沖刺中考數學壓軸之滿分集訓專題02函數圖像與性質綜合題（四大類）【典例分析】【類型一：分析函數圖像】【典例1】（錦州）已知A，B兩地相距10千米，上午9：00甲騎電動車從A地出發到B地，9：10乙開車從B地出發到A地，甲、乙兩人距A地的距離y（千米）與甲所用的時間x（分）之間的關系如圖所示，則乙到達A地的時間為．【答案】9：20【解答】解：因為甲30分走完全程10千米，所以甲的速度是千米/分，由圖中看出兩人在走了5千米時相遇，那么甲此時用了15分鐘，則乙用了（15﹣10）分鐘，所以乙的速度為：5÷5＝1千米/分，所以乙走完全程需要時間為：10÷1＝10分，因為9：10乙才出發，所以乙到達A地的時間為9：20；故答案為9：20．【變式1-1】（2022?濰坊）如圖，在?ABCD中，∠A＝60°，AB＝2，AD＝1，點E，F在?ABCD的邊上，從點A同時出發，分別沿A→B→C和A→D→C的方向以每秒1個單位長度的速度運動，到達點C時停止，線段EF掃過區域的面積記為y，運動時間記為x，能大致反映y與x之間函數關系的圖象是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：過點F作FH⊥AB于H，當0≤x≤1時，如圖1，在Rt△FAH中，AF＝x，∠A＝60°，則FH＝AF?sinA＝x，∴線段EF掃過區域的面積y＝x?x＝x2，圖象是開口向上的拋物線，當1＜x≤2時，如圖2，過點D作DP⊥AB于P，則DP＝AD?sinA＝，∴線段EF掃過區域的面積y＝×（x﹣1+x）×＝x﹣，圖象是y隨x的增大而增大的線段，當2＜x≤3時，如圖3，過點E作EG⊥CD于G，則CE＝CF＝3﹣x，∴EG＝（3﹣x），∴線段EF掃過區域的面積y＝2×﹣×（3﹣x）×（3﹣x）＝﹣（3﹣x）2，圖象是開口向下的拋物線，故選：A．【變式1-2】（2022?齊齊哈爾）如圖①所示（圖中各角均為直角），動點P從點A出發，以每秒1個單位長度的速度沿A→B→C→D→E路線勻速運動，△AFP的面積y隨點P運動的時間x（秒）之間的函數關系圖象如圖②所示，下列說法正確的是（）A．AF＝5 B．AB＝4 C．DE＝3 D．EF＝8【答案】B【解答】解：由圖②的第一段折線可知：點P經過4秒到達點B處，此時的三角形的面積為12，∵動點P從點A出發，以每秒1個單位長度的速度沿A→B→C→D→E路線勻速運動，∴AB＝4．∵×AF?AB＝12，∴AF＝6，∴A選項不正確，B選項正確；由圖②的第二段折線可知：點P再經過2秒到達點C處，∴BC＝2，由圖②的第三段折線可知：點P再經過6秒到達點D處，∴CD＝6，由圖②的第四段折線可知：點P再經過4秒到達點E處，∴DE＝4．∴C選項不正確；∵圖①中各角均為直角，∴EF＝AB+CD＝4+6＝10，∴D選項的結論不正確，故選：B．【變式1-3】（2022?宜昌）如圖是小強散步過程中所走的路程s（單位：m）與步行時間t（單位：min）的函數圖象．其中有一時間段小強是勻速步行的．則這一時間段小強的步行速度為（）A．50m/min B．40m/min C．m/min D．20m/min【答案】D【解答】解：由函數圖象知，從30﹣70分鐘時間段小強勻速步行，∴這一時間段小強的步行速度為＝20（m/min），故選：D．【變式1-4】（2022?遼寧）如圖，在等邊三角形ABC中，BC＝4，在Rt△DEF中，∠EDF＝90°，∠F＝30°，DE＝4，點B，C，D，E在一條直線上，點C，D重合，△ABC沿射線DE方向運動，當點B與點E重合時停止運動．