【北京區(qū)域名師命制】2023-2024學(xué)年北京市九年級(上)數(shù)學(xué)期中榛底試

卷A卷

第1卷(選擇題)

一、選擇題(本大題共8小題，共24.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng))

1.下列方程中，是一元二次方程的是

()

A.ax2_2x=5B.(x+2)(x-3)=1

c.y=(x+1)2-3D.X2_2X=x(x+3)+1

2.若x=-1是方程x?-2x+m=0的一個根，則此方程的另一個根是

A.-3B.3C.1+7?D.1-J2

3.拋物線y=(x+2尸一3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是8.二次函數(shù)y=x?-2bx圖像上的三個點(diǎn)P4-4，y3P2(2?)，P3(Lb，yJ當(dāng)T<bv1時，“，%,丫3之間的大小關(guān)

系是

A.(3,一2)B.(一3,一2)C.(一2,3)D.(一2，-3)()

4.若關(guān)于x的方程X?+mx+4=0有兩個相等的實(shí)數(shù)根，則m的值是

A.y,<y2<y3B.y2<y3<y,C.y3<y2<y,D.y,<y3<y2

()第II卷(非選擇題)

A.16B.-4C.4D.4或一4

二、填空題(本大題共8小題，共24。分)

5.將拋物線y=(X-1)2-2,先向上平移2各單位，再向左平移3各單位，所得新拋物線的函數(shù)關(guān)系式為

9.方程X2-9=0的根是__.

()

10.若X=m+1是關(guān)于X的方程x-2m-3=0和x?+x-k+1=0的公共解，則k的值是__.

A.y=(x4-2)2B.y=(X-4)2C.y=(x-4)2-4D.y=(x+I)2+1

11.關(guān)于x的一元二次方程X?+bx+c=0可變形為(x-m)(x-1)=0,則b+c的值是__.

6.若一元二次方程ax2+bx+1=0,a學(xué)有實(shí)數(shù)根，則下列不等式成立的是

12.寫出一個開口向下，且經(jīng)過坐標(biāo)系原點(diǎn)的拋物線的表達(dá)式__.

/\

()

13.若使拋物線V=X2-4X+m的圖象與x軸沒有交點(diǎn)，則m的取值范圍是__.

A.b2-4a-l>-lB.b2-4a+120C.b2-4a-K-lD.b2-4a-1>-1

14.一個二次函數(shù)，當(dāng)x=-3與x=l時，函數(shù)值相等，且函數(shù)有最大值2,此二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是__.

7.若b<0,則一次函數(shù)y=ax+c與二次函數(shù)y=ax2+bx4-c在同一直角坐標(biāo)系中的圖像可能是

15.若一次函數(shù)y=kx+1中，y隨X的增大而減小，則當(dāng)X>去時，二次函數(shù)y=kx2-x-i中，y隨x的增大而

()

_____?(填"增大”或“減小”)

16.一組帶有標(biāo)號的紅盒內(nèi)分別裝有紅球，另一組帶有標(biāo)號的白盒內(nèi)分別裝有白球，具體信息如下表：

紅盒標(biāo)號1234

紅球數(shù)量7131925

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（1）求二次函數(shù)y=-x2+2X+3的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；

白盒標(biāo)號1234（2）求直線V=m平移與函數(shù)G的圖象只有一個公共點(diǎn)時，m的取值范圍.

白球數(shù)量014922.體小題50分）

若相同標(biāo)號的紅盒與白盒中裝的球數(shù)相等，則盒子的標(biāo)號是____.2019年公司某產(chǎn)品產(chǎn)量為3200件，公司五年規(guī)劃到2024年底生產(chǎn)產(chǎn)品的產(chǎn)量達(dá)到16500件?連續(xù)兩年，每年產(chǎn)品

三、計(jì)算題（本大題共1小題，共5.0分）增長率為25%,2021年底進(jìn)行生產(chǎn)設(shè)備的技術(shù)改造，增長率有了很大提高，按新的增長率又經(jīng)過兩年到2023年底,

17.解方程：X2-4X-1=0.年產(chǎn)量達(dá)到11250件，保持這樣的增長率不變，到2024年底是否能完成公司的五年規(guī)劃？請計(jì)算說明.

四、解答題（本大題共8小題，共47.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）23.（本小題60分）

18.體小題50分）矩形長為8,寬為4,點(diǎn)P從A出發(fā)，以t每秒的速度沿AD行駛，點(diǎn)Q從A與點(diǎn)P同時出發(fā)，以3t每秒的速度沿

一個長方形ABCD的長為4cm,寬為3cm,若將其長、寬各延長出相同的長度，延長后得到新長方形AEFG.ATBTCTD行駛?當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q有一個點(diǎn)到達(dá)D點(diǎn)時，行駛?cè)客Ｖ?t為何值時，學(xué)PAQ面積最大，求出最大面積.

