渭南市2023屆高三教學質量檢測（I）數學試題（理科）

命題人：王建龍韓黎波蔡雯偉

注意事項：

1.本試題滿分150分，考試時間120分鐘.

2.答卷前務必將自己的姓名、學校、班級、準考證號填寫在答題卡和答題紙上.

3.將選擇題（答案Il填涂在答題卡上，非選擇題按照題號完成在答題紙上的指定區域內.

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1,已知集合A={T124},B={x∣*2-2χ≤o},則ArB=（）

A.{-l,2}B.{1,2}C.{1,4}D.{-1,4}

K答案HB

R解析』

K祥解D根據交集的定義計算.

K詳析11對于集合B,X2-2X≤0,X（X-2）≤0,.?.0≤X≤2,:.A（B={l,2}；

故選：B.

2.設復數Z滿足z?（l+2i）=∣-3+4i∣,貝IJZ的虛部是（）

A.2B.2iC.-2D.-21

R答案XC

K解析H

K祥解U先求出∣-3+4i∣的值，然后兩邊同除l+2i,最后用復數的除法運算求解.

K詳析U?.?z?（l+2i）=卜3+倒

55(l-2i)5(l-2i)

.?.z?(l+2i)=5,即

l+2i-(l+2i)(l-2i)~~5~

所以Z的虛部是-2.

故選：C

3.已知向量”=(1,2),∕J=(W,2—m)，若a_L/j，則Ibl=()

A.√3B.2√5C.2√3D.20

K答案，B

R解析H

K祥解Il根據向量垂直的坐標表示得m=4,再求向量的模:

詳析》解：由a_Lb，得m+4—2m=0,則加=4,即/?=（4,一2）

所以IOI=J42+(—2)2=26.

故選：B

Lχ2,則它的焦點坐標是（）

4.已知拋物線y

4

A.°`?B.C.(1,0)D.(0,1)

K答案》D

R解析2

R祥解U

將拋物線化為標準方程,確定焦點位置，根據公式計算即可.

K詳析H解：拋物線y-V化為X2=4y,

4

/.〃=2

：拋物線f=4y開口向上，焦點在V軸正半軸，

焦點為（θ,日），BP（0,1）.

故選：D.

H點石成金』》拋物線性質的應用技巧：

（D利用拋物線方程確定及應用其焦點、準線時，關鍵是將拋物線方程化成標準方程；

（2）要結合圖形分析，靈活運用平面圖形的性質簡化運算.

5.2022年6月5日上午10時44分，我國在酒泉衛星發射中心使用長征二號F運載火箭，將神舟十四號載

人K船和3名中國航天員送入太空這標志著中國空間站任務轉入建造階段后的首次載人飛行任務正式開啟.

火箭在發射時會產生巨大的噪音，已知聲音的聲強級d（x）（單位：dB）與聲強X（單位：W/mD滿足

γ

1（力=10電/產.若人交談時的聲強級約為50dB,且火箭發射時的聲強與人交談時的聲強的比值約為

103則火箭發射時的聲強級約為（）

A.13()dBB.14()dBC.15()dBD.160dB

K答案，B

K解析』

K祥解』設人交談時的聲強為為，從而得到外=1(尸，求出火箭發射時的聲強為1()9x10-7=102,代入

K解析》式求出R答案》.

R詳析力設人交談時的聲強為4,則火箭發射時的聲強為10晨1,

7

則50=1Olg渦，解得：%1=κr,

則火箭發射時的聲強為109x10-7=102,將其代入"(χ)=lOIg方7中，得：

1∩2

J(IO2)=IOlg????-=140dB,故火箭發射時的聲強級約為］40dB.

故選：B

6.如圖,在直三棱柱ABC-ABCl中，AA=2A3=2AC,且45_LACE分別是棱BC,BB］的中點，

則異面直線4。與GE所成角的余弦值是()

√57

A.城B.逅r

969

K答案』A

工解析H

K祥解》根據線線平行可得NAOF或其補角是異面直線4。與GE所成的角，利用三角形三邊關系，由

余弦定理即可求解.

