期末復習（壓軸54題22個考點）一．Venn圖表達集合的關系及運算（共1小題）1．用集合語言表示右圖中的陰影部分，正確的是（）A．?UB B．A∪B C．A∩（?UB） D．A∩B【答案】C【解答】解：陰影部分的元素a滿足：a∈A且a?B，∴陰影部分表示的集合為A∩（?UB）．故選：C．二．不等關系與不等式（共1小題）（多選）2．已知a＞b＞0，c＜0，下列不等式中正確的是（）A． B． C．ac＜bc D．|c|a＜|c|b【答案】AC【解答】解：因為a＞b＞0，c＜0，對于A，，所以，故正確；對于B，因為bc＞ac，所以ab﹣bc＜ab﹣ac，即b（a﹣c）＜a（b﹣c），兩邊同時除以a（a﹣c），得，故錯誤；對于C，因為a＞b＞0，所以因為，又因為c＜0，所以，即，所以ac＜bc，故正確；對于D，當c＝﹣1時，|c|a＝|c|b＝1，故錯誤．故選：AC．三．基本不等式及其應用（共7小題）3．若正實數x，y滿足2x+8y﹣xy＝0，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：∵x＞0，y＞0，2x+8y﹣xy＝0，∴，∴，當且僅當＝，即x＝12，y＝6時等號成立，∴．故選：D．4．若a＞0，b＞0，且（4a﹣1）（b﹣1）＝4，則（）A．ab的最小值為 B．ab的最大值為 C．4a+b的最小值為6 D．a+b的最大值為【答案】C【解答】解：由于a＞0，b＞0，且（4a﹣1）（b﹣1）＝4，故4ab﹣4a﹣b+1＝4，整理得，當且僅當b＝4a時取等號，即，故，即或（舍去），此時b＝4a＝3，所以4a+b，∴4a+b的最小值為6．故選：C．5．已知實數a＞0，b＞0，且滿足（a﹣1）3+（b﹣1）3≥3（2﹣a﹣b）恒成立，則a2+b2的最小值為（）A．2 B．1 C． D．4【答案】A【解答】解：依題意（a﹣1）3+（b﹣1）3≥3（2﹣a﹣b）＝3（1﹣a）+3（1﹣b），即（a﹣1）3+3（a﹣1）≥﹣[（b﹣1）3+3（b﹣1）]＝（1﹣b）3+3（1﹣b），設f（x）＝x3+3x，f（x）是奇函數且f（x）在R上遞增，所以f（a﹣1）≥f（1﹣b），即a﹣1≥1﹣b，a+b≥2，由基本不等式得，當且僅當a＝b＝1時等號成立，所以a2+b2的最小值為2．故選：A．（多選）6．下列命題中是假命題的有（）A．函數的最小值為2 B．若x2≤1，則x≤1 C．不等式ax2+ax﹣1＜0對任意x∈R恒成立，則實數a的范圍是（﹣4，0） D．若a＞b＞0，則【答案】ACD【解答】解：A．當x＝﹣1時，f（﹣1）＝﹣2，故錯誤；B．因為x2≤1，解得﹣1≤x≤1，故正確；C當a＝0時，不等式顯然恒成立，故錯誤；D當c≤0時，，故錯誤．故選：ACD．（多選）7．已知a，b均為正實數且滿足，則下列結論正確的是（）A．ab≤12 B．a+3b≥12 C． D．【答案】BC【解答】解：因為a＞0，b＞0，1＝，當且僅當a＝3b，即b＝2，a＝6時取等號，所以ab≥12，A錯誤；a+3b＝（a+3b）（）＝6+＝12，當且僅當a＝3b，即b＝2，a＝6時取等號，B正確；＝，當且僅當a＝3b，即b＝2，a＝6時取等號，C正確；當a＝，b＝3時，＝，D顯然錯誤．故選：BC．（多選）8．下列選項正確的是（）A．若a≠0，則的最小值為4 B．若x∈R，則的最小值是2 C．若ab＜0，則的最大值為﹣2 D．若正實數x，y滿足x+2y＝1，則的最小值為6【答案】CD【解答】解：當a＜0時，A顯然錯誤；令t＝，則t，所以＝＝+＝t在[，+∞）上單調遞增，故當t＝時，上式取得最小值，B錯誤；ab＜0，則＝﹣[（﹣）+（﹣）]≤﹣2，當且僅當a＝﹣b時取等號，C正確；正實數x，y滿足x+2y＝1，則＝＝2+＝6，當且僅當x＝2y且x+2y＝1，即x＝，y＝時取等號，D正確．故選：CD．（多選）9．已知x＞0，y＞0，且x+y+xy﹣3＝0，則下列結論正確的是（）A．xy的取值范圍是（0，1] B．x+y的取值范圍是[2，3] C．x+2y的最小值是 D．x+5y的最小值為【答案】AC【解答】解：對于A，因為x＞0，y＞0，所以，當且僅當x＝y時取等號，由x+y+xy﹣3＝0?3﹣xy＝x+y，即，解得，即0＜xy≤1，A正確；對于B，由，當且僅當x＝y時取等號，得（x+y）2+4（x+y）﹣12≥0，所以x+y≥2，又3﹣（x+y）＝xy＞0，所以x+y＜3，即2≤x+y＜3，故B錯誤；對C選項，因為x＞0，y＞0，x+y+xy﹣3＝0，則x（y+1）＝﹣y+3，得，結合y＞0，則0＜y＜3，所以，當且僅當，即時等號成立，C正確；對于D選項知：，當且僅當時，即，但由于y+1＞1，因此等號不成立，故D不正確．故選：AC．四．二次函數的性質與圖象（共1小題）10．已知函數f（x）＝x2﹣2x+a，g（x）＝ax+5﹣a．（1）若函數y＝f（x）在區間[﹣3，0]上存在零點，求實數a的取值范圍；（2）若對任意的x1∈[﹣3，3]，總存在x2∈[﹣3，3]，使得f（x1）＝g（x2）成立，求實數a的取值范圍．【答案】（1）[﹣15，0]；（2）（﹣∞，﹣6]∪[10，+∞）．