2024屆新高考數學一輪復習配套練習專題7.6數學歸納法

練基礎

1.（202卜全國高三專題練習（理））用數學歸納法證明等式1+2+3++（2“+1）=（〃+1）（2〃+1）時，從〃=%

到〃=左+1等式左邊需增添的項是（）

A.2k+2

B.[2a+1)+1]

C.K2Z+2)+(2Z+3)]

D.[(4+1)+1][2(4+1)+1]

2.（2020.全國高三專題練習）己知“為正偶數，用數學歸納法證明1-丄+丄一丄+…+丄=2

234nA

丄+丄

時，若已假設〃=MQ2,左為偶數）時命題成立，則還需要用歸納假設證（

〃+2〃+42〃丿

A.〃二&+1時等式成立B.〃=%+2時等式成立

C.〃=22+2時等式成立D.〃=2（k+2）時等式成立

3.（2020.全國高三專題練習（理））用數學歸納法證明不等式“1+丄+丄+…+—1—n>2）,

232"-I

時，由w=A（后2）時不等式成立，推證〃=A+1時，左邊應增加的項數是（）

A.2尸1B.2*-1

C.2*D.2*+1

4.（2021?全國高三專題練習（理））用數學歸納法證明不等式丄+」一++」-wd（〃GN*,〃22）時

〃+1〃+22〃5'7

可將其轉化為證明（）

二+GN->2

+，

52712

*

<1-GN/->2

+

-527?

丄og\

川>^

勧/

5

丄O\

<1-M>^

v*/

2n

5.（2019?浙江高二月考）利用數學歸納法證明“1+：+：+...+不=<〃（〃€”的過程中,

232—1

由假設“〃=攵”成立，推導“n=%+1”也成立時，左邊應增加的項數是（）

A.kB.攵+1C.2AD.2*+1

6.（2020.上海徐匯區.高三一模）用數學歸納法證明l+2+22+..+25"T（〃eN*）能被31整除時，從上到

4+1添加的項數共有項（填多少項即可）.

7.（2019?湖北高考模擬（理））已知正項數列｛%｝滿足％=1,前〃項和S“滿足

4s,=3,1+3）2（〃￡2,”eV），則數列｛4｝的通項公式為q=

8.（2019屆江蘇省揚州市儀征中學摸底）己知正項數列｛a.｝中，ai=l,an+i=l+4（n€N*）用數學歸

納法證明：an<an+1（nGN*）.

9.（2021?全國高三專題練習）數列｛風｝滿足S“=2〃-

（1）計算q、出、％，并猜想/的通項公式；

（2）用數學歸納法證明（1）中的猜想.

10.（2021?全國高三專題練習（理））已知數列｛為｝滿足：%=1,點9"2）（〃wN）在直線y=2x+l上.

（1）求出，。3，。4的值，并猜想數列的通項公式；

（2）用數學歸納法證明（1）中你的猜想.

練提升

用丿

1.（2021?全國）已知數列｛a,J滿足4+1=a“+”（〃GN*）,4>0,則當心2時，下列判斷一定正確的

%

是（）

A.??<?+1B.an+2-an+l<an+l-an

C.an>nD.aH>n+\

2.（2021?浙江高三專題練習）已知數列｛?,｝,滿足4=a（O<a<l）,（1+a“）%=ln（l+4j（〃eM）,

則（）

A.0<a?<??<-B.0<??<??<-

+1n+ln

C.0<a<-<aD,0<?<-<a

nnn+lx+lnn

3.（2020-浙江省桐廬中學）數列｛4｝滿足。“+1=一片+%（〃6"）,el0,1j,則以下說法正確的個數

)

①Ova,.

②a：+a；+〃；++a；<4；

1111

③對任意正數從都存在正整數優使得=+三+0++三9成立;

@a<

n〃+1

A.1B.2C.3D.4

4.（2021?全國高三其他模擬（理））已知數列｛6J滿足:=0,4+]=ln,"前〃項

和為S“（參考數據：In2《0.693,ln3=1.099,則下列選項錯誤的是（）.

A.｛%,-｝是單調遞增數列,｛外“｝是單調遞減數列

B.a?+an+1<ln3

C.S2020<670

D.a2n-\-a2n

5.（2021.上海市建平中學高三開學考試）有限集S的全部元素的積稱為該數集的“積數”，例如｛2｝的“積數”

為2,｛2,3｝的“積數”為6,11,；,：,…的“積數”為、，則數集知=卜付=：,24〃42021,〃6“｝的

所有非空子集的“積數”的和為.

