全國初中數學競賽試題精編

第Ol講銳角三角函數

題型選擇題填空題簡答題總計

題數1195

一、選擇題（本大題共11小題，共33.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.如圖，在RtZkABC中，?BAC=90o,ADl.BC于點。，若BD:CD=3:2,則tanB等于（）

A.IB.IC.孚D.

【答案】

D

【解析】

【分析】

本題考查了相似三角形的判定與性質及銳角三角函數的定義，難度一般，解答本題的關鍵是

根據垂直證明三角形的相似，根據對應邊成比例求邊長，先根據題意得出AABCsAC4D,然

后根據BC：CD=3：2,設BD=3x,CD=2x,利用對應邊成比例表示出4D的值，進而可

得出結論.

【解答】

解：?.?fit??BCφ,NBAC=90。，

.?.ZB+ZC=90°.

???AD1BC于點、D,

4B+/.BAD=90o,Z.C+Z.CAD=90°,

??BAD=Z.C,乙B=Z.CAD,

??.ΔABD?ACADr

二黑=縹，即4C2=BD?CD,

ADCD

VBD：CD=3：2,

.??設BD=3x,則CD=2x,

???AD=√3x?2x=√6x,

,Dad√6x_√6

EnB=前37=T

故選D.

2.如圖，在矩形ABCD中，點E是邊BC的中點，AEJ.BD,垂足為F,則tan4BDE的值是（）

AD

S

B1C1

√2--D√32

A.443

【解析】

【分析】

本題考查了相似三角形的判定和性質，矩形的性質，三角函數的定義等知識；熟練掌握矩形

的性質，證明三角形相似是解決問題的關鍵.

證明△BEF7Zλ4F,得出EF=N尸，EF=^AE,由矩形的對稱性得：AE=DE,得出EF=

?DE,設EF=X,則DE=3x,由勾股定理求出CF='DE?-EF2=2√∑χ,再由三角函數

定義即可得出答案.

【解答】

解：四邊形ABCD是矩形，

.?.AD=BC,AD//BC,

???點E是邊BC的中點，

BE==^AD,

BEFDAFf

1

—EF=—BE=—.

AFAD2

???EF=^AF,

：.EF=^AE,

?.?點E是邊BC的中點，

由矩形的對稱性得：AE=DE,

.?.EF=^DE,設EF=X,則DE=3x,

ΛDF=√DE2-EF2=2√2χ,

EF_X_√2

二tanBDE

?DF~2√2x—~4

故選A.

3.如圖，以點。為圓心，半徑為1的弧交坐標軸于4,B兩點，P是弧AB上一點（不與點4,B重

合），連接OP,設NPoB=α,則點P的坐標是（）

A.(sinα,sinα)B.(cosα,cosα)C.(cosα,sinα)D.(Sinα,cosa)

【答案】

C

【解析】

【分析】

見答案

【解答】

見答案

4.如圖，在5X4的正方形網格中，每個小正方形的邊長都是1,△4BC的頂點都在這些小正

方形的頂點上，貝IJSinNB4C的值為（）

c?lDt

【答案】

D

【解析】

【分析】

本題考查了勾股定理的運用以及解銳角三角函數，正確作出輔助線是解題的關鍵.

過C作CC，AB于。，首先根據勾股定理求出力C,然后在Rt△4C。中即可求出sin4BAC的值.

【解答】

解：如圖，過C作CD_L48于0,貝IJNAOC=90。，

.?.AC=>JAD2+CD2=√32+42=5.

?'?sinZ.BAC--ττ:=Μ

AC5

故選：D.

5.如圖，在中，SinB=∣,tanC=2,AB=3,則AC

的長為（）

A.√2B.苧C.√5D.2

【答案】

B

【解析】

【分析】

本題考查了勾股定理，銳角三角函數的定義等知識點，能熟記銳角三角函數的定義是解此題

的關鍵.過4作AD1BC于。，則44DC=4ADB=90°,根據已知求出/D=2DC,AB=3AD,

求出2D、CC的長，根據勾股定理求出AC即可.