【解答】解：（1）由題知，f（x）＝x2﹣2x+a，因為y＝f（x）的圖象開口向上，對稱軸為x＝1，所以函數f（x）在[﹣3，0]上單調遞減，因為函數y＝f（x）在區間[﹣3，0]上存在零點，所以，解得﹣15≤a≤0，所以實數a的取值范圍為[﹣15，0]．（2）記函數f（x）＝x2﹣2x+a，x∈[﹣3，3]的值域為集合A，g（x）＝ax+5﹣a，x∈[﹣3，3]的值域為集合B，因為對任意的x1∈[﹣3，3]，總存在x2∈[﹣3，3]，使得f（x1）＝g（x2）成立，所以A?B，因為y＝f（x）的圖象開口向上，對稱軸為x＝1，所以當x∈[﹣3，3]，f（x）min＝f（1）＝a﹣1，f（x）max＝f（﹣3）＝a+15，得A＝{y|a﹣1≤y≤a+15}，當a＝0時，g（x）的值域為{5}，顯然不滿足題意；當a＞0時，g（x）的值域為B＝{y|5﹣4a≤y≤5+2a}，因為A?B，所以，解得a≥10；當a＜0時，g（x）的值域為B＝{y|5+2a≤y≤5﹣4a}，因為A?B，所以，解得a≤﹣6，綜上，實數a的取值范圍為（﹣∞，﹣6]∪[10，+∞）．五．一元二次不等式及其應用（共2小題）11．設函數f（x）＝ax2+（b﹣2）x+3（a≠0）．（1）若不等式f（x）＞0的解集為（﹣1，1），求a，b的值；（2）若f（1）＝2，a＞0，b＞0，求的最小值和相應的a，b的值．【答案】（1）a＝﹣3，b＝2；（2）當且僅當時，的最小值為9．【解答】解：（1）因為函數f（x）＝ax2+（b﹣2）x+3（a≠0），由不等式f（x）＞0的解集為（﹣1，1），所以a＜0且ax2+（b﹣2）x+3＝0的兩根分別為﹣1，1，則，解得a＝﹣3，b＝2．（2）由f（1）＝2，可得a+b﹣2+3＝2，即a+b＝1，因為a＞0，b＞0，所以，當且僅當時，即時，等號成立，所以的最小值為9．12．設函數y＝ax2+（b﹣2）x+3．（1）若關于x的不等式y＞0的解集為{x|﹣1＜x＜3}，求y≥4的解集；（2）若x＝1時，y＝2，a＞0，b＞0，求的最小值．【答案】（1）{1}；（2）9．【解答】解：（1）根據題意，不等式y＝ax2+（b﹣2）x+3＞0的解集為{x|﹣1＜x＜3}，則ax2+（b﹣2）x+3＝0的兩個根分別是﹣1，3，則，解得，故y＝ax2+（b﹣2）x+3＝﹣x2+2x+3≥4，x2﹣2x+1≤0，解得x＝1．所求解集為{1}．（2）x＝1時，y＝2，即a+b+1＝2，所以有a+b＝1，那么＝，當且僅當，即時，取等號．故的最小值為9．六．函數的值域（共1小題）（多選）13．高斯是德國著名的數學家，近代數學奠基者之一，享有“數學王子”的稱號，用其名字命名的“高斯函數”為：設x∈R，符號[x]表示不超過x的最大整數，則y＝[x]稱為高斯函數．例如：[2.71]＝2，[﹣3.6]＝﹣4，定義函數：f（x）＝x﹣[x]，則下列結論正確的是（）A．f（﹣0.6）＝0.4 B．當2≤x＜3時，f（x）＝x﹣2 C．函數f（x）的定義域為R，值域為[0，1） D．函數f（x）是奇函數且為增函數【答案】ABC【解答】解：A選項：f（﹣0.6）＝﹣0.6﹣[﹣0.6]＝﹣0.6﹣（﹣1）＝0.4，故A正確；B選項：當2≤x＜3時，[x]＝2，即f（x）＝x﹣2，故B正確；C選項：函數f（x）＝x﹣[x]定義域為R，∵x﹣1＜[x]≤x，∴0≤f（x）＜1，即f（x）值域為[0，1），故C正確；D選項：f（0）＝0﹣[0]＝0，f（x）＝x﹣[x]，f（﹣x）＝﹣x﹣[﹣x]，又∵f（x）+f（﹣x）＝（[x]+[﹣x]），當x＝0.1時，f（x）+f（﹣x）＝﹣（[0.1]+[﹣0.1]）＝1≠0，∴f（x）不是奇函數．故D錯誤．故選：ABC．七．函數奇偶性的性質與判斷（共6小題）14．已知函數．下列關于函數f（x）的說法錯誤的是（）A．函數f（x）是奇函數 B．函數f（x）在R上是增函數 C．函數f（x）的值域是 D．存在實數a，使得關于x的方程f（x）﹣a＝0有兩個不相等的實數根【答案】D【解答】解：因為函數的定義域為R，對于A，∵，且f（x）+f（x）＝0，∴函數f（x）是奇函數，A選項正確；對于B，函數，令x1＜x2，，∵x1＜x2，∴，而，，∴，即f（x1）＜f（x2），因此函數f（x）在R上是增函數，B選項正確；對于C，函數，∵1+ex＞1，∴，則，∴，即，所以函數f（x）的值域是，C選項正確；對于D，由B可知函數f（x）在R上是增函數，因此關于x的方程f（x）﹣a＝0不可能有兩個不相等的實數根，D選項錯誤．故選：D．（多選）15．高斯是德國著名的數學家，近代數學奠基者之一，用其名字命名的“高斯函數”為：x∈R，用[x]表示不超過x的最大整數，則y＝[x]稱為高斯函數，例如[﹣2.3]＝﹣3．函數，則下列說法正確的有（）A．G（x）是偶函數 B．G（x）的值域是{﹣1，0} C．f（x）是奇函數 D．f（x）在R上是增函數【答案】BCD【解答】解：由高斯函數的概念可知，對于A，G（1）＝[f（1）]＝0，G（﹣1）＝[f（﹣1）]＝﹣1，G（1）≠G（﹣1），則函數G（x）不是偶函數，A錯誤；對于B，f（x）＝﹣＝﹣，由1+2x＞1，得﹣＜f（x）＜，即G（x）的值域是{﹣1，0}，B正確；對于C，因為，其定義域為R，且，滿足f（﹣x）+f（x）＝0，即函數f（x）為奇函數，C正確；對于D，，因為y＝1+2x是增函數，故y＝為減函數，y＝f（x）＝﹣在R上是增函數，D正確．