6.（2021.浙江高三期末）已知數列｛。“｝滿足4>0,前〃項和為S“，若%=3,且對任意的荘N*,均

有a2k+i=2Iog2a2k+1,則q=----------；S20=--------.

7.（2020?江蘇南通?高三其他）數列｛%｝的前"項和為凡,記S“=￡!,數列｛〃｝滿足〃=q,

,=11

么=%+S?an（〃22）,且數列也｝的前”項和為刀,.

n

（1）請寫出R“，S”,T”滿足的關系式，并加以證明;

（2）若數列｛4｝通項公式為a,=擊，證明：〈<2+21n〃.

8.（2020屆浙江省“山水聯盟”高三下學期開學）已知等比數列｛4｝的公比4>1,且4+。3+4=14,

4+1是%，4的等差中項，數列｛2｝滿足：數列｛凡也,｝的前〃項和為〃.2".

（1）求數列｛%｝、｛<｝的通項公式;

（2）數列｛c.｝滿足：9=3,c“+]=數+&,〃eN*,證明J+c2+?,?+，“>十一），"eN"

Cn2

9.（2020屆浙江省嘉興市3月模擬）設數列｛4｝的前〃項和為S“，已知％,an,S“成等差數列，且

%=S4+2,neN*.

（1）求數列｛a,,｝的通項公式；

（2）記么=云，〃wN*,證明：4+4+

10.已知點&（a2辦）滿足an+i=an.bn+1,bn+1=-^（nGN*）,且點匕的坐標為（—1,1）.

l-4an

（1）求過點Pl,P2的直線的方程；

（2）試用數學歸納法證明：對于neN*,點匕都在（1）中的直線2上.

練真題

4■

1.（2020?全國高考真題（理））設數列仿“｝滿足團=3,a"+I=3a“-4〃.

（1）計算色，魚，猜想｛&｝的通項公式并加以證明；

（2）求數歹M2%,｝的前c項和$.

2.（2017浙江）已知數列｛%｝滿足：玉=1,x“=x,+|+ln（l+x“+1）（〃eN*）.

證明：當〃eN*時

（I）0<x?+l<x?；

（II）21-當W號；

（III）戸.

3.(湖北省高考真題)已知數列｛4｝的各項均為正數，"="(1+丄)"%(〃eN+),e為自然對數的底數.

n

(I)求函數求x)=l+x-e*的單調區間,并比較(1+丄)"與e的大小；

n

(H)計算厶，她，生她，由此推測計算”我;也的公式,并給出證明；

q4a2442/a\a2an

(III)令&=(4見a?y,數列｛《,｝,｛%｝的前〃項和分別記為s“，。，證明：Tn<eSn.

4.(2021?全國高三專題練習)設數列｛小｝滿足m=3,an+i=3an-4n.

(1)計算G,“3,猜想｛3｝的通項公式并加以證明；

(2)求數列｛2"a“｝的前〃項和S”.

5.(江蘇省高考真題)已知函數篇。)=屮(》>0),設/(x)為九(x)的導數，〃eN.

(I)求2據)+打傳)的值;

⑵證明：對任意的等式也周+“冏卜夸成立.

6.(2021?上海普陀區?高三其他模擬)如圖，曲線C：Ay=l(x>0)與直線/：y=x相交于4,作A用丄/交

X軸于左，作用4勿交曲線C于4，……，以此類推.

X

(1)寫出點4,&和旦，生應的坐標;

(2)猜想A,(〃eN*)的坐標，并用數學歸納法加以證明.

專題7.6數學歸納法

練基礎

1.(2021?全國高三專題練習(理))用數學歸納法證明等式1+2+3++(2〃+1)=(〃+1)(2〃+1)時，從〃=%

到〃=攵+1等式左邊需增添的項是()

A.2k+2

B.[2伏+1)+1]

C.[(2-+2)+(21+3)]

D.[a+l)+l][2(^+l)+l]

【答案】C

【解析】

分別寫出〃=左和〃=左+1時，等式左邊的表達式，比較2個式子，可得出答案.

