關于誤差分析及數據的處理2024/3/27第四章

誤差與實驗數據的處理教學目標：1.了解頻率分布、正態分布、標準正態分布。2.理解準確度與精密度的關系;選擇適當的分析方法、減小測量的相對誤差、檢驗和消除系統誤差。第2頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2024/3/27教學目標：3.撐握測定值的準確度與精密度的概念、區別、聯系;絕對誤差、絕對誤差、絕對偏差、平均偏差、相對平均偏差、標準偏差、相對標準偏差、總體標準偏差的計算;隨機誤差的區間概率;置信度與μ的置信區間;可疑值的取舍;顯著性檢驗;有效數字的意義和位數;數字修約規則、有效數字的運算;第3頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2024/3/27

第一節誤差的基本概念一、準確度與誤差1．真值(truevalue，T)：是試樣中待測組分客觀存在的真實含量。2．準確度：是分析結果與真值的相符程度。準確度通常用誤差來表示，誤差越小，表明分析結果的準確度越高。3．絕對誤差：絕對誤差是分析結果與真值之差，表示為：Ea=x-T或第4頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2024/3/274．相對誤差：相對誤差是絕對誤差與真值的百分比率。表示為：

絕對誤差和相對誤差都有正負之分。當測定值大于真值時，誤差為正，表明測定結果偏高；反之誤差為負，表明測定值偏低。在測定的絕對誤差相同的條件下，待測組分含量越高，相對誤差就越小；反之，相對誤差就越大。因此，在實際工作中，常用相對誤差表示測定結果的準確度。第5頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2024/3/27

5．中位數：即一組測定數據從小至大進行排列時，處于中間的那個數據或中間相鄰兩個數據的平均值、用中位數表示分析結果比較簡單，但存在不能充分利用數據的缺點。

6．真值：由于誤差不可避免地存在于測定中，所以任何真值都難以得知。在實際工作中，通常將純物質中元素的理論含量等于理論真值，國際計量大會上確定的長度、質量和物質的量單位等計量學約定真值，或公認的權威機構發售的標準參考物質（也稱為標準試樣）給出的參考值等當作真值來使用。第6頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2024/3/27第7頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2024/3/27二、精密度與偏差精密度：表示數次測定值相互接近的程度。它反映了測定值的再現性。精密度與準確度的關系可通過打靶的例子形象地加以說。第8頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2024/3/27準確度與精密度第9頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2024/3/27（一）絕對偏差、平均偏差和相對平均偏差絕對值偏差平均偏差：

:單次測量偏差的絕對值的平均值.

第10頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2024/3/27（二）標準偏差和相對標準偏差總體：一定條件下無限多次測定數據的全體。樣本：從總體中抽出的一組測定值。樣本大小（樣本容量）：樣本中所含測定值的數目。若樣本容量為n,平行測定數據為，則此樣本平均值為：當測定次數無限多時，所得的平均值即為總體平均值μ：第11頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2024/3/27

無限次測定時，總體的分散程度用總體標準偏差來衡量：有限次測定（n<20）時，采用樣本標準偏差S來衡量測定數據的分散程度，并將樣本標準偏差簡稱為標準偏差。式中n為測定次數，f=n-1稱為自由度。第12頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2024/3/27

標準偏差比平均偏差能更正確、更靈敏地反映測定值的精密度，能更好地說明數據的分散程度。

樣本的相對標準偏差（變異系數），簡稱相對標準偏差：第13頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2024/3/27（三）平均值的標準偏差第14頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2024/3/27與測定次數n的關系結論：1、增加測次數以提高精密度。

2、增加（過多）測量次數代價不一定能從減小誤差得到補償。般，3-4次就夠了，較高要求時可測5-9次。第15頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2024/3/27第16頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2024/3/27第17頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2024/3/27三、系統誤差和隨機誤差（一）系統誤差

系統誤差是由分析過程中某些確定的、經常性的因素引起的，因此對測定值的影響比較恒定。系統誤差的特點是具有“重復性”、“單向性”和“可測性”。1．方法誤差2．儀器和試劑誤差

