2021年江蘇省連云港市中考數學試卷一、選擇題（本大題共有8小題，每小題3分，共24分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確選項前的字母代號填涂在答題卡相應位置上）1．（3分）﹣3的相反數是（）A．3 B． C．﹣3 D．﹣2．（3分）下列運算正確的是（）A．3a+2b＝5ab B．5a2﹣2b2＝3 C．7a+a＝7a2 D．（x﹣1）2＝x2+1﹣2x3．（3分）2021年5月18日上午，江蘇省人民政府召開新聞發布會，公布了全省最新人口數據，其中連云港市的常住人口約為4600000人．把“4600000”用科學記數法表示為（）A．0.46×107 B．4.6×107 C．4.6×106 D．46×1054．（3分）正五邊形的內角和是（）A．360° B．540° C．720° D．900°5．（3分）如圖，將矩形紙片ABCD沿EF折疊后，點D、C分別落在點D1、C1的位置，ED1的延長線交BC于點G，若∠EFG＝64°，則∠EGB等于（）A．128° B．130° C．132° D．136°6．（3分）關于某個函數表達式，甲、乙、丙三位同學都正確地說出了該函數的一個特征．甲：函數圖象經過點（﹣1，1）；乙：函數圖象經過第四象限；丙：當x＞0時，y隨x的增大而增大．則這個函數表達式可能是（）A．y＝﹣x B．y＝ C．y＝x2 D．y＝﹣7．（3分）如圖，△ABC中，BD⊥AB，BD、AC相交于點D，AD＝AC，AB＝2，∠ABC＝150°，則△DBC的面積是（）A． B． C． D．8．（3分）如圖，正方形ABCD內接于⊙O，線段MN在對角線BD上運動，若⊙O的面積為2π，MN＝1，則△AMN周長的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空題（本大題共有8小題，每小題3分，共24分.不需要寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應位置上）9．（3分）一組數據2，1，3，1，2，4的中位數是．10．（3分）計算：＝．11．（3分）分解因式：9x2+6x+1＝．12．（3分）若關于x的方程x2﹣3x+k＝0有兩個相等的實數根，則k＝．13．（3分）如圖，OA、OB是⊙O的半徑，點C在⊙O上，∠AOB＝30°，∠OBC＝40°，則∠OAC＝°．14．（3分）如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，OE⊥AD，垂足為E，AC＝8，BD＝6，則OE的長為．15．（3分）某快餐店銷售A、B兩種快餐，每份利潤分別為12元、8元，每天賣出份數分別為40份、80份．該店為了增加利潤，準備降低每份A種快餐的利潤，同時提高每份B種快餐的利潤．售賣時發現，在一定范圍內，每份A種快餐利潤每降1元可多賣2份，每份B種快餐利潤每提高1元就少賣2份．如果這兩種快餐每天銷售總份數不變，那么這兩種快餐一天的總利潤最多是元．16．（3分）如圖，BE是△ABC的中線，點F在BE上，延長AF交BC于點D．若BF＝3FE，則＝．三、解答題（本大題共11小題，共102分.請在答題卡指定區域內作答，解答時寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17．（6分）計算：+|﹣6|﹣22．（6分）解不等式組：．（6分）解方程：﹣＝1．20．（8分）端午節吃粽子是中華民族的傳統習俗．某食品廠為了解市民對去年銷量較好的A、B、C、D四種粽子的喜愛情況，在端午節前對某小區居民進行抽樣調查（每人只選一種粽子），并將調查情況繪制成兩幅尚不完整的統計圖．根據以上信息，解答下列問題：（1）補全條形統計圖；（2）扇形統計圖中，D種粽子所在扇形的圓心角是°；（3）這個小區有2500人，請你估計愛吃B種粽子的人數為．21．（10分）為了參加全市中學生“黨史知識競賽”，某校準備從甲、乙2名女生和丙、丁2名男生中任選2人代表學校參加比賽．（1）如果已經確定女生甲參加，再從其余的候選人中隨機選取1人，則女生乙被選中的概率是；（2）求所選代表恰好為1名女生和1名男生的概率．22．（10分）如圖，點C是BE的中點，四邊形ABCD是平行四邊形．