

：.AF1PE.

19.某地級市受臨近省會城市的影響，近幾年高考生人數(shù)逐年下降，下面是最近五年該市參加高考人數(shù)y

與年份代號X之間的關系統(tǒng)計表.

年份代號X12345

高考人數(shù)y（千人）3533282925

（其中2018年代號為1,2019年代號為2,…2022年代號為5）

（1）求y關于x的線性回歸方程；

（2）根據(jù)（1）的結果預測該市2023年參加高考的人數(shù)；

（3）試分析該市參加高考人數(shù)逐年減少的原因.

磯司__

（參考公式：b=-----------,a=y-bx）

/=1

【答案】（1）y=-2.4X+37.2

（2）22.8千人（3）答案見解析

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)計算得。=一2.4,。=37.2即可解決；（2）根據(jù)（1）中回歸方程計算即可；（3）

言之有理，客觀分析即可.

【小問1詳解】

設回歸方程為y=+由表中數(shù)據(jù)知，

x=3，y=30?

-,-2x5+（-l）x3+0x（-2）+lx（-l）+2x（-5）12

所GF以H0=--------------------------------------=----=-2.4,

4+1+4+15

所以a=y—匕x=30—（一24）x3=37.2,

所以V關于x的回歸方程y=-2.4x+37.2.

【小問2詳解】

由Q）得，關于x的回歸方程y=-2.4x+37.2.

令x=6,y=-2.4x6+37.2=22.8（千人），

所以預測該市2023年參加高考的人數(shù)為22.8千人.

【小問3詳解】

①該市經(jīng)濟發(fā)展速度慢；

②該市人口數(shù)量減少；

③到省會城市求學人數(shù)增多.

20.如圖，在四棱錐P—ABCD中，QD_L平面ABC。，底面ABCD為菱形，E,尸分別為PA8C的中

點.

(1)求證：EF〃平面PCD；

(2)若/ADC=120,P￡>=4,AO=2,求直線AF與平面DER所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵迺

35

【解析】

【分析】(1)取PZ)的中點。，連接QC,QE,證明四邊形CEEQ為平行四邊形，可得CQ//EF,再根據(jù)

線面平行的判定定理即可得證；

(2)先證明OF1A。，以點。為原點建立空間直角坐標系，利用向量法求解即可.

【小問1詳解】

取PD的中點。，連接QCQE,

因為E為PA的中點，所以QE〃A。且QE=(A。，

因為尸為BC的中點，所以CF7/4D且CE=LA。，

2

所以QE//CV且QE=CF,

所以四邊形CFEQ為平行四邊形，所以CQ//EF,

又CQu平面PCD,跖6平面PCD,

所以石/〃平面PCD；

【小問2詳解】

連接BD，

在菱形ABC。中，NADC=120，則NA5C=60°,

所以△ABO和△C3O都是等邊三角形，

因為尸為BC的中點，所以/=G，

因為4D〃BC,所以OF1AO，

如圖，以點。為原點建立空間直角坐標系，

則A（0,2,0）,0（0,0,0）,E（0,l,2）I（g,0,0）,

所以OE=（0,l,2）,力/=（后,0,0）,4/=（后,一2,0b

設平面DEF的法向量為n=（x,y,z）,

n-DE=y+2z=0

則有《可取〃=(0,2,—1),

n-DF=y/3x=Q

“?AF__4_4735

則cos(〃,AF)

W|AF「6xV7一35

所以直線M與平面DEF所成角的正弦值為拽5.

35

21.數(shù)學奧林匹克競賽是一項傳統(tǒng)的智力競賽項目，旨在通過競賽選拔優(yōu)秀人才一，促進青少年智力發(fā)展,

很多優(yōu)秀的大學在強基計劃中都設置了對中學生奧林匹克競賽成績的要求，因此各中學學校對此十分重

視.某中學通過考試一共選拔出15名學生組成數(shù)學奧賽集訓隊，其中高一學生有7名、高二學生有6名、

高三學生有2名.

（1）若學校隨機從數(shù)學奧賽集訓隊抽取3人參加一項數(shù)學奧賽，求抽取的3名同學中恰有2名同學來自高

一的概率；

（2）現(xiàn)學校欲通過考試對數(shù)學奧賽集訓隊成員進行考核，考試一共3道題，在測試中.3道題中至少答對

2道題記作合格.現(xiàn)已知張同學每道試題答對的概率均為:，王同學每道試題答對的概率均為并且每

23

位同學回答每道試題之間互不影響，記X為兩名同學在考試過程中合格的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期

望.

24

【答案】（1）—

65

（2）分布列見解析，E（X）=—

54

【解析】

【分析】（1）利用組合數(shù)及古典概型求解；

（2）分別計算兩位同學合格的概率，再計算合格人數(shù)的概率，列出分布列，計算期望即可.

【小問1詳解】

設事件A為“抽取的3名同學中恰有2名同學來自高一”，

C^C'24

則有（）

PA-

C,565

【小問2詳解】

設張同學、王同學答對的題數(shù)分別為匕z,

張同學在考試中合格的概率為：

p(yN2)=p(y=2)+p(y=3)=c4Jx^-J+c^-Jx^-J