中考數學二輪專題復習

《折疊問題》培優練習

一、選擇題

1.如圖,有一條直的寬紙帶,按圖折疊,則Na的度數等于（）

A

A.50°B.60°C.75°D.85°

2.如圖，將長方形ABCD紙片沿對角線BD折疊，使點C落在點C處，BC交人D于點

E,若NDBC=22.5°,則在不添加任何輔助線的情況下，圖中45°角（虛線也視為角

的邊）共有（）

A.3個B.4個C.5個D.6個

3.如圖，將矩形ABCD沿EM折疊，使頂點B恰好落在CD邊的中點N上.若AB=6,

AD=9,則五邊形ABMND的周長為（）

AD

*\

\X

*J

??J

...

BMC

A.28B.26C.25D.22

4.如圖，有一塊矩形紙片ABCD,AB=8,AD=6,將紙片折疊，使得AD邊落在AB邊

上，折痕為AE,再將4AED沿DE向右翻折，AE與BC的交點為F,則4CEF的面積

19

A.77B.3C.2D.4

No

5.如圖，在矩形ABCD中，AB=8.將矩形的一角折疊，使點B落在邊AD上的B'點處,

若AB=4,則折痕EF的長度為（）

A.8B.4y/5C.MD.10

6.將矩形ABCD按如圖所示的方式折疊，BE,EG,FG為折痕，若頂點A,C,D都落

在點0處，且點B,0,G在同一條直線上，同時點E,0,F在另一條直線上，則AD：

AB的值為（）

A.5B.娘C.2D.小

7.如圖矩形ABCD中，AB=3,BC=3卷,點P是BC邊上的動點，現將4PCD沿直線

PD折疊，使點C落在點C處，則點B到點C的最短距離為（）

11

8.將一張寬為4cm的長方形紙片（足夠長）折疊成如圖所示圖形，重疊部分是一個三

角形，則這個三角形面積的最小值是（）

816

A.B.8cm2C.至淄0112D.16cm?

二、填空題

9.如圖，在平面直角坐標系中，已知點A(0,4),B(3,0),連結AB,將AAOB沿過

點B的直線折疊，使點A落在x軸上的點A'處，折痕所在的直線交y軸的正半軸于

點C,則直線BC所對應的函數表達式為.

10.將正方形紙片ABCD按如圖所示對折，使邊AD與BC重合，折痕為EF,連接AE,

將AE折疊到AB上，折痕為AH,則BH：BC的值是.

11.如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=6,BC=10,點E在CD上，將aBCE沿BE折疊，

點C恰落在邊AD上的點F處；點G在AF上，將4ABG沿BG折疊，點A恰落在線段

3

BF上的點H處，有下列結論：①NEBG=45°；②△DEFs^ABG；③S=]S；

△ABG△FGH

④AG+DF=FG.

其中正確的是__________.(把所有正確結論的序號都選上)

3

12.如圖，在矩形ABCD中，AB=1,BC=a，點E在邊BC上，且BE=/a.連接AE,

將4ABE沿AE折疊，若點B的對應點B'落在矩形ABCD的邊上，則a的值為

BEC

13.一張直角三角形紙片ABC,ZACB=90°,AB=10,AC=6,點D為BC邊上的任

一點，沿過點D的直線折疊，使直角頂點C落在斜邊AB上的點E處，當ABDE是直

角三角形時，則CD的長為.

14.如圖，把一個矩形紙片OABC放入平面直角坐標系中，使OA、0C分別落在x軸、y

軸上，連接0B,將紙片OABC沿AC折疊，使點B落在D的位置上若AC=m，0C=2BC,

則點D的坐標.

15.如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，E是邊CD的中點，將AADE沿AE折疊至△

AFE,延長EF交BC于點G,連結AG.

(1)求證：△ABGgZ\AFG；

⑵求BG的長.

16.將矩形ABCD折疊使A,C重合，折痕交BC于E,交AD于F,

⑴求證：四邊形AECF為菱形；

(2)若AB=4,BC=8,求菱形的邊長；

⑶在⑵的條件下折痕EF的長.

