人教A版高一數學必修第一冊全冊復習測試題卷5

(共30題)

一、選擇題(共10題)

1.如果函數f(x)=1(m-2)x2+(n-8)x+l(m>0,n>0)在區間［工,2］上單調遞減，那么mn

2L2」

的最大值為()

A.16B.18C.25D.以

2

2.證券公司提示：股市有風險，入市需謹慎.小強買的股票A連續4個跌停(一個跌停：比前一天

收市價下跌10%),則至少需要幾個漲停，才能不虧損(一個漲停：比前一天收市價上漲10%)

()

A.3B.4C.5D.6

3.函數y=匾(%2—3%+2)的單調遞增區間是()

2

A.(一8,1)B.(2,+oo)C.(—00,3)D.(3,+8)

22

4.已知偶函數7(%)在區間［o,+8)上單調遞增，則滿足條件f(2%+l)</(5)的%的取值范圍

是()

A.(-3,2)B.(-2,3)C.(-2,2)D.卜3,2]

5.設b>a>0,cGR,則下列不等式中不一定成立的是()

A.B.工一c>L-c

ab

C.a+2>ciD.ac2<bc2

b+2b

6.已知a為第二象限角,且sin(n+a)=—：,貝Utan2a=()

A.4B.趙C.—有D._8

5773

f2X>2

7.已知函數/(%)=/一，若關于x的方程/(x)=k有三個不同的實根，則數k的

((%-1)2,X<2

取值范圍是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(0,2)D.(1,3)

8.下列關于函數y=cos（%+：）+sin（；—x）的說法正確的是（）

A.最大值為1,圖象關于點q,o）對稱

B.最大值為V3,圖象關于點（：0）對稱

C.最大值為1,圖象關于直線%=-對稱

6

D.最大值為V3,圖象關于直線x=三對稱

6

9.已知貝，上一寸<；"是9<1"的（）

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分又非必要條件

10.設f(x),g(x)是定義在R上的兩個周期函數，f(x)的周期為4,g(x)的周期為2,且/(%)

__________rk(x+2),0<%<1

是奇函數.當%G(0,2］時，/(%)=V1-(x-1)2,g(x)=j_i1<x<2f其中卜>

0.若在區間(0,9］上，函數h(x)=f(x)—g(x)有8個不同的零點，貝ljk的取值范圍是

()

A.G，筠B.［，筠C.(0,1］D.(0,i)

34L3433

二、填空題（共10題）

11.關于x的方程27nx2—2x—3m—2=0的兩個實根一個小于1,另一個大于1,則實數m的

取值范圍是^一.

12.條件48,若4=8,則8的____條件是A（選填"充分"、"必要"或"充要"）.

13.若直線ax-by+2=0(a>0,b>0)被圓x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦長為4,貝ij1+

a

1的最小值為一.

b

14.設集合A=\x\y=lg(%2—4%+5)｝，貝!JA=

2

15.若函數/(%)=”的反函數的圖象經過點(1J)，則a=—.

24

16.設/(%)與g(%)是定義在同一區間［a,b］上的兩個函數，若函數h(%)=/(%)-g(%)在［a,b］

上有兩個不同的零點，則稱/(%)與g(%)在［a,b］上是"關聯函數〃.若/(%)=xx3+m與

3

0(%)=1％2+2%在［0,3］上是“關聯函數〃，則實數m的取值范圍是____.

2

17.集合A={(x,y)ly=a\x\,%eR},B={(x,y)ly=%+a,xeR),已知集合Ac\B中有且僅有

一個元素，則常數a的取值范圍是—.

18.函數/(%)=logcos(-1%+豆)的單調遞增區間為.

34

2

19.若關于%的方程2|x-=x有兩個正實數根，則實數k的取值范圍為一.

20.設二次函數f(%)=(2m+1)x2+nx-m-2(.m,neR且m*-1)在［2,3］上至少有一個零

2

點，則m2+n2的最小值為____.

