狀態和狀態空間模型1精品PPT·借鑒參考第一頁，共四十七頁。狀態和狀態空間模型系統的狀態空間模型是建立在狀態和狀態空間概念的基礎上的,因此,對這些基本概念進行嚴格的定義和相應的討論,必須準確掌握和深入理解。狀態狀態變量狀態空間狀態空間模型2精品PPT·借鑒參考第二頁，共四十七頁。狀態空間的基本概念下面將給出動態系統的狀態和狀態空間的概念,主要講授內容為：系統的狀態和狀態變量系統的狀態空間3精品PPT·借鑒參考第三頁，共四十七頁。1.系統的狀態和狀態變量動態(亦稱動力學)系統的“狀態”這個詞的字面意思就是指系統過去、現在將來的運動狀況。正確理解“狀態”的定義與涵義,對掌握狀態空間分析方法十分重要。“狀態”的定義如下。定義2-1

動態系統的狀態,是指能夠完全描述系統時間域動態行為的一個最小變量組。該變量組的每個變量稱為狀態變量。該最小變量組中狀態變量個數稱為系統的階數。4精品PPT·借鑒參考第四頁，共四十七頁。“狀態”定義的三要素完全描述。即給定描述狀態的變量組在初始時刻(t=t0)的值和初始時刻后(t

t0)的輸入,則系統在任何瞬時(t

t0)的行為,即系統的狀態,就可完全且唯一的確定。動態時域行為。最小變量組。即描述系統狀態的變量組的各分量是相互獨立的。減少變量,描述不全。增加則一定存在線性相關的變量,冗余的變量,毫無必要。要掌握喔!5精品PPT·借鑒參考第五頁，共四十七頁。若要完全描述n階系統,則其最小變量組必須由n個變量(即狀態變量)所組成,一般記這n個狀態變量為x1(t),x2(t),…,xn(t).若以這n個狀態變量為分量,構成一個n維變量向量,則稱這個向量為狀態變量向量,簡稱為狀態向量,并可表示如下:圖2-1多輸入多輸出系統示意圖6精品PPT·借鑒參考第六頁，共四十七頁。狀態變量是描述系統內部動態特性行為的變量。它可以是能直接測量或觀測的量,也可以是不能直接測量或觀測的量；可以是物理的,甚至可以是非物理的,沒有實際物理量與之直接相對應的抽象的數學變量。7精品PPT·借鑒參考第七頁，共四十七頁。狀態空間狀態變量與輸出變量的關系狀態變量是能夠完全描述系統內部動態特性行為的變量。而輸出變量是僅僅描述在系統分析和綜合(濾波、優化與控制等)時所關心的系統外在表現的動態特性,并非系統的全部動態特性。因此,狀態變量比輸出變量更能全面反映系統的內在變化規律。可以說輸出變量僅僅是狀態變量的外部表現,是狀態變量的輸出空間的投影,一個子集。輸出空間空間映射xy8精品PPT·借鑒參考第八頁，共四十七頁。2.

系統的狀態空間若以n個狀態變量x1(t),x2(t),…,xn(t)為坐標軸,就可構成一個n維歐氏空間,并稱為n維狀態空間,記為Rn.狀態向量的端點在狀態空間中的位置,代表系統在某一時刻的運動狀態。隨著時間的推移,狀態不斷地變化,t

t0各瞬時的狀態在狀態空間構成一條軌跡,它稱為狀態軌線。狀態軌線如圖2-2所示。圖2-2二維空間的狀態軌線9精品PPT·借鑒參考第九頁，共四十七頁。系統的狀態空間模型狀態空間模型是應用狀態空間分析法對動態系統所建立的一種數學模型,它是應用現代控制理論對系統進行分析和綜合的基礎。狀態空間模型由描述系統的動態特性行為的狀態方程和描述系統輸出變量與狀態變量間的變換關系的輸出方程所組成。下面以一個由電容、電感等儲能元件組成的二階RLC電網絡系統為例,說明狀態空間模型的建立和形式,然后再進行一般的討論。10精品PPT·借鑒參考第十頁，共四十七頁。例

某電網絡系統的模型如圖2-3所示。試建立以電壓ui為系統輸入,電容器兩端的電壓uC為輸出的狀態空間模型。解1.根據系統的內部機理列出各物理量所滿足的關系式。對本例,針對RLC網絡的回路電壓和節點電流關系,列出各電壓和電流所滿足的方程圖2-3例2-3的RLC電網絡系統11精品PPT·借鑒參考第十一頁，共四十七頁。2.選擇狀態變量。狀態變量的個數應為獨立一階儲能元件(如電感和電容)的個數。對本例x1(t)=iL,x2(t)=uC3.

