九年級上冊數學導學案

目錄

第一章特殊平行四邊形第四章圖形的相似

1.1菱形的性質與判定4.1成比例線段

第1課時菱形的性質第1課時線段的比和成比例線段

第2課時菱形的判定第2課時比例的性質

1.2矩形的性質與判定4.2平行線分線段成比例

第1課時矩形的性質4.3相似多邊形

第2課時矩形的判定4.4探索三角形相似的條件

1.3正方形的性質與判定第1課時利用兩角判定三角形相似

第1課時正方形的性質第2課時利用兩邊及夾角判定三角形相似

第2課時正方形的判定第3課時利用三邊判定三角形相似

第二章一元二次方程第4課時黃金分割

2.1認識一元二次方程4.5相似三角形判定定理的證明

第1課時一元二次方程4.6利用相似三角形測高

第2課時一元二次方程的解及其估算4.7相似三角形的性質

2.2用配方法求解一元二次方程第1課時相似三角形中的對應線段之比

第1課時用配方法求解簡單的一元二次方程第2課時相似三角形的周長和面積之比

第2課時用配方法求解較復雜的一元二次方程4.8圖形的位似

2.3用公式法求解一元二次方程第1課時位似多邊形及其性質

第1課時用公式法求解一元二次方程第2課時平面直角坐標系中的位似變換

第2課時利用一元二次方程解決面積問題第五章投影與視圖

2.4用因式分解法求解一元二次方程5.1投影

2.5一元二次方程的根與系數的關系第1課時投影的概念與中心投影

2.6應用一元二次方程第2課時平行投影與正投影

第1課時幾何問題及數字問題與一元二次方程5.2視圖

第2課時營銷問題及平均變化率問題與一元二次方程第1課時簡單圖形的三視圖

第三章概率的進一步認識第2課時復雜圖形的三視圖

3.1用樹狀圖或表格求概率第六章反比例函數

第1課時用樹狀圖或表格求概率6.1反比例函數

第2課時概率與游戲的綜合運用6.2反比例函數的圖象與性質

3.2用頻率估計概率第1課時反比例函數的圖象

第2課時反比例函數的性質

6.3反比例函數的應用

第一章特殊平行四邊形

1.1菱形的性質與判定

第1課時菱形的性質

學習目標：

①通過折、剪紙張的方法，探索菱形獨特的性質。

②通過學生們的交流、計論、分析、類比、歸納、運用已學過的知識總結菱形的特征。

教學重點：菱形的概念和菱形的性質，菱形的面積公式的推導。

教學難點：菱形的性質的理解及菱形性質的靈活運用。

【預習案】

學習過程：

活動一：

自學課本例題以上的內容，完成下列問題：

1.如何從一個平行四邊形中剪出一個菱形來?

有_____________________

【探究案】

2.按探究步驟剪下一個四邊形。

①所得四邊形為什么一定是菱形？

②菱形為什么是軸對稱圖形？

有對稱軸。

圖中相等的線段有：

圖中相等的角有：

③你能從菱形的軸對稱性中得到菱形所具有的特有的性質嗎？自己完成證明。

性質：

證明:

活動二：對比菱形與平行四邊形的對角線

菱形的對角線：

平行四邊的對角線：

活動三：菱形性質的應用

1.菱形的兩條對角線的長分別是6cm和8cm,求菱形的周長和面積。

【訓練案】

2.如圖所示，菱形花壇ABCD的邊長為20cm,Z

ABC=60o

沿菱形的兩條對角線修建了兩條小路AC和BD,

求兩條小路的長和花壇的面積。

課效檢測：

一、填空

(1)菱形的兩條對角線長分別是12cm,16cm,它的周長等于,面積等

于C

(2)菱形的一條邊與它的兩條對角線所夾的角比是3:2,菱形的四個內角是a

(3)已知：菱形的周長是20cm,兩個相鄰的角的度數比為1：2,則較短的對角線長

是O

(4)已知：菱形的周長是52cm,一條對角線長是24Cm,則它的面積是

3

二、解答題

己知：如圖所示，在菱形ABCD中，周長為8cm,NBAD=I20。對角線AC,BD交于點0,

求這個菱形的對角線長和面積。

第2課時菱形的判定

學習目標：

1.理解并掌握菱形的判定方法，以及符號語言的應用:

2.靈活運用判定方法進行有關的證明和計算.