（1）求證：四邊形ACED是平行四邊形；（2）如果AB＝AE，求證：四邊形ACED是矩形．23．（10分）為了做好防疫工作，學校準備購進一批消毒液．已知2瓶A型消毒液和3瓶B型消毒液共需41元，5瓶A型消毒液和2瓶B型消毒液共需53元．（1）這兩種消毒液的單價各是多少元？（2）學校準備購進這兩種消毒液共90瓶，且B型消毒液的數量不少于A型消毒液數量的，請設計出最省錢的購買方案，并求出最少費用．24．（10分）如圖，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以點C為圓心，CB為半徑作⊙C，D為⊙C上一點，連接AD、CD，AB＝AD，AC平分∠BAD．（1）求證：AD是⊙C的切線；（2）延長AD、BC相交于點E，若S△EDC＝2S△ABC，求tan∠BAC的值．25．（10分）我市的前三島是眾多海釣人的夢想之地．小明的爸爸周末去前三島釣魚，將魚竿AB擺成如圖1所示．已知AB＝4.8m，魚竿尾端A離岸邊0.4m，即AD＝0.4m．海面與地面AD平行且相距1.2m，即DH＝1.2m．（1）如圖1，在無魚上鉤時，海面上方的魚線BC與海面HC的夾角∠BCH＝37°，海面下方的魚線CO與海面HC垂直，魚竿AB與地面AD的夾角∠BAD＝22°．求點O到岸邊DH的距離；（2）如圖2，在有魚上鉤時，魚竿與地面的夾角∠BAD＝53°，此時魚線被拉直，魚線BO＝5.46m，點O恰好位于海面．求點O到岸邊DH的距離．（參考數據：sin37°＝cos53°≈，cos37°＝sin53°≈，tan37°≈，sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈）26．（12分）如圖，拋物線y＝mx2+（m2+3）x﹣（6m+9）與x軸交于點A、B，與y軸交于點C，已知B（3，0）．（1）求m的值和直線BC對應的函數表達式；（2）P為拋物線上一點，若S△PBC＝S△ABC，請直接寫出點P的坐標；（3）Q為拋物線上一點，若∠ACQ＝45°，求點Q的坐標．27．（14分）在數學興趣小組活動中，小亮進行數學探究活動．（1）△ABC是邊長為3的等邊三角形，E是邊AC上的一點，且AE＝1，小亮以BE為邊作等邊三角形BEF，如圖1．求CF的長；（2）△ABC是邊長為3的等邊三角形，E是邊AC上的一個動點，小亮以BE為邊作等邊三角形BEF，如圖2．在點E從點C到點A的運動過程中，求點F所經過的路徑長；（3）△ABC是邊長為3的等邊三角形，M是高CD上的一個動點，小亮以BM為邊作等邊三角形BMN，如圖3．在點M從點C到點D的運動過程中，求點N所經過的路徑長；（4）正方形ABCD的邊長為3，E是邊CB上的一個動點，在點E從點C到點B的運動過程中，小亮以B為頂點作正方形BFGH，其中點F、G都在直線AE上，如圖4．當點E到達點B時，點F、G、H與點B重合．則點H所經過的路徑長為，點G所經過的路徑長為．

2021年江蘇省連云港市中考數學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共有8小題，每小題3分，共24分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確選項前的字母代號填涂在答題卡相應位置上）1．（3分）﹣3的相反數是（）A．3 B． C．﹣3 D．﹣【分析】根據相反數的概念解答即可．【解答】解：∵互為相反數的兩個數相加等于0，∴﹣3的相反數是3．故選：A．【點評】此題主要考查了相反數的意義，一個數的相反數就是在這個數前面添上“﹣”號；一個正數的相反數是負數，一個負數的相反數是正數，0的相反數是0．2．（3分）下列運算正確的是（）A．3a+2b＝5ab B．5a2﹣2b2＝3 C．7a+a＝7a2 D．（x﹣1）2＝x2+1﹣2x【分析】由合并同類項法則及完全平方公式依次判斷每個選項即可．【解答】解：A.3a和2b不是同類項，不能合并，A錯誤，故選項A不符合題意；B.5a2和2b2不是同類項，不能合并，B錯誤，故選項B不符合題意；C.7a+a＝8a，C錯誤，故選項C不符合題意；D．（x﹣1）2＝x2﹣2x+1，D正確，選項D符合題意．故選：D．【點評】本題主要考查合并同類項，完全平方公式等內容，熟記同類項定義及合并同類項法則是解題基礎．3．