R詳析2如圖，在棱CG上取一點尸，使得CG=4CF,取CG的中點連接BM,DF,A,F,

由于V,E分別是棱CG,B4的中點，所以BE=C?M,BE∕/ClM,故四邊形BMCg為平行四邊形，進而

CxEHBM,

又因為。,戶是8C,CM的中點，所以DF//BM,所以DF〃C∣E,則NAoF或其補角是異面直線A,。與

GE所成的角?

設AB=2,則C產=l,GE=3,4Z>=CD=e,

22122

從而DF=√CF+CD=區AD=y∣AAi+AD=342,AxF=y∣AiC;+CtF=√B，

2√6

故

CoS/A1DF="'I：

2×√3×3√2~9~

故異面直線4。與GE所成角的余弦值是城?

9

7.為了激發同學們學習數學的熱情，某學校開展利用數學知識設計bg。的比賽，其中某位同學利用函數圖

象設計了如圖的/og。，那么該同學所選的函數最有可能是()

A./(x)=XSinX-CoSXB./(x)=SinX-XCOSX

C./(?)=X2+2cosxD./'(X)=2SinX+d

K答案HA

K解析H

R祥解』將圖形置于直角坐標系中，結合奇偶性和單調性即可得結果.

K詳析》將圖形置于直角坐標系中，如圖所示：

由圖易知該函數為偶函數，

對于選項B,滿足/(T)=-SinX+xcosx=-∕(x),即/(x)為奇函數，故可排除;

對于選項D,滿足x)=-2SinX+/，即/(x)為非奇非偶函數，故可排除；

對于選項C,∕,(x)=2x-2sinx,

令g(x)=∕'(X)=2x-2SinX,所以g'(x)=2—2cosxN。在(0,+00)恒成立,

所以尸(司=2》-251門在((),+8)單調遞增，

所以/'(x)>/'(O)=。在(0,+⑹恒成立，

BP/(x)=x2+2cosX在(0,+∞)單調遞增，故排除；

(?COSa

8.若a∈0,一,tan2a=-----------,貝(Jcosa=()

I2)2-sinσ

?1B而C?Db

4444

K答案DB

R解析D

K祥解》利用正切二倍角公式即同角三角函數關系化簡得到Sina='，CoSa=巫.

44

田LLPCCoSa*,u2tanaCOSa

Kr7詳析Xtan2a=--------變形τr為-------L=----------，

2-sina1—tan"a2-sina

2sinαcosαCoSa

即ort——?--------?—=-----------，

cos'a-sirra2-Sina

因為αw∣0,]),所以CoSa>(),Sina>0,

所以4sinα—sin?a=cos2a，

因為siVa+cos?a=1，所以4sina=l,解得：Sina=一，

4

因為sin?α+cos?α=1，cosa>0,解得：COSa=把5.

4

故選：B

,、flog,X,XNi,I/、/、

9.已知函數/(x)=｛玲，在R上單調遞增的概率為且隨機變量J~N(",1).則P(0<4≤l)

X+ζ,XV1,

等于()

K附：若J~N(4,O?2),則尸(M-bWxWM+b)=0.6827,

P(μ-2σ≤x4∕z+2(τ)=0.9545.∑

A.0.1359B.0.1587C.0.2718D.0.3413

K答案》A

K解析X

K祥解11根據已知條件可求出“=-!，則4~N(-1,F).根據正態分布的對稱性，即可求得.

K詳析D使/(x)在R上單調遞增的充要條件是4+1≤log?1=0,即J≤-l,故PC≤-1)=;.

由于隨機變量J~N(",1),則α=-l,即J~N(-1,E),即〃=-1,Cr=L

故尸(一2≤J≤0)=P(4-b≤J≤"+b)=0.6827,

P(-3≤J≤l)=P(4-2b≤J≤4+2σ)=0.9545,

所以P(O<J≤1)=P(-1<J≤1)—P(—l<J≤0)=gχ[P(-3≤J≤1)-P(—2≤0≤0)]

=∣×(0.9545-0.6827)=0.1359.