重點：掌握并會應用菱形判定方法.

難點：菱形判定方法的應用.

【預習案】

課前預習

你還記得菱形的定義嗎？菱形有哪些特殊性質？

邊：__________________________；____________

角:__________________________；____________

對角線：___________________________________

對稱性：___________________________________

【探究案】

1.木工在做菱形的窗格時,總是保證四條邊框一樣長,你知道其中的道理嗎?借助以下圖形

探索：如圖所示,在四邊形ABCD中,AB=BC=CD=DA1試說明四邊形ABCD是菱形.

證明:

我發現,的四邊形是菱形。

4

2.如下圖所示,在口ABCD中，若AC_LBD,則DVBCD是什么圖形?

證明：

我發現,的平行四邊形四邊形是菱形.

菱形的判定方法：

1、的四邊形是菱形

符號語言______________________________________________

2、的平行四邊形是菱形

符號語言______________________________________________

課堂活動

活動1預習反饋

活動2例習題分析

例OABCD的對角線AC、BD相交于點0,且AB=5A0=4,0B=3.求證：OABCD是菱形。

平行練習

1、一個平行四邊形的一條邊長是15,兩條對角線的長分別是12和9,這是一個特殊的平

行四邊形嗎？為什么？求它的面積。

歸I納：S裝般==

2、如圖所示，用兩張等寬的紙條交叉重疊地放在一起，重合的四邊形ABCD是一個菱形嗎？

為什么？

【訓練案】

課后鞏固

1、如圖所示，AE√BF,AC平分NBAD,且交BF于點C,BD平分NABC,且交AE于點D,連

接CD,求證：四邊形ABCD是菱形。

-------------A-------------------------------

2^DE

BCF

2、如圖，四邊形ABCD是菱形，點M,N分別在AB,AD上,且BM=DN,MG〃AD,NF〃AB,點F,G

分別在BC,CD上，MG與NF相交于點E.求證：四邊形AMEN,EFCG都是菱形。

1.2矩形的性質與判定

第1課時矩形的性質

學習目標：

1.能運用綜合法證明矩形性質定理。

2.體會證明過程中所運用的歸納概括以及轉化等數學思想方法。

【預習案】

回顧舊知：

1.你了解哪些特殊的平行四邊形？

2.這些特殊的平行四邊形與平行四邊形有哪些關系？

3.能用一張圖來表示它們之間的關系嗎？

自學提示：

（-）自主學習：

①平行四邊形活動框架在變化過程中，哪些量發生了變化？哪些量沒有變化？從中得到哪些

結論？你能試著說明結論是否成立？

②矩形的一條對角線把矩形分成兩個什么三角形？矩形的兩條對角線把矩形分成四個什么

樣的三角形？

6

1.矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形，叫做矩形。由此可見，矩形是特殊的

,它具有平行四邊形的所有性質。

2.結合上面兩個圖形說說矩形有哪些平行四邊形不具有的特殊性質？

3.證明：矩形的四個角都是直角

AB

已知：如圖所示，

求證：____________________

證明：

DC

證明：矩形對角線相等

已知：如圖所示，

求證：

證明：

【探究案】

合作探究：

問題一：如圖所示，矩形ABCD,對角線相交于0,觀察對角線所分成的三角形，你有什么

發現？

問題二將目光鎖定在Rt?ABC中，你能發現它有什么特殊的性質嗎？

證明："1直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半."

已知：

求證：

證明：

問題三上面結論的逆命題是：__________________________________________________

7

是否正確？請給予證明。

【訓練案】

鞏固練習

1.矩形除了具備平行四邊形的性質外，還有一些特殊性質：四個角,對角

線。

2.在矩形ABCD中，對角線AC、BD交于點0,若NAoB=Ioo,則NOAB=?

3、已知矩形的長為20,寬為12,順次連結矩形四邊中點所形成的四邊形的面積是

4,如圖所示，矩形ABCD的兩條對角線相交于點0,AQ-------------71。

已知NAoD=I20°,AB=2.5cm,求矩形對角線的長。

六、反思領悟

這節課我們學到了:.