3．操作誤差

第18頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2024/3/27二、隨機誤差1．隨機誤差隨機誤差又稱偶然誤差（accidenterror），它是由一此難以控制、無法避免的偶然因素造成的一類誤差。它具有大小和正負的不確定性，也稱為不確定誤差。

第19頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2024/3/272.系統誤差與隨機誤差的比較

:項目

系統誤差

隨機誤差

產生原因

固定的因素

不定的因素

分類

方法誤差、儀器與試劑誤差、主觀誤差

性質

重現性、單向性（或周期性）、可測性

服從概率統計規律、不可測性影響

準確度

精密度

消除或減小的方法

校正

增加測定的次數

第20頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2024/3/273．系統誤差與隨機誤差的關系

系統誤差與隨機誤差經常同時存在，有時也可能相互轉化。例如，在重量分析中，稱量時試樣因嚴重吸濕會產生系統誤差，而因輕微吸濕則可能產生隨機誤差、又如，滴定管的刻度誤差屬于系統誤差．但因其誤差小也可作為隨機誤差來處理。第21頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2024/3/27第二節隨機誤差的正態分布一、頻率分布：

雖然隨機誤差是由一些偶然因素引起，其大小及正負均具有隨機性。但經對大量測定數據進行統計學處理后，可以看出大多數數據是符合或基本符合正態分布規律。

在相同的實驗條件下，對某一合金中鐵的質量分數（%）進行重復測定，獲得以下100個測定值：第22頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2024/3/27第23頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2024/3/27

本例分為10組，再將全部數據由小至大排列成序，算出極差R。本例中R=1.92-1.63=0.29，由極差除以組數可計算出組距：

為了使每個數據只能進入某一組中，避免“騎墻”現象發生，通常將組界值多取一位，且以5為佳。頻數（frequency,ni）：測定值落在每組內的次數稱為頻數。頻率：頻數除以數據總數(n)稱為相對一頻數或者稱頻率。第24頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2024/3/27第25頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2024/3/27第26頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2024/3/27

由表4—1中的數據和圖4-4可以看出，測定數據具有明顯的集中趨勢。在全部測定數據中，位于1.715—1.835之間的數據是大多數（占79%），小于l.685的數據（占5%）和大于1.865的數據（占3%）都很少。上述圖形總結出測定值隨機分布的特點：

①離散特性，在平均值周韋分布；②集中趨勢，測定值向平均值集中；③遠離平均值的數據很少。第27頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2024/3/27二、正態分布

如果測定數據越多，分組越細，相對頻數直方圖的多邊形就將逐漸趨于一條峰狀的平滑曲線，即正態分布（normaldistribution）曲線，測定值及其隨機誤差大多數是服從正態分布規律的。第28頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2024/3/27（一）正態分布曲線的數學表達式

正態分布曲線是由著名數學家高斯（Gauss）在研究誤差理論時提出的，又稱高斯曲線（Guassiancurve），如圖4-4所示。其數學表達式為：y——概率密度；

總體平均值，表示無限次測量值集中的趨勢。

——總體標準偏差，它為總體平均值μ到曲線拐點的距離，表示無限次測量分散的程度。第29頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2024/3/27x——個別測量值；x-

——隨機誤差據此方程所繪制的曲線稱正態分布曲線。第30頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2024/3/27

1.隨機誤差的正態分布（ξ分布）將上述正態分布曲線的橫坐標x以（測定值）改用隨機誤差ξ來表示，ξ=x-μ，縱坐標則為誤差的概率密度函數f（ξ），就得到隨機誤差的正態分布曲線（圖4-5）隨機誤差有如下規律性：

（1)正誤差與負誤差出現的概率相等；

(2）小誤差出現的慨率大，大誤差出現的概率小，特別大的誤差出現的概率極小。第31頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2024/3/27第三節有限測定數據的統計處理