（3分）2021年5月18日上午，江蘇省人民政府召開新聞發布會，公布了全省最新人口數據，其中連云港市的常住人口約為4600000人．把“4600000”用科學記數法表示為（）A．0.46×107 B．4.6×107 C．4.6×106 D．46×105【分析】科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．當原數絕對值≥10時，n是正數．【解答】解：4600000＝4.6×106．故選：C．【點評】此題考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．4．（3分）正五邊形的內角和是（）A．360° B．540° C．720° D．900°【分析】根據多邊形內角和為（n﹣2）×180°，然后將n＝5代入計算即可．【解答】解：正五邊形的內角和是：（5﹣2）×180°＝3×180°＝540°，故選：B．【點評】本題考查多邊形內角和，解答本題的關鍵是明確多邊形內角和為（n﹣2）×180°．5．（3分）如圖，將矩形紙片ABCD沿EF折疊后，點D、C分別落在點D1、C1的位置，ED1的延長線交BC于點G，若∠EFG＝64°，則∠EGB等于（）A．128° B．130° C．132° D．136°【分析】在矩形ABCD中，AD∥BC，則∠DEF＝∠EFG＝64°，∠EGB＝∠DEG，又由折疊可知，∠GEF＝∠DEF，可求出∠DEG的度數，進而得到∠EGB的度數．【解答】解：如圖，在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFG＝64°，∠EGB＝∠DEG，由折疊可知∠GEF＝∠DEF＝64°，∴∠DEG＝128°，∴∠EGB＝∠DEG＝128°，故選：A．【點評】本題主要考查平行線的性質，折疊的性質等，掌握折疊前后角度之間的關系是解題的基礎．6．（3分）關于某個函數表達式，甲、乙、丙三位同學都正確地說出了該函數的一個特征．甲：函數圖象經過點（﹣1，1）；乙：函數圖象經過第四象限；丙：當x＞0時，y隨x的增大而增大．則這個函數表達式可能是（）A．y＝﹣x B．y＝ C．y＝x2 D．y＝﹣【分析】結合給出的函數的特征，在四個選項中依次判斷即可．【解答】解：把點（﹣1，1）分別代入四個選項中的函數表達式，可得，選項B不符合題意；又函數過第四象限，而y＝x2只經過第一、二象限，故選項C不符合題意；對于函數y＝﹣x，當x＞0時，y隨x的增大而減小，與丙給出的特征不符合，故選項A不符合題意．故選：D．【點評】本題主要考查一次函數，反比例函數及二次函數的性質，根據題中所給特征依次排除各個選項，排除法是中考常用解題方法．7．（3分）如圖，△ABC中，BD⊥AB，BD、AC相交于點D，AD＝AC，AB＝2，∠ABC＝150°，則△DBC的面積是（）A． B． C． D．【分析】過點C作BD的垂線，交BD的延長線于點E，可得△ABD∽△CED，可得＝＝，由AD＝AC，AB＝2，可求出CE的長，又∠ABC＝150°，∠ABD＝90°，則∠CBD＝60°，解直角△BCE，可分別求出BE和BD的長，進而可求出△BCD的面積．【解答】解：如圖，過點C作BD的垂線，交BD的延長線于點E，則∠E＝90°，∵BD⊥AB，CE⊥BD，∴AB∥CE，∠ABD＝90°，∴△ABD∽△CED，∴＝＝，∵AD＝AC，∴＝，∴＝＝＝，則CE＝，∵∠ABC＝150°，∠ABD＝90°，∴∠CBE＝60°，∴BE＝CE＝，∴BD＝BE＝，∴S△BCD＝?BD?CE＝×＝．故選：A．【點評】本題主要考查三角形的面積，相似三角形的性質與判定，解直角三角形等，看到面積或特殊角作垂線是常見的解題思路，也是解題關鍵．8．（3分）如圖，正方形ABCD內接于⊙O，線段MN在對角線BD上運動，若⊙O的面積為2π，MN＝1，則△AMN周長的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】由正方形的性質，知點C是點A關于BD的對稱點，過點C作CA′∥BD，且使CA′＝1，連接AA′交BD于點N，取NM＝1，連接AM、CM，則點M、N為所求點，進而求解．