17.如圖，將矩形紙片ABCD沿對角線AC折疊，使點B落到點B'的位置，AB'與CD交于

點E.

⑴試找出一個與4AED全等的三角形，并加以證明；

⑵若AB=8,DE=3,P為線段AC上的任意一點，PG，AE于G,PHLEC于H,試求PG+

PH的值，并說明理由.

B.

D\

3

18.小王剪了兩張直角三角形紙片，進行了如下的操作：

操作一：如圖1,將Rt^ABC沿某條直線折疊，使斜邊的兩個端點A與B重合，折痕為

DE.

(1)如果AC=6cm,BC=8cm,可求得AACD的周長為；

(2)如果NCAD：ZBAD=4：7,可求得NB的度數為；

操作二：如圖2,小王拿出另一張RtZSABC紙片，將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落

在斜邊AB上，且與AE重合，若AC=9cm,BC=12cm,請求出CD的長.

19.矩形AOBC中,0B=8,0A=4.分別以OB,0A所在直線為x軸，y軸,建立如圖1

所示的平面直角坐標系.F是BC邊上一個動點(不與B,C重合)，過點F的反比例函

k

數y=-(k>0)的圖象與邊AC交于點E.

(1)當點F運動到邊BC的中點時，求點E的坐標;

⑵連接EF、AB,求證：EF/7AB；

⑶如圖2,將4CEF沿EF折疊，點C恰好落在邊0B上的點G處，求此時反比例函

數的解析式.

20.將正方形ABCD折疊，使頂點A與CD邊上的點M重合，折痕交AD于E,交BC于

F,邊AB折疊后與BC邊交于點G(如圖).

(1)如果M為CD邊的中點，求證：DE：DM：EM=3：4：5；

(2)如果M為CD邊上的任意一點，設AB=2a,問的周長是否與點M的位置有

關？若有關，請把4CMG的周長用含DM的長x的代數式表示；若無關，請說明理由.

21.如圖，拋物線L：y=-X2+bx+c經過點AQ,0)和點B(5,0),2知直線1的解析

1

式為y=kx-5.

⑴求拋物線L的解析式、對稱軸和頂點坐標.

1

⑵若直線1將線段AB分成1：3兩部分，求k的值；

⑶當k=2時，直線與拋物線交于M、N兩點，點P是拋物線位于直線上方的一點，

當△PMN面積最大時，求P點坐標，并求面積的最大值.

⑷將拋物線L在x軸上方的部分沿x軸折疊到x軸下方，將這部分圖象與原拋物線

1

剩余的部分組成的新圖象記為L2

①直接寫出y隨x的增大而增大時x的取值范圍；

②直接寫出直線1與圖象L有四個交點時k的取值范圍.

2

答案

l.C

2.D

3.A.

4.C.

5.C.

6-B.

7-C.

8.B

i3

9.答案為：y=--x+-.

10.答案為：

口?答案為：①③④.

12.答案為：g或W

24

13?答案為：3或7.

14.答案為:(-0.6,0.8)

15.證明：(I”.?四邊形ABCD是正方形，

/.ZB=ZD=90o,AD=AB.

由折疊可知，AD=AF,ZAFE=ZD=90°,

ZAFG=90°,AB=AF.

/.ZB=ZAFG=90°.

XVAG=AG,

.,.RtAABG^RtAAFG(H.L.).

(2)解：?.?△ABG/AAFG,

，BG=FG.

設BG=FG=x,貝UGC=6-x,

?IE為CD的中點，

，EF=DE=CE=3,

，EG=x+3,

在RtZ^CEG中，由勾股定理，

得3?+(6-x>=(x+3”,解得X=2,

/.BG=2.