將狀態變量代入各物理量所滿足的方程,整理得一規范形式的一階矩陣微分方程組--狀態方程。每個狀態變量對應一個一階微分方程,導數項的系數為1,非導數項列寫在方程的右邊。12精品PPT·借鑒參考第十二頁，共四十七頁。對本例,經整理可得如下狀態方程寫成向量與矩陣形式為：4.

列寫描述輸出變量與狀態變量之間關系的輸出方程。對本例13精品PPT·借鑒參考第十三頁，共四十七頁。其中5.

將上述狀態方程和輸出方程列寫在一起,即為描述系統的狀態空間模型的狀態空間模型14精品PPT·借鑒參考第十四頁，共四十七頁。總結出狀態空間模型的形式為其中x為n維的狀態向量;u為r維的輸入向量;y為m維的輸出向量;A為n

n維的系統矩陣;B為n

r維的輸入矩陣;

C為m

n維的輸出矩陣;D為m

r維的直聯矩陣(前饋矩陣,直接轉移矩陣)。描述線性系統的主要狀態空間模型,切記!15精品PPT·借鑒參考第十五頁，共四十七頁。狀態空間模型的意義,有如下討論:狀態方程描述的是系統動態特性,其決定系統狀態變量的動態變化。輸出方程描述的是輸出與系統內部的狀態變量的關系。系統矩陣A表示系統內部各狀態變量之間關聯情況,它主要決定系統的動態特性。輸入矩陣B又稱為控制矩陣,它表示輸入對狀態變量變化的影響。輸出矩陣C反映狀態變量與輸出間的作用關系。直聯矩陣D則表示了輸入對輸出的直接影響,許多系統不存在這種直聯關系,即直聯矩陣D=0。16精品PPT·借鑒參考第十六頁，共四十七頁。上述線性定常連續系統的狀態空間模型可推廣至非線性系統、時變系統。1.非線性時變系統其中f(x,u,t)和g(x,u,t)分別為如下n維和m維關于狀態向量x、輸入向量u和時間t的非線性向量函數f(x,u,t)=[f1(x,u,t)

f2(x,u,t)…fn(x,u,t)]

g(x,u,t)=[g1(x,u,t)

g2(x,u,t)…gm(x,u,t)]

17精品PPT·借鑒參考第十七頁，共四十七頁。系統的狀態空間模型(9/11)2.非線性系統其中f(x,u)和g(x,u)分別為n維和m維狀態x和輸入u的非線性向量函數。這些非線性函數中不顯含時間t,即系統的結構和參數不隨時間變化而變化。3.線性時變系統其中各矩陣為時間t的函數,隨時間變化而變化。18精品PPT·借鑒參考第十八頁，共四十七頁。系統的狀態空間模型(10/11)4.線性定常系統為簡便,常將線性時變系統的狀態空間模型簡記為

(A(t),B(t),C(t),D(t)).類似地,線性定常系統的狀態空間模型亦可簡記為

(A,B,C,D).幾種簡記符的意義:19精品PPT·借鑒參考第十九頁，共四十七頁。系統的狀態空間模型(11/11)20精品PPT·借鑒參考第二十頁，共四十七頁。線性系統狀態空間模型的結構圖線性系統的狀態空間模型可以用結構圖的方式表達出來,以形象說明系統輸入、輸出和狀態之間的信息傳遞關系。在采用模擬或數字計算機仿真時,它是一個強有力的工具。系統結構圖主要有三種基本元件:積分器,加法器,比例器,其表示符如圖2-4所示。21精品PPT·借鑒參考第二十一頁，共四十七頁。圖2-4系統結構圖中的三種基本元件