我的疑問是：__________________________________________________

第2課時矩形的判定

學習目標：

1.會證明矩形的判定定理。

2.能運用矩形的判定定理進行計算與證明。

3.能運用矩形的性質定理與判定定理進行綜合推理與證明。

【預習案】

學習準備：

1?矩形是軸對稱圖形，它有條對稱軸.

2.在矩形ABCD中，對角線AC,BD相交于點0,若對角線AC=Ioen1,邊BC=8cm,則AABO

的周長為.

3.矩形是特殊的平行四邊形，怎樣判定一個平行四邊形是矩形呢？

請同學們說出最基本的方法：（用定義）

8

【訓練案】

鞏固練習

L矩形除了具備平行四邊形的性質外，還有一些特殊性質：四個角,對角

線。

2.在矩形ABCD中，對角線AC、BD交于點0,若N40B=100',則NoJ48=。

3、已知矩形的長為20,寬為12,順次連結矩形四邊中點所形成的四邊形的面積是

C4,如圖所示，矩形ABCD的兩條對角線相交于點0,

已知NAOD=I20°,AB=2.5cm,求矩形對角線的長。

六、反思領悟

這節課我們學到了:.

我的疑問是:__________________________________________________

第2課時矩形的判定

學習目標：

1.會證明矩形的判定定理。

2.能運用矩形的判定定理進行計算與證明。

3.能運用矩形的性質定理與判定定理進行綜合推理與證明。

【預習案】

學習準備：

L矩形是軸對稱圖形，它有條對稱軸.

2.在矩形ABCD中，對角線AC,BD相交于點0,若對角線AC=IoCn1,邊BC=8cm,則AABO

的周長為.

3.矩形是特殊的平行四邊形，怎樣判定一個平行四邊形是矩形呢？

請同學們說出最基本的方法：（用定義）

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【探究案】

1.知識點一：探究“對角線相等的平行四邊形是矩形。

如圖所示在OABCD中，對角線AC、BD相交于0,如果AC=BD

求證：OABCD是矩形。

證明：NBCD是平行四邊形

ΛAB=CD,AB∕/CD（）

ZABC+ZDCB=180

在AABC和aDCB中

ΛΔABC^ΔDCB()

，ZABC=ZDCB

.,.NABC=

OABCD是矩形()

2.知識點二：探究“三個角都是直角的四邊形是矩形J

已知：在四邊形ABCD中ZA=NB=NC=90°

求證：四邊形ABCD矩形

證明：VZA+ZB+ZC+ZD=?

而NA=NB=NC=90度

.?.ND=_________

二四邊形ABCD是平行四邊形（）

四邊形ABCD矩形（）

【訓練案】

1.如圖所示，￡7ABCD中，AB=6,BC=8,AC=IO,

10

求證：OABCD是矩形。

2.如上圖已知：OABCD的AC、BD對角線相交于O,AAOB是等邊三角形，AB=4cm,

求這個平行四邊形的面積。

能力提升：

△ABC中，點。是AC邊上一動點，過O點作直線MN〃BC,設MN交/BCA的

平分線于點E,交/BCA的外角平分線于點F,

(1)試說明EO=OF的理由。

(2)當點O運動到何處時，四

邊形AECF是矩形？并說明你的結論。

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1.3正方形的性質與判定

第1課時正方形的性質

學習目標：

1.理解正方形的定義，掌握正方形的性質和判定；

2.能運用正方形的性質和判定進行簡單的計算與證明.

【預習案】

自主學習：

1、正方形具有而一般菱形不具有的性質是（）

A.四條邊都相等B.對角線互相垂直平分C.對角線相等D.每一條對角線平分一組對角

2、正方形具有而一般矩形不一定具有的性質是（）

A.四個角相等B.四條邊相等C.對角線互相平分D.對角線相等

3、已知一個正方形的邊長為2cm,則對角線長為。

4、已知一正方形的對角線長為2cm,則它的邊長為O

5、若正方形的一條對角線長為4cm,則正方形的周長為,面積為；對角線

的交點到邊的距離為。

【探究案】

探究點1：矩形和正方形的關系

\1If故一做：用一張長方形的紙片（如圖所示）折出一個正方形.

