高考數學復習函數單元測試

一、填空題

1、若集合M={y|y=3-x},P={%|y=y/3x-3},則MAP=。[1,+co)

2、方程4x+2x-2=0的解是。x=0

2x

3、函數y=-----的值域是。[-1,1]

X2+1

4、函數/(%)對于任意實數為滿足條件/(%+2)=擊j,若/(1)=—5,則

5、設段)為奇函數，且在(-8,0)內是減函數，於2)=0,則xyw<o的解集為。

(-oo,-2)U(2,+oo)

6、對任意實數為,若不等式1%+21+1%+11>左恒成立，則實數左的取值X圍是。

(3a-V)x+4a,x<1

7、已知/(%)=〈].是(—8,+8)上的減函數，那么。的取值X圍是。

logX,X>1

a

(—8,—2]30,10]

(X+1)2X<]

8、設函數/(%)={',____'，則使得7(x)21的自變量x的取值X圍為。

4-y/x-1x>l

9、、設命題甲:a%2+2a%+l>0的解集是實數集R；命題乙：0<a<1,則命題甲是命題乙成立

的條件。(必要不充分)

10、函數y=6皿十|龍-11的圖象大致是。

，---------4

11、設函數於)=\」X2-4x+a,g(x)=w%+l,當xl-4,0]時，恒有力)Wg㈤，則a的取值

X圍是。(-00,-5]

12、設函數/(x)=log(Q2x—2ax—2),則使/(x)<0的x的取值X圍是。

a

(-00,10g3)

a

13、函數/(x)=ax3+x+l有極值的充要條件是。a<0

1/7

14、對于函數f(x)=x2(x>0)圖象上任意兩點A(a,a2),B(b,b。，直線段AB必在曲線段AB的

12+九人2a+Xb

上方，設點C分A5的比為九Q〉0),則由圖象的特征可得不等式>”.請

1+X1+X

分析y=lgx的圖象特征，類比上述不等式可以得到

…〉(U〉。)

二、解答題

15、(本題滿分14分)已知函數/(x)=x-2+j4一心

(1)求/(x)的定義域；(2)判斷了(x)的奇偶數，并說明理由；(3)求/(x)的值域.

解：(1)定義域為{x/2WxW2}

(2)因為f(-l)且f(-l)所以f(x)既不是奇函數又不是偶函數.

(3)設x=2cos。(0W。Wn),則y=2J'sin(。+；)-2,所以-4WyW2、Q-2

即/(X)的值域為[-4,2、，篤-2]

16、(本題滿分14分)設尸表示幕函數丁=%-5c+6在Qy)上是增函數的c的集合；。表示

不等式卜―1|+'—2c]>1對任意xcE恒成立的c的集合。(1)求Pc。；(2)試寫出一

個解集為Pc。的不等式。

解：(1)?.?哥函數y=%C2_5C+6在Qy)上是增函數，/.C2-5c+6>0,即

P=(-co,2)o又不等式卜一11+歸一21>1對任意恒成立，|2c—1]>1,

即。=(-°°,0)uG,+oo),Pr>Qoo,0)uG,2)UG,+OO)O+_--____,-

'~°\/l2\^3

(2)一個解集為PcQ的不等式可以是XG-1)G-2)G-3)>0O

17、(本題滿分14分)已知/(%)=log2%,當點M(%,y)在y=/(%)的圖象上運動時，點

(x-2,ny)^y=g(x)的圖象上運動。

n

(1)求y=g(x)的表達式；

n

(2)求集合人={。1關于兀的方程彳(％)=9,(犬—2+。)有實根，a&R}.

18、(本題滿分14分)某企業投入81萬元經銷某產品，經銷時間共6個月，市場調研表明，

2/7

1,1W2O”N

該企業在經銷這個產品期間第x個月的利潤/(%)=1…,八單位:萬元),

—%,21W60,XGN

10

為了獲得更多的利潤，企業將每月獲得的利潤投入到次月的經營中，記第x個月的當月利潤率

第九個月的利潤，例如：前3)=——

gO)

第x個月前的資金總和81+/(1)+/(2)

(1)求g(l。)；(2)求第％個月的當月利潤率g(x)

(3)該企業經銷此產品期間，哪一個月的當月利潤率最大，并求該月的當月利潤率

解:⑴由題意得/(1)=/(2)=/(3)=……=/(9)=/(10)=1

/(10)1

???g(io)=

81+/(1)+……+/(9)90

(2)當％=1時，g⑴=1,當時，f(1)=/(2)=……=/(x-l)=/(x)=l

1_1

81+/(1)+……+f(x-l)81+x-l-x+80

…1時上式成立。，當1X2。時，g(x)=訴

當21W%W60時,

g(x)=________________________________________

81+f(l)++/(20)+/(21)++f(x-l)

81+20+/(21)+.......+/(x-l)