故選：A.

10.在一ABC中，內角4所。所對應的邊分別為凡瓦0,且QSin23+bsinA=0,若一AsC的面積

S=回，則.ABC面積的最小值為

A.1B.12√3C.8√3D.12

K答案DB

K解析H

R詳析R因為“sin23+AinA=O,所以

sinA?2sinBcosβ+sin5sinA=0∕.2cosβ+l=0/.cosB=——/.B=——,

23

因為S=?/?/?，所以LaCSinB=gbacsin—=8b,/.ac=4b.

223

因為從=ɑ?+c?-2tzccos-=?2+c2+ac≥3ac=12b.?b≥12

3

因此S=J%≥126,_A3C面積的最小值為126，選B.

1點石成金』：三角形中最值問題，一般轉化為條件最值問題:先根據正、余弦定理及三角形面積公式結合

已知條件靈活轉化邊和角之間的關系，利用基本不等式或函數方法求最值.在利用基本不等式求最值時，

要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”（即條件要求中字母為正數）、“定”（不

等式的另一邊必須為定值）、“等”（等號取得的條件）的條件才能應用，否則會出現錯誤.

11.已知雙曲線C：?-2L=i（a>0,6>0）的右焦點為F,點A,2分別為雙曲線的左，右頂點，以A3為

a2b2

直徑的圓與雙曲線C的兩條漸近線在第一，二象限分別交于尸，Q兩點，若。。〃「尸（。為坐標原點），則該

雙曲線的離心率為（）

A.√5B.2C.√3D.√2

K答案』D

K解析D

K祥解D

由己知可得OP尸為等腰三角形，作PWLQb,垂足為M,過B作BoLX軸，交漸近線第一象限部分于

則RjoMPSRJOBD,利用相似三角形的性質，結合α,Ac的基本關系求得的關系，進而求仁

K詳析Il如圖所示，OQPF,???ZAOQ=NOFP,

又雙曲線的漸近線關于y軸對稱，???//0月=/40。,二/0叮=/尸0?,;.0/7^為等腰三角形,

作PM±OF7,垂足為M,過8作3。_L尤軸，交漸近線第一象限部分于D,

則RJOMPSRJOBD,|。回=a,?BD?^仇IoM=寸0可=萬。，

i

IoPl=α,IPM=y∣?θP?-?θMf

整理得c'=4α?.?.e=￡=JΣ，

a

故選：D.

K［點石成金D本題考查雙曲線的漸近線和離心率，關鍵是抓住問題的特殊性，適當添加輔助線，構造相

似三角形，利用相似三角形的性質及C的基本關系得到α,C的關系，從而求得離心率的值.

12.已知函數/(x),g(x),g'(x)的定義域均為R,g'(x)為g(x)的導函數.若g(x)為偶函數，且

/(x)+g'(x)=l,/(x)-g'(4-X)=L則以下四個命題:①g'(2022)=0;②g(x)的圖象關于直線χ=2

20222023

對稱；③Z〃&)=2022；④Z/(A)=2023中一定成立的是()

k=?4=1

A.①④B.②③C.①②③D.①②④

II答案』D

K解析U

K祥解油g(x)為偶函數可得g'(x)為奇函數,繼而得到g'(x)是以4為周期的周期函數,即可判斷①③④,

/(χ)+g'(χ)=ι

可得g'(χ)=-g'(4-x),繼而得至IJg(X)=g(4-x),即可判斷②

/(?v)-g,(4-Λ)=l

由伍)一可得一

工詳析X對②:Xg,(4r)=l'g'3=g"r)'^(x)+C1=^(4-x)+C2(C1

與。2為常數)，

令尤=2,則g(2)+G=g(2)+G,所以CI=C2，則g(x)=g(4-X),

故g(x)的圖象關于直線X=2對稱，②正確;