（1）求邊長延長后新增大的面積S與延長出的長度x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當(dāng)邊長延長出5cm時，面積增大了多少.

19.（本小題50分）

已知二次函數(shù)幾組x與y的對應(yīng)值如下表：

X-101357

5

y60-206

2

（1）求此二次函數(shù)的表達(dá)式;

5

（2）直接寫出此二次函數(shù)圖象上與（0，當(dāng)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）當(dāng)y>0時，直接寫出X的取值范圍.

24.（本小題80分）

20.（本小題50分）

兩輛貨車，甲車寬2?3米，高4米乙車寬24米，高45米?有一隧道的截面形狀是拋物線，隧道底面寬為8米，離

如圖所示，在矩形ABCD中，AD=8CD=6,折疊AB使之與AC重合，折痕為AE,求^AEF的面積.

r地面最高處為6米?隧道內(nèi)兩側(cè)各有1米寬的人行道（高出隧道地面不能行車）?如圖，若以隧道地面水平線為x軸，以

隧道底面寬的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系通過計(jì)算說明，甲乙兩車在隧道內(nèi)相向而行，能否安全通過隧道.

21.（本小題50分）

二次函數(shù)丫=-x2+2X+3的圖象中，將0WXW4的部分稱為函數(shù)G的圖象?將平行于x軸的直線y=m平行移動.

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c

z___

25.(本小題80分)

拋物線的頂點(diǎn)為N⑶3),圖象與y軸交于點(diǎn)D(0，-6),若拋物線上橫縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)稱為“均勻點(diǎn)二過拋物線上兩個

“均勻點(diǎn)”的直線為L,將L向下平移時與V軸的交點(diǎn)為Q(0，m).當(dāng)直線L經(jīng)過點(diǎn)D時，過拋物線頂點(diǎn)N作垂直于x軸

的直線，交直線L與點(diǎn)P.

(1)求此拋物線的函數(shù)關(guān)系式；

(2)求此拋物線上所有“均勻點(diǎn)”的坐標(biāo)；

(3)求這兩個均勻點(diǎn)及點(diǎn)Q組成的三角形的面積(用m表示)；

(4)求線段NP的長.

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7.【答案】C

1.【答案】B【解析】解：一次函數(shù)丫=ax+c與二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與y軸的交點(diǎn)是同一點(diǎn)(0，c),

【解析】解：A:當(dāng)a取0時，此方程不是一元二次方程，所以選項(xiàng)4是錯的；因此，選項(xiàng)。錯誤；

B：方程可化簡為X。-x-7=0,是一元二次方程，所以選項(xiàng)8正確；???b<0,

C:因?yàn)橛袃蓚€未知數(shù)，不是一元二次方程，所以選項(xiàng)C是錯的；，若a>0,則拋物線開口向上，對稱軸X=>0,對稱軸在y軸右惻，一次函數(shù)圖象過第一、三象限，

za

D:方程可化簡為5x+1=0,是一元一次方程，所以選項(xiàng)。是錯的，

因此，選項(xiàng)幺錯誤，選項(xiàng)C正確；

故選B.

若a<0,則拋物線的開口向下，對稱軸x=-2<o,對稱軸在y軸左側(cè)，因此，選項(xiàng)8錯誤；

本題考查一元二次方程的定義.za

故選C.

2.【答案】B

8.【答案】C

【解析】解：X=T是方程x?-2x+m=0的一個根，

【解析】解：由二次函數(shù)y=x?-2bx可知圖象開口向上，且經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，

??(-1)2-2(-1)+m=0,解得m=-3,

當(dāng)對稱軸*=b(-1<b<1)時，始終有點(diǎn)匕到對稱軸的距離大于點(diǎn)P?到對稱軸的距離，所以總有力>y,同時總

解方程X2-2X-3=0得，x=-1或x=3?故選8.2

有點(diǎn)「3到對稱軸的距離小于點(diǎn)巳到對稱軸的距離，所以總有丫3<y,即丫3<y<y故選c.

本題考查方程的根的定義及一元二次方程的解法.22v

本題考查二次函數(shù)的增減性，當(dāng)給出拋物線對稱軸的信息時，可通過拋物線上的點(diǎn)到對稱軸的距離的大小關(guān)系，判

3.【答案】D

斷這些點(diǎn)的縱坐標(biāo)的大小關(guān)系，即判斷函數(shù)值的大小關(guān)系.