故選：BCD．16．已知y＝2x+a?2﹣x（a為常數，a∈R）（1）討論該函數的奇偶性；（2）當該函數為偶函數時，記y＝f（x），若方程f（2x）﹣kf（x）＝3在x∈[0，1）上有實根，求實數k的取值范圍．【答案】（1）a＝1為偶函數，a＝﹣1為奇函數，當a≠1且a≠﹣1時為非奇非偶函數；（2）．【解答】解：（1）∵函數f（x）＝2x+a?2﹣x的定義域為x∈R，又∵f（﹣x）＝2﹣x+a?2x，∴①當f（﹣x）＝f（x）時，即2﹣x+a?2x＝2x+a?2﹣x時，可得a＝1，即當a＝1時，函數f（x）為偶函數；②當f（﹣x）＝﹣f（x）時，即2﹣x+a?2x＝﹣（2x+a?2﹣x）＝﹣2x﹣a?2﹣x時，可得a＝﹣1，即當a＝﹣1時，函數f（x）為奇函數．當a≠1且a≠﹣1時為非奇非偶函數．（2）由（1）可得，當函數f（x）為偶函數時，a＝1，即f（x）＝2x+2﹣x時，f（2x）＝22x+2﹣2x＝（2x+2﹣x）2﹣2，由題可得：（2x+2﹣x）2﹣2﹣k（2x+2﹣x）＝3，則有（2x+2﹣x）2﹣k（2x+2﹣x）﹣5＝0，令t＝2x+2﹣x，∵x∈[0，1），∴2x∈[1.2），，又∵，當且僅當時，等號成立，根據對勾函數的性質可知，，即，于是原問題將轉化成t2﹣kt﹣5＝0在上有解的問題．根據求根公式：，根據韋達定理，t1t2＝﹣5＜0，說明兩個根異號，令，，，即t1＞t2，說明t2是負數根，故只可能，，，∴，可得k的取值范圍為．17．已知函數f（x）是定義在（﹣1，1）上的奇函數，當x∈[0，1）時，f（x）＝3x+ln（x+1）．（1）求函數f（x）的解析式；（2）解不等式f（3x﹣1）+f（1﹣x2）≥0．【答案】（1）（2）．【解答】解：（1）∵當x∈[0，1）時，f（x）＝3x+ln（x+1）當﹣1＜x＜0，則0＜﹣x＜1，可得f（﹣x）＝3（﹣x）+ln（﹣x+1），又∵f（x）是奇函數，所以f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣[3（﹣x）+ln（﹣x+1）]＝3x﹣ln（﹣x+1），綜上可得：f（x）＝；（2）對任意的x1，x2∈[0，1），且x1＜x2，則0＜x1+1＜x2+1，3x1＜3x2，且y＝lnx在定義域內單調遞增，可得ln（x1+1）＜ln（x2+1），故3x1+ln（x1+1）＜3x2+ln（x2+1），即f（x1）＜f（x2），故f（x）在[0，1）上是增函數，由f（x）為奇函數，則f（x）在（﹣1，0]上也是增函數，故f（x）在（﹣1，1）上為增函數，若f（3x﹣1）+f（1﹣x2）≥0，則f（3x﹣1）≥﹣f（1﹣x2），又∵f（x）是奇函數，所以﹣f（1﹣x2）＝f（x2﹣1），故原不等式等價于f（3x﹣1）≥f（x2﹣1），且f（x）是（﹣1，1）上的增函數，則，解得，故不等式的解集為．18．已知函數．（1）若f（x）為偶函數，且函數在區間[1，+∞）上的最小值為﹣11，求實數m的值；（2）若f（x）為奇函數，不等式f（3x）≥mf（2x）在x∈[1，2]上有解，求實數m的取值范圍．【答案】（1）m＝3；（2）[，+∞）．【解答】解：（1）由于為偶函數，所以f（﹣x）＝f（x），代入得：，所以2x+k?2﹣x＝2﹣x+k?2x，所以（k﹣1）?（2x﹣2﹣x）＝0，所以k＝1，所以f（x）＝2x+2﹣x，因為函數在區間[1，+∞）上的最小值為﹣11，令t＝2x+2﹣x，則，此時φ（t）＝t2﹣2mt﹣2，①當時，φ（t）在單調遞增，所以，解得：，不滿足題意；所以無解；②當時，φ（t）min＝φ（m）＝﹣11，解得：m＝±3；因為，所以m＝3，綜上所述：m＝3．（2）因為f（x）為奇函數，所以f（0）＝0，所以k＝﹣1，經檢驗f（x）＝2﹣x﹣2x是奇函數滿足題意．又因為不等式f（3x）≥mf（2x）在x∈[1，2]上有解，所以2﹣3x﹣23x≥m（2﹣2x﹣22x），所以23x﹣2﹣3x≤m（22x﹣2﹣2x），由平方差和立方差公式得：，令s＝2x+2﹣x，因為x∈[1，2]，所以，所以，在而在上單調遞增，所以，因為不等式f（3x）≥mf（2x）在x∈[1，2]上有解，所以，即m的取值范圍為[，+∞）．19．已知函數f（x）＝．（1）證明：函數f（x）為奇函數；（2）判斷函數f（x）在區間（2，+∞）上的單調性，并用單調性的定義證明．【答案】（1）證明詳見解析；（2）函數f（x）在區間（2，+∞）上單調遞增，證明詳見解析．【解答】證明：（1）f（x）的定義域為{x|x≠0}，f（x）＝＝，則f（﹣x）＝﹣x+，故函數f（x）＝為奇函數；（2）判斷：f（x）在區間（2，+∞）上單調遞增，證明：?x1，x2∈（2，+∞），且x1＜x2，則f（x1）﹣f（x2）＝＝＝＝，∵x2＞x1＞2，∴x1x2＞4，x1x2﹣4＞0，x1﹣x2＜0，∴＜0，即f（x1）＜f（x2），故函數f（x）在區間（2，+∞）上單調遞增．