設△ABC運動的路程為x，△ABC與Rt△DEF重疊部分的面積為S，則能反映S與x之間函數關系的圖象是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：過點A作AM⊥BC，交BC于點M，在等邊△ABC中，∠ACB＝60°，在Rt△DEF中，∠F＝30°，∴∠FED＝60°，∴∠ACB＝∠FED，∴AC∥EF，在等邊△ABC中，AM⊥BC，∴BM＝CM＝BC＝2，AM＝BM＝2，∴S△ABC＝BC?AM＝4，①當0＜x≤2時，設AC與DF交于點G，此時△ABC與Rt△DEF重疊部分為△CDG，由題意可得CD＝x，DG＝x∴S＝CD?DG＝x2；②當2＜x≤4時，設AB與DF交于點G，此時△ABC與Rt△DEF重疊部分為四邊形AGDC，由題意可得：CD＝x，則BD＝4﹣x，DG＝（4﹣x），∴S＝S△ABC﹣S△BDG＝4﹣×（4﹣x）×（4﹣x），∴S＝﹣x2+4x﹣4＝﹣（x﹣4）2+4，③當4＜x≤8時，設AB與EF交于點G，過點G作GM⊥BC，交BC于點M，此時△ABC與Rt△DEF重疊部分為△BEG，由題意可得CD＝x，則CE＝x﹣4，DB＝x﹣4，∴BE＝x﹣（x﹣4）﹣（x﹣4）＝8﹣x，∴BM＝4﹣x在Rt△BGM中，GM＝（4﹣x），∴S＝BE?GM＝（8﹣x）×（4﹣x），∴S＝（x﹣8）2，綜上，選項A的圖像符合題意，故選：A．【類型二：判斷函數圖像】【典例2】（2020?銅仁市）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，動點P沿折線BCD從點B開始運動到點D，設點P運動的路程為x，△ADP的面積為y，那么y與x之間的函數關系的圖象大致是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：由題意當0≤x≤4時，y＝×AD×AB＝×3×4＝6，當4＜x＜7時，y＝×PD×AD＝×（7﹣x）×4＝14﹣2x．故選：D．【變式2-1】（2022?湖北）如圖，邊長分別為1和2的兩個正方形，其中有一條邊在同一水平線上，小正方形沿該水平線自左向右勻速穿過大正方形，設穿過的時間為t，大正方形的面積為S1，小正方形與大正方形重疊部分的面積為S2，若S＝S1﹣S2，則S隨t變化的函數圖象大致為（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：由題意得：當0≤t＜1時，S＝4﹣t，當1≤t≤2時，S＝3，當2＜＜t≤3時，S＝t+1，故選：A．【變式2-2】（2022?綏化）已知二次函數y＝ax2+bx+c的部分函數圖象如圖所示，則一次函數y＝ax+b2﹣4ac與反比例函數y＝在同一平面直角坐標系中的圖象大致是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：∵二次函數y＝ax2+bx+c的部分函數圖象開口向上，∴a＞0，∵二次函數y＝ax2+bx+c的部分函數圖象頂點在x軸下方，開口向上，∴二次函數y＝ax2+bx+c的圖象與x軸有兩個交點，b2﹣4ac＞0，∴一次函數y＝ax+b2﹣4ac的圖象位于第一，二，三象限，由二次函數y＝ax2+bx+c的部分函數圖象可知，點（2，4a+2b+c）在x軸上方，∴4a+2b+c＞0，∴y＝的圖象位于第一，三象限，據此可知，符合題意的是B，故選：B．【變式2-3】（2022?廣西）已知反比例函數y＝（b≠0）的圖象如圖所示，則一次函數y＝cx﹣a（c≠0）和二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐標系中的圖象可能是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：∵反比例函數y＝（b≠0）的圖象位于一、三象限，∴b＞0；∵A、B的拋物線都是開口向下，∴a＜0，根據同左異右，對稱軸應該在y軸的右側，故A、B都是錯誤的．∵C、D的拋物線都是開口向上，∴a＞0，根據同左異右，對稱軸應該在y軸的左側，∵拋物線與y軸交于負半軸，∴c＜0由a＞0，c＜0，排除C．故選：D．【類型三：反比例函數綜合】【典例3】（2022?十堰）如圖，正方形ABCD的頂點分別在反比例函數y＝（k1＞0）和y＝（k2＞0）的圖象上．若BD∥y軸，點D的橫坐標為3，則k1+k2＝（）A．36 B．18 C．12 D．