第一章

DIYlZHANG

集合與常用邏輯用語

第1課時集合

基礎知識導航____________重溫教材掃清盲點

1.元素與集合

(1)集合元素的特性：確定性、互異性、無序性.

(2)集合與元素的關系：若a屬于集合A,記作a￡A；若不屬于集合A,記作。住A.

(3)集合的表示方法：列舉法、描述法、圖示法.

(4)常見數集及其符號表示

數集自然數集正整數集整數集有理數集實數集

符號NN*或N+ZQR

2.集合間的基本關系

表示

關系、\^^文字語言記法

集合間A=B或3。

子集集合A中任意一個元素都是集合B中的元素

的基本A

關系集合A是集合B的子集，并且8中至少有一個元A8或

真子集

素不屬于ABA

集合A的每一個元素都是集合B的元素，集合8A=B且抜

相等

的每一個元素也都是集合A的元素ASA=8

空集空集是任何集合的子集

空集是任何非空集合的真子集。8且BW。

3.集合的基本運算

(1)三種基本運算的概念及表示

集合的并集集合的交集集合的補集

符號若全集為U,則集合A的補

表示集為「必

圖形表

示33BuO

[xlxeA,且xd

意義3xGA,或xd[uA={x|x@U,且依厶}

B}

(2)三種運算的常見性質

?AUB=A^BQA,AHB=A^AQB.

②ACA=A，Ar]0=0.

③AUA=A，AU0=A.

④AC[uA=g,AU[uA=U,Cu([uA)=A.

4.判斷下列結論的正誤(正確的打“J”，錯誤的打“X”)

(1)若集合厶={》枚=/},8={y|y=f},C={(X,y)僅=/},則厶,B,C表示同一個

集合.(X)

(2)若a在集合A中，則可用符號表示為a=A.(X)

(3)若AB,則A=B且

(4)N*NZ.(V)

(5)若ACB=AnC,則B=C.(X)

(6)對于任意兩個集合A,8,都有(AnB)=(AUB)成立.(J)

(7)[u(AUB)=([uA)C([uB),]u(ACB)=([(/A)U((>8).(J)

(8)若{fl}={0,1},則x=0,L(X)

⑼{小Wl}={巾Wl}.(J)

(10)若AUB=AUC則8=C.(><)

覆點典例領航核心考點深化突破

考點一集合的概念

1.集合元素的特征

命題點

2.集合表示方法及意義

第一章集合與常用邏輯用語大一輪復習數學（理）例1]（1）已知集合厶=

{0,1,2},則集合B={x—ybWA,yGA}中元素的個數是（）

A.1B.3

C.5D.9

解析：,.,A={0,l,2},，5={x-y|xeA,y￡A}={0,-1,-2,1,2},故集合8中有

5個元素.

答案：C

(2)若集合A={xWR|a/—3x+2=0}中只有一個元素，則a=()

99

-B-

A.28

9

C.0D.0或d

o

9

解析：當a=0時，顯然成立；當aWO時，/=(—3)2—8a=0,即a=5o.

答案：D

方法引航］(1)研究一個集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制

條件.當集合用描述法表示時，注意弄清其元素表示的意義是什么.

(2)對于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意檢驗集合是否滿足互異性.

跟蹤巡航強化訓練提升考能

1.已知aWR,若{—1,0,1}=［：,a2,01,貝lja=.

解析：由題意}#0,&W0,次W一］,所以只有a2=1.

當a—l時，：=1,不滿足互異性，

答案：一1

2.(2017?福建廈門模擬)已知P={x|2VxVA,xGN},若集合尸中恰有3個元素，

則k的取值范圍為.

解析：因為P中恰有3個元素，所以P={3,4,5},故％的取值范圍為5VZW6.

答案：(5,6］

考點二集合間的關系及應用

1.判斷集合的關系

命題點

2.應用集合的關系

例2](1)設P={y|y=-1+l,xWR},Q={y\y=2x,xGR},則()

A.PQQB.QQP

C.[RPCQD.Q=[RP

解析：因為P={?'=—??+1,xGR}={y|yWl},Q={y\y=2x,xGR}={y|y>0},

所以〔RP={y|y>l},所以[RPQQ,選C.