【解析】解：由二次函數(shù)頂點(diǎn)式可知丫=(x-h)2+k的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(h，k),

所以y=(x+2尸-3的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(一2，-3)?故選。.

9.【答案】±3

本題考查二次函數(shù)頂點(diǎn)式與頂點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系.

【解析】解：,??x?-9=0,

4.【答案】D

即X?=9,

【解析】解：???方程x?+mx+4=0有兩個相等的實(shí)數(shù)根，

x=±3-

???A=m2-4xlx4=Om=±4,

故答案為：±3.

故選

本題考查用直接開平方法解一元二次方程.

5.【答案】A

10.【答案】1

【解析】解：根據(jù)拋物線平移規(guī)律可得，平移后的拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=(x+2尸，所以選項(xiàng)人是正確選項(xiàng)，

【解析】解：x=m+1是關(guān)于x的方程x-2m-3=0和x?+x-k+1=0的公共解，

故選A

將x=m+1代入方程x-2m-3=0,求得m=-2次=-1,

本題考查二次函數(shù)圖象與幾何變換，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)平移規(guī)律.

將x=-1代入/+x-k+1=0,可求得k=1,

6.【答案】A

故答案為：1.

【解析】解：；一元二次方程ax2+bx+1=0(a0)有實(shí)數(shù)根

本題考查方程解的概念及方程的解法，由方程公共解的意義達(dá)到不斷消元的目的.

???bfa》0,

11.【答案】-1

b2-4a-]>-l,故選4.

【解析】解：由方程X?+bx+c=0可變形為(x-m)(x-l)=0,可知此方程有一個根是*=1.

本題考查一元二次方程的根的判別式的情況，同時考查不等式性質(zhì)的運(yùn)用.

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將代入原方程就可得出

X=1b+C=-1,?.當(dāng)X>於時，y隨X增大而減小.

故答案為-1.

故答案為：減小.

本題考查解一元二次方程的因式分解法及方程解的概念，同時也體現(xiàn)了整體意識.

16.【答案】8

12.【答案】y=-X2+2X（答案不唯一）

【解析】解：由紅盒標(biāo)號與紅球數(shù)對應(yīng)個數(shù)的表格可以得出如下規(guī)律：

【解析】解：???拋物線開口向下，

當(dāng)紅球個數(shù)為y,紅盒標(biāo)號為X時，有y=6x+l.

??a<o,

由白盒標(biāo)號與白球個數(shù)的表格可以得出如下規(guī)律：

:拋物線過坐標(biāo)原點(diǎn)，

當(dāng)白球個數(shù)為y,白盒標(biāo)號為X時，有y=（x—l）2.

???c=0,

???當(dāng)相同標(biāo)號的紅盒和白盒中裝球數(shù)相等時，有6x+1=（X-1）2,解得x=0（舍去）或*=8,

即所求函數(shù)關(guān)系式可為y=-X24-2X（答案不唯一）.

,當(dāng)相同標(biāo)號的紅盒和白盒中的裝球數(shù)相等時，盒子的標(biāo)號為8.

故答案為y=-X2+2X（答案不唯一）.

故答案為：8

本題考查在給定條件下求函數(shù)關(guān)系式，由于條件寬松，所以滿足條件的函數(shù)關(guān)系式不止一個，只要寫出滿足條件的

本題考查觀察、比較、歸納的找規(guī)律問題，同時利用等量關(guān)系列方程解決問題，還考查了一元二次方程的解法.

一個函數(shù)關(guān)系式即可，這種開放性試題要能適應(yīng).

17.【答案】解：X?-4x-1=0,

13.【答案】m>4

X2-4X=1,

【解析】解：根據(jù)題意可得：A=b2-4ac<0,

X2-4X+4=1+4,

（-4）2-4xlxm=16-4m<0,

皿尸=5,

m>4.

x=2±75,

故答案為：m>4.

X]=2+75-X2=2-j5.

14.【答案】（一1，2）

【解析】解：???當(dāng)x=-3與x=1時，二次函數(shù)的函數(shù)值相等，

【解析】本題考查解一元二次方程一配方法，按照用配方法解一元二次方程的步驟進(jìn)行求解即可.