9【答案】B【解答】解：連接AC交BD于E，延長BD交x軸于F，連接OD、OB，如圖：∵四邊形ABCD是正方形，∴AE＝BE＝CE＝DE，設AE＝BE＝CE＝DE＝m，D（3，a），∵BD∥y軸，∴B（3，a+2m），A（3+m，a+m），∵A，B都在反比例函數y＝（k1＞0）的圖象上，∴k1＝3（a+2m）＝（3+m）（a+m），∵m≠0，∴m＝3﹣a，∴B（3，6﹣a），∵B（3，6﹣a）在反比例函數y＝（k1＞0）的圖象上，D（3，a）在y＝（k2＞0）的圖象上，∴k1＝3（6﹣a）＝18﹣3a，k2＝3a，∴k1+k2＝18﹣3a+3a＝18；故選：B【變式3-1】（2021?鄂州）如圖，點A是反比例函數y＝（x＞0）的圖象上一點，過點A作AC⊥x軸于點C，AC交反比例函數y＝（x＞0）的圖象于點B，點P是y軸正半軸上一點．若△PAB的面積為2，則k的值為．【答案】8【解答】解：連接OA、OB，∵AC⊥x軸，∴AC∥y軸，∴S△AOB＝S△APB，∵S△APB＝2，∴S△AOB＝2，由反比例函數系數k的幾何意義可得：S△AOC＝6，S△BOC＝，∴6﹣＝2，解得：k＝8，故答案為8．【變式3-2】（2021?荊州）如圖，過反比例函數y＝（k＞0，x＞0）圖象上的四點P1，P2，P3，P4分別作x軸的垂線，垂足分別為A1，A2，A3，A4，再過P1，P2，P3，P4分別作y軸，P1A1，P2A2，P3A3的垂線，構造了四個相鄰的矩形．若這四個矩形的面積從左到右依次為S1，S2，S3，S4，OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4，則S1與S4的數量關系為．【答案】S1＝4S4【解答】解：∵過雙曲線上任意一點、向坐標軸作垂線所圍成的矩形面積S是個定值，OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4，∴S1＝k，S2＝k，S3＝k，S4＝k，∴S1＝4S4．故答案為：S1＝4S4．【變式3-3】（2022?畢節市）如圖，在平面直角坐標系中，正方形ABCD的頂點A，B分別在x軸、y軸上，對角線交于點E，反比例函數y＝（x＞0，k＞0）的圖象經過點C，E．若點A（3，0），則k的值是．【答案】4【解答】解：設C（m，），∵四邊形ABCD是正方形，∴點E為AC的中點，∴E（，），∵點E在反比例函數y＝上，∴，∴m＝1，作CH⊥y軸于H，∴CH＝1，∵四邊形ABCD是正方形，∴BA＝BC，∠ABC＝90°，∴∠OBA＝∠HCB，∵∠AOB＝∠BHC，∴△AOB≌△BHC（AAS），∴BH＝OA＝3，OB＝CH＝1，∴C（1，4），∴k＝4，故答案為：4．【變式3-4】（2022?雁塔區校級模擬）如圖，正方形ACBE的邊長是，點B，C分別在x軸和y軸正半軸上，BO＝2，ED⊥x軸于點D，ED的中點F在反比例函數y＝（x＞0）的圖象上，則k＝．【答案】3【解答】解：∵正方形ACBE的邊長是，BO＝2，∴BC＝BE＝，∴OC＝＝＝1，∵∠ABC＝90°，∴∠OBC+∠EBD＝90°，∵∠OBC+∠OCB＝90°，∴∠OCB＝∠EBD，在△OBC和△DEB中，，∴△OBC≌△DEB（AAS），∴BD＝OC＝1，DE＝OB＝2，∴OD＝3，∴E（3，2），∵點F是ED的中點，∴F（3，1），∵點F在反比例函數y＝（x＞0）的圖象上，∴k＝3×1＝3，故答案為3．【變式3-5】（2021?廣元）如圖，點A（﹣2，2）在反比例函數y＝的圖象上，點M在x軸的正半軸上，點N在y軸的負半軸上，且OM＝ON＝5．點P（x，y）是線段MN上一動點，過點A和P分別作x軸的垂線，垂足為點D和E，連接OA、OP．當S△OAD＜S△OPE時，x的取值范圍是．【答案】1＜x＜4【解答】解：過點B作BF⊥ON于F，連接OB，過點C作CG⊥OM于點G，連接OC，如圖，∵點A（﹣2，2）在反比例函數y＝的圖象上，∴k＝﹣4．∴y＝．∵點A（﹣2，2），∴AD＝OD＝2．∴．設B（a，b），則ab＝﹣4，OF＝﹣b，BF＝a．