三、解答題(共10題)

21.已知/(x)=x\x-a\+b,xGR.

(1)當a=1,b=1時，若f(x)=5,求x的值；

4

(2)若b<0,且對任何x6(0,1］,不等式f(x)<0恒成立，求實數a的取值范圍.

22.某學校為了支持生物課程基地研究植物生長，計劃利用學?？盏亟ㄔ煲婚g室內面積為900m2的

矩形溫室，在溫室內劃出三塊全等的矩形區域，分別種植三種植物，相鄰矩形區域之間間隔1m,

三塊矩形區域的前、后與內墻各保留1m寬的通道，左，右兩塊矩形區域分別與相鄰的左右內墻

保留3m寬的通道，如圖.設矩形溫室的室內長為x(m),三塊種植植物的矩形區域的總面積為

S(m2).

3

(1)求S關于x的函數關系式；

(2)求S的最大值.

23.已知山心=2,求下列各式的值：

tanal

(1)2sina3ccsa

4sina9cosa

(2)2sin2a3cos2a

4sin2a9cos2a

(3)4sin?a3sinacosa5cos2a.

24.已知函數/(%)=x\x2|.

(1)畫出該函數的圖象；

(2)設a>2,求f(x)在［0,a］上的最大值.

25.已知函數f(x)滿足：對任意x,yGR,都有fix+y)=/(x)-/(y)/(%)f(y)+2成立，且

x>0時，f(x)>2.

(1)求/(0)的值，并證明：當工<0時，1</(x)<2；

(2)猜測/(%)的單調性并加以證明.

(3)若函數g。)=|/(x)k|在g0)上遞減，求實數k的取值范圍.

26.子集

(1)對于兩個集合A和B,如果集合A中___都屬于集合B(若aed,貝!］aGB),那么集

合A叫做集合B的子集，記作或一，讀作"一"或"一

可用文氏圖表示為

(2)子集的性質：

@A￡A,即任何一個集合是它本身的子集；

②0UA,即空集是任何集合的子集.

問題：集合A是集合B的子集的含義是什么？

4

BA

27.設全集U=R,A={x|l<%<3},B={久12a<%<a+3}.

(1)當a=l時，求(C/)n①

(2)若(C/l)nB=B，求實數a的取值范圍.

28.已知函數f(x)=cos(2x--)+2sin(x-匹)sin(%+.

344

(1)求函數f(x)的最小正周期和圖象的對稱軸方程；

(2)求函數f(X)在區間［一工產］上的值域.

L122J

29.已知集合A={%|-4<%<6},B={x|x2-4ax+3a2=0}.

(1)若AC8=0,求實數a的取值范圍；

(2)若/UB=4求實數a的取值范圍.

30.已知f(x)=sin2工+V3sin工cos(n+^).

222

⑴求f(X)的單增區間和對稱軸方程.

(2)若0<%<匹，/(%)=——,求sin(2x+-).

2103

5

答案

一、選擇題(共10題)

1.【答案】B

【解析】當巾=2時，/(x)=(n-8)x+1,要使其在區間9,2］上單調遞減，則n-8<0=>

n<8,于是mn<16,貝!Jmn無最大值.

當mG(0,2)時，f(x)的圖象開口向下，要使f(x)在區間上單調遞減，需一修《1，

LL2」m—22

即2幾+m418,又n之0,貝!］mn<m(9—y)=—+9m.

而g(m)=-lm2+9m在(0,2)上為增函數，

所以me［o,2)時，g(m)<g⑵=16,故me［o,2)時，mn無最大值.

當zn>2時，f(x)的圖象開口向上，要使f(x)在區間［1,2］上單調遞減，需—022,即

1-2」m-2

2皿+法12,而2皿+心2所L所以mn<18,當且僅當圖累="，即(二，時,

取“=〃，此時滿足m>2.

故(mn)=18.