【詳解】

當〃=%時，左邊=1+2+3++(2%+1),共2Z+1個連續自然數相加，

當〃=左+1時，左邊=1+2+3++(2k+1)+(2k+2)+(2k+3),

所以從〃=無到〃=厶+1,等式左邊需增添的項是[(2%+2)+Qk+3)].

故選：C.

2.(2020?全國高三專題練習)已知〃為正偶數，用數學歸納法證明1-丄+丄-丄+…+丄=2

234n-\

(丄；+丄+…時，若已假設〃=人(心2,人為偶數)時命題成立，則還需要用歸納假設證()

A.w=k+l時等式成立B.〃=A+2時等式成立

C.〃=2%+2時等式成立D.〃=2(A+2)時等式成立

【答案】B

【解析】

直接利用數學歸納法的證明方法，判斷選項即可.

【詳解】

解：由數學歸納法的證明步驟可知，假設〃=依無-2)為偶數)時命題為真，

則還需要用歸納假設再證下一個偶數，即〃=左+2時等式成立，

不是〃=&+1,因為人是偶數，k+1是奇數，

故選：B.

3.(2020.全國高三專題練習(理))用數學歸納法證明不等式“1+丄+丄+…+―一n>2y

232,-1

時，由壯2)時不等式成立，推證”=A+1時，左邊應增加的項數是()

A.B.2*-1

C.2kD.2*+l

【答案】C

【解析】

根據數學歸納法、不等式特點知”=左有左側1+丄+丄+...+―一，〃=左+1有左側

232*-1

i+丄+丄+…+4+=+亠+…+亠

即可判斷增加的項數.

32k-l2k2A+12A+,-1

【詳解】

〃=%時，左邊=ld----F—+...+—r-----,而〃=&+1時，左邊=

232A-1

,111111

"

141F...H—:-----1—TH—:-------—7:,

232k-\2k2k+\2A+'-1

丄-111

增力口J—rH—7------—T-T共（2好1-1）一（2*—1）=2*項,

242左+12A+I

故選：C.

4.（2021?全國高三專題練習（理））用數學歸納法證明不等式丄+」一14/、

+—<—{^neN",〃22）時,

〃+1n+2

可將其轉化為證明（）

N2

二+，?>

5心

N

<1-丿4

+">

-力

/>

【解析】

4

各選項左側一樣，要轉化證明不等式只需右端的部分小于二，利用排除法即可.

【詳解】

11735

根據放縮法證明不等式，首先排除A,C；D選項當〃=2時，左端值為一+—===^,

341260

411133

右端為——,不等式不成立，故只要證明B成立，原不等式即成立.

542065

故選：B.

5.（2019?浙江高二月考）利用數學歸納法證明“l+g+；+.“+R0”的過程中，

由假設“〃=女”成立，推導“〃=%+1”也成立時，左邊應增加的項數是（）

A.kB.攵+1C.2kD.2?+1

【答案】C

【解析】

利用數學歸納法證明“l+g+；+...+5g<〃（〃eN*,〃>l）”的過程中，假設“〃=%”成立

1H---1---F...H—----<k（nGN*,n>1）；當〃=Z+1時，

232k-1

+-+―+???+-7~-+—r+-r~-+????+-7_-T_-<Z+1（〃eN*,n>1）

232A-12，2A+12k+2*-1

故增加的項數為力項.

故答案為：C.

6.（2020?上海徐匯區?高三一模）用數學歸納法證明1+2+2?++25"T（〃GN*）能被31整除時，從后到

Z+1添加的項數共有項（填多少項即可）.

【答案】5

【解析】

分別寫出〃=左和〃=攵+1時的對應的結果，再比較差異，得到答案.

【詳解】

當〃=%時，原式為：1+2+22+...+2"T,

當〃=k+1時,原式為1+2+22+...+25*-1+2*+25k+l+2Sk+2+25k+3+25k+4，

比較后可知多了吩k+25A+1+25*+2+25A3+25A4，共5項.

故答案為：5

7.（2019?湖北高考模擬（理））已知正項數列｛&｝滿足q=1,前〃項和S“滿足

45?=（??_]+3>（〃22,〃eN*），則數列｛%｝的通項公式為an=.