16.證明:(1”.?矩形ABCD折疊使A,C重合，折痕為EF,

/.OA=OC,EF±AC,EA=EC,

?.?AD〃AC,

/.ZFAC=ZECA,

在△AOF和ACOE中，

'LFAO=乙ECO

AO=CO

、LAOF=COE

/.△AOF^ACOE,

.,.OF=OE,

VOA=OC,AC_LEF,

四邊形AECF為菱形；

(2)①設菱形的邊長為x,則BE=BC-CE=8-x,AE=x,

在RtZXABE中,VBE2+AB2=AE2,

(8-XO+42=X2,解得X=5,

即菱形的邊長為5；

②在RtZxABC中，AC=4^,

1l

/.0A=-AC=2A/5,

在Rt/XAOE中，AE=5,

0E=邢,

，EF=2OE=2聲

17?解：(l)AAED之△CEB'

B

證明：?.?四邊形ABCD為矩形，

.,.B'C=BC=AD,NB'=ZB=ZD=90°,

又?.?NB'EC=ZDEA,

.,.△AED^ACEB/；

(2)由折疊的性質可知，ZEAC=ZCAB,

VCD//AB,

.\ZCAB=ZECA,

.\ZEAC=ZECA,

.\AE=EC=8-3=5.在AADE中，AD=4,

延長HP交AB于M,則PM_LAB,

APG=PM.

.,.PG+PH=PM+PH=HM=AD=4,

18?解：操作一:(1)14(2)35°

操作二：VAC=9cm,BC=12cm,

.*.AB=15(cm),

根據折疊性質可得AC=AE=9cm,

.".BE=AB-AE=6cm,

設CD=x,則BD=12-x,DE=x,

在Rt^BDE中，由題意可得方程X2+62=(12-x)2,

解得x=4.5,

/.CD=4.5cm.

19?解：⑴?.?四邊形OACB是矩形，0B=8,0A=4,

AC(8,4),

VAE=EC,

；.E(4,4),

k

???點E在y=lh,

，E(4,4).

(2)連接AB,設點F(8,a),

圖1

?*.k=8a,

/.E(2a,4),

，CF=4-a,EC=8-2a,

在Rt^ECF中，tan/EFC=9=殳包=2,

FC4-a

在RtZSACB中，tanNABC=a^=2,

BC

tanZEFC=tanZABC,

/.ZEFC=ZABC,

，EF〃AB.

/.ZMGE+ZFGB=90o,

過點E作EMJ_OB,

AZMGE+ZMEG=90°,

二ZMEG=ZFGB,

/.RtAMEG^RtABGF,

?.,點E也，4),F(8,都

，EC=AC-AE=8±CF=BC-BF=4上

48

，EG=EC=8±GF=CF=4-k,

48

4峙

VEM=4,.*.熹=-，GB=2,

GB4JL

8

在R3GBF中，GF2=GBZ+BF2,

即:（4-—）2=（2）2+2,/.k=12,

12

...反比例函數表達式為y=K

20.證明：(l)DE為x,貝UDM=1,EM=EA=2-x,

在RtZ\DEM中，ZD=90°,

.,.DE24-DM2=EM2

X2+12=(2-x)2

35

x=-,/.EM=v

44

35

（2）設正方形的邊長為2,由（1）知，DE——,DM=1,EM==—

ADE：DM：EM=3：4：5；

(3)Z\CMG的周長與點M的位置無關.證明:

設DM=x,DE=y,

則CM=2a-x,EM=2a-y,

VZEMG=90°,

/.ZDME+ZCMG=90o.

VZDME+ZDEM=90°,

.?.ZDEM=ZCMG,

又?.?/□=NC=90°ADEM^ACMG,

CGCMMGmCG2a-xMG

DMDEEMxy2a-y

「.CG巫也幽也

yy

△CMG的周長為CM+CG+MG=*2"2.

y

在RtADEM中，DMZ+DE2=EM2

即X2+y2=(2a-y)2整理得4a2-X2=4ay,

，CM+MG+CG=@=4a.

y

所以ACMG的周長為4a,與點M的位置無關.

21?解：(1)；拋物線1：y=-xz+bx+c經過點A(l,0)和點B(5,0)

1

/.y=-(x-1)(x-5)=-(x-3)2+4,

J拋物線L的解析式為y=-X2+6X-5

對稱軸：直線x=3

頂點坐標(3,