∴＝＝2．同理：S△OCG＝2．從圖中可以看出當點P在線段BC上時，S△OPE＞S△OBF，即當點P在線段BC上時，滿足S△OAD＜S△OPE．∵OM＝ON＝5，∴N（0，﹣5），M（5，0）．設直線MN的解析式為y＝mx+n，則：，解得：．∴直線MN的解析式為y＝x﹣5．∴，解得：，．∴B（1，﹣4），C（4，﹣1）．∴x的取值范圍為1＜x＜4．【變式3-6】（2021?荊門）如圖，在平面直角坐標系中，Rt△OAB斜邊上的高為1，∠AOB＝30°，將Rt△OAB繞原點順時針旋轉90°得到Rt△OCD，點A的對應點C恰好在函數y＝（k≠0）的圖象上，若在y＝的圖象上另有一點M使得∠MOC＝30°，則點M的坐標為．【答案】（，1）【解答】解：作AE⊥OB于E，MF⊥x軸于F，則AE＝1，∵∠AOB＝30°，∴OE＝AE＝，將Rt△OAB繞原點順時針旋轉90°得到Rt△OCD，點A的對應點C為（1，），∵點C在函數y＝（k≠0）的圖象上，∴k＝1×＝，∴y＝，∵∠COD＝∠AOB＝30°，∠MOC＝30°，∴∠DOM＝60°，∴∠MOF＝30°，∴OF＝MF，設MF＝n，則OF＝n，∴M（n，n），∵點M在函數y＝的圖象上，∴n＝，∴n＝1（負數舍去），∴M（，1），故答案為（，1）．【變式3-7】（2021?達州）如圖，將一把矩形直尺ABCD和一塊等腰直角三角板EFG擺放在平面直角坐標系中，AB在x軸上，點G與點A重合，點F在AD上，EF交BC于點M，反比例函數y＝（x＜0）的圖象恰好經過點F，M，若直尺的寬CD＝1，三角板的斜邊FG＝4，則k＝．【答案】﹣12【解答】解：過點M作MN⊥AD，垂足為N，則MN＝CD＝1，在Rt△FMN中，∠MFN＝45°，∴FN＝MN＝1又∵FG＝4，∴NA＝MB＝FG﹣FN＝4﹣1＝3，設OA＝a，則OB＝a+1，∴點F（﹣a，4），M（﹣a﹣1，3），又∵反比例函數y＝（x＜0）的圖象恰好經過點F，M，∴k＝﹣4a＝3（﹣a﹣1），解得，a＝3，∴k＝﹣4a＝﹣12，故答案為：﹣12．【類型4：二次函數綜合】【典例4】（2021?廣安）二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，有下列結論：①abc＞0，②4a﹣2b+c＜0，③a﹣b≥x（ax+b），④3a+c＜0，正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【解答】解：∵拋物線開口向下，∴a＜0，∵對稱軸為直線x＝﹣1，即，∴b＝2a，則b＜0，∵拋物線與y軸交于正半軸，∴c＞0，∴abc＞0，故①正確；∵拋物線對稱軸為直線x＝﹣1，與x軸的一個交點橫坐標在0和1之間，則與x軸的另一個交點在﹣2和﹣3之間，∴當x＝﹣2時，y＝4a﹣2b+c＞0，故②錯誤；∵x＝﹣1時，y＝ax2+bx+c的最大值是a﹣b+c，∴a﹣b+c≥ax2+bx+c，∴a﹣b≥ax2+bx，即a﹣b≥x（ax+b），故③正確；∵當x＝1時，y＝a+b+c＜0，b＝2a，∴a+2a+c＝3a+c＜0，故④正確；故選：C．【變式4-1】（2022?遼寧）拋物線y＝ax2+bx+c的部分圖象如圖所示，對稱軸為直線x＝﹣1，直線y＝kx+c與拋物線都經過點（﹣3，0）．下列說法：①ab＞0；②4a+c＞0；③若（﹣2，y1）與（，y2）是拋物線上的兩個點，則y1＜y2；④方程ax2+bx+c＝0的兩根為x1＝﹣3，x2＝1；⑤當x＝﹣1時，函數y＝ax2+（b﹣k）x有最大值．其中正確的個數是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解答】解：∵拋物線的開口方向向下，∴a＜0．∵拋物線的對稱軸為直線x＝﹣1，∴﹣＝﹣1，∴b＝2a，b＜0．∵a＜0，b＜0，∴ab＞0，∴①的結論正確；∵拋物線y＝ax2+bx+c經過點（﹣3，0），∴9a﹣3b+c＝0，∴9a﹣3×2a+c＝0，∴3a+c＝0．