專題17.2勾股定理的逆定理【八大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1判斷三邊能否構成直角三角形】 1【題型2圖形上與已知兩點構成直角三角形的點】 3【題型3在網格中判斷直角三角形】 6【題型4勾股數的探究】 9【題型5利用勾股定理的逆定理證明】 13【題型6利用勾股定理的逆定理求解】 17【題型7勾股逆定理的應用】 20【題型8勾股定理及其逆定理的綜合】 23【知識點勾股定理的逆定理】如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=【題型1判斷三邊能否構成直角三角形】【例1】（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱德強學校校考期中）由線段a、b、c組成的三角形是直角三角形的是（

）A．a=5,b=3,c=3 B．a=C．a=6,b=4,c=5 D．a=7,b=24,c=25【答案】D【分析】根據勾股定理的逆定理，進行計算即可解答．【詳解】解：A、32B、15C、42D、72故選：D．【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關鍵．【變式1-1】（2023春·湖北孝感·八年級統考期中）一個三角形的三邊長分別為a，b，c，且滿足a+ba?b=cA．等腰三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．不確定【答案】B【分析】將原式整理為a2【詳解】解：∵a+ba?b∴a2∴a2∴這個三角形是直角三角形；故選：B.【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理和平方差公式，熟練掌握勾股定理逆定理、得出a2【變式1-2】（2023春·八年級單元測試）如圖，以△ABC的兩邊BC、AC分別向外作正方形，它們的面積分別是S1，S2，若S1=2，S2【答案】直角【分析】根據正方形的面積公式結合勾股定理的逆定理即可得出答案．【詳解】解：∵S1=2，∴BC2=2∵AB∴AC∴△ABC是直角三角形，故答案為：直角．【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理和正方形面積的應用，理解勾股定理的逆定理的內容是解題的關鍵．【變式1-3】（2023春·廣東惠州·八年級校考期中）有四種說法：①三個內角之比為5:6:1；②三邊形長分別為：2,7,5；③三邊之長為9、40、41；④三邊之比為【答案】①②③【分析】根據三角形內角和定理和勾股定理進行求解即可．【詳解】解：∵三角形三個內角之比為5:6:1，∴三角形最大的內角為180°×6∴該三角形為直角三角形，故①正確；∵22∴該三角形為直角三角形，故②正確；∵92∴該三角形為直角三角形，故③正確；∵1.52∴該三角形不是直角三角形，故④錯誤；故答案為：①②③．【點睛】本題主要考查了三角形內角和定理，勾股定理得逆定理，熟知三角形內角和為180度和勾股定理的逆定理是解題的關鍵．【題型2圖形上與已知兩點構成直角三角形的點】【例2】（2023春·全國·八年級專題練習）同一平面內有A，B，C三點，A，B兩點之間的距離為5cm，點C到直線AB的距離為2cm，且△ABC為直角三角形，則滿足上述條件的點【答案】8【分析】該題存在兩種情況；（1）AB為斜邊，則∠C=90°；（2）AB為直角邊，AC=2cm或BC=2cm；【詳解】（1）當AB為斜邊時，點C到直線AB的距離為2cm，即AB邊上的高為2cm，符合要求的（2）當AB為直角邊時，AC=2cm或BC=2cm，符合條件的點有4個，如圖；符合要求的C點有8個；故答案是8．【點睛】本題主要考查了勾股定理的應用，準確分析判斷是解題的關鍵．【變式2-1】（2023春·八年級單元測試）在如圖所示的5×5的方格圖中，點A和點B均為圖中格點．點C也在格點上，滿足△ABC為以AB為斜邊的直角三角形．這樣的點C有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】結合網格的性質和直角三角形的判定找到對應點即可．【詳解】解：如圖，滿足條件的點C共有4個，故選D．【點睛】此題主要考查了勾股定理逆定理，正確進行討論，把每種情況考慮全，是解決本題的關鍵．【變式2-2】（2023春·全國·八年級專題練習）點A（2，m），B（2，m-5）在平面直角坐標系中，點O為坐標原點．若△ABO是直角三角形，則m的值不可能是（