問題1：什么樣的四邊形是正方形？

探究點2：正方形的性質

問題_2：正方形有什么性質？

由正方形的定義得知，正方形既是有一組鄰邊相等的矩形，又是有一個角是直角的菱

形.

12

所以，正方形具有矩形的性質，同時又具有菱形的性質.

正方形性質定理L正方形的四個角都是，四條邊都O

正方形性質定理2：正方形的兩條對角線相等并且

例L求證：正方形的兩條對角線把正方形分成四個全等的等腰直角三角形.

己知：四邊形ABCD是正方形，對角線AC、BD

--------相交于點O（如圖所示）.

求證：△ABO、ΔBC0、ΔCDO、ΔDAO是

全等的等腰直角三角形.

例2.已知：如圖所示，點E是正方形ABCD的邊CD上一點,

點F是CB的延長線上一點，且DE=BF.

(1)EA=AF;(2)EA±AF.

【訓練案】

1.⑴正方形的四條邊,四個角,兩條對角線

⑵正方形的兩條對角線把正方形分成四個全等的

⑶正方形的邊長為6,則面積為

⑷正方形的對角線長為6,則面積為

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2.如右圖，E為正方形ABCD邊AB上的一點，已知EC=30,EB=IO,

則正方形ABCD的面積為,對角線為

求NEAD與NECD的度數.

第2課時正方形的判定

學習目標：

1、知道正方形的判定方法，會運用平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定條件進行有關

的論證和計算。

2、經歷探究正方形判定條件的過程，發展學生初步的綜合推理能力，主動探究的學習習

慣，逐步掌握說理的基本方法。

3、理解特殊的平行四邊形之間的內在聯系，培養學生辯證看問題的觀點。

學習重點：掌握正方形的判定條件。

學習難點：合理恰當地利用正方形的判定定理解決問題。

【預習案】

14

預習檢測

1、下列說法中錯誤的是（）

A、對角線相等的菱形是正方形B、有一組鄰邊相等的矩形是正方形

C、四條邊都相等的四邊形是正方法D、有一個角為直角的菱形是正方形

2、已知四邊形兩對角線：①互相垂直；②相等:③互相平分。具備條件—可得平行四邊

形；具備條件可得矩形；具備條件可得是菱形；具備條件可得正

方形。（填序號）

3.我們學習了平行四邊形、矩形、菱形、正方形，那么思考一下，它們之間有怎樣的包含

關系？請畫出來。

【探究案】

探究點1：用菱形證明正方形.

1.已知四邊形ABCD是菱形，當滿足條件時，它成為正方形（填上你認為正確的一

個條件即可）

證明：

探究點2：用矩形證明正方形.

2.已知四邊形ABCD是矩形，當滿足條件時，它成為正方形（填上你認為正確的一

個條件即可）.

證明：

探究點3：用平行四邊形證明正方形

3.在RtZ^ABC中，ZACB=90o,CD平分∕ACB,DElBC,DFXAC,垂足分別是E,F。

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A求證：(1)四邊形CFDE是平行四邊形。

(2)四邊形CFDE是矩形或菱形(任選一項)。

(3)四邊形CFDE是正方形。

【訓練案】

1.如下圖E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD±,且NEAF=45°,試說明EF=BE+DF。

2.畫一個正方形，使它的對角線長為30,并說明畫法的依據。

3.如圖所示，在正方形ABCD的BC、CD邊上取E、F兩點，使NEAF=45°,AGEF于G.求

證：AG=ABo

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達標測試答案

1.解：將aADF旋轉到AABC,則aADF絲Z?ABG

ΛAF=AG,ZADF=ZBAG,DF=BG

VZEΛF=45o且四邊形是正方形，

ΛZADF+NBAE=45°

/.ZGAB+ZBAE=450

即ZGAE=45o

ΛΔAEF^ΔAEG(SAS)

AEF=EG=EB+BG=EB+DF

2.畫法：1、畫線段=30cm,取AC的中點0。

2、過點OffliAC的垂線，并分別在AC的兩側取OB=OD=15cm。

3、連結AB、BC,CD、DA.