答案：c

(2)已知集合厶={衛一2忘％?5},B={x\m+l^x^2m-l),若3QA,則實數機的取

值范圍為.

解析：?.?8NA,

①若8=0,則2〃z-lVw+l,此時機V2.

2m~11,

m+12-2,

{2w-l<5.

解得2W"?W3.

由①、②可得，符合題意的實數機的取值范圍為(-8,3].

答案：(-8,3]

方法引航]1.集合間基本關系的兩種判定方法

(1)化簡集合，從表達式中尋找兩集合的關系

(2)用列舉法(或圖示法等)表示各個集合，從元素(或圖形)中尋找關系.

2.根據兩集合的關系求參數的方法

已知兩個集合之間的關系求參數時，要明確集合中的元素，對子集是否為空集進行

分類討論，做到不漏解.

(1)若集合元素是一一列舉的，依據集合間的關系，轉化為解方程(組)求解，此時注

意集合中元素的互異性；

(2)若集合表示的是不等式的解集，常依據數軸轉化為不等式(組)求解，此時需注意

端點值能否取到.

變式巡航強化訓練提升考能

1.在本例(1)中，集合尸變為P={y|y=/+1},Q不變，如何選答案.

解析：P={y}y^l},2={y|y>0},J.P^Q,選A.

2.①在本例(2)中，若AU8,如何求〃?的取值范圍？

解：若AC8,

日"+1W—2,1mW-3,

則1、即1、

2m—1^5,["?23.

所以m的取值范圍為0.

②若將本例(2)中的集合A,B分別更換為A={1,2},

B=[x\^+)nx+1=0,xGR},如何求機的取值范圍？

解：(i)若8=0,則/=加2—4<0,解得一2〈加V2;

(苴)若]￡8,則12+加+1=0,

解得機=-2,此時8={1},符合題意;

(iii)若2GB,則2?+2機+1=0,

解得加=一方，此時B=12,不合題意.

綜上所述，實數m的取值范圍為-2,2).

考點三集合的運算

1.數集交、并、補的運算

命題點2.與函數、不等式綜合的交、并、補的運算

3.利用集合運算求參數

例3]⑴(2017.山東煙臺診斷)若集合厶={-1,0,Ip集合8={y|y=2，，

A],則集合AA8=()

A.1-1,0,11B.|o,I，11

C.《，1}D.{0,1}

解析：B={y\y=2x,xGA}=〈g,1,隹2),所以七，1},故選C.

答案：C

(2)(2017?安徽合肥模擬)已知全集U=R,A={x|x>l},B={^-2x>Q],則[火4

UB)=()

A.{x|xW2}B.{x\x^1}

C.{x|0WxWl}D.{x|0WxW2}

解析：由x2—2x>0得x>2或xVO,即3={%僅<0,或x>2},.".AUB={X|A<0,

或X>1},.?.[u(AU8)={x|0WxWl}.

答案：C

(3)已知集合P={x*Wl},M={a}.若PUM=P,則。的取值范圍是()

A.(—8,—1]B.1,+00)

C.-1,1]D.(—8,-1]U1,+°o]

解析：由PUM=P,得M=P.又,.,P={X|X2W1}={X|-1WXW1},，一lWaWl,故

選C.

答案：c

方法引航］(1)一般來講，集合中的元素若是離散的，則用Venn圖表示；集合中的

元素若是連續的實數，則用數軸表示，此時要注意端點的情況.(2)運算過程中要注

意集合間的特殊關系的使用，靈活使用這些關系，會使運算簡化.(3)對于混合運算,

有括號者，先運算括號里面的.

跟蹤巡航強化訓練提升考能

1.已知集合A={x|-l<x<2},B={x|0<x<3},則AUB=()

A.(-1,3)B.(-1,0)

C.(0,2)D.(2,3)

解析：選A.將集合A與8在數軸上畫出(如圖).由圖可知AUB=(-1,3),故選A.

-1023*

2.已知集合厶={-1,0,4},集合3={x*—2r—3W0,x《N},全集為Z,則圖中

陰影部分表示的集合是()

A.{4}B.{4,-1}

C.{4,5}D.{-1,0}

解析：B={X|X2-2X-3^0,X￡N}={X|-1?,XCN}={0,1,2,3},陰影部分為

An（［z3）={4,-1}.