）A．4 B．2 C．1 D．0【答案】B【分析】分∠OAB＝90°，∠OBA＝90°，∠AOB＝90°三種情況考慮：當∠OAB＝90°時，點A在x軸上，進而可得出m＝0；當∠OBA＝90°時，點B在x軸上，進而可得出m＝5；當∠AOB＝90°時，利用勾股定理可得出關于m的一元二次方程，解之即可得出m的值．綜上，對照四個選項即可得出結論．【詳解】解：分三種情況考慮（如圖所示）：當∠OAB＝90°時，m＝0；當∠OBA＝90°時，m?5＝0，解得：m＝5；當∠AOB＝90°時，AB2＝OA2＋OB2，即25＝4＋m2＋4＋m2?10m＋25，解得：m1＝1，m2＝4．綜上所述：m的值可以為0，5，1，4．故選B．【點睛】本題考查了坐標與圖形性質以及勾股定理，分∠OAB＝90°，∠OBA＝90°，∠AOB＝90°三種情況求出m的值是解題的關鍵．【變式2-3】（2023春·全國·八年級專題練習）如圖，方格紙中的每個小正方形的邊長均為1，點A，B在小正方形的頂點上，在圖中畫ΔABC（點C在小正方形的頂點上），使ΔABC為直角三角形，并說明理由.（要求畫出兩個，且兩個三角形不全等）【答案】ΔABC為直角三角形，理由詳見解析.【分析】根據勾股定理逆定理和勾股定理進行判斷即可.【詳解】解：如圖所示.圖1

圖2如圖1，在ΔABC中，AC=5，BC=3，A因為AC所以∠ACB=90°，即ΔABC為直角三角形.如圖2，在RtΔACD中，AC在RtΔBCE中，CB在RtΔABF中，AB所以AC所以∠ACB=90°，即ΔABC為直角三角形.【點睛】考核知識點：根據勾股定理逆定理畫直角三角形.掌握勾股定理逆定理并會運用是關鍵.【題型3在網格中判斷直角三角形】【例3】（2023春·北京西城·八年級校考期中）如圖，在正方形網格中，每個小正方形的邊長為1，△ABC的三個頂點A，B，C都在格點上，AD是BC邊上的中線，那么AD的長為（

）

A．2.5 B．3 C．22 D．【答案】A【分析】由勾股定理可得AC2=5,BC2【詳解】解：由勾股定理可得AC∴AC2+A∵AD是BC邊上的中線，∴AD=1故選：A．【點睛】本題主要考查了勾股定理、直角三角形斜邊上中線的性質等知識點，根據勾股定理逆定理判定△ABC是直角三角形是基礎，掌握斜邊上的中線的性質是解題的關鍵．【變式3-1】（2023春·廣東湛江·八年級校考階段練習）如圖，每個小正方形的邊長為1，A、B、C是小正方形的頂點，則∠ABC的度數為_________．

【答案】45°【分析】根據勾股定理得到AB，BC，AC的長度，再判斷△ABC是等腰直角三角形，進而得出結論．【詳解】解：如圖，連接AC，

由題意，AC=22+12∴AC=BC，AB∴△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB=90°，∴∠ABC=∠CAB=45°．故答案為：45°．【點睛】本題主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定與性質，判斷出△ABC是等腰直角三角形是解決本題的關鍵．【變式3-2】（2023春·廣東惠州·八年級校考階段練習）如圖，每個小正方形的邊長為1．

(1)求四邊形ABCD的面積與周長；(2)求證：∠BCD=90°．【答案】(1)周長為：82+2(2)見解析【分析】（1）借助正方形的小格，根據勾股定理分別計算四邊形的各邊的長，從而求得四邊形的周長；（2）在△ABC中，根據勾股定理的逆定理進行判定．【詳解】（1）解：根據勾股定理可知AB=32，BC=34，CD=34，AD=52，∴四邊形ABCD的周長為32面積為：8×8?1（2）證明：連接BD，

∵BC=34，CD=34，DB=68，∴BC∴△BCD是直角三角形，即∠BCD=90°．【點睛】本題主要考查了勾股定理的運用以及勾股定理逆定理的運用，掌握勾股定理是解題的關鍵．【變式3-3】（2023春·八年級單元測試）如圖所示的是2×5的正方形網格，點A，B，P都在網格點上，則∠APB=________．

【答案】135°【分析】根據勾股定理和勾股定理的逆定理可得△PCB是等腰直角三角形，可得∠BPC=45°，即可求解．【詳解】解：延長AP至C，連接BC，CP=CB=2BP=3∵(5)∴△PCB是等腰直角三角形，∴∠BPC=45°，∴∠APB=180°?45°=135°，故答案為：135°．