【解答】解：⊙O的面積為2π，則圓的半徑為，則BD＝2＝AC，由正方形的性質，知點C是點A關于BD的對稱點，過點C作CA′∥BD，且使CA′＝1，連接AA′交BD于點N，取NM＝1，連接AM、CM，則點M、N為所求點，理由：∵A′C∥MN，且A′C＝MN，則四邊形MCA′N為平行四邊形，則A′N＝CM＝AM，故△AMN的周長＝AM+AN+MN＝AA′+1為最小，則A′A＝＝3，則△AMN的周長的最小值為3+1＝4，故選：B．【點評】本題是為幾何綜合題，主要考查了圓的性質、點的對稱性、平行四邊形的性質等，確定點M、N的位置是本題解題的關鍵．二、填空題（本大題共有8小題，每小題3分，共24分.不需要寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應位置上）9．（3分）一組數據2，1，3，1，2，4的中位數是2．【分析】求中位數要把數據按從小到大的順序排列，位于最中間的一個數或兩個數的平均數為中位數．【解答】解：將這組數據從小到大的順序排列：1，1，2，2，3，4，處于中間位置的兩個數是2，2，那么由中位數的定義可知，這組數據的中位數是（2+2）÷2＝2．故答案為：2．【點評】本題為統計題，考查中位數的意義．中位數是將一組數據從小到大（或從大到?。┲匦屡帕泻?，最中間的那個數（或最中間兩個數的平均數），叫做這組數據的中位數．10．（3分）計算：＝5．【分析】根據二次根式的基本性質進行解答即可．【解答】解：原式＝＝5．故答案為：5．【點評】本題考查的是二次根式的性質與化簡，熟知二次根式的基本性質是解答此題的關鍵．11．（3分）分解因式：9x2+6x+1＝（3x+1）2．【分析】原式利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式＝（3x+1）2，故答案為：（3x+1）2【點評】此題考查了因式分解﹣運用公式法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵．12．（3分）若關于x的方程x2﹣3x+k＝0有兩個相等的實數根，則k＝．【分析】根據根的判別式△＝0，即可得出關于k的一元一次方程，解之即可得出k值．【解答】解：∵關于x的方程x2﹣3x+k＝0有兩個相等的實數根，∴△＝（﹣3）2﹣4×1×k＝0，解得：k＝．故答案為：．【點評】本題考查了根的判別式，牢記“當△＝0時，方程有兩個相等的實數根”是解題的關鍵．13．（3分）如圖，OA、OB是⊙O的半徑，點C在⊙O上，∠AOB＝30°，∠OBC＝40°，則∠OAC＝25°．【分析】連接OC，根據等腰三角形的性質和三角形內角和定理得到∠BOC＝80°，求出∠AOC，根據等腰三角形的性質計算．【解答】解：連接OC，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC＝40°，∴∠BOC＝180°﹣40°×2＝100°，∴∠AOC＝∠BOC+∠AOB＝100°+30°＝130°，∵OC＝OA，∴∠OAC＝∠OCA＝×（180°﹣∠AOC）＝）＝25°，故答案為：25．【點評】本題考查的是等腰三角形的性質，三角形內角和定理，掌握三角形內角和等于180°是解題的關鍵．14．（3分）如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，OE⊥AD，垂足為E，AC＝8，BD＝6，則OE的長為．【分析】根據菱形的性質和勾股定理，可以求得AD的長，然后根據等面積法即可求得OE的長．【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO，DO＝BO，∵AC＝8，BD＝6，∴AO＝4，DO＝3，∴AD＝＝＝5，又∵OE⊥AD，∴，∴，解得OE＝，故答案為：．【點評】本題考查菱形的性質、勾股定理，解答本題的關鍵是明確等面積法，利用數形結合的思想解答．15．（3分）某快餐店銷售A、B兩種快餐，每份利潤分別為12元、8元，每天賣出份數分別為40份、80份．該店為了增加利潤，準備降低每份A種快餐的利潤，同時提高每份B種快餐的利潤．售賣時發現，在一定范圍內，每份A種快餐利潤每降1元可多賣2份，每份B種快餐利潤每提高1元就少賣2份．如果這兩種快餐每天銷售總份數不變，那么這兩種快餐一天的總利潤最多是1264元．