八．抽象函數及其應用（共3小題）20．設函數f（x）定義域為R，滿足f（x）+f（﹣x）＝0，且f（﹣2）＝0，若f（x）在（0，+∞）上單調遞增，則不等式（x+1）?f（x）＜0的解為（）A．（﹣∞，﹣2） B．（﹣2，﹣1）∪（0，2） C．（﹣2，2） D．（﹣2，0）?（0，2）【答案】B【解答】解：由f（x）+f（﹣x）＝0和f（x）定義域可得，f（x）為奇函數，由f（x）在（0，+∞）上單調遞增，由奇函數的性質得f（x）在（﹣∞，0）上是增函數，且f（0）＝0，顯然x＝0不滿足（x+1）?f（x）＜0，又f（﹣2）＝﹣f（2）＝0，于是由f（x）＜0，可得或，解得（﹣∞，﹣2）?（0，2），類似的，f（x）＞0的解集為（﹣2，0）?（2，+∞），所以不等式（x+1）?f（x）＜0等價為，解得x∈（0，2），或，解得x∈（﹣2，﹣1），綜上所述，（x+1）?f（x）＜0的解為（﹣2，﹣1）∪（0，2）．故選：B．21．設函數的定義域是（0，1），且滿足：（1）對于任意的x∈（0，1），f（x）＞0；（2）對于任意的x1，x2∈（0，1），恒有．則下列結論：①對于任意的x∈（0，1），f（x）＞f（1﹣x）；②在（0，1）上單調遞減；③f（x）的圖象關于直線對稱，其中正確結論的個數是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解答】解：由題意，令x1＝1﹣x2，則不等式?，由（1）對于任意的x∈（0，1），f（x）＞0，由基本不等式可得：，∴，當且僅當，即f（x2）＝f（1﹣x2）時等號成立，此時函數f（x）的圖象關于直線x＝對稱，故③正確；令x2＝x，可得f（x）＝f（1﹣x），故①錯誤；又由f（x1）＝f（1﹣x1），f（x2）＝f（1﹣x2）則不等式?，于是可得，∵對于任意的x∈（0，1），f（x）＞0，∴f（x1）≤f（x2），∴f（x1）＝f（x2）恒成立，∴函數f（x）是常數函數，則y＝+x＝+x（k＞0），由對勾函數的性質可知，此時函數在單調遞減，在單調遞增，∴只有當k≥1時，函數f（x）在（0，1）上單調遞減，故②錯誤．∴說法正確的只有③，共1個．故選：B．22．設函數f（x）是增函數，對于任意x，y∈R都有f（x+y）＝f（x）+f（y）．（1）寫一個滿足條件的f（x）并證明；（2）證明f（x）是奇函數；（3）解不等式．【答案】（1）f（x）＝kx（k＞0），證明見解析；（2）證明見解析；（3）（﹣∞，0）∪（5，+∞）．【解答】（1）解：因為函數f（x）是增函數，對于任意x，y∈R都有f（x+y）＝f（x）+f（y），這樣的函數很多，其中一種為：f（x）＝kx（k＞0）．證明如下：函數f（x）＝kx（k＞0）滿足f（x）是增函數，因為f（x+y）＝k（x+y）＝kx+ky＝f（x）+f（y），所以f（x）＝kx（k＞0）滿足題意．（2）證明：令x＝0，則由f（x+y）＝f（x）+f（y），得f（y）＝f（0）+f（y），即f（0）＝0；令y＝﹣x，則由f（x+y）＝f（x）+f（y），得f（0）＝0＝f（x）+f（﹣x），即f（﹣x）＝﹣f（x），故f（x）是奇函數．（3）解：因為，所以f（x2）﹣2f（x）＞f（3x），則f（x2）＞2f（x）+f（3x），即f（x2）＞f（x）+f（x）+f（3x），因為f（x+y）＝f（x）+f（y），所以f（x）+f（x）+f（3x）＝f（5x），所以f（x2）＞f（5x），又因為函數f（x）是增函數，所以x2＞5x，所以x＜0或x＞5．所以不等式的解集為（﹣∞，0）∪（5，+∞）．九．對數函數的圖象與性質（共1小題）23．在同一平面直角坐標系中，若0＜a＜1，則與y＝loga（﹣x）的大致圖象是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：因為0＜a＜1，所以，所以指數函數是增函數，故排除A、B；y＝loga（﹣x）定義域為（﹣∞，0），其圖像與函數y＝logax的圖像關于y軸對稱，函數y＝logax是減函數，所以y＝loga（﹣x）是增函數，排除D．故選：C．一十．對數函數的單調性與特殊點（共1小題）24．已知函數為偶函數．（1）求實數k的值；（2）解關于m的不等式f（2m+1）＞f（m﹣1）．【答案】（1）﹣1；（2）（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）．【解答】解：（1）∵函數為偶函數，∴f（﹣x）＝f（x），即，∴，∴k＝﹣1；（2）∵，當x≥0時，在[0，+∞）單調遞增，∴f（x）在[0，+∞）上單調遞增，又函數f（x）為偶函數，∴函數f（x）在[0，+∞）上單調遞增，在（﹣∞，0]上單調遞減，∵f（2m+1）＞f（m﹣1），∴|2m+1|＞|m﹣1|，解得m＜﹣2或m＞0，∴所求不等式的解集為（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）．一十一．任意角的三角函數的定義（共1小題）25．