\7max

【知識點】二次函數的性質與圖像、函數的最大(小)值、函數的單調性

2.【答案】C

【解析】設小強買的股票A時買入價格為a,連續4個跌停后價格為a(l-10%)4=0.6561a,

設至少需要x個漲停，才能不虧損，則

0.6561a(l+10%)久>a,

整理得1.V>1.5242,

因為1.15=1.6105,1.14=1.4641.

所以至少需要5個漲停，才能不虧損.

【知識點】函數模型的綜合應用

3.【答案】A

【解析】由題可得蠟—3%+2>0,解得x<1或工>2，

由二次函數的性質和復合函數的單調性可得：

函數y=log式%2-3%+2)的單調遞增區間為：(—8,1).

2

【知識點】函數的單調性、對數函數及其性質

4.【答案】A

【解析】根據題意，函數f(x)為偶函數且在區間［o,+oo)上單調遞增，

f(2x+1)</⑸=|2x+11<5,即一5<2x+1<5,

解可得：一3<%<2,即％的取值范圍為(-3,2).

【知識點】函數的單調性

5.【答案】D

【解析】因為y=以在(0,+8)上是增函數，

所以.<冷

因為y=1-C在(0,+°°)上是減函數，

X

所以工一。>工一C;

ab

因為如2-&=這4>0,

b+2b(b+2)b

所以S±l>￡；

b+2b

當c=0時，ac2=bc2,

所以D不成立.故選D.

【知識點】不等式的性質

6.【答案】B

【解析】由sin(n4-a)=-得sina=

55

又a為第二象限角，

所以cosa=—與貝ljtana=—仝，

53

所以tan2a=/3二=2.

l-tan2a7

故選B.

【知識點】二倍角公式

7.【答案】A

【解析】作出函數f(x)的圖象和直線y=k,如圖所示，

當ke(0,1),函數f(x)的圖象和直線y=k有三個交點，所以ke(0,1).

7

【知識點】函數的零點分布

8.【答案】B

y=—sinx+cosx--sinx

22

【解析】

所以函數的最大值為V3.令x--=ku,kEZ,得1=匹+的1,ZcEZ,取k=0,得函數圖象

66

關于點(10)對稱.

令％-n=n+kir,ZcGZ,得％=5+Mi,fcGZ,故函數圖象不關于直線％=心對稱.

6236

【知識點】Asin(3X+。)形式函數的性質

9.【答案】A

【解析】上一』<2=-2v%_工<2=_工v%v1能推出X<1,反之，不能推出，故

333333

"\x-1|<2"是"x<1"的充分非必要條件.

33

故選A.

【知識點】充分條件與必要條件

10.【答案】B

【解析】作出兩函數的圖象，如圖所示：

由圖可知，函數y=f(x)和y=g(x)=-^在(0,9］上的圖象有2個不同的交點，

故函數y=f(x^和y=g(x^=k(x+2^在％W(0,1］上的圖象有2個不同的交點，才可以滿

8

足題意.所以，圓心(1,0)到直線kx-y+2k=0的距離為d=-?<1,解得o<k(五,

V/C2+14

因為兩點(—2,0),(1,1)連線斜率為，所以，1<fc<^.

334

丁hj-I~T-J—7~~?~~\―~T~~

【知識點】函數的零點分布

二、填空題(共10題)

11.【答案】zn〉0或租<一4

【解析】設f(x)=2mx2-2x-3m-2,方程2mx2-2x-3m-2=0的兩個實根，一個小于

L人If/口m>0,八THV0,

1，另一個大于1的充要條件是八1)<0或f(l)〉0,

解得m>0或m<—4.

【知識點】函數的零點分布

12.【答案】充分

【知識點】充分條件與必要條件

13.【答案】夜+&

2

【知識點】均值不等式的應用、直線被圓截得的弦長

14.【答案】R或(-co,+oo)

【知識點】對數函數及其性質

15.【答案】1

2

【解析】函數f(X)=xa的反函數為f(X)=X：,f(X)=X：經過點(工,工)，得(工)：=工，解得

2424

<1=1.

