函數的單調性1共60頁知識梳理

1.函數的單調性的定義

一般地,設函數f(x)的定義域為I:如果對于定義域I內某個區間D上的任意兩個自變量的值x1,x2,當x1<x2時,都有f(x1)<f(x2),則稱f(x)在區間D上為減函數,若f(x1)>f(x2)則稱f(x)在區間D上為減函數,若f(x1)>f(x2)則稱f(x)在區間D上為減函數,區間D叫做y=f(x)的單調區間,函數的單調性是函數在某個區間上的整體性質,所以討論函數的單調性及單調區間都必須考慮函數的定義域;2共60頁另外,在函數的單調性定義中的x1,x2滿足:一是屬于一個單調區間;二是任意性;三是有大小,即x1<x2(或x1>x2).由于區間端點不具有單調性,因此寫單調區間時,可以寫成包含端點的閉區間,也可以寫成不包含端點的開區間.3共60頁2.函數單調性定義的等價形式

(1)對于任意x1,x2∈[a,b],(<0)?f(x)在[a,b]是增(減)函數.

(2)對于任意x1,x2∈[a,b],[f(x1)-f(x2)](x1-x2)>0

(<0)?f(x)在[a,b]是增(減)函數.4共60頁3.復合函數的單調性

對于f[g(x)]的單調性的判斷,應先判斷f(u),u=g(x)的單調性,若y=f(u)與u=g(x)的單調性一致,則f[g(x)]的單調遞增,否則,單調性遞減,簡稱“同增異減”.討論復合函數的單調性的解題步驟:①求出復合函數的定義域;②把復合函數分解成若干個常見的基本函數,并判斷其單調性;③把中間變量的范圍轉化為自變量的變化范圍;根據復合函數的單調性判定其單調性.5共60頁6共60頁7共60頁8共60頁例2：（1）函數y=-(x-3)|x|的單調遞減區間是___________________（2）求函數的單調區間解：（1）圖象法。答案：9共60頁（2）函數的定義域為：（-∞,-1)∪(4,+∞)

令u=4+3x-x2,y=log2u,u=4+3x-x2在（-∞,-1)上單調遞增，在(4,+∞)上單調遞減，y=log2u在（0，,+∞)上是增函數.由復合函數的單調性知：函數的單調遞增區間為：（-∞,-1)，單調遞減區間為：(4,+∞)10共60頁變式訓練：若函數y=log2(x2-ax+3a)在

[2，+∞)上是增函數，求實數a的取值范圍。解：由題意知函數u=x2-ax+3a在[2，+∞)上是增函數，且u(2)>0解得：a∈(-4,4]11共60頁例3：已知函數（1）求的f(x)的單調區間，并針對減區間給予證明;（2）求f(x)在[-3,0]上的最值解：(1)由圖象知（圖略）：f(x)的單調遞增區間為：(-∞,-1],[1,+∞)單調遞減區間為(-1,1)x∈(-1,1)時，f(x)=-x2-2x+3,(單調性證明略)(2)由(1)知f(x)在[-3,-1]上單調遞增，在(-1,0]上單調遞減。f(-3)=0,f(-1)=4,f(0)=3所以，f(x)在[-3,0]上的最大值為4，最小值為0.12共60頁例4.已知函數f(x)的定義域為（0，+∞），當x>1時，f(x)>0,且對于任意的正數x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)(1)證明：函數f(x)在定義域上是增函數（2）如果f(2)=1且f(x)+f(8x-4)≥2,求x的取值范圍13共60頁14共60頁例5.已知函數y=f(x)是偶函數，y=f(x-2)在[0,2]上是單調減函數，試比較f(-1),f(0),f(2)的大小解：令t=x-2,當x∈[0,2]時，t∈[-2,0]t=x-2在[0,2]上是增函數，f(x-2)在[0,2]上是減函數，說明t∈[-2,0]時，f(t)單調遞減又因為y=f(x)是偶函數所以y=f(x)在[-2,0]上是減函數，在[0,2]上是增函。所以有：f(0)<f(1)<f(2),而f(1)=f(-1)故：f(0)<f(-1)<f(2)也可從圖象變換的角度得知函數y=f(x)的單調性。15共60頁達標訓練16共60頁1.(2010·山東煙臺質檢)如果函數f(x)=ax2+2x-3在區間(-∞,4)上是單調遞增的,則實數a的取值范圍是()答案:D17共60頁18共60頁答案:A19共60頁20共60頁3.若函數f(x)是R上的增函數,對實數a,b,若a+b>0,則有()

A.f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b)

B.f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b)

C.f(a)-f(b)>f(-a)-f(-b)

D.f(a)-f(b)<f(-a)-f(-b)

答案:A解析:∵a+b>0,∴a>-b,b>-a,又f(x)為R上的增函數,

∴f(a)>f(-b),f(b)>f(-a),故有f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b).21共60頁

4.若函數y=|x|(1-x)在區間A上是增函數，那么區間A可以是（）圖象法，答案：B22共60頁答案：(-∞,0)∪(1,+∞)5.已知f(x)為R上的減函數,則滿足f()>f(1)的實數x的取值范圍是______________二.填空題答案：23共60頁答案:①④解析:利用復合函數的性質可知①④正確.24共60頁25共60頁26共60頁9.已知函數

(x≠a).

(1)若a=-2,試證f(x)在(-∞,-2)內單調遞增;

(2)若a>0且f(x)在(1,+∞)內單調遞減,求a的取值范圍.27共60頁28共60頁29共60頁10.已知函數f(x)=a·2x+b·3x,