對①：???g(x)為偶函數，則g(x)=g(τ),

，g'(x)=-g'(T),則g'(x)為奇函數，

故g'(x)=-g'(4r)=g,(x-4),即g'(x+4)=g,(x),則g，(x)是以4為周期的周期函數,

由g'(x)=-g'(4-x)，令χ=2,則g，⑵=-g，⑵,可得/(2)=0,故g'(2022)=g'(2)=0,①正

確；

由g'(x)=-g'(4r),令x=l,則g'(l)=-g'(3),即g'(l)+g'(3)=0,

令X=0,則g'(0)=-g'(4)=0,即((4)=0,

故g")+g'(2)+g'(3)+g'(4)=0,則g'(4Z+l)+g'(4Z+2)+g'(4%+3)+g'(4%+4)=0(ZwN),

對③：由/(χ)+g'(χ)=L即/(χ)=l-g'(χ),則

202220222022

X"后)=2[1—g")]=2022—Xg")=2022—[g，(l)+g<2)]=2022—g〈l),

k≈?k=lk=?

由于無法得出g'(l)的值，③錯誤；

202320232023

對④：￡/(Z)=￡[l—g'(Z)]=2023-￡g'(&)=2023—[g〈l)+g'(2)+g<3)]=2023,④正確.

*-1*=1*=1

故選：D.

Kr點石成金D方法r點石成金』：函數的性質主要是函數的奇偶性、單調性和周期性以及函數圖象的對稱

性，在解題中根據問題的條件通過變換函數的K解析』式或者已知的函數關系，推證函數的性質，根據函

數的性質解決問題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

x+y>2

13.若實數X,>滿足約束條件,x+2y≤4,則z=2x-y的最大值是.

J≥0

K答案，8

K解析D

R祥解11由題中條件作出平面區域，根據目標函數的幾何意義分析運算.

χ+y>2

K詳析D由<x+2y≤4,作出平面區域，如圖所示，

y>0

?.?z=2x-y,即y=2x-z,表示斜率為2,橫截距為!■的直線,

當直線y=2x-z過點A(4,0)時，橫截距取到最大值，

故z=2x-y的最大值是ZmaX=2x4-O=8.

14.杜甫的“三吏三別”深刻寫出了民間疾苦及在亂世中身世飄蕩的孤獨，揭示了戰爭給人民帶來的巨大不

幸和困苦.“三吏”是指《新安吏》《石壕吏》《潼關吏》，“三別”是指《新婚別》《無家別》《垂老別》.語

文老師打算從“三吏”中選二篇，從“三別”中選一篇推薦給同學們課外閱讀，那么語文老師選的三篇中

含《新安吏》和《無家別》的概率是.

K答案』I

K解析D

K祥解D寫出從“三吏”中選兩篇，從“三別”中選一篇的樣本空間，寫出事件“語文老師選的三篇中含

《新安吏》和《無家別》”的樣本點，根據古典概型的概率公式即可求得R答案Il.

In羊析男將《新安吏》《石壕吏》《潼關吏》分別記為隊從c,《新婚別》《無家別》《垂老別》分別記為"、

e、f,

從“三吏”中選兩篇，從“三別”中選一篇的樣本空間為八={。/必,。戾,。紗,。。”,。。6,。＜/,?,。(",》。,},

共9個樣本點，

記事件A為“語文老師選三篇中含《新安吏》和《無家別》”，

則A={0%,oce},共2個樣本點，故P(A)=?∣,

故K答案X為：三2

15.將函數/(x)=4COSIX和直線g(x)=x-l的所有交點從左到右依次記為A，A2,...,A,,,若

..uuu?uuiruuιr

P(0,√3),則PAi+PA2+...+PA.=.

R答案110

K解析D

K祥解》根據題意作出兩個函數的圖象分析交點個數，利用對稱性化簡向量的和即可求解.