如圖，在平面直角坐標系內，角α的始邊與x軸的非負半軸重合，終邊與單位圓交于點，若線段OPn﹣1繞點O逆時針旋轉得OPn（n≥2，n∈N），則點P2023的縱坐標為（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：因為角α的終邊與單位圓交于點，所以，，設點P2023為角β的終邊與單位圓的交點，則，所以，所以點P2023的縱坐標為．故選：B．一十二．三角函數的周期性（共1小題）26．下列四個函數中，以π為最小正周期的偶函數是（）A．y＝|tanx| B．y＝cosx C．y＝sinx D．y＝sin|x|【答案】A【解答】解：對于A：函數y＝|tanx|的圖象如下圖所示：由圖可知，y＝|tanx|的周期為π，且圖象關于y軸對稱，則y＝|tanx|為偶函數，故A正確；對于BC：函數y＝cosx，y＝sinx的最小正周期都為2π，故BC錯誤；對于D：函數y＝sin|x|的圖象如下圖所示：由圖可知，函數y＝sin|x|不具有周期性，故D錯誤．故選：A．一十三．正弦函數的單調性（共2小題）27．已知函數，且x1＜x2，都有x2f（x1）﹣x1f（x2）＞0，則ω的取值范圍可能是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：由x2f（x1）﹣x1f（x2）＞0，得．設，由于，且x1＜x2時，g（x1）＞g（x2），可知g（x）在上單調遞減．由正弦函數性質可知，當ω＞0時，ωx+∈（+，+），且（+，+）?[]，即時，即時，已知不等式成立，故選項A正確，B錯誤．對于選項C，當ω＝2時，，當時，，顯然，此時的g（x）在上不是單調遞減，故選項C錯誤；對于選項D，當ω＝0時，，顯然此時的g（x）在上不是單調遞減，故選項D錯誤；故選：A．28．已知函數，求：（1）求函數f（x）的單調遞增區間；（2）求函數y＝|f（x）|的對稱軸方程；（3）求函數f（x）在區間上的最小值和最大值．【答案】（1）；（2）；（3），3．【解答】解：（1）令，解得，所以函數f（x）的單調遞增區間為．（2）因為，令，解得，所以函數y＝|f（x）|的對稱軸方程．（3）因為，則，可得，當，即時，f（x）取到最小值；當，即時，f（x）取到最大值3；所以函數f（x）在區間上的最小值為，最大值3．一十四．正弦函數的奇偶性和對稱性（共1小題）29．已知+1．（1）求函數f（x）的對稱軸方程；（2）求出函數f（x）在[0，π]上的單調區間及最值．【答案】（1）；（2）增區間為，，減區間為；最大值為，最小值為．【解答】解：（1）因為，令，可得，所以函數f（x）的對稱軸方程為．（2）當0≤x≤π時，則，由，可得；由，可得；由，可得；所以函數f（x）在[0，π]上的增區間為，，減區間為，因為，則，可得，故函數f（x）在[0，π]上的最大值為，最小值為．一十五．函數y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換（共2小題）30．將函數的圖象上所有點向左平移個單位長度，得到函數y＝g（x）的圖象，則函數g（x）的解析式為（）A． B．g（x）＝2sin2x C． D．g（x）＝﹣2sin2x【答案】B【解答】解：由題意可得g（x）＝f（x+）＝．故選：B．（多選）31．把函數的圖象向左平移個單位長度，得到的函數圖象恰好關于y軸對稱，則（）A．f（x）的最小正周期為2π B．f（x）關于點對稱 C．f（x）在是上單調遞增 D．若f（x）在區間上存在最大值，則實數a的取值范圍為【答案】CD【解答】解：因為，所以把f（x）的圖象向左平移個單位長度得到函數的圖象，因為g（x）關于y軸對稱，所以，即ω＝6k+2，k∈Z，又因為0＜ω＜π，所以，A．對于，故A錯誤；B.，故B錯誤；C，由，得，所以當k＝0時，f（x）的單調遞增區間為，又因為，所以f（x）在上單調遞增，故C正確；D，若函數f（x）在上存在最大值，由選項C可知，f（x）在上單調遞增，且，即f（x）在時取得最大值，所以，即實數a的取值范圍為，故D正確．故選：CD．一十六．由y＝Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式（共1小題）（多選）32．函數的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）A．點M的坐標為 B．函數f（x）關于點對稱 C．函數f（x）的圖象向右平移個單位長度得到y＝sinx的圖象 D．方程的解為x1，x2，則【答案】ABD【解答】解：由圖可知：A＝1，＝﹣（﹣）＝π，則T＝2π，從而ω＝1，又∵f（x）＝sin（x+φ）過點（﹣，﹣1），∴sin（﹣+φ）＝﹣1，∴﹣+φ＝﹣+2kπ，k∈Z，∴得φ＝﹣+2kπ，k∈Z，又∵|φ|＜，∴φ＝﹣，∴f（x）＝sin（x﹣），對于A，令x＝0，得f（0）＝sin（﹣）＝﹣，故A正確；對于B，將x＝﹣代入f（x），得sin（﹣﹣）＝0，故B正確；對于C，函數f（x）的圖象向右平移個單位長度得到y＝sin（x﹣﹣）＝sin（x﹣π）＝﹣sinx的圖象，故C錯誤；對于D，如圖所示，可得x1+x2＝×2＝，∴cos（x1+x2）＝cos＝﹣，故D正確．