答案：B

3.（2017?寧夏銀川一中模擬）已知集合4={a,b,2},3={2,爐2a},且4nB=AU

B,則a=

。=2。,a=0,

解析：因為AnB=AUB,所以A=8,則，，解得彳或

［b=b~,b=2ab=l.

所以a的值為0或點

答案：0或1

智能提升返航特色展示體驗咼考

易錯警示］

空集的吶喊——勿忘我

空集是任何集合的子集，即對于任一集合4有。=4空集是任何非空集合的真子

集.當遇到“AU8”時，要注意是否需要討論A=。或AW。兩種情況，即“。優先

原則”.

典例］若集合P={x*+尤一6=0},5={可"+1=0},且SCP,則由a的可取值

組成的集合為.

正解］P={-3,2}.當a=0時，5=0,滿足

當aWO時，方程ax+l=0的解集為x=—*

為滿足S=P可使一(=一3或一(=2,

°1.1

即Q=g或〃=_］,

故所求集合為1o,1,—1j.

答案］［o,/

易誤］在解答本題時，易出現兩個典型錯誤.一是易忽略對空集的討論，如5=0

時，a=0;二是易忽略對字母的討論.如一(可以為一3或2.

警示］(1)從集合的關系看，S=P,則S=0或SW。，勿遺忘S=0的情況.

(2)對含字母的問題，注意分類討論.

高考真題體驗］

1.(2016.高考全國甲卷)已知集合厶={1,2,3},B={x\x1<9},則AC3=()

A.{-2,-1,0,1,2,3}B.{-2,-1,0,1,2}

C.{1,2,3}D.{1,2}

解析：選析..'8={X|X2V9}={X|-3VXV3}.又4={1,2,3},.*.ADB={1,2}.

2.(2016?高考全國乙卷)設集合A={1,3,5,7},5={x|24W5},則AC3=()

A.{1,3}B.{3,5}

C.{5,7}D.{157}

解析：選B.A={1,3,5,7},8={2,3,4,5},

：.AQB={3,5}.

3.(2016?高考全國甲卷)已知集合厶={1,2,3},8={x|(x+lXx—2)V0,x《Z},則A

UB=()

A.{1}B.{1,2}

C.{0,1,2,3}D.{-1,0,1,2,31

解析：選CB={x|-lVxV2,XEZ}={0,1}.又4={1,2,3},/.AUB={0,l,2,3).

4.(2016?高考全國丙卷)設集合A={0,2,4,6,8,10},B={4,8},則以8=()

A.{4,8}B.{0,2,6}

C.{0,2,6,10}D.{0,2,4,6,8,10}

解析：選C.：4={0,2,4,6,8,10},B={4,8},/.CAB={0,2,6,10).

5.(2016.高考浙江卷)已知集合「=口6口1^^忘3},Q={xWR|f24},則PU([R0)

=()

A.2,3]

B.(-2,3]

C.1,2)

D.(一8,-2]UI,+8)

解析：選B.根據補集和并集的概念進行運算，也可以借助數軸求解.

,.?Q={xGR|『24},

，[RQ={xeR|x2V4}={xi-2VxV2}.

?.?P={XGR|1WA<3},

，PU([RQ)=図-2〈尤W3}=(-2,3].

6.(2016.高考山東卷)設集合A={y|y=2x,xWR},8={x|x2-l<0},則AUB=()

A.(-1,1)B.(0,1)

C.(-1,+8)D.(0,+8)

解析：選C.先化簡集合A,B,再利用并集的定義求解.

由已知得A={y|y>0},B={x|-l<x<l},則AU8={4r>—1}.故選C.

課時規范訓練

A組基礎演練

1.已知集合厶={-2,-l,0,l,2},B={x|(x-l)(x+2)<0},則AD8=()

A.{-1,0}B.{0,1}

C.{-1,0,1}D.{0,1,2)

解析：選A.由于8={x|-2VxVl},所以AC8={-l,0}.故選A.

2.設集合M={XF=X},N={x|lgxW0},則MUN=()

A.0,1]B.(0,1]

C.0,1)D.(-8,1]

解析：選A「.，M={X|X2=X}={0,1},N={x|lgxWO}={x|OVxWl},.,.MUN=

{x|OWxWl},故選A.