則四邊形ABCD就是所要畫的正方形.

證明：VAO=CO,BO=DO

四邊形ABCD是平行四邊形?

又?.'AC=BD,，平行四邊形ABCD是矩形：AC_LBD

.?.平行四邊形ABCD是菱形。

二四邊形ABCD是正方形

補標練習答案：解析：欲證AG=AB,就圖形直觀來看，應證RtAABE與RtaAGE全等,

但條件不夠.

NEAF=45°怎么用呢？顯然/1+/2=45°,若把它們拼在一起，問題就解決了.

證明：把aAFD繞A點旋轉90°至AAHB.

VZEAF=45o,ΛZl+Z2=45o.

VZ2=Z3,ΛZl+Z3=45o.

又由旋轉所得AH=AF,AE=AE.

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ΔAEF^ΔAEH,

.?.ZAEH=ZAEF,

又?：ZABE=ZAGE,AE=AE,

???ΔABE^ΔAGE,

ΛΛG=AB.

第二章一元二次方程

2.1認識一元二次方程

第1課時一元二次方程

學習目標：

1.通過設置問題，建立數學模型，模仿一元一次方程概念給一元二次方程下定義.

2.一元二次方程的一般形式及其有關概念.

3.解決一些概念性的題目.

4.通過生活學習數學，并用數學解決生活中的問題來激發學生的學習熱情.

重點：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有關概念并用這些概念解決問

題.

難點：通過提出問題，建立一元二次方程的數學模型，再由一元一次方程的概念遷移到一

元二次方程的概念.

【預習案】

二、自學探究：

理解一元二次方程的概念，并會把一元二次方程化為一般形式。

自學教材，回答：

(1)如果設未鋪地毯區域的寬為xm,那么地毯中央長方形圖案的長為m,寬為

為m.

根據題意，可得方程______________________________________________

(2)試再找出(10、11、12、13、14以外)其他的五個連續整數，使前三個數的平方和等于

18

后兩個數的平方和:

如果設五個連續整數中的第一個數為X,那么后面四個數依次可表示為、、

、，根據題意可得方程：____________________________________________

(3)根據圖2-2,由勾股定理可知，滑動前梯子底端距墻m,如果設梯子底端滑動xm,

那么滑動后梯子底端距墻>n,梯子頂端距地面的垂直距離為π>,根據題意，可

得方程：______________________________________________________

【探究案】

探究點1：一元二次方程的概念

1.一元二次方程的一般形式是()

(1)提問a=0時方程還是一無二次方程嗎?為什么?(如果a=0、b≠0就成了一元一次方

程了)

(2)方程中af、bx、C各項的名稱及a、b的系數名稱各是什么？

(3)強調：一元二次方程的一般形式中“=”的左邊最多三項、其中一次項、常數項可以

不出現、但二次項必須存在、而且左邊通常按X的降事排列：特別注意的是“=”的右邊

必須整理成0.

探究點2：一元二次方程解決生活中的應用

根據下列問題，列出關于X的方程，并將其化成一元二次方程的一般形式：

⑴4個完全相同的正方形的面積之和是25,求正方形的邊長x;

⑵一個長方形的長比寬多2,面積是100,求長方形的長x；

⑶把長為1的木條分成兩段，使較短一段的長與全長的積，等于較長一段的長的平方，求

較短一段的長X。

【訓練案】

1.在下列方程中，一元二次方程有.

5

①3χ2+7=0②ax,bx+c=O③(χ-2)(x+5)=x2-l?3x2-X=0

2.方程2χ2=3(x-6)化為一般式后二次項系數、一次項系數和常數項分別是().

A.2,3,-6B.2,-3,18C.2,-3,6D.2,3,6

3.pχ2-3x+p'q=0是關于X的一元二次方程，則().

A.p=lB.p>0C.p≠0D.P為任意實數

19

4.方程3∕-3=2x+l的二次項系數為一次項系數為，

常數項為.

5.將下列方程化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項系數、及常數項:

⑴3x2+1=6x⑵4x2+5x=81⑶x(x+5)=0

(4)(2x-2)(x-l)=0(5)x(x+5)=5x-10(6)(3x-2)(x+l)=x(2x-l)

第2課時一元二次方程的解及其估算

學習目標

1.了解一元二次方程根的概念，會判定一個數是否是一個一元二次方程的根及利用它們解

決一些具體問題.