故選：ABD．一十七．三角函數的最值（共1小題）33．已知函數f（x）＝﹣cos2x+msinx+2m，x∈[0，π]．（1）若m＝﹣1，求f（x）的值域；（2）若f（x）在[0，π]上有零點，求m的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【解答】解：（1）由m＝﹣1，得，由x∈[0，π]得sinx∈[0，1]，所以，即f（x）的值域是．（2）因為x∈[0，π]，所以sinx∈[0，1]，由f（x）＝0，可得m（2+sinx）＝cos2x＝1﹣sin2x，則，令t＝2+sinx，則t∈[2，3]，則，由函數在[2，3]上單調遞增，得，所以．一十八．三角函數應用（共2小題）34．如圖，質點P在以坐標原點O為圓心，半徑為1的圓上逆時針做勻速圓周運動，P的角速度大小為2rad/s，起點P0為射線y＝﹣x（x≥0）與⊙O的交點．則當0≤t≤12時，動點P的縱坐標y關于t（單位：s）的函數的單調遞增區間是（）A． B． C．D．【答案】B【解答】解：因為P在單位圓上的角速度大小為2rad/s，起點P0為射線y＝﹣x（x≥0）與⊙O的交點，所以A＝1，，所以動點P的縱坐標y關于t（單位：S）的函數，由，得，k∈Z，因為0≤t≤12，所以，，，．所以動點P的縱坐標y關于t（單位：S）的函數的單調遞增區間是：，，，．故選：B．35．2023年杭州亞運會首次啟用機器狗搬運賽場上的運動裝備．如圖所示，在某項運動賽事扇形場地OAB中，，OA＝500米，點Q是弧AB的中點，P為線段OQ上一點（不與點O，Q重合）．為方便機器狗運輸裝備，現需在場地中鋪設三條軌道PO，PA，PB．記∠APQ＝θ，三條軌道的總長度為y米．（1）將y表示成θ的函數，并寫出θ的取值范圍；（2）當三條軌道的總長度最小時，求軌道PO的長．【答案】（1）y＝250?，θ∈（，）；（2）當OP長為米時，此處三條軌道的總長度最小．【解答】解：（1）因為Q為弧AB的中點，有對稱性可知，PA＝PB，∠AOP＝∠BOP＝，又∠APO＝π﹣θ，∠OAP＝θ﹣，由正弦定理，得＝＝，又AO＝500，得PA＝，OP＝，所以y＝PA+PB+OP＝2PA+OP＝+＝250?，由題意知，求出P在O、Q處時對應θ的值，得θ的取值范圍是（，）；（2）令f（θ）＝，θ∈（，），則f′（θ）＝，令f′（θ）＝0，得θ＝，列表：θ（，）（，）f′（θ）﹣0+f（θ）遞減極小值遞增所以當θ＝時，OP＝＝＝米，f（θ）有唯一極小值f（）＝250?（1﹣+）＝250（1+）．此時y有最小值250（1+）米．所以當OP長為米時，此處三條軌道的總長度最小．一十九．函數零點的判定定理（共1小題）36．已知函數f（x）＝x3+x﹣3，則f（x）的零點存在于下列哪個區間內（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）【答案】B【解答】解：∵f（x）＝x3+x﹣3在（﹣∞，+∞）上是增函數，f（1）＝﹣1＜0，f（2）＝7＞0，∴f（x）在（1，2）上有唯一零點．故選：B．二十．函數的零點與方程根的關系（共10小題）37．已知函數f（x）定義在R上，且f（﹣x）＝﹣f（x），滿足f（x+2）＝f（﹣x），且當x∈[0，1]時，f（x）＝log2（x+1），則函數y＝f（x）﹣x3的零點個數是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解答】解：定義在R上函數f（x）滿足f（﹣x）＝﹣f（x），可得f（x）為奇函數，又由f（x+2）＝f（﹣x），可得f（x）有對稱軸x＝1，由f（x+2）＝f（﹣x）＝﹣f（x），可得f（x）＝﹣f（x+2）＝f（x+4），則f（x）最小正周期為4，函數y＝f（x）﹣x3的零點即函數y＝f（x）與函數y＝x3圖像交點的橫坐標．又當x∈[0，1]時，f（x）＝log2（x+1），在同一坐標系內作出函數y＝f（x）與函數y＝x3圖像如下：兩函數圖像有3個公共點（0，0），（1，1），（﹣1，﹣1），則函數y＝f（x）﹣x3的零點個數是3．故選：C．38．已知函數，若函數在[﹣1，1）內有且僅有兩個零點，則實數m的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：因為，函數在[﹣1，1）內有且僅有兩個零點，所以f（x）＝m（x﹣）在[﹣1，1）內有且僅有兩個零點，即y＝f（x）的圖象與y＝m（x﹣）的圖象在[﹣1，1）內有兩個交點，又因為y＝m（x﹣）的圖象恒過定點（，0），作出兩函數的圖象，如圖所示：當直線過點（，0）和（0，1）時，此時m＝﹣，兩函數圖象只有一個交點，當m∈（﹣，0]時，結合圖象可得兩函數有兩個交點，滿足題意；當m＞0時，設函數y＝f（x）＝＝﹣3+在點（，0）處的切線為l，因為f′（x）＝，所以k切＝f′（）＝9，當直線y＝m（x﹣）過點（0，﹣2）時，m＝k＝＝3，要使y＝f（x）的圖象與y＝m（x﹣）的圖象有兩個交點，則只需3≤m＜9；綜上所述，m∈（﹣，0]∪[3，9）．故選：D．39．