【答案】2〃—1

【解析】

當〃=1時，4=1；

2

當胃=2時，4s2=(4+3)=16,S2=4,a2=3；

當〃=3時，4s3=(4+3f=36,S3=9,%=5；

當〃=4時，4s4=(。3+3產=64,S4=16,4=7,猜想得。〃二2〃一1,

故為=2〃-1,下面用數學歸納法證明：

①q=1,滿足an=2/?-1,

②假設〃=%時，結論成立，即為=2%-1,可得既=公，

則4sl=(4+3>=Qk+2)2=4伏+1)2,

2

???Sg=(%+1),ak+｝=SM-Sk=(Z+一r=2k+1

=2(2+1)-1,也滿足。〃=2〃-1,

結合①②可知，an=2/1-1,故答案為

8.(2019屆江蘇省揚州市儀征中學摸底)已知正項數列｛&J中，％=lfan+1=1+勺(ri6N*)用數學歸

納法證明：an<an+1(nG/V*).

【答案】見解析.

【解析】

G當九=1時，02=1+*-=：，所以，幾=1時，不等式成立；

厶1+/2丄/

◎假設九=k(fc6/V*)時;V翫+1成立，則當n=k+l時，

aaa1

anCa_1Ik+i_11k+i1k\_1

k+2.k+l-1+-1+Q-k-+--i----^k+1—1+-1+a--/c--+--i----。+71T+Ta/cJ-T1Z+Z以7lT+Z?-k+i

=%+1-―>0,

(1+以)(1+依+1)'

所以，n=k+l時，不等式成立.

綜上所述，不等式冊VQ九+1(71WN*)成立.

9.(2021?全國高三專題練習)數列｛aj滿足S.=2〃—a"(〃eN").

(1)計算4、4、％，并猜想4的通項公式；

(2)用數學歸納法證明(1)中的猜想.

372n—1

【答案】（1）q=l；4=5；%=7；％=^F（〃GN）

（2）證明見解析.

【詳解】

分析：（1）將n進行賦值，分別求得前三項的數值，猜想歸納處通項；（2）利用數學歸納法的證明步驟，

證明猜想即可.

詳解：

（1）當〃=1時，q=S[=2-q,

，q=1；

當〃=2時，4+q=S?=2x2—4,

,3

??。）=一;

2

當〃=3時，a]+a2+a3=S3=2x3-a3,

7

—1

由此猜想%=蕓彳〃6?<*）;

（2）證明：①當〃=1時，6=1結論成立，

2k-1

②假設力=厶（kNl,且左wN*）時結論成立，即％二行匕

當〃=4+1時,%+]=S^+]_&=2仏+1）——2k4-ak=2-^-ak—aM,

??丄/，?2+為2^-1

??2%—2+..ak+l=---=—不一，

工當〃=k+1時結論成立，

2〃一]

由①②可知對于一切的自然數〃eN*，a〃=今二成立.

10.（2021.全國高三專題練習（理））己知數列｛為｝滿足：a'=1,點（％，%+1）（〃'"）在直線y=2x+l上.

（1）求4，。3，。4的值，并猜想數列｛。丿的通項公式;

（2）用數學歸納法證明（1）中你的猜想.

【答案】（1）4=3，岀=7，%=15；=2"-1；（2）證明見解析.

【解析】

（1）先將點坐標代入直線方程，得到遞推關系，再依次求出前幾項，猜想通項公式；

（2）結合遞推關系，用數學歸納法證明.

【詳解】

⑴點（a”,a“+1）5eN*）在直線y=2x+l上可知，數列｛%｝滿足：an+l=2an+1,

q=1,二。2=3,%=7,%=15.可猜得a“=2"-1.

（2）當〃=1時，。［=2-1=1成立，

假設當〃=攵（％21,左eN）時，%=2一成立,

則當〃=&+1時，%+|=2%+1=2（2"—1）+1=21一1成立，

就是說〃wN*，猜想正確；

綜上，??=2"-1.

練提升

1.（2021?全國）己知數列｛a,J滿足a.+i=4+2（〃GN*）,at>0,則當〃22時，下列判斷一定正確的

是（）

A.a,,<n+lB.an+2-an+｝<an+l-an

C.an>nD.aH>n+\

【答案】C

【解析】

根據特殊值法，分別令％=1,%=3,即可判斷ABD錯誤；再由數學歸納法證明C選項正確.