【解答】

解：過4作4。IBC于。，則NADC=Na=90。,

.?.AD=2DC,AB=340,

?.?AB=3,

AD=1>DC=?,

在Rt△AZ)C中，由勾股定理得：

AC=y∕AD2+DC2=Jl2+(?)2=浮

故選：B.

6.如圖，在Rt△ABC中，4C=90°,AC=6,BC=8,將△4BC繞點4逆時針旋轉得到△4B'C',

使點C'落在48邊上，連結BB',則SinNBB'C'的值為()

【答案】

C

【解析】

【分析】

本題考查了旋轉的性質，勾股定理，銳角三角函數定義等知識，利用勾股定理求出BB'長是解

題的關鍵.

在RtZMBC中，利用勾股定理可求4B,由旋轉的性質可得AC=AC'=6,BC=B'C'=8,

ZC=/.AC'B'=90°,在Rt△BB'C'中,由勾股定理求得8B'的長，即可求解.

【解答】

解：VZC=90o,AC=6,BC=8,

.?.AB=y∕AC2+BC2=√36+64=10，

???將4ABC繞點A逆時針旋轉得到4AB'C',

.?.AC=AC=6,BC=B'C'=8,&C=?AC'B'=90°,

.?.BC=AB-AC=10-6=4,

.?.B'B=√BC'2+B'S=√16+64=4√5-

.?.SinNB夕C'=^=τ?=?>

BB4√55

故選：C.

7.如圖，將A48C放在每個小正方形的邊長為1的網格中，點4,B,C均在格點上，貝IJtGM

的值是（）

AWB.孚C.2D.?

J?4

【答案】

D

【解析】

【分析】

本題考查銳角三角函數的定義及運用：在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為

鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊，構造直角三角形是本題的關鍵.

首先構造以A為銳角的直角三角形，然后利用正切的定義即可求解.

【解答】

解：連接BD.

2√2.

貝IJtcmA=器=另=；.

AD2√22

故選：D.

8.如圖，在四邊形ABCD中，NZλ4B=90°,AD∕∕BC,BC=AC與8。交于點E,AC1BD,

則tan/BAC的值是()

11

√42C√22D

A.4-3-

C

【解析】

【分析】

本題考查了平行線的性質、相似三角形的判定與性質以及求三角函數值等知識：熟練掌握解

直角三角形，證明三角形相似是解題的關鍵.

證明ZMB,得出空=繪，證出4O=2BC,得出AB?=RCχ4。=口。x2BC=

ADAB

2BC2,因此4B=√∑BC,在Rt△?!BC中，由三角函數定義即可得出答案.

【解答】

解：???AD//BC,4DAB=90°,

.?.?ABC=180o-?DAB=90o,?BAC+?EAD=90°,

VAC1BD,

??.?AED=90°,

??.?ADB+?EAD=90°,

:?Z-BAC=Z.ADB,

.?.ΔABCSADAB9

.AB_8C

?^AD~~ABy

vBC="D,

：?AD=2BCy

22

?AB=BC×AD=BC×2BC=2BCf

AB=?[2BCy

在RtAABC中,tanzBXC=f∣=?=f

故選C.

9.如圖，已知AABC的三個頂點均在格點上，則cos4的值為（）

A空r2√3D等

-3

【答案】

D

【解析】

【分析】

本題考查了銳角三角函數的定義和勾股定理的逆定理，作出適當的輔助線，構建直角三角形

是解答此題的關鍵.如圖所示，連接BD,根據勾股定理的逆定理判斷AABC是直角三角形,

U.?ADB=90°,然后求出4B和AE）的長，利用銳角三角形函數的定義得到c。SA=組，代入計

AD

算即可.

【解答】

解：如圖所示，連接BD,

???BD2=I2÷I2=2,AB2=I2+32=10,AD2=22÷22=8,2+8=10,

???△ABD是直角三角形，且NADB=90°,

-AB=√Tδ,AD=V8=2√∑,

AAD2√22√5

COSi4=—=-7==

ABVlO5

故選。.