3.已知集合厶=**—"一?》。},B={x|-2WxV2},則ACB=()

A.-2,—1]B.-1,2)

C.-1,1]D.1,2)

解析：選A.由不等式x2—2x—320解得了23或xW-1,因此集合A={x|xW—1或

龍23},又集合3={x|-2WxV2},所以An3={R—2WxW-l},故選A.

4.設集合P={4r>1},Q={4?-x>0},則下列結論正確的是()

A.PQQB.QQP

C.P=QD.PUQ=R

解析：選A.由集合Q={x|f—x>0},知Q={x|x<0或x>1},所以選A.

5.設集合M={0,1,2},N={x*—3x+2W0},則MAN=()

A.{1}B.{2}

C.{0,1}D.{1,2}

解析：選析由已知得N={RlWxW2},VM={0,1,2},：.MHN={\,2},故選D.

6.集合U={0,1,2,3,4},A={1,2},B={xGZ*—5x+4V0},則[u(AUB)=()

A.{0,1,3,4}B.{1,2,3)

C.{0,4}D.{0}

解析：選C.因為集合8={xGZ*—5x+4V0}={2,3},所以AU8={1,2,3},又全

集U=[0,1,2,3,4},所以[u(AU8)={0,4}.所以選C.

7.已知集合加=3-1Vx<2},N={x|x<a},若MUN,則實數a的取值范圍是()

A.(2,+°°)B.2,+8)

C.(—8,-1)D.(—8,-1]

解析：選B.依題意，由A/&N得。22,即所求的實數a的取值范圍是2,+°°),

選B.

8.已知全集A={x￡N*+2x—3<0},8={y|y=A},則集合8中元素的個數為()

A.2B.3

C.4D.5

解析：選C.依題意得,A={xeN|(x+3)(x-l)W0}={xWN|-3?}={0,l},共

有22=4個子集，因此集合B中元素的個數為4,選C.

9.已知集合4={(0,1)，(1/)，(-1,2)},B={(x,y)|x+y—l=0,x,yWZ},則4nB

解析：A、8都表示點集，AC3即是由A中在直線x+y-l=O上的所有點組成的

集合，代入驗證即可.

答案：{(0,1),(-1,2)}

10.已知集合4={1,3,a},B={\,a2-a+l},且則a=.

解析：由層—。+1=3,得。=—i或0=2,經檢驗符合.由巒—。+1=。，得。=[,

由于集合中不能有相同元素，所以舍去.故〃=一1或2.

答案：一1或2

B組能力突破

1.已知全集。=&集合M={x[(x—l)(x+3)<0},------------------川

N={x||x|Wl},則陰影部分表示的集合是()

A.-1,1)B.(-3,1]

C.(一8,-3)U-1,4-oo)D.(-3,-1)

解析：選D.由題意可知，M={x|-3VxVl},N={x|-lWxWl},二陰影部分表示

的集合為MC([UN)={X|—3VXV-1}.

2.已知全集U={1,2,3,4,5},集合例={3,4,5},N={1,2,5},則集合{1,2}可以表示

()

A.MCNB.([uM)CN

C.D.([uM)ri([加

解析：選B.MAN={5},A錯誤；[uM={l,2},([uM)ClN={1,2},B正確；[uN=

{3,4},MC([uN)={3,4},C錯誤；(1uM)C([uN)=0,D錯誤.故選B.

3.己知集合4="比=3"+2,/iGN},B={6,8,10,12,14},則集合ACB中元素的

個數為()

A.5B.4

C.3D.2

解析：選D.集合A={x|x=3〃+2,〃GN},當〃=0時，3〃+2=2,當〃=1時，3〃

+2=5,當〃=2時，3/74-2=8,當〃=3時，3〃+2=11,當〃=4時，3〃+2=14,

VB={6,8,10,12,14）,...AnB中元素的個數為2.

4.設集合A={1,2,3},8={2,3,4,5},定義厶。8={（九，y）|xeACB,yGAUB},則

AQB中元素的個數是（）

A.7B.10

C.25D.52

解析：選B.APB={2,3},AU5={1,2,3,4,5},由列舉法可知AG)B={(2,1),(2,2),

(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5)},共有10個元素,故選B.