正態分布曲線反映了無限次測定數據（或測定次數大于20次）的分布規律。在實際分析工作中，測定次數都是有限的（n<20），其隨機誤差因此不服從正態分布。如何根據有限的測定值，合理地推斷總體的情況，就需要對它們進行統計處理。第32頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2024/3/27一、t分布曲線對于有限次數測定，μ和σ都未知。在這種情況下，只能用樣本標準偏差S來表示測定數據的分散情況。但若簡單地用S代替σ，按理論上的正態分布去處理數據，必然會引起誤差，而且測定次數越少，誤差就越大。為了解決這個問題，英國統計學家兼化學家戈塞特（W.S.Gosset)在1908年提出用t值代替u值，以對上述誤差進行補償。t定義為：第33頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2024/3/27這時隨機誤差已不遵從正態分布而呈t分布（studentdistribution）（圖4-7）。第34頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2024/3/27分布曲線反映了有限次測定數據及其隨機誤差的分布規律（n<20），其中縱坐標仍然為概率密度，橫坐標為統計量t值）從圖4-7可以看出，t分布曲線與標準正態分布曲線相似，都是對稱分布，只是t分布隨自由度f(f=n-1)而變化。

隨著測定次數增多，t分布曲線愈來愈陡峭，測定值的集中趨勢亦更加明顯。當n→∞時，t分布就趨近于標準正態分布，因此可認為標準正態分布就是t分布的極限。第35頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2024/3/27第36頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2024/3/27

置信度(confidence,P）表示樣本平均值出現在顯然，出現在此區間之外的概率為(1-P）。（1-P）稱為顯著性水平，用α表示，即α=1-P。由于t值與置信度和自由度均有關，使用時常加腳注說明，一般表示為。例如，例如表示置信度為95%，自由度為10時的t值。

表4—3中的數據可知，f值較小時（例如f＜10），t與u相差較大；隨著自由度的增加，t值逐漸減小并與u值接近，當f=20時，t與u已經相當接近、當f→∞時，t→u，s→σ。在引用t值時，一般取置信度為95%。第37頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2024/3/27二、平均值的置信區間

置信區間(confidenceinterval)：它指在一定置信度（所作判斷有把握的程度）下，以測定結果為中心，包含總體平均值的取值范圍。第38頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2024/3/27

該范圍愈小，說明測定值與μ愈接近，即測定的準確度愈高。在消除了系統誤差之后，總體平均值即為真值，因此僅通過有限次數的測定，就可以計算出以一定的概率包含真值的取值范圍，這就是置信區問的意義所在。

但是由于測定次數較少，由此計算出的置信區間不可能以百分之百的把握將μ包含在內，只能以一定的置信度進行判斷，一般應用下列兩種方法進行計算：第39頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2024/3/27

（一）已知總體標準偏差σ的情況此時，既可根據單次測定值（x），也可用樣本平均值（）進行計算，用平均值時精密度高一此，由u的定義式（4—14）可知：第40頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2024/3/27第41頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2024/3/27（二）已知樣本標準偏差S的情況對于少量測定數據，已知S時，必須根據t分布進行統計處理。第42頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2024/3/27第43頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2024/3/27

計算結果表明，置信度越高，置信區間就越寬。這就是說，要使判斷的可靠性增在，所給的區間就會加寬。區間的大小反映了估計的準確程度，而置信度高低說明估計的把握程度、100%的置信度意味著在無限大的區間內肯定會包含μ，但是這樣的區間毫無意義。

置信度的大小應根據實際工作的需要而定，在分析化學中，通常將置信度定為95%或90％。第44頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2024/3/27

必須指出的是，對例4-5中的置信區間，應理解為“在50.47%-50.49%的區間中包含總體平均值μ的把握有95%”；

但若理解為“未來測定的實驗數據，可能有95%將落入50.47%-50.49%區間內”就是錯誤的。第45頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2024/3/27三、顯著性檢驗

經常遇到這樣一些情況，某一分析人員對標準試樣進行分析，所得分析結果的平均值與標準值不完全一致；或者采用兩種不同的分析方法對同一試樣進行分析，得到的兩組數據的平均值也不完全相符。還經常遇到這樣的情況，兩個不同分析人員、不同實驗室或采用不同的分析方法對同一試樣進行分析時，兩組數據的平均值也存在較大的差異。第46頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2024/3/27如果上述分析結果之間存在明顯的系統誤差，就認為它們之間有“顯著性差異”；否則，就沒有顯著性差異，也就是說，分析結果之間的差異純屬隨機誤差引起的，屬于正常的原因。