10.如圖，在Rt△48C中，ZC=90o,BC=遍，點。是4C上一點，連接BD若tan乙4=g,

tan?ABD=?,貝IJCD的長為（）

A.2√5B.3C.√5D.2

【答案】

C

【解析】略

11.如圖，在Rt△4BC中，?ACB=90o,CE是斜邊AB上的中線，8。ICE于點C,過點4作

AP,CE交CE延長線于點尸，下列結論不一定成立的是.（）

AC

A.4BAC=乙DBCB.tanzECB=蕓

BC

C.AF=BDD.CE=CB

【答案】

D

【解析】

【分析】

本題考查直角三角形的性質，全等三角形的判定和性質，銳角三角函數等知識.先根據直角三

角形斜邊中線等于斜邊一半，得至∣J4ACE=4CAE,再證乙4CE=NDBC,可判定4再根據直

角三角形斜邊中線等于斜邊一半，可得ZECB=?CBE,可判定B；證4AEF^LBED可判定C；

。結論無法推出，即可解答.

【解答】

解：???ΛACB=90%CE是斜邊AB上的中線，

：.CE=BE=AE,?ACE+乙BCE=90°,

：.Z.ACE=Z.CAE,

?.?BD1CF,

.?.?DBC+?BCD=90。，

.?.?ACE=乙DBC,即NBAC=乙DBC,故A正確；

???乙ACB=90°,

AC

■■IanZ-ABC—DC—,

?.CE是斜邊AB上的中線，

?CE=BE=AE,

???Z-ECB=Z-CBE,

：,tan乙ECB=帙，故B正確；

DC

-AFLCFtBD1CF,

AFIlBD,

???Z-FAE=乙EBD,

VAE=BE,Z-AEF=乙BED,

AEF=^BEDf

.?.AF=BD,故C正確；

CE=CB不一定成立，故。錯誤.

二、填空題（本大題共9小題，共27.0分）

12.如圖，在RtΔABC中，?ACB=90o,AB=9,cot?=2,點。在邊4B上，點E在邊4C上,

將AABC沿著折痕CE翻折后，點4恰好落在線段BC的延長線上的點P處，如果NBPD=乙4,

A

BCP

【答案】

2√2

【解析】

【分析】

本題考查了翻折變換，銳角三角函數，等腰直角三角形的性質，添加恰當輔助線構造直角三

角形是解題的關鍵.

過點E作EHJ.AB于先求出乙4CE=45。，由等腰直角三角形的性質可得。E=√∑OH,由

銳角三角函數可求DH的長，即可求解.

【解答】

解：過點E作EHl48于H,

???將AABe沿著折痕OE翻折,

???AD=DP,Z-ADE=乙PDE,

???乙BPD=ZjLZTl+4B=90°,

???乙BPD+乙B=90°,

o

?乙BDP=90=?ADPf

：.?ADE=45°,

???EHIa8,

，乙DEH=乙EDH=45。,

???DH=EH,

:?DE=&DH,

Vcot4=2=慧=COtZ-BPD=點，

HEBD

：?AH=2HE,DP=2BD,

：?AD=DP=3DH,

3

???BD=∣D∕7,

3

???AB=9=BD+AD=/H+3DH,

???DH=2,

??.DE=2Λ∕2?

13.如圖，點C在線段AR上，且∕C=2BC,分別以AC、BC為邊在線段AB的同側作正方形

ACDE.BCFG,連接EC、EG,則tan4CEG=

【答案】

1

2

【解析】解：連接CG,

在正方形ACDE、BCFG中,

?ECA=乙GCB=45°,

???乙ECG=90°,

設AC=2,BC=1,

.?.CE=2√2,CG=√2.

.,CG1

.??4tanr"cErC=近=5,

故答案為:?.

根據正方形的性質以及銳角三角函數的定義即可求出答案.

本題考查正方形，解題的關鍵是熟練運用正方形的性質以及銳角三角函數的定義，本題屬于

基礎題型.