【點睛】本題考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，關鍵是得到△PCB是等腰直角三角形．【題型4勾股數的探究】【例4】（2023春·安徽阜陽·八年級統考期末）法國數學家費爾馬早在17世紀就研究過形如x2+y2=(1)請你再寫出兩組勾股數：（___________），（___________）；(2)在研究直角三角形的勾股數時，古希臘的哲學家柏拉圖曾指出：如果n表示大于1的整數，x=2n，y=n2?1，z=n2【答案】(1)5，12(2)證明見解析【分析】（1）根據x2+y2=（2）根據勾股定理的逆定理，可得答案．【詳解】（1）∵52∴52∴5，∵72∴72∴7，故答案為：5，12，（2）證明：∵x=2n，y=n∴x==4===z即x，∴以x，【點睛】此題考查勾股逆定理的證明，勾股數的規律探究，掌握勾股逆定理的證明，根據勾股定理得出勾股數是解題的關鍵．【變式4-1】（2023春·四川達州·八年級校考期中）以下列各組數據中的三個數，其中是勾股數的是（

）A．3,4,5 B．6，8，10 【答案】B【分析】根據勾股數的定義進行分析，從而得到答案．【詳解】解：A、32+4B、62+8C、12+22=3，3D、22+3故答案為：B．【點睛】此題考查了勾股數，解答此題要用到勾股定理的逆定理和勾股數的定義，滿足a2【變式4-2】（2023春·全國·八年級專題練習）一個直角三角形三邊長都是正整數，這樣的直角三角形叫做“整數直角三角形”，這三個整數叫做一組“勾股數”老師給出了下表（其中m，n為正整數，且m>n）：m23344…n11212…a23344…b4612816…c23344…(1)探究a，b，c與m，n之間的關系并用含m，n的代數式表示：a=______，b=______，c=______．(2)以a，b，c為邊長的三角形是否一定為直角三角形？請說明理由．【答案】(1)m2+n2(2)以a，b，c為邊長的三角形一定為直角三角形，理由見解析【分析】（1）根據給出的數據總結即可；（2）分別計算出a2、b2、【詳解】（1）解：觀察可得a=m2+n2故答案為：m2+n2，（2）以a，b，c為邊長的三角形一定為直角三角形，理由如下：a2b2∴a2∴以a，b，c為邊長的三角形一定為直角三角形．【點睛】本題考查了勾股數，勾股定理的逆定理，熟練掌握：如果三角形的三邊長a,b,c滿足a2【變式4-3】（2023春·重慶北碚·八年級西南大學附中校考期中）勾股定理是一個基本的幾何定理，早在我國西漢時期算書《周髀算經》就有“勾三股四弦五”的記載．如果一個直角三角形三邊長都是正整數，這樣的直角三角形叫“整數直角三角形”；這三個整數叫做一組“勾股數”，如：3，4，5；5，12，13；7，24，25；8，15，17；9，40，41等等都是勾股數．（1）小李在研究勾股數時發現，某些整數直角三角形的斜邊能寫成兩個整數的平方和，有一條直角邊能寫成這兩個整數的平方差．如3，4，5中，5＝22+12，3＝22﹣12；5，12，13中，13＝32+22，5＝32﹣22；請證明：m，n為正整數，且m＞n，若有一個直角三角形斜邊長為m2+n2，有一條直角長為m2﹣n2，則該直角三角形一定為“整數直角三角形”；（2）有一個直角三角形兩直角邊長分別為7a?7和150?30b，斜邊長415，且a和b均為正整數，用含b的代數式表示a，并求出a和b的值；（3）若c1＝a12+b12，c2＝a22+b22，其中，a1、a2、b1、b2均為正整數．證明：存在一個整數直角三角形，其斜邊長為c1?c2．【答案】（1）見解析；（2）a=97+30b7，a＝31，【分析】（1）根據勾股定理：利用（m2+n2）2﹣（m2﹣n2）2，解得另一條直角邊長為2mn，因為m，n為正整數，所以2mn也為正整數，即可得證；（2）首先根據勾股定理求出a關于b的代數式，再根據被開方數需大于等于0，即可求得a、b的范圍，且a、b均為正整數，將b的可能值：1，2，3，4分別代入，即可求得符合條件的正整數a、b；（3）觀察發現，當a1＝b1＝1，a2＝b2＝2時，c1?c2＝5×5＝25，而252【詳解】（1）證明：∵（m2+n2）2﹣（m2﹣n2）2＝（m2+n2+m2﹣n2）?