5.已知函數貝x)=12'—I,集合A為函數/U)的定義域，集合8為函數/U)的值域,

則如圖所示的陰影部分表示的集合為.

解析：本題考查函數的定義域、值域以及集合的表示.

要使函數./U)=/2二'—1有意義，

則2-，一120,解得xWO,

所以A=(—8,0].

又函數.*x)=、2r—1的值域3=0,+°°).

所以陰影部分用集合表示為]AUB(ACB)=(-8,0)U(0,+8).

答案：(一8,0)U(0,+8)

6.已知集合厶=図1或彳<5},C={x\-a<x^a+3}.若CCA=C,則。的取值范

圍是.

解析：因為CCA=C,所以

_3

①當。=0時，滿足C=A,此時一a2a+3,得aW-];

-aVa+3,

一心1,

{a+3V5,

3

解得一—1.

答案：(-8,—J]

第2課時命題及其關系、充分條件與必要條件

基礎知識導航

重溫教材掃淸盲點

1.命題

⑴命題的概念

用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句叫做命題.其中判斷為真的語

句叫做真命題,判斷為假的語句叫做假命題.

(2)四種命題及相互關系

(3)四種命題的真假關系

①兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；

②兩個命題互為逆命題或互為否命題，它們的真假性沒有關系.

2.充分條件'必要條件與充要條件的概念

若p0q,則夕是夕的充分條件，〃是。的必要條件

p是q的充分不必要條件p臺q且q=^p

p是q的必要不充分條件p*q且夕=>〃

p是q的充要條件p^q

p是q的既不充分也不必要條件p*q且q±p

3.判斷下列結論的正誤(正確的打“J”，錯誤的打“義”)

(1)“f+2x—3V0”是命題.(X)

(2)命題“若p,則/'的否命題是“若p,則繰q”.(X)

(3)若原命題為真，則這個命題的否命題、逆命題、逆否命題中至少有一個為真.(J)

(4)當今是p的必要條件時，〃是q的充分條件.(J)

(5)當〃是q的充要條件時，也可說成q成立當且僅當p成立.(J)

(6均不是0的必要條件時，“pRq”成立.(J)

(7)若一個命題是真命題，則其逆否命題是真命題.(J)

(8)若p是q的充分不必要條件，則繰p是繰q的必要不充分條件.(J)

(9)命題“若x2—1=0,則x=1或x=-1"的否命題為：若1W0,則xWl或x#

-l.(X)

(10)ti(2x-l)x=0>>是“x=0”的必要不充分條

件?(J)

考點典例領航核心考點深化突破

考點一四種命題及其關系

命題點1.命題的改寫2.命題的真假判定

例1]⑴命題“若則。-1>8一1”的否命題是()

A.若a>b,貝!]“一1W。一1B.若a>b,貝Ua—IV。一1

C.若aW/?,則a—1W/?-1D.若a〈b,則a—1<Z?—1

解析：根據否命題的定義可知，命題“若a>b,則的否命題應為“若

aWb,則.

答案：C

(2)(2017?寧夏銀川模擬)命題“若/+產=0,x,yGR,則x=y=o”的逆否命題是

()

A.若xWyWO,光，yGR,則/+9=0

B.若x=y#O,x,yGR,則/+尸#0

C.若xWO且y#0,x,yGR,則x2+9#：0

D.若xWO或yWO(x,yWR),則f+VWO

解析：將原命題的條件和結論否定，并互換位置即可.由x=y=O知x=0且y=0,

其否定為xWO或yWO.

答案：D

⑶(2017,山東荷澤模擬)有以下命題：

①“若孫=1,則x,y互為倒數”的逆命題；

②“面積相等的兩個三角形全等”的否命題；

③“若,危1,則f—2x+加=0有實數解”的逆否命題；

(4)“若ACB=8,則AN8”的逆否命題.

其中正確的命題為()

A.①②B.②③

C.④D.①②③

解析：①“若x,y互為倒數，則孫=1"是真命題；②“面積不相等的三角形一定

不全等”是真命題；③若"zWl,/=4—4〃z20,所以原命題為真命題，故其逆否命

題也是真命題；④由得B=A,所以原命題為假命題，故其逆否命題也

是假命題.故選D.

