專題01集合與常用邏輯用語(yǔ)

一'知識(shí)速覽

1、集合中元素的性質(zhì)

2、元素與集合的關(guān)系

知識(shí)點(diǎn)1集合與元素

3、集合的表示方法

4、常見(jiàn)數(shù)集的記法與關(guān)系圖

知識(shí)點(diǎn)2集合之間的基本關(guān)系子集、真子集、相等、空集

知識(shí)點(diǎn)3集合的基本運(yùn)算，1、集合交用卜運(yùn)算的表示

集合與常用邏輯用語(yǔ)----------------------------------------—Q2、集合運(yùn)算中的常用二級(jí)結(jié)論

知識(shí)點(diǎn)4充分條件與必要條件1、充刖與^^牛

-----------------------------------2、充要條件

1、全稱量詞與全稱量詞命題

知識(shí)點(diǎn)5全稱量詞與存在量詞2、存在量詞與存在量詞命題

3、命題的否定

二'考點(diǎn)速覽

知識(shí)旅理

知識(shí)點(diǎn)1集合與元素

1、集合元素的三個(gè)特性：確定性、互異性、無(wú)序性；

2、元素與集合的關(guān)系：屬于或不屬于，用符號(hào)e或e表示

3、集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法

4、常見(jiàn)數(shù)集的記法與關(guān)系圖

集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集

符號(hào)NN*（或N+）ZQR

知識(shí)點(diǎn)2集合間的基本關(guān)系

表示

文字語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言圖形語(yǔ)言

關(guān)系

集合A的所有元素都是集合B的

子集Aq3或3衛(wèi)A

元素(尤eA貝！jXGB)O

或

基本

集合A是集合B的子集且集合B

關(guān)系真子集AUB或BVA

中至少有一個(gè)元素不屬于A

相等集合A,B的元素完全相同A=B

不含任何元素的集合.空集是任

空集0

何集合4的子集

知識(shí)點(diǎn)3集合的基本運(yùn)算

1、集合交并補(bǔ)運(yùn)算的表示

集合的并集集合的交集集合的補(bǔ)集

圖形語(yǔ)言u(píng)⑷

符號(hào)語(yǔ)言AB=GA,eAB=|x|xGA,SJCGeA=何％wU,MxwA}

2、集合運(yùn)算中的常用二級(jí)結(jié)論

(1)并集的性質(zhì)：AU0=A;AUA=A；AUB=BUA；=

(2)交集的性質(zhì)：Afl0=0；AAA=A；AHB^BHA；=

(3)補(bǔ)集的性質(zhì)：45[%)=。；&%(%)=0.=

[MAU8)=(["([^)；[u(An8)=([uA)uQB).

知識(shí)點(diǎn)4充分條件與必要條件

1、充分條件與必要條件

“若P,則/為真命題“若P，則為假命題

推出關(guān)系p*q

P是4的充分條件P不是9的充分條件

條件關(guān)系

q是P的必要條件q不是p的必要條件

定理關(guān)系判定定理給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的充分條件

性質(zhì)定理給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的必要條件

2、充要條件

(1)充要條件的定義

如果喏p，則如和它的逆命題“若鄉(xiāng)，則，’均為真命題，即既有°nq，又有“=0，就記作poq。

此時(shí)，p既是9的充分條件，也是9的必要條件，我們說(shuō)，是q的充分必要條件，簡(jiǎn)稱充要條件。

(2)充要條件的含義

若夕是4的充要條件，則4也是夕的充要條件，雖然本質(zhì)上是一樣的，但在說(shuō)法上還是不同的，

因?yàn)檫@兩個(gè)命題的條件與結(jié)論不同。

(3)充要條件的等價(jià)說(shuō)法:p是q的充要條件又常說(shuō)成是q成立當(dāng)且僅當(dāng)。成立，或p與4等價(jià)。

知識(shí)點(diǎn)5全稱量詞與存在量詞

1、全稱量詞與全稱量詞命題

(1)全稱量詞：短語(yǔ)“所有的”“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫作全稱量詞，并用符號(hào)“V”表示.

【注意】(1)全稱量詞的數(shù)量可能是有限的，也可能是無(wú)限的，由有題目而定；

(2)常見(jiàn)的全稱量詞還有“一切”、“任給”等，相應(yīng)的詞語(yǔ)是“都”

(2)全稱量詞命題：含有全稱量詞的命題，稱為全稱量詞命題.