【詳解】

因為數歹IJ｛??｝滿足4M=4+"（〃eN*）,%>0,

11

若4=3,則4=4+—=3n+.>n3,不滿足4<〃+1,故A錯誤；

123

若?=1,則a,=4-I——2<2+1,=3<3+1,%=%""1—=4<4+1,

O]?2a3

不滿足4,2〃+1,故D錯誤；

又此時包一。3=。3一“2=1，不滿足a“+2-a“+i<4+1-1”,故B錯誤；

1I~~r1

因為4>0,所以凡=%+一之2/4?一=2,當且僅當弓=一，即4=1時，等號成立;

q丫qa\

構造函數/(x)=x+&,k>2,>3k,所以Yn/,

則/(%)=i一與>o在%w伏，住)上顯然恒成立，

所以/(x)=x+g,(Z22)在xe[Z,+8)上單調遞增；

222

因此y=x+-■在xw[2,+8)上單調遞增，所以%="2+122+萬=3,

猜想4,2〃，對任意2恒成立；

下面用數學歸納法證明：

(1)當〃=2時，/=4—N2al—=2,顯然成立；

⑵假設當〃=%仏23)時，不等式成立，即62%恒成立；

k

則〃=%+1時，an+\~ak+一，

%

因為函數〃x)=x+￡(人2)在上單調遞增；

X

所以/(X)2/仏)=后+1,

k,,

即4+i=4+—2％+1成立；

由(1)(2)可得；an>n,對任意〃22恒成立；故C正確.

故選：C.

2.(2021?浙江高三專題練習)已知數列{%},滿足q=a(O<a<l),(1+4)%=ln(l+4)(〃eN*),

則（）

C1

A.0八<a<a<-1B.0<a<a<-

nn+lnll+lnn

C.0八<a<-1<aD.。<%<*.

nnn+l

【答案】B

【解析】

轉化條件為a,M=T—U（〃eN*）,令小）=\『）,（0<.］）,通過導數可得/（x）單調遞增,

1+。“

通過數學歸納法可證明如果0<4<J/eN*,則0<4+1<，再令夕(x)=lnx-x+l,x>0,

Ki+-

k

通過導數證明9（x）W0（l）=0后，適當放縮可得0<。“〈丄，進而可證明a.即可得解.

n

【詳解】

ln(l+4)

因為(1+4)%=ln(l+%兒zeN*),所以4+in&N

1+見

令小）=2，（。<1），則r（上等苧

'l+x（1+X）

當0<xWl時，/（x）=（［J尤）2>。，/（X）單調遞增,

由題意，0<q=a<；,

如果0<%<丄MeN*,則0<%TJ(l+4)<業1

k1+WTT

k

設O(x)=lnx-x+l,x>0,則°〈力=丄-1,

X

所以9（x）在（0,1）上單調遞增，在（1,”）上單調遞減,

所以e(x)<0(1)=0,即InxWx—1,

因為1+：>1,所以In1+：I<14-1-1=1,

kkk

in1

041

所以%+i<

T+T

i+丄

kk

所以對于任意的〃eN*,均有0<。“<丄,

n

ln(l+%)<1+4-1_4

所以4+1=&--

1+M1+為1+4

故選：B.

ae

3.（2020?浙江省桐廬中學）數列｛%｝滿足。,用=一1+4（〃€乂)-\[°，2,則以下說法正確的個數

()

①0<%+1<%；

②：2

a+裙++??<?|;

1111,

③對任意正數力，都存在正整數”使得一+----+-----++:------>b成立;

1一冊

1

④

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】

利用二次函數的性質及遞推關系得%>0,然后作差。,用一%，可判斷①，已知等式變形為a；=a,,-4+1，

111

求出平方和可得②成立，利用簡單的放縮可得"；一+-——++-——>〃，可判斷③，利用數學歸納法

思想判斷④.

【詳解】

4+1=一片+a”=一（。“-g）2+；，若則

aaaa

?,*。〃+1-n~~nV°，；?°<n+\<n，①正確；

由已知crn=an-an+｝，

；?a；+4；++a；=(q—g)+(4-。3)++(%-。〃+】)=4一。〃+1<，②正確;

<1Ai1

由0,不及①得一<1一。<1,------<2,

I2丿21-%

111

：：〃

/.-------+:-------+--+---—----->,

1—41—1CLn

1111,

顯然對任意的正數人在在正整數，“，使得…,此時匚丁二+巨++:——"成立，③

1一4”

正確；

⑴已知4<5成立,

5）假設“*則…Y+%=一1%

又-----------------------------------7<0,即--------H--------<-------,/.a..<-------

(〃+1)2n+]n+2("+2)(〃+l)2(n+1)2n+\n+2n+,n+2

由數學歸納法思想得④正確.