K詳析D如圖可知：函數/(x)=4CoSmX和直線g(x)=x-l共有5個交點，依次為4,4,44,4,

其中4(1,0),

?.?函數/(x)=4cos5x和直線g(χ)=x-i均關于點A(ι,o)對稱，則A，4,A,,4關于點A(ι,o)對

稱,

UUUlUUUUlUUULlllU

16.勒洛四面體是一個非常神奇的“四面體”，它能在兩個平行平面間自由轉動，并且始終保持與兩平面都接

觸，因此它能像球一樣來回滾動(如圖甲)，利用這一原理，科技人員發明了轉子發動機.勒洛四面體是以正

四面體的四個頂點為球心，以正四面體的棱長為半徑的四個球的相交部分圍成的幾何體如圖乙所示，若正

四面體ABCD的棱長為1,則勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑為；用過AB,C三點的平面去

截勒洛四面體，所得截面的面積為,

K解析》

R祥解R空1：根據題意，勒洛四面體能夠容納的最大球與勒洛四面體的弧面相切，設該球與勒洛四面體

的一個切點E，連接3E,則氏0,E三點共線，且。為該球球心，也是正四面體ABCD的中心，再求正

四面體的外接球半徑即可得以勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑；空2：再結合勒洛四面體的構成可知過

A民C三點的截面面積為3個半徑為I,圓心角為60°的扇形的面積減去兩個邊長為1的正三角形的面積，

再計算即可得K答案》.

K詳析2空I：根據題意，勒洛四面體能夠容納的最大球與勒洛四面體的弧面相切，

如圖1,點E為該球與勒洛四面體的一個切點，。為該球球心，

由正四面體的性質可知該該球球心。為正四面體ABCO的中心，半徑為0E,

連接的，則8,0,E三點共線，此時JBE=1，80為正四面體的外接球的半徑，

由于正四面體43Cr)的棱長為1,其可以在棱長為YZ的正方體中截出,

2

所以正四面體ABaD的外接球的半徑即為棱長為正的正方體的外接球半徑，即正方體體對角線的一半,

2

則B0=—>

4

故勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑OE=I-逅

4

空2：如圖2,根據勒洛四面體的構成可知，過A,B,C三點的截面面積為3個半徑為1,圓心角為6()。的扇

形的面積減去兩個邊長為1的正三角形的面積，

所以所得截面的面積為巴15.

2

故K答案?為小生Tl

圖1圖2

Rr點石成金』』方法L點石成金」:

①由勒洛四面體分析內切球的球心所在的位置，結合正方體求其半徑；

②分析可知勒洛四面體面積最大的截面即經過四面體ABC。表面的截面，計算出該截面面積，可得結果.

三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17-21題為必考題，每個

試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據要求作答.

(-)必考題：共60分.

17.設數列｛4｝的前W項和為S“，已知q=3,是公差為2的等差數列.

(1)求｛4｝的通項公式;

1、

(2)設"1=———，求數列｛f5｝前〃項和

anan+?

R答案]⑴an=4π-l

K解析》

qS],〃=1,

K祥解Il(I)求出申=3,從而利用等差數列求和公式求出S,,=2"+N,再利用為=<

[S,,-S,^n≥2^

出R答案X

(2)裂項相消法求和.

R小問1詳析卜

?.?q=3,

.?0=3,

1

S

Λ—=3+(n-1)×2=2n+1,

n

,2

..Sn=2n+n,

當〃22時，an=Sn-Sn,i=4rt-l,

又q=3適合上式，因此α,,=4〃-1；

K小問2詳析』

______

(4H—l)(4n+3)4V4π-14〃+3J

故［=，『一』+4.，+---q=q

"4(377114n-l4n+3)12n+9

18.在多面體ABCoE中，平面Aa>EJ_平面ABC,四邊形4CDE為直角梯形，CDHAE,AC±AE,ABLBC,

CD=I,AE=AC=2,尸為OE的中點，且點G滿足EB=4EG?