2.經歷方程解的探索過程，增進對方程解的認識，發展估算意識和能力。

重點：探索一元二次方程的解或近似解；

難點：培養學生的估算意識和能力.

【預習案】

學生活動：請同學獨立完成下列問題.

問題1.如圖所示，一個長為Iom的梯子斜靠在墻上，梯子的頂端距地面的垂直距離

為8m,那么梯子的底端距墻多少米？

設梯子底端距墻為xm,那么，

根據題意，可得方程為—

整理，得一

列表：

X012345678???

問題2.一個面積為120n√的矩形苗圃，它的長比寬多2m,苗圃的長和寬各是多少？

設苗圃的寬為xm,則長為m.

根據題意，得.

整理，得.

列表：

X0123456789101

1

20

【探究案】

探究點1：探究一元二次方程的解.

提問：(1)問題1中一元二次方程的解是多少？問題2中一元二次方程的解是多少？

(2)如果拋開實際問題，問題1中還有其它解嗎？問題2呢？

(3)如果拋開實際問題，問題(1)中還有x=-6的解；問題2中還有x=T2的解.

為了與以前所學的一元一次方程等只有一個解的區別，我們稱：

一元二次方程的解叫做一元二次方程的根.

回過頭來看：χ2-36=0有兩個根，一個是6,另一個是一6,但-6不滿足題意；同理，問

題2中的x=-12的根也滿足題意.因此，由實際問題列出方程并解得的根，并不一定是實際

問題的根，還要考慮這些根是否確實是實際問題的解.

例L下面哪些數是方程2x2+10x+12=0的根？

-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4.

分析：要判定一個數是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式兩邊相等即可.

解：將上面的這些數代入后，只有-2和-3滿足方程的等式，所以χ=2或x=-3是一元

二次方程2χ2+10x+12=0的兩根.

探究點2：用“夾逼法”解生活中的一元二次方程.

例2.要剪一塊面積為150cn√的長方形鐵片，使它的長比寬多5cm,?這塊鐵片應該怎

樣剪？

設長為XCm,則寬為(x-5)cm

列方程X(x-5)=150,BPx2-5χ-150=0

請根據列方程回答以下問題：

(I)X可能小于5嗎？可能等于10嗎？說說你的理由.

(2)完成下表：

X101121314151617???

1

x2-5x-15

_0________

(3)你知道鐵片的長X是多少嗎？

分析：χ2-5χ-150=0與上面兩道例題明顯不同,不能用平方根的意義和八年級上冊的整

式中的分解因式的方法去求根，但是我們可以用一種新的方法——“夾逼”方法求出該方

程的根.

解：(1)X不可能小于5.理由：如果x<5,則寬(x-5)<0,不合題意.

X不可能等于10.理由：如果X=I0,則面積χ2-5xT50=T00,也不可能.

(2)

X10121311151617......

11

x2-5x-15-10-8-66-46-202654......

21

0________044

(3)鐵片長x=15Cm

【訓練案】

一、選擇題

1.方程XCx-D=2的兩根為().

A.xι=O,X2=1B.xι=0,×2=-lC.x∣=l,X2=2D.xι=-l,X2=2

2.已知x=l是方程aχ2+bx+c=0的根(b≠0),則).

A.1B.-1C.0D.2

二、填空題

1.如果χ2-81=0,那么χ2-81=0的兩個根分別是XI=,x；

2.已知方程5x2+mχ-6=0的一個根是x=3,則m的值為.

3.方程(x+l)2+V2X(X+1)=0,那么方程的根XI=;X：

三、綜合提高題

1.如果x=l是方程aχ2+bx+3=0的一個根，求(a-b)?+4ab的值.

2.如果關于X的一元二次方程aχ2+bx+c=0(a≠0)中的二次項系數與常數項之和等于

一次項系數，求證：-1必是該方程的一個根.