???二次函數(shù)的對稱軸為直線X=二歲=-J

18.【答案】解：由題意，S=（4+x）（3+x）-4x3=x2+7x+12-12=x2+7x,

???二次函數(shù)有最大值為2,所求函數(shù)關(guān)系式為S=x2+7x；

???二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（一1，2）.⑵當(dāng)x=5時，S=52+7X5=25+35=60,

故答案為：（一1,2）.當(dāng)邊延長5cm時，面積增大60cm上

本題考查二次函數(shù)的對稱性及頂點(diǎn)坐標(biāo)與對稱軸、最值的關(guān)系.

15.【答案】減小【解析】本題考查長方形背景下，由邊長變化引起的面積變化，列出有關(guān)函數(shù)關(guān)系式，并求某確定時刻的函數(shù)值.

【解析】解：次函數(shù)y=kx+1中，y隨x的增大而減小，19.【答案】解：（1）由已知表中的數(shù)據(jù)可分析出，此二次函數(shù)圖象的對稱軸為x=3,頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，-2）,

???k<0-設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為V=a（x-3）2-2,

???二次函數(shù)y=kx2-x-l開口向下，對稱軸為直線X=4-選點(diǎn)（1,0）代入，得4a-2=0,解得a=T,

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???所求二次函數(shù)表達(dá)式為y=T(x-3尸-2,即V=p2-3x+I；

(2)由二次函數(shù)對稱軸為直線x=3,

??二次函數(shù)圖象上與(0彳)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(6,全；

(3)當(dāng)y=0時，結(jié)合圖表可知X=1或x=5,

???拋物線開口向上，

???當(dāng)y>0時，X<1或X>5.

(1)令y=0,-x2+2x+3=0,解得x1=-1,x=3,

【解析】本題考查由二次函數(shù)的對應(yīng)數(shù)值求函數(shù)的表達(dá)式，同時考查二次函數(shù)的對稱性、增減性此題還考查了學(xué)生2

???圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(一1,0),(3,0).

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)觀察數(shù)據(jù)、運(yùn)用數(shù)據(jù)的靈活性.

(2)由題意可知圖象G中：當(dāng)x=0時，y=3;當(dāng)x=4時，y=-5;頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，4).

20.【答案】解：??四邊形ABCD為矩形,

當(dāng)直線y=m平移與函數(shù)G圖象只有一個交點(diǎn)時，m=4或一5<m<3.

Z.D=90s-

?,AD=8,CD=6,??在Rt△ADC中，AC=JAD2+CD2=Js2+62=10,

【解析】本題考查求函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)的求法，數(shù)形結(jié)合的分析、解決平行移動的直線與函數(shù)圖象交點(diǎn)的個

AEF是由△AEB沿AE折疊，

數(shù)問題.

???△AEF=△AEB.

22.【答案】解：由題意，2021年公司產(chǎn)品產(chǎn)量為3200x(1+25%[=5000(件)，

???AF=AB=6,CF=AC-AF=10-6=4,

設(shè)2021年技術(shù)改造后增長率為X.

設(shè)BE=EF=x,則EC=8-x,

.?由2023年產(chǎn)量可得:5000(1+x)2=11250,

在Rt△EFC中，EF2+CF2=EC2,

解得：x=0.5或乂=一2?5(舍)，

???x2+42=(8-x)2,解得：x=3,

2021年技術(shù)改造后每年的增長率為50%,

cEFAF3x6八

???S“EF==-=9.2024年產(chǎn)品產(chǎn)量為11250X(]+50%)=16875>16500.

【解析】本題考查在矩形背景下的折疊問題?解題中除運(yùn)用矩形性質(zhì)、折疊的軸對稱性之外，還運(yùn)用代數(shù)方法結(jié)合勾答：保持這樣的增長率，到2024年能完成公司的五年規(guī)劃.

股定理列方程，這是很重要的思想方法.【解析】本題考查有關(guān)增長率的實(shí)際問題通過分析各數(shù)據(jù)的年份關(guān)系，恰當(dāng)利用增長率列一元二次方程解決實(shí)際問

21.【答案】解：由題意可知，函數(shù)G的圖象如圖所示題.

23.【答案】解：由題意可得，點(diǎn)Q的行程力=33點(diǎn)P的行程y?=t,

點(diǎn)Q在AB之間時，S""。=|t!(0St?1),

4

點(diǎn)Q在BC之間時，SNAQ=2t(-<t$4),

點(diǎn)Q在CD之間時，S&PAQ=S6j3t)=_1t2+8t(4<tW蔡)，

由二次函數(shù)與一次函數(shù)的增減性可知，點(diǎn)Q在AB之間時，S隨t的增大而增大，點(diǎn)Q在BC之間時，S仍隨t的增