B

(1)證明：GF//平面A8C；

(2)當多面體ABCQE的體積最大時，求二面角A-B￡。的正弦值.

K答案IJ(I)證明見K解析D

⑵叵

7

R解析』

"羊解IIQ)先證四邊形CQNM為平行四邊形，進而可得CMHDN,又中位線定理得GFHDN,則GFHCM,

再由線面平行的判定定理即可證結論.

(2)過B作BHLAC交AC于"，由多面體ABCDE體積最大得BH最大，可知8”=1，H為AC的中點，

從而建立空間直角坐標系，求面ABE與面。BE的法向量，應用空間向量夾角的坐標表示即可求二面角A-

BE-。的正弦值.

K小問1詳析2

取48,EB中點M,N,連接CM,MN,ND,

在梯形ACz)E中，。￡>//隹且￡^=3￡4,

而用，N分別為BA,BE中點，

B

：.MNHEA,MN=gEA,

.?MN∕∕CD,MN=CD,即四邊形CnMW是平行四邊形，.,.CMHDN,

又EG=LEB,N為EB中點，

4

：.G為EN中點,又F為ED中點,

：.GFUDN,故GFMCM,

又CMU平面ABC,G尸Z平面ABC,GF//平面ABC.

小問2詳析』

在平面ABC內，過B作BH_LAC交AC于從

平面ACDEX5FffiABC,平面ACDE1平面ABC=AC,BHU平面ABC,BHLAC,

.?.8H，平面ACDE,則BH為四棱錐B-ACZ)E的高，

又底面ACoE面積確定，要使多面體ABeOE體積最大，即8,最大，

連結HE，易得HF"AE,易知HB,HC,HF兩兩垂直,

以H為原點建立如圖所示的平面直角坐標系H-xyz,

：.A(0,-l,0),B(l,0,0),E(0,-l,2),D(0,l,l),

則AB=(1,1,0),8E=(T-1,2),。E=(O,-2,1),

nl?AB-0即口%+fy+=2°z∣S取&=/(IT0)、，

設nl=(χ,y,z∣)為平面ABE的一個法向量，貝卜

%.BE=O

,、w??DE=0?-2y7+Z2=O.、

設口=(孫必，22)為平面。叫的一個法向量，貝叼2,即〈---,取％=(3,1,2),

%?BE=0LX2-必+2z2=0

二面角A—BE—力的正弦值為JI-CoS

19.某企業研發了一種新藥，為評估藥物對目標適應癥患者的治療作用和安全性，需要開展臨床用藥試驗,

檢測顯示臨床療效評價指標A的數量y與連續用藥天數X具有相關關系.隨機征集了一部分志愿者作為樣本

參加臨床用藥試驗，并得到了一組數據(x,?,y),i=l,2,3,520,其中七表示連續用藥i天，K表示相應的

臨床療效評價指標A的數值.根據臨床經驗，剛開始用藥時，指標A的數量y變化明顯，隨著天數增加，y的

變化趨緩.經計算得到如下一些統計量的值：

2020202020

2

∑Xi=60,∑yi=l200,Z(Xj-X)=80,Z(%-用2=9000Z(X二χ)(y.-y)=800.

Z=I/=1/=1Z=I/=1

(I)求樣本(%,y)(i=l,2,L,20)的相關系數(精確到0.01)；

(2)新藥經過臨床試驗后，企業決定通過兩條不同的生產線每天8小時批量生產該商品，其中第1條生產

線的生產效率是第2條生產線的兩倍.若第1條生產線出現不合格藥品的概率為().(X)9,第2條生產線出現

不合格藥品的概率為().006,兩條生產線是否出現不合格藥品相互獨立.

(i)隨機抽取一件該企業生產的藥品，求該藥品不合格的概率；

(ii)若在抽查中發現3件不合格藥品，求其中至少有2件藥品來自第1條生產線的概率.

∑(%,-%)(＞；-y)

附：相關系數r=J“，√Σal.414.