22精品PPT·借鑒參考第二十二頁，共四十七頁。例線性時變系統的結構圖如圖2-5所示。圖2-5多輸入多輸出線性時變系統的結構圖23精品PPT·借鑒參考第二十三頁，共四十七頁。線性系統狀態空間模型的結構圖若需要用結構圖表示出各狀態變量、各輸入變量和各輸出變量間的信息傳遞關系,則必須根據實際的狀態空間模型,畫出各變量間的結構圖。圖2-6表示的是狀態空間模型如下所示的雙輸入-雙輸出線性定常系統的結構圖。24精品PPT·借鑒參考第二十四頁，共四十七頁。線性系統狀態空間模型的結構圖圖2-6雙輸入雙輸出線性定常系統結構圖25精品PPT·借鑒參考第二十五頁，共四十七頁。根據系統機理建立狀態空間模型建立被控對象的數學模型是進行系統分析和綜合的第一步,是控制理論和工程的基礎.上一節討論了由電容和電感兩類儲能元件以及電阻所構成的電網絡系統的狀態空間模型的建立，其依據為各電氣元件的物理機理及電網絡分析方法.這種根據系統的物理機理建立對象的數學模型的方法稱為機理建模.機理建模主要根據系統的物料和能量(電壓、電流、力和熱量等)在儲存和傳遞中的動態平衡關系,以及各環節、元件的各物理量之間的關系,如電感的電壓和電流滿足的動態關系.26精品PPT·借鑒參考第二十六頁，共四十七頁。根據系統機理建立狀態空間模型在實際工程系統中,許多過程和元件都具有儲存和傳遞能量(或信息)的能力。例如,機械動力學系統中的彈簧和運動中的質量體都儲存有能量并能通過某種形式傳遞;化工熱力學系統中的物質中的熱量的儲存與傳遞;化工反應系統反應物質的物料傳遞和平衡的信息.對這些系統,根據其物理和化學變化的機理,由相應描述這些變化的物理和化學的定理、定律和規律等,可得系統各物理量之間所滿足的動靜態關系式.因此,在選擇適宜的狀態變量后,可建立系統的狀態空間模型.27精品PPT·借鑒參考第二十七頁，共四十七頁。根據系統機理建立狀態空間模型建立動態系統數學模型的主要機理/依據有:電網絡系統中回路和節點的電壓和電流平衡關系,電感和電容等儲能元件的電壓和電流之間的動態關系.機械動力學系統中的牛頓第二定律,彈性體和阻尼體的力與位移、速度間的關系.對旋轉運動,則相應的為轉矩、角位移和角速度.化工熱力學系統中的熱量的傳遞與儲存,化工反應工程系統中參加反應的物料的傳遞和平衡關系.經濟系統中的投入產出方程。28精品PPT·借鑒參考第二十八頁，共四十七頁。根據系統機理建立狀態空間模型建立狀態空間模型的關鍵在于狀態變量的選取，它是建立狀態空間模型的前提狀態變量的主要選取辦法系統儲能元件的輸出系統輸出及其輸出變量的各階導數上述狀態變量的數學投影（使系統狀態方程成為某種標準形式的變量）29精品PPT·借鑒參考第二十九頁，共四十七頁。根據系統機理建立狀態空間模型下面通過常見的剛體力學系統、流體力學系統、典型化工(熱工)過程