答案：D

方法引航](1)在根據給出的命題構造其逆命題、否命題、逆否命題時，首先要把

原命題的條件和結論弄清楚，這樣逆命題就是把原命題的條件和結論交換了的命

題，否命題就是把原命題中否定了的條件作條件、否定了的結論作結論的命題，逆

否命題就是把原命題中否定了的結論作條件、否定了的條件作結論的命題.

(2)當一個命題有大前提而需寫出其他三種命題時，必須保留大前提不變.判定命題

為真，必須進行推理證明；若說明為假，只需舉出一個反例.互為逆否命題的兩個命

題是等價命題.

￡艮蹤巡航強化訓練提升考能

1.原命題是“當c>0時，若a>b,則ac>bc"，其逆否命題是.

解析：“當c>0時”為大前提，其逆否命題為：

當c>0時，若ac^bc,則a&b.

答案：當c>0時，若acWbc,則aWZ?

2.下面是關于復數z=3的四個命題：

p\：|z|=2,

〃2：z2=2i,

P3：z的共輾復數為1+i,

“4：Z的虛部為一1.

其中的真命題為()

A?P2，P3B?pi，pi

C.〃2，P4D.P3，774

解析：選C.z=一]+]=(_]]<_[)_)=_1_i,

所以|z|=6，pi為假命題；Z2=(—1—i)2=(l+i)2=2i,P2為真命題，z=—1+i,

P3為假命題；p4為真命題.故選C.

考點二充分條件與必要輒條件的判斷

1.定義法

命題點2.等價命題法

3.集合法

例2](1)“尤>1”是“叱(x+2)V0”的()

A.充要條件B.充分而不必要條件

C.必要而不充分條件D.既不充分也不必要條件

解析：?.?414°附(x+2)<0,(x+2)V00x+2>l0>一1,

，“x>l”是(x+2)VO”的充分而不必要條件.

答案：B

(2)(2017?天津調研)"xrl且xW2”是3x+2W0”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

解析：f-3x+2=0,即叩—2)"—1)=0,

'?x=1或x=2.

當x=1或x=2時，x2—3x+2=0,

二"％2—3x+2=0”是“x=l或x=2”的充要條件，那么"xWl且xW2"是

—3x+2W0”的充要條件.

答案：C

(3)設p：\<x<2,q：2X>\,則p是q成立的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

解析：P集合為(1,2),q集合為(0,+8),pq,故選A.

答案：A

方法引航］(1)定義法：根據〃進行判斷.

(2)集合法：根據p,q成立的對應的集合之間的包含關系進行判斷.

(3)等價轉化法：根據一個命題與其逆否命題的等價性，把判斷的命題轉化為其逆否

命題進行判斷.這個方法特別適合以否定形式給出的問題，常用的是逆否等價法.，①

繰q是繰〃的充分不必要條件今〃是q的充分不必要條件；，②綵q是綠〃的必要不

充分條件臺〃是q的必要不充分條件；，③綵q是經p的充要條件臺〃是q的充要條

件.

跟蹤巡航強化訓練提升考能

1.設m匕為正實數，則是“log2a>log2〃>0"的()

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

解析：選A.y=log2%(x>0)為增函數，當a>b>1時，log2a>log2b>0;反之，若log2a

>log2/?>0,結合對數函數的圖象易知a>A>l成立，故是“log2a>

log2/?>0"的充要條件.

2.若〃是q的必要條件，s是g的充分條件，那么下列推理一定正確的是()

A.縛綠sB.p0s

C.締緑sD.練s今繰p

解析：選C.由已知得：q=?p,s=>q,則s今p,由于原命題與逆否命題等價，所以s

今〃等價于綿〃=繰s,故選C.

3.“尤<0”是“ln(x+l)V0”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

解析：選B.由ln(x+l)V0得OVx+lVl,.\-1<%<0^(-1,0)0),

二“xVO"是"ln(x+l)V0”的必要不充分條件.