符號(hào)表示：通常，將含有變量x的語(yǔ)句用p(x),q(x),r(x)，…表示,變量x的取值范圍用V表

示，那么，全稱量詞命題“對(duì)M中任意一個(gè)x,2(x)成立”可用符號(hào)簡(jiǎn)記為

【注意】(1)從集合的觀點(diǎn)看，全稱量詞命題是陳述某集合中所有元素都具有某種性質(zhì)的命題；

(2)一個(gè)全稱量詞命題可以包含多個(gè)變量；

(3)有些全稱量詞命題中的全稱量詞是省略的，理解時(shí)需要把它補(bǔ)出來(lái)。

如：命題“平行四邊形對(duì)角線互相平行”理解為“所有平行四邊形對(duì)角線都互相平行二

2、存在量詞與存在量詞命題

(1)存在量詞：短語(yǔ)“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫作存在量詞，并用符號(hào)"h'表示.

【注意】常見(jiàn)的存在量詞還有“有些”、“有一個(gè)”、“對(duì)某些”、“有的”等；

(2)存在量詞命題：含有存在量詞的命題，叫作存在量詞命題。

符號(hào)表示：存在量詞命題“存在M中的元素x，使p(x)成立"可用符號(hào)簡(jiǎn)記為

【注意】(1)從集合的觀點(diǎn)看，存在量詞命題是陳述某集合中有一些元素具有某種性質(zhì)的命題；

(2)一個(gè)存在量詞命題可以包含多個(gè)變量；

(3)有些命題雖然沒(méi)有寫出存在量詞，但其意義具備“存在”、“有一個(gè)”等特征都是存在量詞命題

3、命題的否定：對(duì)命題p加以否定，得到一個(gè)新的命題，記作“土”，讀作"非"'或p的否定.

(1)全稱量詞命題的否定：

一般地，全稱量詞命題“五6"山(耳”的否定是存在量詞命題：3XEM,^(X).

（2）存在量詞命題的否定：

一般地，存在量詞命題“七：6河心（九）”的否定是全稱量詞命題：\/x&M^q（x）

（3）命題與命題的否定的真假判斷：

一個(gè)命題和它的否定不能同時(shí)為真命題，也不能同時(shí)為假命題，只能一真一假.

即：如果一個(gè)命題是真命題，那么這個(gè)命題的否定是假命題，反之亦然.

（4）常見(jiàn)正面詞語(yǔ)的否定：

正面詞語(yǔ)等于（=）大于（＞）小于（＜）是都是

否定不等式（豐）不大于（＜）不小于（＞）不是不都是

正面詞語(yǔ)至多有一個(gè)至少有一^任意所有至多有n個(gè)

否定至少有兩個(gè)一個(gè)都沒(méi)有某個(gè)某些至少有n+1個(gè)

?

方法技巧

一、子集的個(gè)數(shù)問(wèn)題

如果集合A中含有n個(gè)元素，則有

（1）A的子集的個(gè)數(shù)有2"個(gè).（2）A的非空子集的個(gè)數(shù)有2"—1個(gè).

（3）A的真子集的個(gè)數(shù)有2"—1個(gè)（4）A的非空真子集的個(gè)數(shù)有2"—2個(gè).

【典例1】（2023?重慶?校聯(lián)考三模）數(shù)集{123,4,5}的非空真子集個(gè)數(shù)為（）

A.32B.31C.30D.29

【答案】C

【解析】因?yàn)榧蟵123,4,5}中含有5個(gè)元素，

所以集合{1,2,3,4,5}的非空真子集個(gè)數(shù)為25-2=30.故選：C

【典例2】（2023.福建泉州.泉州五中校考模擬預(yù)測(cè)）若集合A={無(wú)|ln尤＞l,xeN*},集合

8={x|x2-6x-7＜0},則的子集個(gè)數(shù)為（）

A.5B.6C.16D.32

【答案】C

【解析】由lnx＞l得了＞e,所以A={x|x〉e,xeN*},

解不等式一一6彳一7＜0得5={x|—l＜x＜7},

所以AB={3,4,5,6},所以的子集個(gè)數(shù)為24=16.故選：C

二、已知一個(gè)元素屬于集合，求集合中所含的參數(shù)值.

（1）確定性的運(yùn)用：利用集合中元素的確定性解出參數(shù)的所有可能值；

（2）互異性的運(yùn)用：根據(jù)集合中元素的互異性對(duì)集合中元素進(jìn)行檢驗(yàn).