X3-I

3.在一次數學課外活動中，小明給全班同學演示了一個有趣的變形，即在(X)

X3-IX3-I

-2xX+1=0,令~7~=y,則有y2-2y+l=0,根據上述變形數學思想(換元法)，解決小

明給出的問題：在(χ2T)2+(x2-l)=0中，求出(x2-l)2+(x2-l)=0的根.

4.一塊矩形鐵片，面積為Im2,長比寬多3m,求鐵片的長，小明在做這道題時，?是這樣

做的：

設鐵片的長為X,列出的方程為X(x-3)=1,整理得：χ2-3χ-l=0.小明列出方程后，

想知道鐵片的長到底是多少，下面是他的探索過程：

22

第一步:

X1234

x2-3χ-

1______3?

所以，_______<x<

第二步：

X3.13.23.3.

34

x2-3χ--0.9-0.3

1______66

所以，<x<

(I)請你幫小明填完空格，完成他未完成的部分；

(2)通過以上探索，估計出矩形鐵片的整數部分為,十分位為

答案：

一、1.D2.A

二、1.9,-92.-133.-1,I-晚

三、1.由已知，得a+b=?3,原式=(a+b)2=(-3)2=9.

2.a+c=b,a-b+c=O,把X=-I代入得

ax2+bx+c=a×(-1)2+b×(-1)+c=a-b+c=O,

???-1必是該方程的一根.

3.設y=χ2-l,貝∣Jy2+y=0,yι=0,y2=T,

即當χ2-l=0,Xj=LX2=~l;

當y2=~l時Ix2-l=-l,x2=0,

??X3=X4=O,

.'.Xi=Lx2=^l,X3=X4=O是原方程的根.

4.(1)-1,3,3,4,-0.01,0.36,3.3,3.4(2)3,3

2.2用配方法求解一元二次方程

23

第1課時用配方法求解簡單的一元二次方程

學習目標:

1.會用開平方法解形如(X十m)2=n(nN0)的方程.

2.理解一元二次方程的解法一一配方法.

重點：利用配方法解一元二次方程

難點：把一元二次方程通過配方轉化為(X十m)'=n(n>0)的形式.

【預習案】

1用直接開平方法解方程

2X2-8=0(X+6)2-9=0

2完全平方公式是什么？

3填上適當的數，使下列等式成立：

(1)X2+12X+=(x+6)2

(2)x2-l2x+=(X—)2

(3)X2+8X+=(x+)2

3

(4)X2+4χ+=(χ+)2

(5)x2+px+=(x+)2

觀察并思考填的數與一次項的系數有怎樣的關系？

【探究案】

探究點1：用配方法一元二次方程來解一元二次方程.

問題：下列方程能否用直接開平方法解？

X2+8X-9=0X3-IOx+25=7；

是否先把它變成(x+m)2=n(n≥0)的形式再用直接開平方法求解？

在這里，解一元二次方程的基本思路是將方程轉化成的形式，它的一邊是

另一邊是，當時兩邊便可以求出它的根。這種通過配成

進一步求得一元二次方程根的方法稱為配方法

問題：要使一塊矩形場地的長比寬多6m,并且面積為16m2,場地的長和寬應各是多少？

解：設場地寬為X米，則長為(x+6)米，根據題意得：()

整理得()

24

怎樣解方程X2+6X-16=O自學P36頁

例1:用配方法解下列方程

X2-8x+l=0

探究2：用配方法解一元二次方程步驟

總結用配方法解方程的一般步驟.

(1)化二次項系數為1,即方程兩邊同時除以二次項系數.

(2)移項，使方程左邊為二次項和一次項，右邊為常數項.

(3)要在方程兩邊各加上一次項系數一半的平方.(注：一次項系數是帶符號的)

(4)方程變形為(x+m)2=n的形式.

(5)如果右邊是非負實數，就用直接開平方法解這個一元二次方程；如果右邊是一個負

數，則方程在實數范圍內無解.

【訓練案】

1配方：填上適當的數，使下列等式成立：

(1)X2+12X+=(x+6)2

(2)XJ_12x+=(X_)"

(3)X2+8X+=(x+)2

2.將二次三項式X2-4X+1配方后得().

Λ.(χ-2)2+3B.(χ-2)-3C.(x+2)2+3D.(x+2)2-3

3.已知χ2-8x+15=0,左邊化成含有X的完全平方形式，其中正確的是().