考點三根據充分、必要條件求參數

命題點求條件或結論中的參數

例3](1)(2017.江西南昌模擬)已知條件p：任一4|W6；條件q：(x—1)2-"wo””>

0),若p是q的充分不必要條件，則機的取值范圍是()

A.21,+8)B.9,+8)

C.19,+8)D.(0,+00)

解析：條件p:—2W尤W10,條件q:1—mW龍W機+1,又因為p是q的充分不必要

1—nW—2,

條件，所以有V

.1+〃?210.

解得加29.

答案：B

(2)已知P={4?—8x—20W0},非空集合S={x|l—〃WxWl+m}.若是

的必要條件，則機的取值范圍為.

解析：由x2—8x—20W0得一2WxW10,

.?.P={x|-2WxW10},

由xWP是xWS的必要條件，知S=P.

(1-nW1+/”,

則《l—m^—2,.,.0W/nW3.

1+/〃W10,

所以當0W〃zW3時，xGP是xGS的必要條件，即所求機的取值范圍是0,3].

答案：0,3]

方法引航]由充分條件、必要條件求參數.解決此類問題常將充分、必要條件問題

轉化為集合間的子集關系求解.但是，在求解參數的取值范圍時，一定要注意區間端

點值的驗證，不等式中的等號是否能夠取得，決定著端點的取值.

變式巡航強化訓練提升考能

1.本例(2)條件不變，問是否存在實數機，使xGP是xWS的充要條件.

解：若XGP是XGS的充要條件，則P=S,

1—m=-2,[m=3,

,?[1+〃2=10,[m=9.

即不存在實數m,使xWP是xWS的充要條件.

2.本例(2)條件不變，若綿尸是綵S的必要不充分條件，求實數〃，的取值范圍.

s

_______IPI丨.

1-m—2101+m

解：由例⑵知P={x|-2W尤W10},

?.?繰P是綿S的必要不充分條件，

POS且S0/P.

：.PS

1+機210(m^9,

?<?<

1—mW—2jn，3.

巻jB提升返航特色展示體驗高考

思想方法]

集合的關系與充分、必要條件“再牽手”

集合的運算常與充分、必要條件交匯，判斷充分、必要條件時，可利用集合的包含

關系.如果是根據充分、必要條件求參數問題，也可以轉化為集合的包含關系求解.

典例](20175可南省實驗中學模擬)設條件p：|x-2|V3,條件q：0<x<a,其中a

為正常數.若p是q的必要不充分條件，則a的取值范圍是()

A.(0,5]B.(0,5)

C.5,+8)D.(5,+°°)

解析］p：|x-2|<3,/.—3<x_2<3,即一l<x<5,

設”=（—1,5）,<7=（°，。），是9的必要不充分條件，

...（0,a）（-1,5）,.\0<a<5.

答案］A

高考真題體驗］

1.（2015?高考山東卷）設〃zdR,命題“若機>0,則方程f+x—〃?=0有實根”的

逆否命題是（）

A.若方程f+x—〃2=0有實根，則〃2>0

B.若方程/+x—加=。有實根，則機W0

C.若方程/十工一加=。沒有實根，則機>0

D.若方程f+x—〃2=0沒有實根，則"?W0

解析：選D.命題“若〃?>0,則方程1+工一加=0有實根”的逆否命題是“若方程

f+x-"?：。沒有實根，則〃?W0"，故選D.

2.（2016?高考天津卷）設x>0,yGR,則“x>y”是。>僅|”的（）

A.充要條件B.充分而不必要條件

C.必要而不充分條件D.既不充分也不必要條件

解析：選C.令尤=1,y=-2,滿足x>y,但不滿足又x>|y|2y,成

立，故“x>>”是"X>|W的必要而不充分條件.

3.（2016?高考四川卷）設小實數x,y滿足光>1且y>l,q：實數x,y滿足光+y

>2,則〃是4的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

解析：選A.當x>l且y>l時，x+y>2,即〃今q所以充分性成立；

令x=-1,y=4,則x+y>2,但xVl,即q=>p所以必要性不成立，所以p是q

的充分不必要條件.故選A.

4.（2016.高考天津卷）設他”｝是首項為正數的等比數列，公比為4，則“gVO”是“對

任意的正整數〃，。2"7十"2"<0”的（）

A.充要條件B.充分而不必要條件

C.必要而不充分條件D.既不充分也不必要條件

解析：選C.a2”-i+a2"=a2"-i（l+q）=aiq2"-2（i+q）vo0《<；—10qVO,故必要性成

立；而qVO今/,〈一1,故充分性不成立.故選C.

