2023年成人高等學校招生全國統一考試

高起專數學(理)

一、選擇題;(本大題17小題，每小題5分，共85分，在每小題給出的四個選項中。只有一

項是符合題目要求的。)

(A)

1,設集合M=eeRI2=l,N=eR]3=,貝

A(1)B.(-1)C.(-1,1)D.空集

2.函數y=sin(x+ll)的最大值是()

A.11B.lC.-1D.-ll

3.設a是第一象限角,sina=l/3廁sin2a=(C)

A.4/9B.E$C,C6D.2/3

4設log2c=a,則Iog2(2ac2)=()

A2a2+1

B2a2-1

C.2a-1

D.2a+1

、“V2

5.設甲：Sinx=2乙：Cosx=2,則()

A.甲是的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

c.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

6.下列函數中，為增函數的是()

A.y=3

B.y=c2

C.y=-x2

D.y=-x3

7.已知點MQ,2),N(2,3)則直線MN的斜率為()

A5/3B.1C.-lD.-5/3

8,(l+i)2=2

A.-2

B.2

C.-2i

D.2i

9.若向量a=(l,-l),b=(l,x)且a+b=2廁x二

A.-4B,-lC.1D,4

10.(X3+l/4)4展開式中的常數項為

A.4B,3C.2D.l

11.向量a=(l,l,0),b=(l,2,3),則a,b=

A.2B.3C.6D,8

12在等比數列{aj中,a2=l,公比q=2,則a$={}

A.1/8B.l/4C.4D.8

13.函數f(x)=-x2+2x的值域是()

A.(0,+8)

B.(1,+00)

C.(-co,l)

D.(-<?,0)

14設函數

二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分)

18.過點(2,0)作圖x2+y2=16的切線，切點的橫坐標為2

19.曲線y=在點(1,1)處的切線方程是2X+Y-3=0

20.函數y=-x2+ax圖像的對稱軸為x-2,則a=4

21.九個學生期末考試的成績為79,63,88,94,99,77,89,81,85,這九個學生成績中

的中位數為85

三、解答愿，(本大題共4小題，共49分，解答應寫出推理，演算步驟)

22..記AABC的角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知B=60°,b2=ac,求A

已知AABC的角B=60°,b2=ac?

解：根據余弦定理，有：

bA2=aA2+cA2-2ac\cosB

因為B=60。，所以\cosB=l/2

代入上式，得：

bA2=aA2+cA2-ac

又因為bA2=ac,所以aA2+cA2=ac

所以a=c

根據正弦定理，有：

sinA=a\sinB

因為a=c,所以sinA=sinC

因為A+C=180°-B=120°,所以A=C

23.已知等差數列｛an｝中，a,+a3+as=6,a2+a4+a6=12,求｛aj的首項與公差

解：設等差數列｛an｝的首項為a,公差為d。根據題意，已知al+a3+a5=6,a2+a4+a6=12。

根據等差數列的性質，可以得到an=al+(nT)d,其中n為項數。

將n分別代入1、2、3、4、5、6,得到以下式子：

al二a

a2=a+d

a3=a+2d

a4=a+3d

a5=a+4d

a6=a+5d

將這些值代入已知條件，可以得到：

al+a3+a5=a+(a+2d)+(a+4d)=3a+6d=6--(1)

a2+a4+a6=(a+d)+(a+3d)+(a+5d)=3a+9d=12―(2)

將式子(1)和式子(2)組成一個方程組：

3a+6d=6

3a+9d=12

通過消元法或代入法求解上述方程組，可以得到a二-2和d二2。

因此，等差數列｛an｝的首項為-2,公差為2。

24,已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點到準線的距離為1

(1)求C的方程

(2)若A(1,m)(m>0)為C上一點，0為坐標原點，求C上另一點B的

坐標，使得OALOB

解：(1)由于焦點到準線的距離為p,已知焦點到準線的距離為1,我們可以得到p=L

將p代入拋物線的方程y2=2px,即可得到C的方程為y2=2x。

(2)設點B的坐標為(xi，yi)。由于OALOB,可以得到向量0A與向量0B的點積為0。

點A(1,m),點B(xi，yx).所以有向量OA?向量OB=0,即(1,m)-(Xi，yi)=0.

根據點積的定義，可以得到Lx】+my=0,將點A的坐標(Lm)和上述方程整理，可

得：Xi+m-yi=0。

由于點B在拋物線C上，滿足C的方程y2=2x。將點B的坐標(X1,yx)代入C的方程可以

得到yi2=2xi.

綜合以上兩個方程組成的方程組：

Xi+m-yi=0

y/=2xi

可以通過求解方程組來確定點B的坐標。將xi的值代入到第一個方程，可以解出力的值。

然后再將外的值代入到第二個方程，解得xi的值。

22

具體計算過程就是將xi+my=0帶入y/=2xi中，得到myi=2xlo代入m=y/x］，得到

(yi/xi)2.y」=2xi，化簡得到yi4=2xj。這時我們可將yj=2xj變形為的/%)3=1/2。令t=xi/yi，

那么t3=1/2=>(2t)3=l=>8t3=1。解出t的值為t=l/2o

因此，t=Xi/yi=l/2.將t代回方程Xi+m-yi=0中，得到xx+(y/2)=0,整理得到即yi=

-2xio

所以坐標為(xi，yx)=(xi，-2xi)o

綜上所述，C上滿足條件OALOB的點B的坐標為(xi，yl=(Xi，-2x-。

25.已知函數f(x)=(x-4)(x2-a)

(1)求f'(x)

(2)產(-1)=8,求f(x)在區間［0,4］的最大值與最小值

解：⑴已知函數f(x)=(x-4)(x2-a)

求f'(x)

根據導數的定義，f(x)=(x-4),(x2-a)+(x-4)(x2-a),

其中，(x-4)'=l,(x2-a)'=2x-a

所以，f'(x)=l(x2-a)+(x-4)(2x-a)

化簡得：f'(x)=x3-(3a+4)x+4a

根據題意，f,(-l)=8,KP(-l)3-(3a+4)*(-l)+4a=8

化簡得：a=-l

將a代入f(x),⑵根據導數與函數單調性的關系，當f'(x)>0

時，函數單調遞增；當f(x)<0時，函數單調遞減

所以，當x3+x+2>0時，函數單調遞增；當x3+x+2<0時，函數單調遞減

根據求導法則，我們可以得到函數f(x)在區間［0,4］的導數：

f'(x)=X3+X+2=(x+l)(x2+l)

根據導數與函數單調性的關系，我們可以得到函數f(x)在區間［0,4］的單調性：

當0<=x<=l時，f'(x)<0,函數單調遞減；

當l<x<=4時，f(x)>0,函數單調遞增；

根據函數的極值定理，當函數在某點的導數為0