這種判斷顯著性差異的方法稱為顯著性檢驗（significanttest），其實質是對一分析結果或分析方法的準確度作出評價。

在分析化學中經常遇到下列三種情況：第47頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2024/3/27

（一）平均值與標準值的比較（t檢驗法）t檢驗法是樣本平均值置信區間的一種應用。當樣本的隨機誤差遵從t分布時，考慮到已消除系統誤差后的總體平均值μ即是標準值（視為真值T）。由公式（4-21）得：第48頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2024/3/27

為了檢驗某一方法或某一操作過程是否存在系統誤差，可對標準試樣進行n次平行測定，并將所得數據代入式4-22中求出t值。再根據確定的置信度和已知的自由度，從表4-3中查出相應的t值，若計算出的中心的某區間已按指定的置信度將真值T包含在內，即兩者之間不存在顯著性差異，該差異由隨機誤差引起。反之則認為之間存在系統誤差。第49頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2024/3/27第50頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2024/3/27（二）兩組數據平均值精密度的比較（F檢驗法）

F檢驗法是通過比較兩組數據的方差s2，以判定它們的精密度是否存在顯著性差異的方法。首先計算出，它們分別代表方差較大和較小的那組數據的方差，其次根據下式計算F值：第51頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2024/3/27第52頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2024/3/27第53頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2024/3/27第54頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2024/3/27第55頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2024/3/27第56頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2024/3/27

（三）兩組平均值的比較（F檢驗和t檢驗）

不同分析人員或同一分析人員采用不同的方法分析同一試樣，所得到的平均值一般是不相等的。如何判斷這兩組數據之間是否存在系統誤差，即兩組平均值之間是否存在顯著性差異？這類問題的回答，亦可用t檢驗法。第57頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2024/3/27第58頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2024/3/27

應強調指出，如果兩組平均值的精密度之間存在顯著性差異，則表明方差較大的那組數據因測定的精密度低，其準確度已值得懷疑，因此不必再對兩個平均值進行t檢驗。第59頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2024/3/27第60頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2024/3/27第61頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2024/3/27二、可疑測定值的取舍

在一組平行測定數據中，常會出現與其他結果相差較大的個別測定值，該值稱為可疑值或異常值（也叫離群值或極端值等）。對于為數不多的測定數據，可疑值的取舍往往對平均值和精密度造成相當顯著的影響。

如果已經確定測定過程中發生過失，則無論此數據是否異常，一概都應舍去；而在原因不明的情況下，就必須按照一定的統計學方法進行檢驗，然后再對取舍作出判斷。以下介紹使用簡便的Q檢驗法和效果較好的格魯布斯（Grubbs）法。。第62頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2024/3/27（一）Q檢驗法第63頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2024/3/27第64頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2024/3/27（二）格魯布斯法第65頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2024/3/27第66頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2024/3/27第67頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2024/3/27

在運用格魯布斯法判斷可疑值的取舍時，由于引入了t分布中最基本的兩個參數，故該方法的準確度較Q檢驗法高，因此得到普遍采用。第68頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2024/3/27第四節提高分析結果準確度的方法一、選擇適當的分析方法

根據試樣的組成和性質等，結合對測定準確度的要求選擇合適的、有相應準確度的方法，制訂正確的分析方案是取得準確結果的重要因素。

各種分析方法的準確度和靈敏度各異，重量分析法和滴定分析法測定的準確度高但靈敏度低，適用于常量組分的分析；而儀器分析法具有較高的靈敏度，但是其準確度較低，適用于微量或痕量組分含量的測定。一般來講，相對誤差小的適用于常量分析；相對誤差大的適用于微量或痕量組分含量的測定。第69頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2024/3/27二、減小分析過程中的誤差