A.X2-8X+(-4)2=31B.X2-8X+(-4)2=1

C.X2+8X+42=1D.X2-4X+4=-11

5.如果mx^+2(3-2m)x+3m-2=0(m≠0)的左邊是一個關于X的完全平方式，則m等于().

A.1B.-1C.1或9D.T或9

6.下列方程中，一定有實數解的是()

?

A.X2+1=0B.(2x+l)^=0C.(2x+l)^+3=0D.(2χ-a)2-a

7.方程X2+4X-5=0的解是.

X2-X-2

8.代數式表-1的值為0,則X的值為.

9.已知(x+y)(x+y+2)-8=0,求x+y的值，若設x+y=z,則原方程可變為,所

以求出Z的值即為x+y的值，所以x+y的值為—

10已知三角形兩邊長分別為2和4,第三邊是方程χ2-4x+3=0的解，求這個三角形的周長.

25

11.如果χJ4x+y'+6y+二二+13=0,求(xy)"的值.

12.新華商場銷售某種冰箱，每臺進貨價為2500元，市場調研表明：當銷售價為2900

元時，平均每天能售出8臺；而當銷售價每降50元時，平均每天就能多售出4臺，商場要

想使這種冰箱的銷售利潤平均每天達5000元，每臺冰箱的定價應為多少元？

x一?y

1.已知：x2+4x+y2-6y+13=0,求的值.

2.如圖所示，在RtZ?ACB中，ZC=90o,AC=8m,CB=6m,點P、Q同時由A,B兩點出發分

別沿AC、BC方向向點C勻速移動，它們的速度都是lm∕s,幾秒后aPCQ的面積為RtAACB

面積的一半.

第2課時用配方法求解較復雜的一元二次方程

學習目標：

1、知識與技能：能夠熟練地、靈活地應用配方法解一元二次方程。

2、能力培養：進一步體會轉化的數學思想方法來解決實際問題。

3、情感與態度：培養觀察能力，運用所學舊知識解決新問題。

重點：掌握配方法解一元二次方程。

難點:把一元二次方程轉換為(x+m)2=n(n>0)

【預習案】

熟練掌握解一元二次方程的兩種方法.

1、解下列方程：

9

2

(1)(2-X)2=3(2)(X-0)=64(3)2(x+l)J2

26

2、用配方法解方程:

(1)x2-6χ-40=0(2)χ2-6x+7=0(3)X2+4X+3=0

7

2

(4)X2-8X+9=0(5)X-3x=2

【探究案】

探究點1：如何用配方法解較復雜的一元二次方程

例L用配方法解下列方程：

d)jf(2jr5)=4Λ^10(2)X+5Λ+7=3Λ+11

探究點2：用配方法解生活中一元二次方程

例2.綠苑小區住宅設計，準備在每兩幢樓房之間，開辟面積為900平方米的一塊長方形綠地,

并且長比寬多10米，那么綠地的長應是多少米？

解:設綠地的寬是X米，則長是(x+10)米，根據題意得：

X(x+10)=900.

整理得

X3+10x=900,

配方得

(x+5尸=925.

解得

x1=-5+5^7,xj=-5-5>β7

由于綠地的邊長不可能是負數，因此綠地的寬只能是一5+5局米，于是綠地的長是

5+5亞米.

當堂訓練:

27

解下列方程：

1、2X2+5X-3=02、3χ-4χ-7=O

3、5X2-6X+1=04、X2+6X=1

【訓練案】

4

1、(1)x"-4x+=(χ-)2；(2)XJ-3x+=(χ-)"

2、方程d-12x=9964經配方后得(X-).

3、方程(x+m)z=n的根是_________________________

4、當X=T滿足方程/-2(a+l)2χ-9=0時，a=

5^已知:方程(m+l)x""+(m-3)χ-l=0,試問：

(1)m取何值時，方程是關于X的一元二次方程，求出此時方程的解;

(2)m取何值時，方程是關于X的一元一次方程？

6、方程y2-4=2y配方，得()

A.(y+2)2=6B.(y-l)2=5

C.(y-l)2=3