機電能量轉換系統討論如何建立狀態空間模型.30精品PPT·借鑒參考第三十頁，共四十七頁。剛體動力學系統1.剛體動力學系統的狀態空間描述圖2-7表示由彈簧、質量體、阻尼器組成的剛體動力學系統的物理模型.試建立以外力u(t)為系統輸入,質量體位移y(t)為輸出的狀態空間模型.31精品PPT·借鑒參考第三十一頁，共四十七頁。剛體動力學系統(2/4)解對許多實際系統,由于對系統的各種物理量的初始值或絕對值難于了解,一般將對物理量僅考慮在其相對于初始狀況之后的相對值。對本例的剛體力學系統,一般先假設在外力u(t)作用于小車之前,小車已處于平衡態。下面僅考慮外力加入后,對小車運動的影響.系統的受力情況如下圖所示.32精品PPT·借鑒參考第三十二頁，共四十七頁。2.選擇狀態變量.對機械動力學系統,常常將位移對本例,有剛體動力學系統(3/4)1.應根據系統的內部機理列出各物理量(如本例的力、位置和速度)所滿足的關系式.由牛頓第二定律有33精品PPT·借鑒參考第三十三頁，共四十七頁。剛體動力學系統4.建立輸出方程y=x15.經整理,可得如下矩陣形式的狀態空間模型3.將狀態變量代入運動方程34精品PPT·借鑒參考第三十四頁，共四十七頁。圖2-8為串聯的兩個水槽,其截面積分別為A1和A2,當閥門的開度不變,在平衡工作點附近閥門阻力系數分別可視為常量R1和R2.圖中Qi,Q1和Qo為流量;h1和h2為水槽的水面高度.試求輸入為Qi,輸出為h2時的狀態空間模型.35精品PPT·借鑒參考第三十五頁，共四十七頁。流體動力學系統(2/5)下面在討論本例的解之前,先簡單總結一下如下流量與壓力(壓強)的關系.解

對本例的流體力學系統,假設對兩個水槽的流入和流出的水流體已處于平衡.下面僅考慮流量Qi的變化量

Qi引起的水槽水位的變化.壓力流量電路電壓電流流體壓力(液位差)液體流量氣體氣壓差(壓強)氣流量(風量)壓力/流量電阻閥門阻力系數風阻力系數36精品PPT·借鑒參考第三十六頁，共四十七頁。流體動力學系統(3/5)1.

機理分析.根據水槽中所盛的水量的平衡關系和流量與壓力(水面高度,液位差)的關系,有其中

代表平衡工作點附近的變化量.將上述方程的中間變量

Q1和

Qo消去,則有37精品PPT·借鑒參考第三十七頁，共四十七頁。典型化工(熱工)過程為了使化學反應向右進行,用蒸汽對反應器內的溶液進行加熱,蒸汽加熱量為q(t)。試以料液的流量Q(t)和蒸汽加熱量q(t)為輸入,容器內的液體的溫度

(t)和濃度CA(t)為輸出,建立狀態空間模型。38精品PPT·借鑒參考第三十八頁，共四十七頁。典型化工(熱工)過程解1.機理分析.

在化學反應中,一般應保持熱量和物料的平衡關系。因此,對整個反應器作熱量和物料平衡,就有其中V,ρ,CP分別為容器體積、比重和比熱;k為反應速率常數;

H為反應熱。39精品PPT·借鑒參考第三十九頁，共四十七頁。典型化工(熱工)過程(4/5)2.選擇狀態變量.顯然,選擇容器內的液體的溫度θ(t)和濃度CA(t)為狀態變量是合理的。因此,令x1(t)=θ(t)x2(t)=CA(t)3.

將狀態變量代入上述微分方程,則有如下狀態方程40精品PPT·借鑒參考第四十頁，共四十七頁。典型化工(熱工)過程上述狀態空間模型表示的是一個雙輸入雙輸出的非線性定常系統。和輸出方程41精品PPT·借鑒參考第四十一頁，共四十七頁。機電能量轉換系統4.機電系統的狀態空間描述

圖2-10表示某電樞控制的直流電動機,其中Ra和La為電樞回路總電阻和總電感,J為轉動慣量,負載為摩擦系數為f的阻尼摩擦.試列寫以電樞電壓u(t)為輸入,軸的角位移

(t)為輸出的狀態空間模型.42精品PPT·借鑒參考第四十二頁，共四十七頁。機電能量轉換系統解

1.

電動機勵磁電流不變,鐵心工作在非飽和區.按照圖2-10所描述的電動機系統,可以寫出如下主回路電壓方程和軸轉動動力學方程其中Ea和M分別為如下電樞電勢和轉矩Ea=Ced

/dt,M=CMia其中Ce和Cm分別為電樞電勢常數和轉矩常數