χ22

J∑(l-^)∑(yl-y)

Y/=I1=1

R答案』⑴0.94

27

(2)(i)0.008；(H)—

32

K解析，

21

R祥解H(1)帶相關系數公式計算即可；(2)(i)記事件P(Bi)=-,P(B2)=-,

P(Al4)=0.009,P(AI與)=0.006計算即可；(ii)根據條件概率計算得

3

P(BJA)=-,再由服從二項分布解決即可.

4

R小問1詳析』

樣本(冷,)(，=1,2,1,2())相關系數為

20

∑u,-%xx-y)歷

,日=/8。0=處.°0.94.

βθ；√80×90003

22

J∑(^-^)∑(yi-y)

V/=!/=I

R小問2詳析》

(i)設A=”隨機抽取一件該企業生產的藥品為不合格”,

g="隨機抽取一件藥品為第1條生產線生產”，鳥="隨機抽取一件藥品為第2條生產線生產”,

21

則P(B1)=∣,P(B2)=又P(AIq)=0.009,P(AIB2)=0.∞6,

于是P(A)=尸(A(Blβ2))^P(ABlAB2)=P(AB1)+P(AB2)

21

=P(Bl)P(AIBI)+P(B2)P(AIB2)=-X0.009+§x0.006=0.008.

(H)在抽查中發現的任一件不合格藥品來自第1條生產線的概率為：

_xn∩∩o

P(M)=P(A)P(A4)=3=3,

P(4∣4)=

P(A)-P(A)-0.008~4

故3件不合格藥品中至少有2件藥品來自第1條生產線的概率為

P=C彳4臼+小因=經

UJUJ⑷32

20.“工藝折紙”是一種把紙張折成各種不同形狀物品的藝術活動，在我國源遠流長.某些折紙活動蘊含豐富的

數學內容，例如：用一張圓形紙片，按如下步驟折紙(如圖)

步驟1：設圓心是E，在圓內異于圓心處取一點，標記為F：

步驟2：把紙片折疊，使圓周正好通過點尸；

步驟3：把紙片展開，并留下一道折痕；

步驟4：不停重復步驟2和3,就能得到越來越多的折痕.

已知這些折痕所圍成的圖形是一個橢圓.若取半徑為6的圓形紙片，設定點尸到圓心E的距離為4,按上述

方法折紙.

(1)以點F、E所在的直線為X軸，建立適當的坐標系，求折痕圍成的橢圓的標準方程；

(2)若過點Q(LO)且不與y軸垂直的直線/與橢圓C交于M,N兩點，在X軸的正半軸上是否存在定點

T(t,0),使得直線T70，7N斜率之積為定值？若存在，求出該定點和定值；若不存在，請說明理由.

22

K答案D(1)土λ+匕v=I

95

(2)存在點T(3,0),使得直線TM與77V斜率之積為定值-H.

9

K解析H

K祥解》(1)根據橢圓的定義對照折紙的方法求出。力,C；

(2)設直線/的方程，與橢圓方程聯立，再根據斜率的定義求解即可.

K小問1詳析》

如圖，以EE所在的直線為X軸，FE的中點。為原點建立平面直角坐標系

設Λ∕(x,y)為橢圓上一點，由題意可知，∣Λ∕耳+∣ME∣=∣AE∣=6>∣石可=4,

所以M點軌跡是以F,E為焦點，長軸長2α=6的橢圓,

因為2c=4,2a=6,所以c=2,a=3,

則從=/_￠2=5,所以橢圓的標準方程為工+22=1；

95

K小問2詳析］

由己知：直線/過Q(1,O),設/的方程為χ=my+l,由題意小必定是存在的,

22

±_.y_=]

聯立兩個方程得《95，消去X得（5裙+9）V+10/“），-40=0,

X=my+\

Δ-IOOm2+160（5m2+9）＞0得加∈R,

TO（*）

設則另+必=

M（ApyJ,N（Λ2,%）,5：；°；；'Xy2

Snr+9

為=_________3V?________

x2-t^myl+l-f）（n^2+l-r）

=_______________y1y2_______________

22

myly2+∕7z(l-r)(y,+j2)+(l-/)'