5.（2016?高考四川卷）設p：實數x,y滿足（x—l）2+（y—l）2W2,q：實數x,y滿足

卩2無一1,

“21—x,則p是“的（）

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

解析：選A.如圖，命題p表示圓心為（1,1）,半徑為色的圓及其內部，命題q表示的

是圖中的陰影區域，所以p對，夕0p.故選A.

6.（2016?高考山東卷）已知直線小人分別在兩個不同的平面a,夕內.則“直線。

和直線8相交”是“平面a和平面尸相交”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

解析：選A.若直線用〃相交，設交點為P,則PWa,PWb.又aUa,bu』,所以P

ea,P。,故a,夕相交.反之，若a,4相交，則a,〃可能相交，也可能異面或

平行.故"直線a和直線人相交”是“平面a和平面夕相交”的充分不必要條件.

課時規范訓練

A組基礎演練

1.命題“若一個數是負數，則它的平方是正數”的逆命題是（）

A.“若一個數是負數，則它的平方不是正數”

B.“若一個數的平方是正數，則它是負數”

C.“若一個數不是負數，則它的平方不是正數”

D.“若一個數的平方不是正數，則它不是負數”

解析：選B.依題意得，原命題的逆命題：若一個數的平方是正數，則它是負數.

2.與命題“若a,Ac成等比數列，則〃=公”等價的命題是（）

A.若a,b,c成等比數列,則"2#比

B.若a,b,c不成等比數列，則左Wac

C.若82=“c,則a,b,c成等比數列

D.若b2半ac,則a,b,c不成等比數列

解析：選D.因為原命題與其逆否命題是等價的，所以與命題“若a,8,c成等比數

列,則〃=ac”等價的命題是“若〃工訛，則a,b,c不成等比數列”.

3.若集合A={x[2<x<3},3={x|(x+2)(x—a)<0},則“a=l”是“AC8=0”的

()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

解析：選A.當a=l時，B={x\~2<x<\],滿足AA8=0;反之，若ACB=0,只

需aW2即可，故“a=l”是“AC8=0”的充分不必要條件.

4.下列命題中為真命題的是()

A.命題“若無>y,則x>|y|"的逆命題

B.命題“若x>l,則/>1”的否命題

C.命題“若x=l,則/+》一2=0”的否命題

D.命題“若_?>0,則x>l”的逆否命題

解析：選A.A中逆命題為“若則x>y”是真命題；

B中否命題為“若xWl,則是假命題；

C中否命題為“若無#1,則f+x—2W0”是假命題；

D中原命題是假命題，從而其逆否命題也為假命題.

5.已知條件p：龍W1,條件q：則綵p是4的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

解析：選A.由x>l得:VI：反過來，由：V1不能得知x>l,即綿"是q的充分不

必要條件，選A.

6.給出命題：若函數y=/(x)是累函數，則函數y=/(x)的圖象不過第四象限，在它

的逆命題、否命題、逆否命題3個命題中，真命題的個數是()

A.3B.2

C.1D.0

解析：選C.原命題是真命題，故它的逆否命題是真命題；

它的逆命題為“若函數y=/(x)的圖象不過第四象限，

則函數y=/(x)是賽函數”，顯然逆命題為假命題，故原命題的否命題也為假命題.

因此在它的逆命題、否命題、逆否命題3個命題中真命題只有1個.

7.函數凡r)=/+mx+l的圖象關于直線x=l對稱的充要條件是()

A.m=-2B.〃2=2

C.m=~\D.m=\

解析：選A.已知函數凡r)=x2—2x+1的圖象關于直線x=1對稱，則機=-2;反之

也成立.

所以函數./(x)=jc2+/n￥+1的圖象關于直線x=l對稱的充要條件是/n=-2.

8.有四個關于三角函數的命題：

pi：sin_x=siny=>x+y=7t或無=y；

pi：VxGR,sin-^+cos2^=l；

〃3：x,yCR,cos(x—y)=cosx—cosy；

、，_「7l~\/1+cos2x

〃4：0,5,A/2=cosx.

其中真命題是()

A.pi,〃3