；.4個命題都正確.

故選：D.

4.（2021?全國高三其他模擬（理））已知數列｛a,,｝滿足：4=0,a,.=ln（e%+l）—a”（〃eN*）,前〃項

和為S“（參考數據：In2yo.693,ln3=1.099,則下列選項錯誤的是（）.

A.｛%,i｝是單調遞增數列,｛外“｝是單調遞減數列

B.a?+an+l<\n3

C.^2020<670

D-a2n-\~a2n

【答案】c

【解析】

鋁■，/+2=答?，2也M="+l，構建g(X)=Z=辻，求導分析可知導函

設/”=2,則有。用

bn%+1尤+1

數恒大于零，即數列｛4“_』，｛%J都是單調數列，分別判定白<a，">打，即得單調性，數列｛%｝與｛"｝

的單調性一致，可判定A選項正確；B、C選項利用分析法證明，可知B正確，C錯誤；D選項利用數學歸

納法證分兩邊證"“t(正里<4“，即可證得4,-1<

【詳解】

*.*an+x=In+1)—an(幾￡N"),4=0,

a2=ln(d)+1)-0=ln2,/=In3-In2=Ing,q=Ing-Ing=Ing,

設/”=bn,b“>0,bn+l==*("+>%="1=纟盧,則bn+2=空型=等?,

e"b?blt+ib?+l

令g(x)=-L—,則g'a)=7_Tj>0,g(x)單調遞增，

X+l(x+l廠

b-b

將S“一2，")，S","+2)看作是函數y=g(x)圖象上兩點，則產葭工>o,

bn-*

二數列仍2-1｝，｛b2"｝都是單調數列，

a35

b｛=e'=\,同理4=2,4=5，b4=—,即偽<仇，%>%,

???｛仇小｝單調遞增，｛%,｝單調遞減，而數列｛4｝與｛2｝的單調性一致，

???｛出,-｝是單調遞增數列,｛4“｝是單調遞減數列,A正確；

,b.t+1

由e"”=bn得an=Inbn,bn+l=

要證an+an+l=Inbn+Inbll+l=ln(b?b?+l)<In3,即證bnbn+｝<3,口卩勿+143,即證2W2,

b+1

也即要證噴一42,等價于

"〃一1

顯然〃=2時，4=1,時，”1=咪—>1,故/_121成立，

.?.不等式%+4+14如3成立.B正確;

欲證an+an+l+all+2>ln3,只需證In勿+Inbn+l+Inbn+2>ln3,即In（〃也田%2）2In3

即。也+自+2N3=2?產?我，=2^+1>3O^>1,顯然成立,

U"uI丄

1998

故a“+a,向+%+2Zln3>1,所以^2020>$998>W-'I=666,

故C選項錯誤；

欲證4,1＜4”，因單調性一致則只需證為1T＜%.，只需證%I(當丄＜以“

,\[5+\^5+1両4"+1=,2優,1+1=2-------!—＜2—7^------=舊+'

因為4=1〈丁，若%一，則2向％T+I處T+175+1^2；

2

▽田明厶C6+1卄厶V5+1両%-2=^±1=2一丄＞2—_7^—=旦

又因為包=2＞方一，右勾,＞方一，則-公+1匂+16+1?12，

由數學歸納法有b2n_,＜立里＜則＜。2“成立

故D選項正確。

故選：C

5.(2021?上海市建平中學高三開學考試)有限集S的全部元素的積稱為該數集的“積數”，例如｛2｝的“積數”

為2,｛2,3｝的“積數”為6，[1，J，g，…，口的“積數”為5,則數集M=卜|x=，2V〃42021,〃GN*｝的

所有非空子集的“積數”的和為.

【答案】1010

【解析】

先利用數學歸納法證明一個結論：對于有限非空數集厶=｛4，4，/丄M,,｝，積數和

S?=(1+?,)(1+?2)L(l+a?)-l,由此即可計算得到答案.