14.如圖，在正方形力BCD中，E為4。的中點，4ABE沿BE翻折，點4落在點F處，聯結Z)F,

那么NEDF的正切值是

【答案】

2

【解析】

【分析】

本題主要考查了折疊問題正方形的性質及銳角三角函數的定義，折疊是一種對稱變換，它屬

于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，時應邊和對應角相等.由折疊可得

AE=FE,ΛAEB=ΛFEB,由折疊的性質以及三角形外角性質，即可得至IJNAEB=ZEDF,

進而得到tan/EOF=tan?AEB=繪=2.

AE

【解答】

由折疊可得4E=FE,?AEB=乙FEB=*EF,

???正方形ABCD中，E是A。的中點，

：.AE=DE=^AD=^AB,

■■■DE=FE,

???Z.EDF=乙EFD,

又???zλFF?ΔDEF的夕卜角，

?Z.AEF=乙EDF+Z.EFD,

.?.zfi,DF=^?AEF,

???/.AEB=?,EDF,

AB

?"?tan?EDF=tan?AEB=—AE=2.

故答案為：2.

15.如圖，在正方形ABCD中，AB=4√2.對角線AC,BD相交于點。.點E是對角線4C上一

點，連接BE,過點E作EFIBE,分別交CD,B。于點F,G,連接BF,交AC于點H,將△EFH

沿EF翻折，點H的對應點H'恰好落在BD上，得到AEFH'.若點F為CD的中點，則GH'的長是

【答案】

5

3

【解析】

【分析】

本題考查了正方形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，解直角三角形，圖形的翻折等

知識，本題十分復雜，解決問題的關鍵是關注特殊性，添加輔助線，需要十分扎實的基礎和

很強的能力.作輔助線，構建全等三角形，先根據翻折的性質得AEG"'三AEGH,所以AEGH'

的周長=AEGH的周長，接下來計算△EGH的三邊即可：證明△BME三△FNE(4S4K□A

BEO三4EFP(44S),得OE=PF=2,OB=EP=4,利用勾股定理計算GH的長.

【解答】

解：如圖，過點E作EMlBC于M,作ENICC于N,過點尸作FPlAe于P,連接GH,

B??C

?.?1??EFH沿EF翻折得到^EFH',

:心EGH-EGH,

???四邊形力BCD是正方形，

：.AB=CD=BC=4√2,乙BCD=90°,4ACD=Z.ACB=45°,

.?.BD=√2FC=8.△CPZ7是等腰直角三角形，

?.??是CO的中點，

.?.CF=1CD=2√2,

1

ΛCP=PF=2,OB=^BD=4,

vZ-ACD=?ACB,EMA.BC,EN1CDf

???EM=EN,乙EMC=乙ENC=乙BCD=90°,

?乙MEN=90°,

VEFlBE,

???乙BEF=90°,

???乙BEM=乙FEN,

VZ.BME=乙FNE,

???ABME三MNE(ASZ),

???EB=EF,

???Z.BEO+Z.PEF=Z.PEF+乙EFP=90°,

???Z-BEO=?EFP,

VZ-BOE=乙EPF=90°,

??.△BE0*EFP(44S),

.?.OE=PF=2,OB=EP=4,

4,c”GOPF日nOG2

VtanzOFG=-=-,即彳="

???OG=1,

.??EG=√22+I2=√5,

???OB//FP,

???乙OBH=乙PFH,

：?tan乙OBH=tanZ-PFH,

.OH_PH

,

???Ofi=PF

OH4c

——PH=-2=2,

?OH=2PH,

-OP=OC-PC=4-2=2,

24

???OH=(X2=氤

在Rt/?OG∕7中，由勾股定理得：GH=∣12+4)2

即加的長為∣.

故答案為?

16.如圖，在RtAABC中，?ACB=90o,AC=1,BC=2,。是邊AB上一點.連接CD,將

△力CD沿直線CD折疊，點4落在E處，當點E在C的內部（不含邊界）時，4）長度的取值范

圍是______

【答案】

—<AD<—

【解析】

【分析】

本題考查了翻折變換，勾股定理，銳角三角函數等知識，求出點E落在AC和BC上時4。的值是

本題的關鍵.由勾股定理可求AB的長，分別求出當點E落在4B上時和當點E落在BC上時，AD

的長，即可求解.