（m2+n2﹣m2+n2）＝2m2?2n2＝（2mn）2，∴（2mn）2+（m2﹣n2）2＝（m2+n2）2，∵m，n為正整數，且m＞n，∴2mn，m2﹣n2，m2+n2均為正整數，∴該直角三角形一定為“整數直角三角形”；（2）由勾股定理得：7a﹣7+（150﹣30b）＝16×15，∴a=97+30b由題意可知：7a﹣7＞0，150﹣30b＞0，∴a＞1，0＜b＜5，∵a和b均為正整數，∴b的可能值為：1，2，3，4，當b＝1時，a=97+307=當b＝2時，a=97+607=當b＝3時，a=97+907=當b＝4時，a=97+1207=2177∵2102+30∴2102∴b＝4符合題意，∴a=97+30b7，a＝31，（3）證明：觀察發現，當a1＝b1＝1，a2＝b2＝2時，c1?c2＝5×5＝25，152+202＝225+400＝625，252＝625，∴152+202＝252．∴存在一個整數直角三角形，其斜邊長為c1?c2．【點睛】本題目考查勾股定理，難度一般，也是中考的常考知識點，熟練掌握勾股定理的應用以及二次根式的相關性質是順利解答此題的關鍵．【題型5利用勾股定理的逆定理證明】【例5】（2023·江蘇·八年級假期作業）如圖，已知CD⊥AB，垂足為D，BD=1，CD=2，AD=4．求證：∠ACB=90°．【答案】見解析【分析】根據勾股定理得出BC2，【詳解】證明：∵CD⊥AB，垂足為D，BD=1，CD=2，AD=4，∴BC2=B∵AB=AD+BD=4+1=5，∴AB∴△ABC是直角三角形，∴∠ACB=90°．【點睛】此題考查勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理與其逆定理的區別是解題的關鍵．【變式5-1】（2023·江蘇·八年級假期作業）在△ABC的三邊分別是a、b、c，且【答案】直角三角形，理由見解析【分析】根據勾股定理的逆定理判斷即可．【詳解】解：∵a=∴a2b2c2∴a2故△ABC是直角三角形．【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理、完全平方公式，會利用勾股定理的逆定理判定三角形是否為直角三角形是解答的關鍵．【變式5-2】（2023春·八年級課時練習）如圖，以△ABC的每一條邊為邊作三個正方形．已知這三個正方形構成的圖形中，綠色部分的面積與藍色部分的面積相等，則△ABC是直角三角形嗎？請證明你的判斷．【答案】△ABC是直角三角形，證明見解析【分析】設坐標綠色部分的面積和為a，右邊綠色部分的面積為b，藍色部分的面積和為c，坐標空白部分的面積為d，右邊空白部分的面積為e，【詳解】設坐標綠色部分的面積和為a，右邊綠色部分的面積為b，藍色部分的面積和為c，坐標空白部分的面積為d，右邊空白部分的面積為e，然后根據綠色部分的面積與藍色部分的面積相等列式得到(a+d)+(b+e)=c+d+e，然后由a+d=AC∵綠色部分的面積與藍色部分的面積相等∴a+b=c∴a+b+d+e=c+d+e∴(a+d)+(b+e)=c+d+e∵a+d=A∴c+d+e=A∴A∴△ABC是直角三角形．【點睛】此題考查了勾股定理的逆定理的運用，解題的關鍵是熟練掌握勾股定理的逆定理．【變式5-3】（2023春·江蘇鹽城·八年級統考期中）如圖，在△ABC中，AB=7，AC=25，AD是中線，點E在(1)求證：△CDE≌(2)證明：CE⊥AE；(3)求△ABC的面積．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)84【分析】（1）根據SAS證明△CDE≌△BDA即可；（2）結論：△ACE是直角三角形；首先根據△CDE≌△BDA，推出CE=AB=7，最后根據勾股定理的逆定理即可證明；（3）由全等三角形的性質得出S△ABC=S△ACE，所以計算【詳解】（1）證明：∵AD是邊BC上的中線，∴BD=CD，在△BDA和△CDE中，AD=BD∠ADB=∠EDC∴△CDE≌△BDA（SAS），（2）結論：△ACE是直角三角形；理由：由（1）知：△CDE≌△BDA,∴CE=AB=7，∵AD=ED=12，∴AE=24，∵AE∴AE∴∠E=90°，∴△ACE是直角三角形；（3）∵△CDE≌△BDA，∴S△CDE∴S△ABC∵S△ACE=12AE·CE∴S△ABC【點睛】此題是三角形的綜合題，考查三角形全等的判定與性質，勾股定理的逆定理的運用，三角形的面積計算方法，掌握三角形全等的判定方法與勾股定理逆定理是解決問題的關鍵．【題型6利用勾股定理的逆定理求解】【例6】（2023春·山西呂梁·八年級統考期末）如圖，在△ABC中，AB=5，BC=4，AC=3，將三角形紙片沿AD折疊，使點C落在AB邊上的點E處，則△BDE的周長為（