已知函數f（x）＝，若f（x）＝a有四個不同的解x1，x2，x3，x4且x1＜x2＜x3＜x4，則x4（x1+x2）+的最小值為（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：當x≤0時，f（x）＝（x+1）2；當0＜x＜1時，f（x）＝﹣log4x；當x≥1時，f（x）＝log4x；作出函數f（x）的圖象如下，則由圖象可知，f（x）的圖象與y＝1有4個交點，分別為，因為f（x）＝a有四個不同的解x1，x2，x3，x4且x1＜x2＜x3＜x4，所以0＜a≤1，且﹣2≤x1＜﹣1＜x2≤0，且x1+x2＝﹣2，，又因為f（x3）＝﹣log4x3，f（x4）＝log4x4，所以﹣log4x3＝log4x4，即log4x4+log4x3＝0，所以x3x4＝1，所以，且1＜x4≤4，構造函數在x∈（1，4]單調遞減，所以．故選：B．40．已知函數f（x）＝（x+1）ex，若函數F（x）＝f2（x）﹣mf（x）+m﹣1有三個不同的零點，則實數m的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：函數f（x）＝（x+1）ex的定義域為R，求導得f′（x）＝（x+2）ex，當x＜﹣2時，f′（x）＜0，當x＞﹣2時，f′（x）＞0，因此函數f（x）在（﹣∞，﹣2）上單調遞減，在（﹣2，+∞）上單調遞增，，且x＜﹣1，恒有f（x）＜0，由F（x）＝0，得[f（x）﹣1][f（x）﹣m+1]＝0，即f（x）＝1或f（x）＝m﹣1，由f（x）＝1，得x＝0，于是函數F（x）有3個不同零點，當且僅當方程f（x）＝m﹣1有2個不同的解，即直線y＝m﹣1與y＝f（x）圖象有2個公共點，在同一坐標系內作出直線y＝m﹣1與y＝f（x）的圖象，如圖，觀察圖象知，當，即時，直線y＝m﹣1與y＝f（x）的圖象有2個公共點，所以實數m的取值范圍為．故選：C．41．函數f（x）＝ex+x2﹣4在區間（﹣2，1）內零點的個數為（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解答】解：根據題意，函數f（x）＝ex+x2﹣2在區間（﹣2，1）內零點的個數，即函數y＝ex與函數y＝2﹣x2在區間（﹣2，1）內交點個數，作圖可得，這兩個函數有2個交點，即函數f（x）＝ex+x2﹣2在區間（﹣2，1）內有2個零點．故選：C．42．已知函數，g（x）＝x2﹣ax+1，若y＝g（f（x））有6個零點，則a的取值范圍為（）A． B． C．（3，+∞） D．【答案】B【解答】解：作出函數的圖象如圖所示：根據圖像可得，當k＝0或2＜k＜3時，f（x）＝k有兩個解；當0＜k＜1時，f（x）＝k有4個解；當1≤k≤2時，f（x）＝k有3個解；當k≥3時，f（x）＝k有1個解．因為g（x）＝x2﹣ax+1＝0最多有兩個解．因此要使y＝g（f（x））有6個零點，則g（x）＝x2﹣ax+1＝0有兩個解，設為k1，k2．則存在下列幾種情況：①f（x）＝k1有2個解，f（x）＝k2有4個解，即k1＝0或2＜k1＜3，0＜k2＜1，顯然g（0）≠0，則此時應滿足，即，解得＜a＜；②f（x）＝k1有3個解，f（x）＝k2有3個解，設k1＜k2即1≤k1＜2，1＜k2≤2，則應滿足，即，解得a的值不存在；綜上，a的取值范圍是（，）．故選：B．43．已知函數的圖像與直線y＝k﹣x有3個不同的交點，則實數k的取值范圍是（）A． B．（0，+∞） C． D．（0，2]【答案】D【解答】解：如圖，作函數f（x）的大致圖像（實線），平移直線y＝k﹣x，由k﹣x＝x2+2x+2可得，x2+3x+2﹣k＝0，，故當時，直線與曲線y＝x2+2x+2（x≤0）相切；當k＝0時，直線y＝﹣x經過點（0，0），且與曲線y＝x2+2x+2（x≤0）有2個不同的交點；當k＝2時，直線y＝2﹣x經過點（0，2），且與f（x）的圖像有3個不同的交點．由圖分析可知，當k∈（0，2]時，f（x）的圖像與直線y＝k﹣x有3個不同的交點．故選：D．（多選）44．已知函數f（x）＝方程[f（x）]2﹣mf（x）﹣1＝0有4個不同的實數根，則下列選項正確的是（）A．函數f（x）的零點的個數為2 B．實數m的取值范圍為 C．函數f（x）無最值 D．函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增【答案】ABC【解答】解：函數，作出f（x）的圖象如圖所示，由圖象可知，f（x）＝0有x＝﹣2和x＝1兩個零點，故選項A正確；方程f2（x）﹣mf（x）﹣1＝0有4個不同的實數根，令f（x）＝a，f（x）＝b，a≠b，則或或，因為方程x2﹣mx﹣1＝0必有一正一負兩個根，所以，且ab＝﹣1，所以a＝﹣≤﹣，所以f（x）≤﹣或0＜f（x）≤2，則，令t＝f（x），則m＝t﹣，t∈（﹣∞，﹣]∪（0，2]，因為函數m＝t﹣在（﹣∞，﹣]和（0，2]上單調遞增，當t＝﹣時，m＝，當t＝2時，m＝，所以m≤，故選項B正確；由圖象可知f（x）無最值，故選項C正確；f（x）在（0，+∞）上不單調，故選項D錯誤．故選：ABC．