【解答】

解：???Z.ACB=90o,AC=1,BC=2,

.?.AB=√?C2+BC2=√5.

當點E落在48上時，如圖,

???將△4CD沿直線C。折疊，點A落在E處,

.?.?ADC=乙EDC=90°,

4ADAC

?.SA=后=而

AD1

.o,

.√5

?ADγλ=-ξ-

當點E落在BC上時，如圖，過點。作DH,AC于H,

???將AACO沿直線CD折疊，點4落在E處，

???Z-ACD=4ECD=45°,

???DH1?C,

????HDC=Z.HCD=45°,

???CH=DH9

右ADHBCn

vtαnΛ=-=-=2,

二HD=2AH=CHf

???AC=AH+CH=AH2AH=1,

12

ΛAHCH=I=DH,

?'?ad='A*DH2=?ɑ)2+(I)2=寺

二當點E在△4BC的內部（不含邊界）時，40長度的取值范圍是g<40<?,

故答案為:苧<AD<李

17.把兩個同樣大小的含45。角的三角尺按如圖所示的方式放置，其中一個三角尺的銳角頂

點與另一個的直角頂點重合于點A，且另三個銳角頂點B,C,。在同一直線上，則

tan?ADC=.

【答案】

√3

T

［解

【分析】

本題考查等腰直角三角形，含30度角的直角三角形，銳角三角函數的定義，關鍵是作4H1BC

于H，構造RtZMHD.

作1BC于H,由4ZBC是等腰直角三角形，得到4"=；BC=^AD,推出44DC=30°,

即可求解.

【解答】

解：作AHIBC于H,

H是BC中點，

1

???4H=抑，

?.,ΔADE=ΔBCA,

?AD=BC,

.?.AH=~AD,

.?.?ADC=30°,

.?.IanZ-ADC=y?

18.如圖，在Rt△力BC中，CD是斜邊AB上的中線，已知CD=5,AC=6,貝IJtanB的值為

【答案】

3

4-

【解析】

【分析】

本題考查銳角三角函數的定義以及勾股定理，首先求出SB長，再利用勾股定理求出BC長，最

后利用正切定義得出結果.

【解答】

解：在RtZMBC中，?ACB=90°,

CD是斜邊AB上中線,

.?.AB=2CD=10,

根據勾股定理，得BC=√4B2=8,

*AC63

.?,tanBd=-=-=-

故答案毋

19.如圖，半徑為√7的扇形04B中，ZO=60。，C為半徑。4上一點，過C作CD1OB于點D,

以C。為邊向右作等邊ACDE,當點E落在?上時，CO=.

【答案】

√3

【解析】

【分析】

本題考查解直角三角形，等邊三角形的性質，勾股定理，熟練掌握解直角三角形，等邊三角

形的性質，勾股定理是解題的關鍵.

如圖，連接0E,設。D=Tn.證明4OCE=90。，利用勾股定理構建方程求解即可.

【解答】

解：如圖，連接0E.設。O=nι.

A

??CDO=90o,

???(CoD=60o,

???2OCD=90o-60o=30o,

???OC=2OD=2m,

r?n

在RCAOCD中，???SinNCOO=潴，

???CD=sin60o?2m

√3

=—?2πm

=V3τn,

???△CDE是等邊三角形，

.?.CD=CE=√3m,乙DCE=60°,

二Z-OCE=M)CD+?DCE=90°,

?OC2+CE2=OE2,

2

?4m2+3m2=(√7),

解得：Wi=±1(負數舍去)，

?m=1,

二CD=√3×1=^√r3?

故答案為：√3.

【答案】

√5

T

【解析】略

三、解答題（本大題共5小題，共40.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

21.（本小題8.0分）

如圖，在Rt△4BC中，Z.C=90o,M是直角邊ZC上一點，MNlAB于點N,AN=3,/M=4,

求CoSB的值.