（一）減小測定誤差分析天平的絕對誤差是第70頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2024/3/27在滴定分析中，滴定管讀數誤差一般為，為了使讀數的相對誤差小于0.1%,滴定時所消耗的滴定劑的體積就應在20mL以上；若使用25ml的滴定管，則一般將滴定劑的體積控制在18-22ml之間。

若吸光光度法的相對誤差為2%，那么理論上只要稱樣時大于0.002g/2%=0.01g 就可以滿足要求了。第71頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2024/3/27（二）適當增加平行測定次數，減少隨機誤差

一般定量分析中，平行測定3-4次；對測定結果的準確度要求較高時，測定次數為10次左右。第72頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2024/3/27（三）消除測定過程中的系統誤差1．系統誤差的檢驗對照試驗用于檢驗和消除方法誤差

(1)用標準試樣進行對照試驗

用待檢驗的分析方法測定某標準試樣，并將測定結果與標準值進行比較，從而判斷該方法是否存在系統誤差：由于標準試樣的數量和品種有限，所以有些單位采用自制的“管理樣”進行對照試驗；有時也可根據試樣的大致組成用純物質制成“人工合成樣”進行對照試驗。第73頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2024/3/27

(2）用標準方法進行對照試驗

沒有合適的標準試樣時，常采用標準方法或公認的經典方法進行對照試驗。即用被檢驗的方法和標準方法對某試樣同時進行測定，然后對兩種方法的測定結果進行統計學檢驗、如果判斷兩種方法之間確有系統誤差存在，則需找出原因并予以校正。

若沒有合適的標準方法或公認的經典方法時，也可以采用文獻報道的同類方法進行對照試驗。第74頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2024/3/27（3）采用回收法進行試驗

當不具備上述兩種條件時，也可以采用回收法。回收法就是在待測定的試樣或試液中加入已知量的欲測定組分，進行多次平行測定，計算回收率（recovery）：

根據回收率是否滿足準確度的要求，判斷方法是否可靠。例如，要求方法的相對誤差小1%，則回收率應99%-101%范圍內。第75頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2024/3/27

此外在實際工作中，為了檢查分析人員之間的操作是否存在系統誤差或確定一批試樣分析結果的可靠性，常將一部分試樣重復安排給不同的分析者進行測定，稱之為“內檢”、有時又將部分試樣送交其他單位進行測定，稱之為“外檢”。

第76頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2024/3/27

2.系統誤差的消除

如果經對照試驗表明有系統誤差存在，則應設法找出其產生的原因并加以消除，通常采用以下方法：

(1)空自試驗

由試劑、蒸餾水、實驗器皿和環境帶入的雜質所引起的系統誤差，可通過空自試驗來扣除。

空自試驗是在不加試樣的情況下，按照試樣的分析步驟和條件而進行的分析試驗，所得的結果稱為空自值，從試樣測定結果中扣除空白值就起到了校正誤差的作用。第77頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2024/3/27空白值一般應該比較小，經扣除后就可以得到比較可靠的測定結果。如果空白值較大，就應該通過提純試劑、改用純度較高的溶劑或采用其他更合適的分析器皿等來解決問題，才能提高測定結果的準確度。

空自試驗對微（痕）最組分的測定具有很重要的意義、至于應選取何種純度的試劑和溶劑，應根據測定的要求而定，而不應盲目使用高純度的試劑，以免造成浪費。第78頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2024/3/27（2）校準儀器和量器

對于儀器不準確引起的系統誤差，可通過校準儀器來減免。在準確度要求較高的分析中，對所用滴定管、移液管、容量瓶和天平等都必須進行校準，計算測定結果時應采用校準值，以消除儀器和量器不準確帶來的誤差。

當允許測定結果的相對誤差大于0.1%時,一般不需要校準儀器。第79頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2024/3/27

(3)校正方法

某些分析方法的系統誤差可輔以其他方法進行校正。例如，重量分析法測定SiO2時，濾液中的硅，可用光度分析法測定后再加到重量分析法的結果中去。

綜上所述，選擇合適的分析方法；盡量減小測定誤差；適當增加平行測定的次數；消除或校正系統誤差；杜絕過失，就可以提高分析結果的準確度。第80頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2024/3/27