（多選）45．已知函數，若f（x）＝a有三個不等實根x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，則（）A．f（x）的單調遞增區間為（﹣∞，0]∪[1，+∞） B．a的取值范圍是（0，2） C．x1x2x3的取值范圍是（﹣2，0] D．函數g（x）＝f（f（x））有4個零點【答案】CD【解答】解：作出y＝f（x）的圖象，如圖所示：對于A，由圖象可得y＝f（x）的單調遞增區間為（﹣∞，0）和（1，+∞），不能用并集符號，故錯誤；對于B，因為f（x）＝a有三個不等實根，即y＝f（x）與y＝a有三個不同交點，所以a∈（0，2]，故錯誤；對于C，則題意可知：﹣2＜x1≤0，﹣log2x2＝log2x3，所以x2x3＝1，所以x1x2x3＝x1∈（﹣2，0]，故正確；對于D，令f（x）＝t，則有y＝f（t），令y＝0，則有t＝﹣2或t＝1，當t＝﹣2時，即f（x）＝﹣2，即x+2＝﹣2，解得x＝﹣4；當t＝1時，即f（x）＝1，所以x+2＝1或|log2x|＝1，解得x＝﹣1，或x＝或x＝2，所以y＝f（t）共有4個零點，即g（x）＝f（f（x））有4個零點，故正確．故選：CD．46．設a∈R，函數f（x）＝x?|x﹣a|+2x．（1）若a＝2，求函數f（x）在區間[0，3]上的最大值；（2）若a＝4，寫出函數f（x）的單調區間（不必證明）；（3）若存在a∈（2，4]，使得關于x的方程f（x）＝t?f（a）有三個不相等的實數解，求實數t的取值范圍．【答案】（1）9；（2）單調遞增區間為（﹣∞，3]和[4，+∞），單調遞減區間為[3，4]；（3）．【解答】解：（1）當a＝2，x∈[0，3]時，，當x∈[0，2）時，函數y＝﹣x2+4x為增函數，f（x）∈[0，4）；當x∈[2，3]時，函數y＝x2為增函數，f（x）∈[4，9]；所以函數f（x）在區間[0，3]上的最大值為9．（2）當a＝4時，，作出圖象如圖所示：由圖象可得，當x∈（﹣∞，3]和[4，+∞）時，函數f（x）單調遞增，當x∈[3，4]時，函數f（x）單調遞減；（3）當a∈（2，4]時，，函數y＝x2+（2﹣a）x的對稱軸，所以函數f（x）在[a，+∞）上單調遞增，函數y＝﹣x2+（2+a）x的對稱軸，則f（x）在上，f（x）單調遞增，f（x）在上，f（x）單調遞減，函數圖象如圖所示：要使f（x）＝t?f（a）有三個不相等的實數根，即t?f（a）應介于如圖所示兩虛線l1，l2范圍之間，而f（a）＝2a，，即，化簡得，即存在a∈（2，4]，使得上式成立．只需．令，設4≥x2＞x1＞2，則，由4≥x2＞x1＞2得x2﹣x1＞0，x1x2＞4，故g（x2）﹣g（x1）＞0，所以g（x2）＞g（x1），所以g（x）在x∈（2，4]為增函數，所以當a∈（2，4]時，，故，故．二十一．分段函數的應用（共4小題）47．函數，其中a≤﹣2，則滿足f（x）+f（x﹣1）＜3的x取值范圍是（）A．（﹣1，+∞） B． C． D．（0，+∞）【答案】D【解答】解：∵a≤﹣2，當x＜a時，f（x）＝﹣x3+3x2+9x+5，則f′（x）＝﹣3x2+6x+9＝﹣3（x+1）（x﹣3）＜0，∴函數f（x）在（﹣∞，a）上單調遞減，故f（x）＞﹣a3+3a2+9a+5．當x≥a時，f（x）＝﹣x+1，顯然函數f（x）在[a，+∞）上為減函數，此時，f（x）≤f（a）＝﹣a+1．∵（﹣a3+3a2+9a+5）﹣（﹣a+1）＝﹣a3+3a2+10a+4，令h（a）＝﹣a3+3a2+10a+4，其中a≤﹣2，則h′（a）＝﹣3a2+6a+10＝﹣3（a﹣1）2+13≤﹣3×（﹣3）2+13＜0，∴函數h（a）在（﹣∞，﹣2]上單調遞減，故h（a）≥h（﹣2）＝8+12﹣20+4＝4＞0．綜上可知，函數f（x）在R上為減函數，令p（x）＝f（x）+f（x﹣1），則函數p（x）在R上單調遞減，又∵p（0）＝f（0）+f（﹣1）＝1+2＝3，∴f（x）+f（x﹣1）＜3等價于p（x）＜p（0），結合函數p（x）的單調性可得x＞0，故原不等式的解集為（0，+∞）．故選：D．48．已知函數，若m＜n，且f（m）＝f（n），則mf（n）的取值范圍是（）A． B．[﹣1，7] C．[﹣1，7） D．【答案】D【解答】解：作出f（x）的圖象如圖所示：由f（m）＝f（n），得3m+4＝3n﹣2，n∈[1，2），可得，則，令t＝3n，t∈[3，9），則，故．故選：D．49．已知函數，其中，若?x∈[2，4]，使得關于x的不等式f（x）≤f（a）成立，則正實數a的取值范圍為（）A．a≥2或 B．a≥2或 C．a≥4或 D．a≥4或【答案】B【解答】解：由題意可知f（x）＝，若?x∈[2，4]，使得關于x的不等式f（x）≤f（a）成立，則f（a）≥f（x）在x∈[2，4]上的最小值，∴f（a）≥f（2）＝4，∵a為正實數，則當0＜a＜1時，f（a）＝≥4，解得0＜a≤；當a≥1時，f（a）＝a2＞4，解得a≥2，綜上，正實數a的取值范圍為a≥2或0＜a≤．故選：B．（多選）50．已知函數，則（）A． B．若f（x）＝﹣1，則x＝2或x＝﹣3 C．f（x）＜2的解集