-40

將⑴代入上式，可得上式二5二一9)病+9(IV廣

要使勺河M7TV為定值，則有9—*=0，/=9,

又?一1>0,1=3,此時kTM?kTN=——,

.?.存在點7(3,0),使得直線TM與TN斜率之積為定值-2；

221∩

綜上，橢圓的標準方程為±+±=1,存在點τ(3,θ),使得直線刀0與TTV斜率之積為定值-一.

959

21.已知函數F(X)=e*(l+ZnIn"),其中相>0,/'(x)為/(x)的導函數.

(1)當機=1,求/(x)在點(Ij(I))處的切線方程；

(2)設函數MjC)=Q且〃(X)…I恒成立.

①求m的取值范圍；

②設函數/(x)的零點為％,/'(X)的極小值點為求證：χ0>χ1.

K答案』(1)y=2ex-e

(2)①∣,+oo);②詳見K解析R

K解析H

R祥解Il(I)利用導數的幾何意義即可求解.

ff∩2I

(2)①先對函數/(x)=e*(l+mInX)求導，得到f(x)=e[l+1+mInXJ,推出

∕ι(X)=午1=1+?+minx,求導，得至U/(X)=處F(X>0),解對應不等式，得到〃(X)單調性,

求出其最小值，再根據〃(X)Ng恒成立，即可得出結果；

②先設g(x)=∕,(x)=e*(1+3+機InX],求導得g'(x)=e*(1+也-々+機InX).

?J力J力

設H(X)=1+---------+mlnx(%>0),對其求導，判定單調性，從而得到函數g(x)單調性，得到巧是

XX7

35/%

函數g(x)的極小值點，得到/=%，再由①得機=一時，/7(X)N二，推出所以機InX+-≥加，得到

22X

g(x)≥g(x,)>O,得到函數/(x)在區間(0,+8)上單調遞增，再由題意，即可得出結論成立.

K小問1詳析H

加=1時，/(x)=eA(l+lnx)J'(x)=e'(l+lnx+J,f[l)=2e,〃l)=e,所以函數在X=I處的切

線方程y-e=2e(%-l),BPy=2ex-e.

K小問2詳析》

ffvvt\

①由題設知，/(x)=e[l+:+〃?InXJ(X>0),

h(x)=?(A)=l+-+m?nx,"(x)=〃("D(X>0),

e?XX

由∕z'(x)>O,得χ>l,所以函數〃(X)在區間(l,+∞)上是增函數；

由/(x)>0,得0<χ<l,所以函數〃(x)在區間(0,1)上是減函數.

故力(X)在X=I處取得最小值，且MI)=I+%

553

由于∕ι(x)≥一恒成立，所以l+m≥-,得“2≥一,

222

所以加的取值范圍為∣,+∞1；

ex∏+-+mlnx1,,/、(2mm1

②設g(x)=f'(X)=則g(X)=e'1+-------+//Z1lnxI

IXJr)

5-/、.2/77mI/八、

設H(X)=IH--------+777Inx(x>0),

XX

2m2mmm(x*^-2%+2

則H'(x)——+—+—>0>

2v33

XXXX

3

故函數”(x)在區間(O,+?))上單調遞增，由Q)知，m≥-,

2

1

所以H(I)=m+l>O,H=1-z?7In2<1-In2JΣ<O,

(2

Q/)使得"伍)=0,

故存在χ2∈

所以，當O<x<%2時，H(X)<(),g'(x)<O,函數g(無)單調遞減;

當x>x2時,H(X)>0,g'(x)>O,函數g(尤)單調遞增.

所以多是函數g(x)的極小值點?因此A2=XI，即XIe

3

39,整理得lnx+-≥l,

由①可知，當初=一時,h(x)>-,即

22