【典例1】（2022秋?廣東廣州?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知集合A={a-2,"+4a,12},且-3eA,則。等于

（）

A.-3或-1B.-1C.3D.-3

【答案】D

【解析】因?yàn)椤?eA,當(dāng)。-2=—3,得。=—1,則4={-3,12},不合題意，故舍去.

當(dāng)°2+4a=—3,故。=一1（舍去）或a=—3,此時(shí)A={—5,—3,12},滿足.故選：D

【典例2】（2022秋?陜西商洛?高三陜西省山陽(yáng)中學(xué)校聯(lián)考期中）設(shè)集合A={0,1,4},若q-leA,則實(shí)數(shù)

a=.

【答案】2

【解析】當(dāng)a-1=0時(shí),a=l,此時(shí)4={0,1,1},不符合條件；

當(dāng)a-1=1時(shí),。=2,此時(shí)-={0,1,4},符合條件;

若4-1=",即“2_〃+1=0,無(wú)實(shí)根，不符合條件.

所以a=2.故答案為：2.

三、利用兩個(gè)集合之間的關(guān)系確定參數(shù)的取值范圍

第一步：弄清兩個(gè)集合之間的關(guān)系，誰(shuí)是誰(shuí)的子集；

第二步：看集合中是否含有參數(shù)，若A7B,

且A中含參數(shù)應(yīng)考慮參數(shù)使該集合為,空集的情形；

第三步：將集合間的包含關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程（組）或不等式（組），求出相關(guān)的參數(shù)的值或取值范圍.

常采用數(shù)形結(jié)合的思想，借助數(shù)軸解答.

【典例1】（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)集合4=聞。+1）（尤-3）40},8={x|a-5<x<。},若AgB,則實(shí)數(shù)

a的取值范圍是（）

A.[3,4]B.（3,4）C.（-8,4]D.[3,+oo）

【答案】B

【解析】由已知可得，集合4={N-l<xV3},8={x|a-5<x<。},

[a>3

因?yàn)锳gB,所以<,,（注意端點(diǎn)值是否能取到），

a-5<-1

解得3<。<4,故選：B.

【典例2】（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）（多選）已知集合B=[x\ax+l=0},且加A,則實(shí)數(shù)

a的取值可能為（）

A.-3B.-2C.0D.3

【答案】BCD

【解析】由題知2=4B={x\ax+\=Q],A=

所以8=10,{-；}，{f,O.

當(dāng)2=,一；*卜寸，此種情況不可能，所以舍去；

當(dāng)2={-孑時(shí)，一5+1=0,解得a=3；

當(dāng)2={：}時(shí)，1。+1=°，解得”=-2；

22

當(dāng)B=。時(shí)，a=0.

綜上可得實(shí)數(shù)。的可能取值為3,0,—2.故選：BCD.

四、根據(jù)集合運(yùn)算的結(jié)果確定參數(shù)的取值范圍

法一：根據(jù)集合運(yùn)算結(jié)果確定集合對(duì)應(yīng)區(qū)間的端點(diǎn)值之間的大小關(guān)系，確定參數(shù)的取值范圍.

法二：（1）化簡(jiǎn)所給集合；（2）用數(shù)軸表示所給集合；

（3）根據(jù)集合端點(diǎn)間關(guān)系列出不等式（組）；（4）解不等式（組）；（5）檢驗(yàn).

【注意】（1）確定不等式解集的端點(diǎn)之間的大小關(guān)系時(shí)，需檢驗(yàn)?zāi)芊袢　?"；（2）千萬(wàn)不要忘記考慮空集。

[典例1]（2023?海南海口?校聯(lián)考一模）已知集合A=^x\x2-2x-3<01,B=（x|-l<x<TW}，若AB=A,

則實(shí)數(shù)加的取值范圍為（）

A.（-3,+oo）B.（-<?,-3]C.[3,+oo）D.（-1,3]

【答案】B

【解析】解不等式，-2X-3<0,得—1<X<3,于是A=（T,3）,而3=（-1,T〃），

因?yàn)锳IB=A,則因此一加23,解得力z4—3,

所以實(shí)數(shù)加的取值范圍為（-8,-3].故選：B

【典例2】（2023.河南開(kāi)封?開(kāi)封高中校考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)集合A={x|x<2或xN4},3={x|aVxWa+1},若

瓜A）3=0,則。的取值范圍是（）

A.或a>4B.a<1或。24C.a<1D.a>4

【答案】B

【解析】由集合A={TX<2或XN4},得'A={x[24x<4},

又集合8={x|aVxWa+1}且&A）B=0,貝!Ja+l<2或a24,即a<l或aN4.故選：B.