1

_______10________2x

101+(%—21)(X+20)X2-X+1600

20

1

1<x<20,xe

x+80,

???當第x個月的當月利潤率g(%)=

2x

21<x<6Q,xeN

、％2-x+1600

3/7

當1"<2。時'g(x)=&是減函數，此時g⑴的最大值為仙=上

2x222

當21Vx《60時,___________=___________W__________

X2-X+1600%+"四_1_2/W-179

當且僅當％=竺竺時，即％=40時，g(x)=^~,又?.?］〉］,

Xmax797981

2

.,.當％=4。時，g(x)=—

max79

答：該企業經銷此產品期間，第40個月的當月利潤率最大，最大值為杯

19、(本題滿分16分)設函數/(工)=卜2一以-5卜

(1)在區間［-26］上畫出耳數/(x)的圖像；

(2)設集合4=｛犬|/。)25：3=(—8,-2］U［0,4］U［6,+s).試判斷集合A和8之間

的關系，并給出證明；

(3)當左>2時，求證：在區間［-1,5］上，丁=履+3左的圖像位于函數/(%)圖像的上方.

［解］(1)

分

(2)方程/(x)=5的解分別是2-0,4和2+、：'百，由于/(幻在(-8,-1］和［2,5］上

單調遞減，在［-1,2］和15,+8)上產周遞增，因此

A=^oo,2-V14J|J［O,4］0t+%/14,+oo)……8分

由于2+M<6,2-714>-2,5<=A,……10分(3)

［解法一］當—5］時，/(尤)=一X2+4X+5.

g(x)=k(x+3)—(―x2+4-x+5)=x-+(k—4)x+(3k—5)

4/7

4—左)2左2—20左+36

12分

4.-k

?/k>2,------<1.又一lVx<5,

2

4-k4-

①當一1<—<1,即2〈人W6時，取％=——

22

g(x).JoyLjJ

min44

16<(Jt-10)2<64,(左一IO”一64<0,

則g(x)>0........14分

min

d-k

②當----<-1,即左>6時，取％=—1,g(x)=2k>Q.

2min

由①、②可知，當左>2時，g(x)>0,5].

因此，在區間[T,5]上,y=左(％+3)的圖像位于函數/(x)圖像的上方....16分

［解法二］當—5］時，/(x)=-%2+4x+5.

由］y=k(x+3),得+(左_4)x+(3左一5)=0,

y=-x2+4x+5,

令△=(左一4)2—4(3左—5)=0,解得左=2或左=18,……12分

在區間［-L5］上，當左=2時，y=2(x+3)的圖像與函數/(x)的圖像只交于一點(1,8)；當

左=18時，y=18(x+3)的圖像與函數/(x)的圖像沒有交點.……14分

如圖可知，由于直線y=左(％+3)過點(-3,0),當左＞2時，直線y=k(x+3)是由直線

y=2(x+3)繞點(-3,0)逆時針方向旋轉得到.因此，在區間［-L5］上，y=?x+3)的圖像

位于函數/(x)圖像的上方.……16分

20、(本題滿分18分)

(1)設函數/(x)=xlogx+(l-x)log(l-x)(O<x<l),求/(x)的最小值;

22

(2)設正數％—滿足％+%+4+???+,-

求證：plogP+Plogp+plogp+???+「logp>-n.

2

1212223232?2?

解：(I)對函數/(%)求導數:f'(x)=(%log2x)'+[(1-x)log2(1-x)]'

=logX-log(1-X)+-1--J-.=log%-log(1-x).于是/(：)=().

22In2In2222

當吐/'(x)=logx-log(1一兀)<0"0)在區間(0二)是減函數，

2222

5/7

當X〉1吐r(x)=logx-log(l-x)〉0,/(x)在區間(J,l)是增函數.

2222

所以/(%)在x=g時取得最小值，/(i)=-1,

(II)證法一：用數學歸納法證明.(i)當n=l時，由(I)知命題成立.

(ii)假定當〃=左時命題成立，即若正數P，P，…,P滿足p+p+---+P=1,

122&122&

則plogP+Plogp+—卜plogp>-k.

1212222人22左

當〃二左+1時，若正數p,P，…，P滿足P+P+…+p=1,

122%+1122%+1

令x=p+p+???+p,q=乙,q=",???,[=

2

122*1XX2kX

則，為正數，且

q,q…,qq+q+…+qk=1.

122k122

由歸納假定知qlogp+plogp+…+qlogq>-k.

12122222k

plogp+plogpT---------1-plogp=x(qlogq+qlogqT---------1-qlogq

1212222422A1212222422A

+logx)>x(-k)+xlogX,①

22

同理，由p+p+…+p=l—x可得plogp+???+plogp

2k+12*+22k+12&+122%+l2*+i22^+1

>(1-x)(-k)+(1-^)log(1-x\(2)

2-

綜合①、②兩式plogp+plogp+---+Plogp

12122224+122%+i

2[%+<_%)](_%)+%log%+(l—x)log(1一%)2-(左+1).即當場=%+l時命題也成立.

22

根據(i)、(ii)可知對一切正整數n命題成立.

證法二：令函數g(x)=xlogx+(c-x)log(c—x)(常數c>0,xe(0,c)),那么

22

/、「X]X/<尤、f/<X、i-i

g(x)=c[-log-+(l--)log(1--)+logc],

C2CC2C2

利用(I)知，當三=L(即x=￡)時，函數g(x)取得最小值.

c22

6/7