∴4a+c＝a＜0，∴②的結論不正確；∵拋物線的對稱軸為直線x＝﹣1，∴點（﹣2，y1）關于直線x＝﹣1對稱的對稱點為（0，y1），∵a＜0，∴當x＞﹣1時，y隨x的增大而減小．∵＞0＞﹣1，∴y1＞y2．∴③的結論不正確；∵拋物線的對稱軸為直線x＝﹣1，拋物線經過點（﹣3，0），∴拋物線一定經過點（1，0），∴拋物線y＝ax2+bx+c與x軸的交點的橫坐標為﹣3，1，∴方程ax2+bx+c＝0的兩根為x1＝﹣3，x2＝1，∴④的結論正確；∵直線y＝kx+c經過點（﹣3，0），∴﹣3k+c＝0，∴c＝3k．∵3a+c＝0，∴c＝﹣3a，∴3k＝﹣3a，∴k＝﹣a．∴函數y＝ax2+（b﹣k）x＝ax2+（2a+a）x＝ax2+3ax＝a﹣a，∵a＜0，∴當x＝﹣時，函數y＝ax2+（b﹣k）x有最大值，∴⑤的結論不正確．綜上，結論正確的有：①④，故選：A．【變式4-2】（2022?煙臺）二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象如圖所示，其對稱軸為直線x＝﹣，且與x軸的一個交點坐標為（﹣2，0）．下列結論：①abc＞0；②a＝b；③2a+c＝0；④關于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣1＝0有兩個相等的實數根．其中正確結論的序號是（）A．①③ B．②④ C．③④ D．②③【答案】D【解答】解：①由圖可知：a＞0，c＜0，＜0，∴b＞0，∴abc＜0，故①不符合題意．②由題意可知：＝﹣，∴b＝a，故②符合題意．③將（﹣2，0）代入y＝ax2+bx+c，∴4a﹣2b+c＝0，∵a＝b，∴2a+c＝0，故③符合題意．④由圖象可知：二次函數y＝ax2+bx+c的最小值小于0，令y＝1代入y＝ax2+bx+c，∴ax2+bx+c＝1有兩個不相同的解，故④不符合題意．故選：D．【變式4-3】（2022?梧州）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx﹣2的對稱軸是直線x＝﹣1，直線l∥x軸，且交拋物線于點P（x1，y1），Q（x2，y2），下列結論錯誤的是（）A．b2＞﹣8a B．若實數m≠﹣1，則a﹣b＜am2+bm C．3a﹣2＞0 D．當y＞﹣2時，x1?x2＜0【答案】C【解答】解：根據函數圖象可知a＞0，根據拋物線的對稱軸公式可得x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a，∴b2＞0，﹣8a＜0，∴b2＞﹣8a．故A正確，不符合題意；∵函數的最小值在x＝﹣1處取到，∴若實數m≠﹣1，則a﹣b﹣2＜am2+bm﹣2，即若實數m≠﹣1，則a﹣b＜am2+bm．故B正確，不符合題意；∵l∥x軸，∴y1＝y2，令x＝0，則y＝﹣2，即拋物線與y軸交于點（0，﹣2），∴當y1＝y2＞﹣2時，x1＜0，x2＞0．∴當y1＝y2＞﹣2時，x1?x2＜0．故D正確，不符合題意；∵a＞0，∴3a＞0，沒有條件可以證明3a＞2．故C錯誤，符合題意；故選：C．【變式4-4】（2022?天津）已知拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數，0＜a＜c）經過點（1，0），有下列結論：①2a+b＜0；②當x＞1時，y隨x的增大而增大；③關于x的方程ax2+bx+（b+c）＝0有兩個不相等的實數根．其中，正確結論的個數是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解答】解：①∵拋物線y＝ax2+bx+c經過點（1，0），∴a+b+c＝0，∵a＜c，∴a+b+a＜0，即2a+b＜0，本小題結論正確；②∵a+b+c＝0，0＜a＜c，∴b＜0，∴對稱軸x＝﹣＞1，∴當1＜x＜﹣時，y隨x的增大而減小，本小題結論錯誤；③∵a+b+c＝0，∴b+c＝﹣a，對于方程ax2+bx+（b+c）＝0，Δ＝b2﹣4×a