五、利用充分必要條件求參數(shù)的策略

1、巧用轉(zhuǎn)化法求參數(shù)：把充分條件、必要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)

于參數(shù)的不等式（不等式組）求解；

2、端點(diǎn)取值需謹(jǐn)慎：在求參數(shù)范圍時(shí)，要注意邊界或區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn)，從而確定取舍。

【典例1】（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知集合A=[-2,5],B^[m+1,2m-l].若“無(wú)eB”是“xeA”的充

分不必要條件，則機(jī)的取值范圍是（）

A.（-?,3]B.（2,3]C.0D.[2,3]

【答案】B

【解析】若“xeB”是“xeA”的充分不必要條件，則8A,

m+1<2m-1

所以，加+112,解得2<〃/43,即機(jī)的取值范圍是（2,3].故選：B.

2m-1<5

【典例2】（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）己知"p:（x-⑼2>3（尤-㈤”是“4：1+3了-440”成立的必要不充分

條件，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為（）

A.f-7）1（1*）B.[1,+?）C.（-7,1）D.[-7,1]

【答案】A

【解析】由（x-，w）2>3（x-w?）得：x<m^x>3+m,所以P：x<〃?或%>3+加；

由尤2+3X-440得：-4<x<1,所以q:-44x41.

因?yàn)閜是9的必要不充分條件，即qnp且。4Q,

所以{x|-4*xWl}是{x[x</或]>3+加}的真子集,

所以切>1或〃2+3<-4,解得勿>1或根<一7.故選：A

易混易錯(cuò)

易錯(cuò)點(diǎn)1對(duì)集合表示方法的理解存在偏差

點(diǎn)撥：對(duì)集合表示法的理解不能只流于形式上的“掌握”，要對(duì)本質(zhì)進(jìn)行剖析，需要明確集合中的代表元

素類型（點(diǎn)集或者數(shù)集）及代表元素的含義。

【典例1】（2023?安徽安慶?安徽省桐城中學(xué)校考一模）集合A={A|y=lg（x2-4））,集合

卜|廣五一24一3卜全集U=R,貝。@A）B為（

A.[-2,2]B.[-2,+co）C.{2}D.（-oo,2]u[3,+oo）

【答案】B

【解析】對(duì)于集合A，由/一4>0=無(wú)>2或x<-2,所以A=（e,—2）.（2,4W）,^A=[-2,2],

y=>JX2-2X-3=^（X-1）2-4>0,.\B={y|y>0},故（6人73=|-2,+co）.故選：B

【典例2】（2023?黑龍江哈爾濱?哈師大附中校考模擬預(yù)測(cè)）已知集合A={（x,v）|y=x3},B={（x,y）\y=4無(wú)},

則AB=（）

A.{-2,0,2}B.{（0,0）}C.{（0,0）,（2,8）}D.{（-2,-8）,（0,0）,（2,8））

【答案】D

[y=x3jx=—2]元=0fx=2

【解析】解方程組”，可得。或c或。，

[y=4尤[y=-8[y=0[y=8

又因?yàn)?={（尤，刈丫=/},8={（無(wú)，切尸旬，則A3={（-2,-8）,（0,0）,（2,8）}.故選：D.

易錯(cuò)點(diǎn)2忽視（漏）空集導(dǎo)致錯(cuò)誤

點(diǎn)撥：空集不含任何元素，在解題過(guò)程中容易被忽略，特別是在隱含有空集參與的集合問(wèn)題中，往

往容易因忽略空集的特殊性而導(dǎo)致漏解。

【典例1】（2023.全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知集合4={*€W.<2},3={尤|ax-1^0},若BUA,則實(shí)數(shù)。=

（）

A.g或1B.0或1C.1D.1

【答案】B

【解析】由集合A={xeN*|國(guó)<2}={0,1},

對(duì)于方程辦-1=。，

當(dāng)。=0時(shí)，此時(shí)方程無(wú)解，可得集合3=0,滿足5UA；

當(dāng)awO時(shí)，解得x=L,要使得BOA,則滿足，=1,可得。=1,

aa

所以實(shí)數(shù)。的值為0或1.故選：B.

【典例2】（2023?全國(guó)?高三對(duì)口高考）設(shè)集合M={Mx>-2},N=付p-l<尤42p+l},若NuM,則實(shí)數(shù)

（）

A.l<x<3B.0<x<2C.x<2D.0<x<2

【答案】B

2

【解析】由一之1得0<九（2,

x

2

所以“1〈尤<