【答案】

解：???ZC=90o,MNLAB,

???乙C=乙ANM=90°,

又?.?乙4=乙4,

???△AMN?AABCf

ANAC3

,,AM~AB~41

設4C=3x,AB=4x,

由勾股定理得BC=y∕AB2—AC2=V?x，

??在Rt△i48C中，cosB=—=.

AB4x4

【解析】本題考查了相似三角形的判定與性質，勾股定理，銳角三角函數的定義,易證△

AMN*ABC,根據相似三角形的對應邊成比例可得第=^=p設AC=3x,AB=4x,利

AMAB4

用勾股定理得到8C="I"—"?=√7χ,即可根據余弦的定義得到答案.

22.（本小題8.0分）

如圖，在□ABCC中，過點B作BEICD于E,尸為力E上一點，JELNBFE=ZT.

(1)求證：ZM8F?△瓦4D；

(2)若/B=6,AD=4,?BAE=30%求8尸的長.

【答案】

(1)證明：???四邊形/WCD為平行四邊形，

:?AD//BJAB∕∕DCf

???(D+ZC=180°,乙BAE=Z.AED,

????AFB+乙BFE=180o,ZC=乙BFE,

Z-AFB=ZD,

ABF?AEAD；

(2)解：VBE1CD,ABIlDC,

???EB1AB.

.?.ΔABE為RtΔ,

-AB=6,Z.BAE=30°,

二cos30o=空，

AE

???AE=4百，

v?ABF?XEAD,

''AE=AD

Rn6BF

即：4√5=T'

?BF=2√3?

【解析】本題考查平行四邊形的性質，銳角二角函數定義，相似三角形的判定和性質的綜合

運用.

(1)根據平行四邊形的性質得到NBAE=NAEC,由乙BFE=NC可得乙4FB=N。，即可得到4

ABFSAEAD；

(2)先根據銳角函數定義得到4E,再根據相似三角形的邊對應成比例即可求得BF的長.

23.(本小題8.0分)

如圖，在平面直角坐標系Xoy中，矩形ABCD的對角線AC與BD交于點P(-3,1),點A的坐標為

(0,-3),BDIy軸于點E,反比例函數y=竽的圖象經過點P?

(2)若將矩形48C。向下平移n個單位，使點8落在反比例函數y=喑的圖象上，求Zl的值;

(3)求COSzPAD的值.

【答案】

解：(1)把P(-3,l)代入y=等得，譬=1，

解得Tn=-5；

(2)?.?P(-3,1),點A的坐標為(0,-3),BDLy軸于E,

.?.PE=3,AE=1-(-3)=4,

則Λ4=√32+42=5.

???四邊形4BCD是矩形，

.?.PB=PA=5,

???B的橫坐標為-3+5=2.

則B(2,1),

由Zn=-5,則此反比例函數的解析式為y=*=_?,

JXX

當％=2時，y=一|,

???下移的距離H為1一(一|)=今

(3)???四邊形ABC。是矩形，

?PD=PA=5,?PAD=?PDAf

???點。的橫坐標為：(-3)-5=-8,

???0(-8,1),

???4(0,-3),E(0,1),

??.DE=8,EA=4,

由勾股定理，得ZM=4√5,

.?.CoSNPAD=COSZPDA==?=-.

DA4√55

【解析】本題考查了待定系數法求反比例函數的解析式、反比例函數圖象上的坐標特點、矩

形的性質以及求銳角三角函數值.

(1)把點P的坐標代入y=竽即可求得小的值；

(2)根據坐標與圖形的性質可得PE、AE,即可求得P4,進而可得B的坐標，再由反比例函數

的解析式即可求得；

⑶由矩形的性質可得"4。=和。的坐標，再求出4。，利用余弦的定義可求出.

24.(本小題8.0分)

(1)如下圖所示，將一個測角儀放置在距離燈桿AB底部α米的點。處，測角儀高為b米，從C點

測得4點的仰角為ɑ,求燈桿AB的高度.(用含α,b,α的代數式表示)

(2)如下圖所示，將高度為2米的木桿CG放在燈桿4B前，測得其影長CH為1米，再將木桿沿著

BC方向移動1.8米至C