）

A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】利用勾股定理的逆定理判斷出∠C=90°，利用翻折不變性可得AE=AC=3，推出BE=2，即可解決問題．【詳解】解：在△ABC中，∵AB=5，BC=4，AC=3，∴AB∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°，由翻折的性質可知：AE=AC=3，CD=DE，∴BE=2，∴△BDE的周長=DE+BD+BE=CD+BD+BE=BC+BE=4+2=6，故選：D．【點睛】本題考查翻折變換，勾股定理等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．【變式6-1】（2023春·湖北襄陽·八年級統考期中）如圖，在△ABC中，點D在AB上，AB=AC，BC=5，BD=3，CD=4．求AC的長．【答案】AC=【分析】由勾股定理的逆定理判定∠BDC=90°，再在Rt△ADC【詳解】解：∵BC=5，BD=3，CD=4，∴BD∴∠BDC=90°．∴∠ADC=180°?∠BDC=90°．∴AD設AC=x．∵AB=AC，BD=3，∴AD=x?3．∴(x?3)2解得x=25∴AC=25【點睛】本題主要考查了勾股定理及其逆定理的應用，解題的關鍵在于熟練掌握定理，靈活運用．【變式6-2】（2023春·河南開封·八年級統考期末）已知△ABC的三邊分別為a、b、c，且滿足a+2b?112+2a?b?2【答案】△ABC是直角三角形，它的周長是12，面積是6【分析】首先把原等式變形為a+2b?112+2a?b?2+c?52=0【詳解】解：由題意得a+2b?112∴a+2b?112∴a+2b?11=02a?b?2=0∴a=3，b=4，c=5，∵a2∴△ABC是直角三角形，它的周長是3+4+5=12，面積是12【點睛】此題考查了完全平方公式，非負數的性質，解三元一次方程組，勾股定理逆定理以及三角形的周長和面積的計算方法；注意解題的思路與方法的靈活性．【變式6-3】（2023春·陜西榆林·八年級校考期末）已知在△ACB中，AC=12,BC=5,AB=13，點E為邊AC上的動點，點F為邊AB上的動點，則FE+EB的最小值是_________．【答案】120【分析】先根據勾股定理的逆定理可得∠ACB=90°，再作點B關于AC的對稱點B′，連接B′E,B′F,AB【詳解】解：∵在△ACB中，AC=12,BC=5,AB=13，∴AC∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，如圖，作點B關于AC的對稱點B′，連接B∴B∴FE+EB=FE+B由兩點之間線段最短可知，當點B′,E,F共線時，FE+B由垂線段最短可知，當B′F⊥AB時，又∵S∴1解得B′即FE+EB的最小值為12013故答案為：12013【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理、兩點之間線段最短、垂線段最短、軸對稱的性質等知識點，熟練掌握軸對稱的性質和勾股定理的逆定理是解題關鍵．【題型7勾股逆定理的應用】【例7】（2023春·廣東廣州·八年級統考期中）如圖，在筆直的公路AB旁有一座山，從山另一邊的C處到公路上的停靠站A的距離為AC=15km，與公路上另一停靠站B的距離為BC=20km，停靠站A、B之間的距離為AB=25km，為方便運輸貨物現要從公路AB上的D處開鑿隧道修通一條公路到C(1)請判斷△ABC的形狀？(2)求修建的公路CD的長．【答案】(1)直角三角形(2)12【分析】（1）根據勾股定理的逆定理，由AC2+B（2）利用△ABC的面積公式可得，CD?AB=AC?BC，從而求出CD的長．【詳解】（1）解：△ABC是直角三角形．理由：∵AC=15km，BC=20km，∴152∴AC∴∠ACB=90°，∴△ABC是直角三角形．（2）解：∵CD⊥AB，∴S∴CD=AC?BC答：修建的公路CD的長是12km【點睛】本題考查了勾股定理，勾股定理逆定理的應用，以及三角形的面積公式等知識，熟練掌握勾股定理及其逆定理是解題的關鍵．【變式7-1】（2023春·廣西南寧·八年級南寧市天桃實驗學校校考階段練習）森林火災是一種常見的自然災害，危害很大．隨著中國科技、經濟的不斷發展，開始應用飛機灑水的方式撲滅火源．如圖，△ABC區域內是一片森林，有一臺救火飛機沿東西方向AB，由點A飛向點B，已知點C為其中一個著火點，且點C與點A，B的距離分別為600m和800m，又AB=1000m，飛機中心周圍(1)求△ABC的面積．(2)著火點C能否受到灑水影響？為什么？【答案】(1)240000(2)受影響【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，再利用面積公式計算即可；（2）過點C作CD⊥AB于D，利用三角形面積得出CD的長，進而得出海港C是否受臺風影響．【詳解】（1）解：∵AC=600m，BC=800m，∴AC∴△ABC是直角三角形，∴S△ABC（2）如圖，過點C作CD⊥AB于D，∴S∴600×800=1000CD，∴CD=480，∵飛機中心周圍500m∴著火點C受灑水影響．【點睛】本題考查的是勾股定理在實際生活中的運用，解答此類題目的關鍵是構造出直角三角形，再利用勾股定理解答．【變式7-2】（2023春·廣西桂林·八年級統考期中）一根12米的電線桿AB，用鐵絲AC、AD固定，現已知用去鐵絲AC＝15米，AD＝13米，又測得地面上B、C兩點之間距離是9米，B、D兩點之間距離是5米，則電線桿和地面是否垂直，為什么？【答案】電線桿和地面垂直，理由見解析【分析】由勾股定理的逆定理判斷△ABD是直角三角形，△ABC是直角三角形，即可解答．【詳解】解：電線桿和地面垂直，理由如下：連接BD在△ABD中，∵BD2+AB2＝52+122＝169＝132＝AD2，∴△ABD是直角三角形，且∠ABD＝90°，∴AB⊥BD，在△ABC中，∵BC2+AB2＝92+122＝225＝152＝AC2，∴△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°，∴AB⊥BC，∴電線桿和地面垂直．【點睛】本題考查勾股定理的逆定理，是重要考點，掌握相關知識是解題關鍵．【變式7-3】（2023春·八年級課時練習）海面上有兩個疑似漂浮目標．A艦艇以12海里/時的速度離開港口O，向北偏西50°方向航行；同時，B艦艇在同地以16海里/時的速度向北偏東一定角度的航向行駛，如圖所示，離開港口5小時后兩船相距100海里，則B艦艇的航行方向是______．【答案】北偏東40°【分析】根據勾股定理的逆定理判斷△AOB是直角三角形，求出∠BOD的度數即可．【詳解】由題意得，OA=12×5=60（海里），OB=16×5=80（海里），又∵AB=100海里，∵602即O∴∠AOB=90°，∵∠DOA=50°，∴∠BOD=40°，則B艦艇的航行方向是北偏東40°，故答案為：北偏東40°．【點睛】本題考查的是勾股定理的逆定理的應用和方位角的知識，根據題意判斷出△AOB是直角三角形是解決問題的關鍵．【題型8勾股定理及其逆定理的綜合】【例8】（2023春·全國·八年級期末）如圖，在△ABC中，D是△ABC內一點，連接AD、BD，且AD⊥BD．已知AD=4，BD=3，AC=13，BC=12．則圖中陰影部分的面積為________．

【答案】24【分析】先根據勾股定理求出AB，然后根據勾股定理的逆定理，得△ABC是直角三角形，根據陰影部分的面積S等于S△ABC【詳解】∵AD⊥BD，∴AB∵AD=4，BD=3，∴AB=5，∵AC=13，BC=12，∴AC2=169，B∴AC∴△ABC是直角三角形，設陰影部分的面積S，∴S=S∴S=24，∴設陰影部分的面積為：24．故答案為：24．【點睛】本題考查勾股定理的知識，解題的關鍵是掌握勾股定理的運用和勾股定理的逆定理．【變式8-1】（2023春·江西贛州·八年級期中）如圖，已知正方形ABCD的邊長為4