【詳解】

先利用數學歸納法證明一個結論：對于有限非空數集A=｛4,4，/丄M,｝，積數和

S“=(l+q)(l+4)L(1+??)-1.

當"=1時，S〃=1+4-1=%=S],成立;

假設幾=k(k之1)時，Sk=(1+%)(1+%)L(1+/)—1

當〃=Z+1時，SM=Sk+aM+Sk-=Sk+(S*+l)?％x

=(1+6)(1+cij)L(1+%,)—1+(1+q)(1+)L(1+)/+]

=(1+4)(1+%)L(1+dk)(1+dk+])—1

綜上可得,VeN*,S〃=(1+%)(1+〃2)L(1+a,丿一L

則數集Mx=-,2<n<2Q21,neN*的所有非空子集的“積數”的和為:

小n

一x些

（i+撲撲撲［D2342021

2022

-1=1010

2

故答案為：1010.

6.（2021.浙江高三期末）已知數列｛。“｝滿足%>0,前〃項和為S“，若%=3,且對任意的JleN*,均

有a；k=2=2log2a2k+1，則4=；S?。=.

【答案】12146

【解析】

由遞推關系計算出旳，再計算出片,然后可以計算見，％，&，歸納出｛%｝的通項公式（可用數學歸納法證

明），求得和S20.

【詳解】

因為。〃>0,nwN*,

由已知%=3=21og2〃2+l，%=2,2M=a；=4,4=1,

46

a；=2"”=2=16,牝=4,=2log2^z4+1=5,a：=2"*=2,6Z6=8,

歸納結論?2?-1=2〃-1,a2n=2",

證明：(1)〃=1,由上面知已經成立;

假設〃時，假設成立，即%T=2%T,%I=2?，

a+l2+2k+l

則a2t+,=210g2a2k+1=210g22%+1=2左+1,a1k+2=2-'=2*,a2k+2=2,

由數學歸納法知外,i=2〃一1，%”=2"，對一切〃eN*成立.

222(12)

S20=(l+3++19)+(2+2++2,°)=10+~-^2146.

1—2

故答案為：1;2146.

7.(2020?江蘇南通高三其他)數列｛叫的前〃項和為此，記數列也卜滿足e=4,

bn=^+Snan(n>2),且數歹ij也｝的前n項和為T..

n

(1)請寫出R“，S”,7；滿足的關系式，并加以證明；

(2)若數列｛凡｝通項公式為《,=擊，證明：T?<2+2\nn.

【答案】(1)T?=R?S?,證明見解析；(2)證明見解析.

【解析】

(1)R,,,Sn,厶,之間滿足的關系式是：T?=R?Sn,證明如下：

當〃=1時，4?E=a-4xl=0,所以工=與母成立，

〃；

假設當拉=化時，=6?人成立，即4+4+/++4=(l+g++4（。|+。2+/++%）

l+g+g+—+：）（4+a2+a3+i+4）+4+i

當〃=Z+1時、bt+b2+b3++hk+hk+]

l+g+；++a2+a3++?A.）+-^-+5J+I?/.+1

=["g+g++￡|（4+4+43++《）++%+：；；+」+

1+丄+丄+11+1+丄+丄+

+—+-----(4+4+4++%)

23kZ+1I23

(q+“2+%++%+%l)，

所以n+i=%+/\+1成立，所以T,=R「5?成立.

(2)由⑴得T“=R”?S”,即++丄］(4+出+“3++??),

\23n)

因為為=擊，所以北=(1+訳++#-2.3,

當〃=1時，7；=l<2+21nl=2,成立;

假設當〃=女時，〃v2+21n&成立，(=(l+g+g+

v2+21nR,

當〃“+1時，％=［嗎+g+R占卜?。

1+lnA1

<2+2\nk+4-------<2+21n(^+l),

2A-1k+\

所以當”=左+1時，不等式4“<2+21n(A+l)成立,

所以4<2+21n〃.證畢.

8.(2020屆浙江省“山水聯盟”高三下學期開學)己知等比數列｛為｝的公比q>l,且。2+/+%=14,

%+1是％%的等差中項，數列也｝滿足：數列｛4。｝的前“項和為〃2".

⑴求數列｛叫、色｝的通項公式；

(2)數列