關于橢圓的幾何性質簡單性質一、復習回顧：1.橢圓定義:平面內到兩定點F1、F2的距離之和為常數（大于|F1F2|）的動點的軌跡叫做橢圓。2.橢圓的標準方程：3.橢圓中a,b,c的關系:a2=b2+c2當焦點在X軸上時當焦點在Y軸上時第2頁,共53頁，2024年2月25日，星期天二、橢圓的幾何性質

1.范圍：由即-a≤x≤a,-b≤y≤b說明：橢圓落在x=±a,y=±b組成的矩形中oyB2B1A1A2F1F2cabx第3頁,共53頁，2024年2月25日，星期天2、橢圓的對稱性YXOP（x，y）P1（-x，y）P3（-x，-y）結論:橢圓關于x軸、y軸、原點對稱。橢圓上任意一點P(x,y)關于y軸的對稱點是同理橢圓關于x軸對稱關于原點對稱即在橢圓上,則橢圓關于y軸對稱(-x,y)第4頁,共53頁，2024年2月25日，星期天3、橢圓的頂點令x=0，得y=？，說明橢圓與y軸的交點？令y=0，得x=？，說明橢圓與x軸的交點？*頂點：橢圓與它的對稱軸的四個交點，叫做橢圓的頂點。*長軸、短軸：線段A1A2、B1B2分別叫做橢圓的長軸和短軸。a、b、c分別叫做橢圓的長半軸長、短半軸、長半焦距。oyB2B1A1A2F1F2cab(0,b)(a，0)(0,-b)(-a，0)四個頂點坐標分別為(-a,0)(a,0)(0,-b)(0,b)

x第5頁,共53頁，2024年2月25日，星期天123-1-2-3-44y123-1-2-3-44y12345-1-5-2-3-4x12345-1-5-2-3-4x根據前面所學有關知識畫出下列圖形（1）（2）A1

B1

A2

B2

B2

A2

B1

A1

第6頁,共53頁，2024年2月25日，星期天四、橢圓的離心率離心率：橢圓的焦距與長軸長的比：叫做橢圓的離心率。[1]離心率的取值范圍：1）e越接近1，c就越接近a，從而b就越小，橢圓就越扁因為a>c>0，所以0<e<1[2]離心率對橢圓形狀的影響：2）e越接近0，c就越接近0，從而b就越大，橢圓就越圓3）特例：e=0，則a=b，則c=0，兩個焦點重合，橢圓方程變為（？）yOx第7頁,共53頁，2024年2月25日，星期天標準方程范圍對稱性頂點坐標焦點坐標半軸長離心率a、b、c的關系|x|≤a,|y|≤b關于x軸、y軸成軸對稱；關于原點成中心對稱(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)長半軸長為a,短半軸長為b.a>ba2=b2+c2第8頁,共53頁，2024年2月25日，星期天標準方程范圍對稱性頂點坐標焦點坐標半軸長離心率a、b、c的關系|x|≤a,|y|≤b關于x軸、y軸成軸對稱；關于原點成中心對稱(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)長半軸長為a,短半軸長為b.a>ba2=b2+c2|x|≤b,|y|≤a同前(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)(0,c)、(0,-c)同前同前同前第9頁,共53頁，2024年2月25日，星期天例1、已知橢圓方程為，則它的長軸長是：

；短軸長是：

；焦距是：

；離心率等于：

；焦點坐標是：

；頂點坐標是：

；

1086解題步驟：1、根據橢圓標準方程求a、b.2、確定焦點的位置和長軸的位置.三、例題講解第10頁,共53頁，2024年2月25日，星期天練習1.已知橢圓方程為6x2+y2=6它的長軸長是：

;短軸長是：

;焦距是：

;離心率等于：

;焦點坐標是：

;頂點坐標是：

;

外切矩形的面積等于：

。

2解題步驟：1、由橢圓方程化為橢圓標準方程：求a、b.2、確定焦點的位置和長軸的位置.第11頁,共53頁，2024年2月25日，星期天例2.求適合下列條件的橢圓的標準方程：