2

【知識點】幕函數及其性質

16.【答案】民*)

23

9

【解析】因為/(%)=工X3+M與g(x)=lX2+2x在［0,3］上是“關聯函數",

32

由定義可得，可把問題轉化為m=-ix3+l%2+2有兩個零點;

32

即y=jn與fc(x)=-ix3+lX2+2在［0,3］上有兩個交點;

32

因為fc*(x)=—x2+%+2=—(%+1)(%—2)；

所以k(x)在［0,2］上遞增，在［2,3］上遞減；

且fc(0)=0,fc(2)=珥fc(3)=A

32

故實數m的取值范圍是：艮瑪.

23

10

3

-

2

【知識點】函數的零點分布

17.【答案】［一1,1］

【解析】因為集合A={(%,y)ly=。1%1,%GR},8={(%,y)|y=%+a,%ER},集合/nB中有

且僅有一個元素，

所以a|%|=%+a有1個解，

若％之0,ax=x+a,x=

a-l

若％V0,—ax=%+a,x=———,

a+l

q之o,qvo,a=L_>o

由已知得｛=1a>0或｛t1a<0或｛_aV0或｛?-1—'解得一1<。<1.

二<ua=-lf

a+1a+1a+l'

所以實數a的取值范圍是［-1,1］.

【知識點】交、并、補集運算

10

18.【答案】(6k11+豌，6M1+空)，/CGZ

44

【解析】因為對數的真數大于零，

所以cos(--x+-)>0=2kn-^<一2x+匹<2kn+匹，/cGZ,

342342

解之得函數的定義域為：(6Mr-紅,6kn+螞，/CGZ,

44

令t=cos(-1%+口)=cos(Xx-1),

3434

因為0<工<1,

2

所以t關于％的單調減區間是函數/(%)=logcos(-1%+H)的單調遞增區間，

234

由2kli-2ku+n,kGZ,得XE(6/CIT+舐，6kn+皿),/cGZ,

3444

再結合函數的定義域，得久E(6Mr+現,6kn+㈣，是原函數的增區間.

44

【知識點】對數函數及其性質、余弦函數的性質

19.【答案】k>0

【知識點】函數的零點分布

20.【答案】仝

53

【解析】①一個零點，此時需滿足/(2)/(3)<0,即(7m+2n+2)(17m+3n+7)<0,在平

面中表示的區域如圖所示，此時(M2+九2)=(-=2=)=生；

null=d2C/->//71-rZ/i'rZ—uV72+2253

②兩個零點，若開口向下，2TH+1<0,即m2>止匕時m2+n2>i>不是最小值；若開

4453

口向上，2租+1>0,需滿足4>0且/(2)>0且/(3)>0且2V----a一<3,即至少要

2(2m+l)

滿足—76(黑+27+1：+)2￡>/0<—4(2771+1),畫圖可知這兩部分沒有交集，該情況不存在?

11

【知識點】函數的零點分布

三、解答題(共10題)

21.【答案】

(1)山2或工.

22

(2)當b<—1時，a的取值范圍是(1b,l—b)；

當一1Vb<2&-3時，a的取值范圍是(182口).

【知識點】函數的相關概念、恒成立問題

22.【答案】

(1)由題設，得

S=(%-8)(駟-2)=-2%-遜916,x￡(8450).

XX

(2)因為8<x<450,所以2x次之2^2xx胸=240,

XX

當且僅當工=60時等號成立，

從而S<676,

所以：當矩形溫室的室內長為60m時，三塊種植植物的矩形區域的總面積最大，最大為676m2.

【知識點】函數的最大(小)值、均值不等式的應用、建立函數表達式模型

23.【答案】

(1)由=2,得tana=2.

tana-1

注意到分式的分子和分母均是關于sina,cosa的一次式，可將分子、分母同時除以cosa(因為

cosaW0),然后代入tana=2.