分析結果的正確表示也是分析過程中的一個重要環節，故不僅要表明其數值的大小，還應該反映出測定的準確度、精密度及次數。

采用置信區間也是表示分析結果的常用方式之一。

此外還應特別注意分析結果的有效數字，其位數必須與測定方法和儀器的準確度一致。第81頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2024/3/27第82頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2024/3/27第83頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2024/3/27三、分析化學中的質量保證與質量控制

每種方法獲得的一組分析結果中，都存在一定的隨機誤差。為了保證分析結果準確可靠，需對可能影響測定結果的各種因素和測定環節進行全面的控制和管理，使之處于受控狀態。因此建立一個完善的實驗室質星保證體系，對整個分析過程進行質量控制，就顯得異常要。第84頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2024/3/27第五節有效數字及其運算規則

在定量分析中，欲得到準確可靠的分析結果，不僅要準確地測定每個數據，而且還要進行正確的記錄和計算。

由于測定值不僅表不僅表示試樣中被測組分的含量,而且還反映了測定的準確程度，因此，在記錄實驗數據和計算結果中，保留幾位數字不是任意確定的，而是應根據測量儀器和分析方法的準確度而定。第85頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2024/3/27一、有效數字的意義和位數

1.有效數字——實際上能測量得到的數字（即具有實際意義的數字）。它由全部準確數字和最后一位不確定數字組成。2.計算有效數字位數時，必須注意“0”的位置。3.對于非測量所得的數字，如倍數、分數關系、它們沒有不確定性，其有效數字可視為無限多位。第86頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2024/3/274.等對數和負對數值，其有效數字的位數僅取決于小數點后數字的位數，因其整數部分只說明了該數據的方次。5.在乘除運算中，如果有效數字位數最少的因數的首數是“8”或“9”，則積或商的有效數字可以比這個因數多取一位。如：第87頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2024/3/27二、數字修約規則

“四舍六入五留雙”。即：當尾數≤4時舍去；當尾數≥6時進位；當尾數為5而后面的數為0時，則偶舍奇入；當尾數為5,而后有不是零的數時進位。0.55764→0.5576;0.28366→0.2837;1.02150→1.022;5.14250→4.142;12.3050→12.30;18.06501→18.07

注意：進行數字修約時只能一次修約完成，不能分步修約。第88頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2024/3/27三、有效數字的運算規則—先修約，后計算（一）加減法

計算結果的小數點后的位數應以參加運算各數據中小數點后位數最少（即絕對誤差最大）的那個數為依據。第89頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2024/3/27（二）乘除法計算結果的有效數字位數應以參加運算各數據中有效數字位數最少（即相對誤差最大）的那個數為依據。（1）運算中，若有效數字位數最少的因數的首數為“8”或“9”，則積或商的有效數字位數可比這個因數多取一位。（2）采用計算器進行計算時，一般不對中間每一步驟的計算結果進行修約，僅對最后的結果進行修約。第90頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2024/3/27四、有效數字運算規則在分析化學中的應用1．正確記錄測定值，只保留一位不確定數字；2．在計算測定結果這前，先根據運算方法（加減或乘除）正確定欲保留的位數，然后按照數字修約規則對各測定值進行修約，先修約后計算。最后的計算結果需保留幾位有效數字，一要符合事先確定的情況。第91頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2024/3/273．分析化學中的計算主要有兩大類。一類是各種化學平衡中有關濃度的計算。此時可依照上述平衡常數的位數來確定計算結果的有效數字的位數，一般為兩至三位。

4分析結果的表示：高含量組分（>10%），以四位有效數字表示；中等含量組分（1%-10%），以三位有效數字表示；微量組分（<1%），以兩位有效數字表示。各種誤差，一般取一至兩位有效數字。第92頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2024/3/27第93頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2024/3/27名校考研真題詳解:第94頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2024/3/27第95頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2024/3/27第96頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2024/3/27第97頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2024/3/27第98頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2024/3/27第99頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2024/3/27第100頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2024/3/27第101頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2024/3/27第102頁,共119頁，202