(1)c=3,e=,焦點在x軸上；

(2)長軸長等于20，離心率等于(3)長軸是短軸的三倍，橢圓經過點P(3，0)第12頁,共53頁，2024年2月25日，星期天B離心率第13頁,共53頁，2024年2月25日，星期天答案：D4.若過F1且與長軸垂直的直線交橢圓于A,B兩點，若三角形ABF2是正三角形，則這個橢圓的離心率是多少？5.橢圓C：，若三角形PF1F2是直角三角形，則PF1:PF2是多少？第14頁,共53頁，2024年2月25日，星期天焦點三角形第15頁,共53頁，2024年2月25日，星期天構造方程、不等式第16頁,共53頁，2024年2月25日，星期天基本不等式第17頁,共53頁，2024年2月25日，星期天焦半徑公式第18頁,共53頁，2024年2月25日，星期天向量、方程組、不等式第19頁,共53頁，2024年2月25日，星期天向量、三角函數第20頁,共53頁，2024年2月25日，星期天正弦定理、三角函數第21頁,共53頁，2024年2月25日，星期天xF1F2oyP第22頁,共53頁，2024年2月25日，星期天第23頁,共53頁，2024年2月25日，星期天第24頁,共53頁，2024年2月25日，星期天

【4】(09·江蘇)如圖，在平面直角坐標系xOy中,A1,A2,B1,B2為橢圓(a>b>0)的四個頂點,F為其右焦點,直線A1B2與直線B1F相交于點T,線段OT與橢圓的交點M恰為線段OT的中點,則該橢圓的離心率為__________.第25頁,共53頁，2024年2月25日，星期天直線A1B2的方程為直線B1F的方程為兩者聯立解得所以c2+10ac-3a2=0,則e2+10e-3=0，第26頁,共53頁，2024年2月25日，星期天第27頁,共53頁，2024年2月25日，星期天

設P是橢圓上的點，F1，F2是橢圓的焦點，∠F1PF2=θ,則

幾個重要結論：(2)當P為短軸端點時，(3)當P為短軸端點時，∠F1PF2為最大.(4)橢圓上的點A1距F1最近，A2距F1最遠.第28頁,共53頁，2024年2月25日，星期天(6)焦半徑公式

幾個重要結論：(5)過焦點的弦中，以垂直于長軸的弦為最短.第29頁,共53頁，2024年2月25日，星期天

點與橢圓的位置關系：憶一憶知識要點第30頁,共53頁，2024年2月25日，星期天CxF1F2oy第31頁,共53頁，2024年2月25日，星期天思考題：在面積為1的三角形PMN中，tanM=0.5,tanN=-2,求出以M,N為焦點且過P的橢圓方程。第32頁,共53頁，2024年2月25日，星期天小結：基本元素oxyB1(0,b)B2(0,-b)A1A2{1}基本量：a、b、c、e（共四個量）{2}基本點：頂點、焦點、中心（共七個點）{3}基本線：對稱軸（共兩條線）請考慮：基本量之間、基本點之間、基本線之間以及它們相互之間的關系（位置、數量之間的關系）第33頁,共53頁，2024年2月25日，星期天直線與橢圓的位置關系第34頁,共53頁，2024年2月25日，星期天相離相切相交方程組無解方程組有一組解方程組有兩組解1.交點問題設橢圓的方程為：直線的方程為：如何求橢圓與直線的交點呢？聯立橢圓與直線的方程得：<0=0>0第35頁,共53頁，2024年2月25日，星期天2.點與橢圓的位置關系第36頁,共53頁，2024年2月25日，星期天3.弦長問題若直線與橢圓的交點為則|AB|叫做弦長。弦長公式：第37頁,共53頁，2024年2月25日，星期天練習第38頁,共53頁，2024年2月25日，星期天中點弦問題已知橢圓，過點P(2,1)引一弦，使弦在這點被平分，求此弦所在直線的方程。第39頁,共53頁，2024年2月25日，星期天直線與橢圓的位置關系問題第40頁,共53頁，2024年2月25日，星期天④可通過根與系數的關系來解決中點弦問題；這其中的解題方法就是常說的“設而不求，整體代入”；⑤第41頁,共53頁，2024年2月25日，星期天第42頁,共53頁，2024年2月25日，星期天例1.（07陜西）第43頁,共53頁，2024年2月25日，星期天第44頁,共53頁，2024年2月25日，星期天直線L經過坐標軸上的某定點？第45頁,共53頁，2024年2月25日，星期天（第20題）第46頁,共53頁，2024年2月25日，星期天B第47頁,共53頁，2024年2月25日，星期天B第48頁,共53頁，2024年2月25日，星期天解:設橢圓上兩點A(x1,y1),B(x2,y2),∵A、B關于y＝4x＋m對稱，AB的中點為C(x0，y0).

【例2】試確定m的取值范圍,使得橢圓上有不同兩點A,B關于直線y＝4x＋m對稱.

第49頁,共53頁，2024年2月25日，星期天第50頁,共53頁，2024年2月25日，星期天解: