專題2.13直線與圓的位置關系重難點題型精講1．直線與圓的位置關系及判定方法(1)直線與圓的位置關系及方程組的情況如下：(2)直線與圓的位置關系的判定方法

①代數法：通過聯立直線方程與圓的方程組成方程組，根據方程組解的個數來研究，若有兩組不同的實數解，即>0，則直線與圓相交；若有兩組相同的實數解，即=0，則直線與圓相切；若無實數解，即<0，則直線與圓相離.

②幾何法：由圓心到直線的距離d與半徑r的大小來判斷，當d<r時，直線與圓相交；當d=r時，直線與圓相切；當d>r時，直線與圓相離.2．圓的切線及切線方程(1)自一點引圓的切線的條數：

①若點在圓外，則過此點可以作圓的兩條切線；

②若點在圓上，則過此點只能作圓的一條切線，且此點是切點；

③若點在圓內，則過此點不能作圓的切線.

(2)求過圓上的一點的圓的切線方程：

①求法：先求切點與圓心連線的斜率k()，則由垂直關系可知切線斜率為，由點斜式方程可求得切線方程.如果k=0或k不存在，則由圖形可直接得切線方程.

②重要結論：

a.經過圓上一點P的切線方程為.

b.經過圓上一點P的切線方程為.

c.經過圓+Dx+Ey+F=0上一點P的切線方程為.3．圓的弦長問題設直線l的方程為y=kx+b，圓C的方程為，求弦長的方法有以下幾種：

(1)幾何法

如圖所示，半徑r、圓心到直線的距離d、弦長l三者具有關系式：.(2)代數法

將直線方程與圓的方程組成方程組，設交點坐標分別為A,B.

①若交點坐標簡單易求，則直接利用兩點間的距離公式進行求解.

②若交點坐標無法簡單求出，則將方程組消元后得一元二次方程，由一元二次方程中根與系數的關系可得或的關系式，通常把或叫作弦長公式.4．解與圓有關的最值問題(1)利用圓的幾何性質求最值的問題

求圓上點到直線的最大值、最小值，需過圓心向直線作垂線.

①如圖2514①，當直線l與圓C相交時，最小距離為0，最大距離為AD=r+d.其中r為圓的半徑，d為圓心到直線的距離；

②如圖2514②，當直線l與圓C相切時，最小距離為0，最大距離為AD=2r；

③如圖2514③，當直線l與圓C相離時，最小距離為BD=dr，最大距離為AD=d+r.(2)利用直線與圓的位置關系解決最值(取值范圍)問題

解析幾何中的最值問題一般是根據條件列出所求目標——函數關系式，然后根據函數關系式的特征選用參數法、配方法、判別式法等，應用不等式求出其最值(取值范圍).對于圓的最值問題，要利用圓的特殊幾何性質，根據式子的幾何意義求解，這常常是簡化運算的最佳途徑.

①形如u=的最值問題，可轉化為動直線斜率的最值問題.②形如t=ax+by的最值問題，可轉化為動直線截距的最值問題.

③形如的最值問題，可轉化為動點到定點的距離的平方的最值問題.

(3)經過圓內一點的最長弦就是經過這點的直徑，過這點和最長弦垂直的弦就是最短弦.5．直線與圓的方程的應用(1)解決實際問題的步驟：

(2)建系原則

建立適當的平面直角坐標系要把握兩個原則：

①對稱性原則.可以選擇對稱中心為坐標原點，對稱軸所在的直線為坐標軸.到兩個定點的距離問題，可以選擇兩個定點所在的直線以及線段的垂直平分線為坐標軸等.有兩條相互垂直的直線的問題則可選其為坐標軸.

②集中性原則.可以讓曲線上盡可能多的特殊點在坐標軸上.如與三角形有關的問題，可以考慮將三角形的三個頂點全部放在坐標軸上.【題型1直線與圓的位置關系及判定】【方法點撥】①代數法：通過聯立直線方程與圓的方程組成方程組，根據方程組解的個數來研究，若有兩組不同的實數解，即>0，則直線與圓相交；若有兩組相同的實數解，即=0，則直線與圓相切；若無實數解，即<0，則直線與圓相離.②幾何法：由圓心到直線的距離d與半徑r的大小來判斷，當d<r時，直線與圓相交；當d=r時，直線與圓相切；當d>r時，直線與圓相離.【例1】（2022·江西省高一階段練習（理））直線mx2ym+1=0與圓x2+y24x2y+1=0的位置關系是（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定【變式11】（2022·河南·高二階段練習）對于任意實數k，圓C:x2+y2A．相交 B．相切C．相離 D．與k的取值有關【變式12】（2022·全國·高二課時練習）已知直線l:x?y+2=0與圓C:x2+y2A．?∞,0 C．?∞,?1【變式13】（2022·全國·高二課時練習）已知點Ma,bab≠0在圓x2+y2=r2內，直線mA．l//m且與圓相離 B．C．l//m且與圓相交 D．【題型2圓的切線問題及切線方程的求解】【方法點撥】①當一條直線l與圓C相切時，毫無疑問地要用到圓心C到直線l的距離d=r(r為圓C的半徑).②當一條直線l與圓C相切于點P時，則lPC.③過圓外一點P向圓C作切線，切點為Q，則必定會用到.【例2】（2022·全國·高三專題練習）過點M(3,1)作圓x2+y2?2x?6y+2=0的切線lA．x+y?4=0 B．x+y?4=0或x=3C．x?y?2=0 D．x+y?2=0或x=3【變式21】（2021·山西大同·高三階段練習（文））已知圓心在x軸上，半徑為22的圓上有一點M1,2，則圓在點M處的切線方程是（A．x?y+1=0 B．2x?y=0或x+y?3=0C．x+y?3=0 D．x?y+1=0或x+y?3=0【變式22】（2022·安徽蚌埠·一模）過直線x+y=5上的點作圓C:x2+A．32 B．23 C．15 【變式23】（2023·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系xOy中，已知圓C：x2+y?32=2，點A是x軸上的一個動點，AP，AQ分別切圓C于PA．273,22 B．2143【題型3圓的弦長問題】【方法點撥】當直線與圓相交時，因幾何法求弦長較方便，一般不用代數法.用幾何法求解圓的弦長的一般步驟：第一步：確定圓的半徑r；第二步：求解圓心到直線的距離d；第三步：代入公式求解弦長.【例3】（2022·全國·高二課時練習）直線l:3x+4y?1=0被圓C:x2+A．25 B．4 C．23 【變式31】（2022·全國·高三專題練習）過點A2,2，作傾斜角為π3的直線l，則直線l被圓O:xA．1?32 B．2?3 C．3?【變式32】（2023·全國·高三專題練習）已知直線l：mx?y?3m+1=0恒過點P，過點P作直線與圓C：(x?1)2+(y?2)2=25相交于A，BA．45 B．2 C．4 D．【變式33】（2023·全國·高三專題練習）已知圓O：?x2+y2=10，已知直線l：?ax+by=2a?ba,b∈R與圓O的交點分別M，N，當直線A．352 B．552 C．【題型4直線與圓有關的最值問題】【方法點撥】解直線與圓的最值問題主要有以下兩種思路：①代數法：利用平面幾何中的有關公式，構造函數，把問題轉化為函數的最值，然后根據函數最值的求法進行求解.在轉化過程中常用到向量的數量積、一元二次方程根與系數的關系、換元等知識和方法.②幾何法：找到所求式的幾何意義，在坐標系中與圓建立聯系，分析其與圓的位置變化情況，找到最大、最小取值點.【例4】（2023·全國·高三專題練習）已知圓C：x2+y2?4x?2y+1=0，點P是直線y=4上的動點，過P作圓的兩條切線，切點分別為A，BA．253 B．453 C．【變式41】（2022·全國·高三專題練習）瑞士著名數學家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直線上.這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線”.在平面直角坐標系中作△ABC，AB=AC，點B(?1,1)，點C(3,5)，過其“歐拉線”上一點Р作圓O：x2+y2=4的兩條切線，切點分別為M，NA．2 B．22 C．3 D．【變式42】（2022·江蘇·高二專題練習）已知點Q在圓M:x+32+y?32=4上，直線l:2x?3y+6=0與x軸、y軸分別交于點①點Q到直線l的距離小于4.5②點Q到直線l的距離大于1③當∠QRP最小時，RQ④當∠QRP最大時，RQA．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式43】（2021·湖北·高二期中）已知圓C1:(x?2)2+(y+3)2=1，圓C2:(x?3)2+(y?4)2=9，A．52+4 C．52 D．【題型5直線與部分圓的相交問題】【方法點撥】一條直線和一個圓的一部分有交點時，如果用代數法去研究，則要轉化為一元二次方程根的取值情況，過程比較繁瑣，因此這類問題一般采用數形結合的方法去研究，研究應抓住兩類直線：一是切線；二是過端點的直線.【例5】（2022·湖南·高二階段練習）若直線l:kx?y?2=0與曲線C:1?y?12=x?1有兩個交點，則實數A．43,2 C．?2,43∪【變式51】（2021·山東泰安·高二期中）設點P(x,y)是曲線y=?4?(x?1)2上的任意一點，則y?2A．[0，125] B．[25，【變式52】（2021·天津高二階段練習）設曲線x=1?(1?y)2上的點到直線x?y?2=0的距離的最大值為a，最小值為b，則a?bA．2 B．2?22 C．2 【變式53】（2021·山東·高二階段練習）過點2,?1引直線l與曲線y=1?x2相交于A?B兩點，則直線lA．?1,?34 B．?43,?1 【題型6直線與圓的方程的應用】【方法點撥】用坐標法解決幾何問題時應注意以下幾點：①應在利于解題的原則下建立適當的平面直角坐標系，不可隨便建立；②在實際問題中，有些量具有一定的限制條件，轉化成代數問題時要注意取值范圍；③最后一定要將代數結果轉化成幾何結論.【例6】（2022·全國·高二課時練習）如圖，某海面上有O，A，B三個小島（面積大小忽略不計），A島在O島的北偏東45°方向距O島402千米處，B島在O島的正東方向距O島20千米處．以O為坐標原點，O的正東方向為x軸的正方向，1千米為一個單位長度，建立平面直角坐標系．圓C經過O，A，B(1)求圓C的方程；(2)若圓C區域內有未知暗礁，現有一船D在O島的南偏西30°方向距O島40千米處，正沿著北偏東45°方向行駛，若不改變方向，試問該船有沒有觸礁的危險?【變式61】（2022·湖北·高二期末）為了保證我國東海油氣田海域海上平臺的生產安全，海事部門在某平臺O的北偏西45°方向22km處設立觀測點A，在平臺O的正東方向12km處設立觀測點B，規定經過O、A、B三點的圓以及其內部區域為安全預警區．如圖所示：以O為坐標原點，O的正東方向為x(1)試寫出A，B的坐標，并求兩個觀測點A，B之間的距離；(2)某日經觀測發現，在該平臺O正南10kmC處，有一艘輪船正以每小時87【變式62】（2022·浙江·高二期末）如圖，一個湖的邊界是圓心為O的圓，湖的一側有一條直線型公路l，湖上有橋AB（AB是圓O的直徑）.規劃在公路l上選兩個點P?Q，并修建兩段直線型道路PB?QA.規劃要求，線段PB?QA上的所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑.已知點A,B到直線l的距離分別為AC和BD（C,D為垂足），測得AB=10，AC=6，BD=12（單位：百米）.(1)若道路PB與橋AB垂直，求道路PB的長；(2)在規劃要求下，點Q能否選在D