2sina-3cosa_2tana-3_2x2-3=_1

4sina-9cosa4tana-94x2-9

⑵注意到分式的分子和分母均是關于sina,cosa的二次式，將分子、分母同時除以cos2a

(因為cos2aW0),然后代入tana=2.

12

2sin2a3cos2a_2tan2a3__2x43_5

4sin2a9cos2a4tan2a94x497

⑶先將原式看成分母為1的分式，再進行變形，然后代入tana=2.

4si匹a3sinacosaSco^a

4sin2a3sinacosaSccs2a

sin2acos2a

4tan2a3tana5

tan2al

4x43x25

41

1.

【知識點】同角三角函數的基本關系

24.【答案】

(1)因為fM=x\x2|=x；蓑；

結合二次函數的圖象可作出該函數的圖象如圖：

(2)當a>2時，

因為xe［0,2］的最大值為/(I)=21=1,x6［2,a］時，f(x)單調遞增，最大值為/(a).

令/(a)f(l)=0,則a=1V2.

所以當2<a<l&時，f(a)</(l),此時f(x)在［0,a］上，/(x)max=/(I)=1.

當a>l夜時，/(a)>f(l),此時f(x)在［0,a］上，/(%)max=/(a)=a22a.

【知識點】函數的最大(小)值、函數圖象

25.【答案】

(1)因為f(0)=f(0)"(0)/(0)/(O)2,

所以尸(0)3/(0)2=0,f(0)=2或f(O)=l.

若/(O)=1,則

/⑴=/(I0)

=/⑴"(0)f(l)f(0)2

=1.

與已知條件x>0時，/(x)>2相矛盾，

所以/(O)=2.

設%V0,則無>0,那么f(x)>2.又

2=/(O)

=f(xx)

=f(x),f(x)f(x)f(x)2.

二匚l、l1/一、f(x工=1—3---.

f(x)1f(x)1

因為f(x)>2,所以。<--—<1，從而1<f(x)<2.

f(x)1

13

(2)函數f(x)在R上是增函數.設x1<x2,貝l]x2>0,所以f(x2>2,

=f%—%+4)

一=f(4--f(4-4)-/(\)+2

=f(q-\)[/(\)-1]-/(%j+2.

因為由(1)可知對任意x6R,f(x)>1.

所以/(%)-1>0,又f(x2-xi)>2,

所以/(x2-4)?[f(%)-1]>2fop-2,/(x2-4)-[/(xp-1]-/(%)+2>/'(%),即

f(>2)>f(xp.

所以函數f(x)在R上是增函數.

⑶因為由(2)知函數f(x)在R上是增函數，

所以函數/(x)y=/(%)-k在R上也是增函數，若函數g(x)=|f(x)-k.|在(-oo,0)上遞減,

貝!]xG(—co,0)時，5(x)=1/(x)—k\=k-/(%)?即久€(—8,0)時，/(%)-k<0.

因為x6(-oo,0)時，f(x)</(0)=2,所以k22.

【知識點】函數的單調性、抽象函數

26.【答案】(1)任何一個元素；AQB-,B2A；A包含于B；B包含A

(2)集合A中的任何一個元素都是集合B中的元素，即由無C4能推出XEB.

例如{0,1}C[-1,0,1},則由0￡[0,1}能推出0e(-1,0,1).

【知識點】包含關系、子集與真子集

27.【答案】

(1)當a=1時，B={x\2<x<4},CVA={x\x<1或%>3],

故={x|3<x<4].

(2)因為(C"A)CB=B,

所以B項QUA.

當8=0時，則2a2a+3,解得a23,B￡C/4，符合題意;

、“c~qn.r<2aVa+3,2a<a+3,

當840時，則Q+3W1或Gra1,

解得aW—2或'Wa<3.

2

綜上，實數a的取值范圍是{a|a三一2或(123}.

2

【知識點】交、并、補集運算

28.【答案】

14

因為f(%)=COS(2x--)+2sin(%-三)sin(%+匹)

344

=1cos2x+近sin2x+(sin%-cos%)?(sinx+cosx)