【分析】設每份A種快餐降價a元，則每天賣出（40+2a）份，每份B種快餐提高b元，則每天賣出（80﹣2b）份，由于這兩種快餐每天銷售總份數不變，可得出等式，求得a＝b，用a表達出W，結合二次函數的性質得到結論．【解答】解：設每份A種快餐降價a元，則每天賣出（40+2a）份，每份B種快餐提高b元，則每天賣出（80﹣2b）份，由題意可得，40+2a+80﹣2b＝40+80，解得a＝b，∴總利潤W＝（12﹣a）（40+2a）+（8+a）（80﹣2a）＝﹣4a2+48a+1120＝﹣4（a﹣6）2+1264，∵﹣4＜0，∴當a＝6時，W取得最大值1264，即兩種快餐一天的總利潤最多為1264元．故答案為：1264．【點評】本題屬于經濟問題，主要考查二次函數的性質，設出未知數，根據“這兩種快餐每天銷售總份數不變”列出等式，找到量之間的關系是解題關鍵．16．（3分）如圖，BE是△ABC的中線，點F在BE上，延長AF交BC于點D．若BF＝3FE，則＝．【分析】過點E作EG∥DC交AD于G，可得△AGE∽△ADC，所以，得到DC＝2GE；再根據△GFE∽△DFB，得＝＝，所以，即＝．【解答】解：如圖，∵BE是△ABC的中線，∴點E是AC的中點，∴＝，過點E作EG∥DC交AD于G，∴∠AGE＝∠ADC，∠AEG＝∠C，∴△AGE∽△ADC，∴，∴DC＝2GE，∵BF＝3FE，∴，∵GE∥BD，∴∠GEF＝∠FBD，∠EGF＝∠BDF，∴△GFE∽△DFB，∴＝＝，∴，∴＝，故答案為：．【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質，過點E作EG∥DC，構造相似三角形是解題的關鍵．三、解答題（本大題共11小題，共102分.請在答題卡指定區域內作答，解答時寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17．（6分）計算：+|﹣6|﹣22．【分析】根據立方根的定義，絕對值的代數意義，有理數的乘方計算即可．【解答】解：原式＝2+6﹣4＝4．【點評】本題考查了立方根的定義，絕對值，考核學生的計算能力，屬于簡單題，算對的值是解題的關鍵．18．（6分）解不等式組：．【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無解了確定不等式組的解集．【解答】解：解不等式3x﹣1≥x+1，得：x≥1，解不等式x+4＜4x﹣2，得：x＞2，∴不等式組的解集為x＞2．【點評】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．19．（6分）解方程：﹣＝1．【分析】觀察可得方程最簡公分母為：（x+1）（x﹣1），方程兩邊乘最簡公分母，可以把分式方程轉化為整式方程求解．【解答】解：方程兩邊同乘（x+1）（x﹣1），得（x+1）2﹣4＝（x+1）（x﹣1），整理得2x﹣2＝0，解得x＝1．檢驗：當x＝1時，（x+1）（x﹣1）＝0，所以x＝1是增根，應舍去．∴原方程無解．【點評】解分式方程的關鍵是兩邊同乘最簡公分母，將分式方程轉化為整式方程，易錯點是忽視檢驗．20．（8分）端午節吃粽子是中華民族的傳統習俗．某食品廠為了解市民對去年銷量較好的A、B、C、D四種粽子的喜愛情況，在端午節前對某小區居民進行抽樣調查（每人只選一種粽子），并將調查情況繪制成兩幅尚不完整的統計圖．根據以上信息，解答下列問題：（1）補全條形統計圖；（2）扇形統計圖中，D種粽子所在扇形的圓心角是108°；（3）這個小區有2500人，請你估計愛吃B種粽子的人數為500．【分析】（1）先計算出抽樣調查的總人數，用總人數減去喜歡A，C，D種粽子的人數的和即可到喜歡B種粽子的人數；（2）先求出D種粽子所占的百分比，然后360°×百分比即可求出D種粽子所在扇形的圓心角；（3）根據樣本估計總體即可．【解答】解：（1）抽樣調查的總人數：240÷40%＝600（人），喜歡B種粽子的人數為：600﹣240﹣60﹣180＝120（人），補全條形統計圖，如圖所示；（2）×100%＝30%，360°×30%＝108°，故答案為：108；（3）1﹣40%﹣10%﹣30%＝20%，2500×20%＝500（人），故答案為：500．【點評】本題考查了條形統計圖與扇形統計圖，體現了用樣本估計總體的思想，計算出D種粽子所占的百分比是解題的關鍵．21．（10分）為了參加全市中學生“黨史知識競賽”，某校準備從甲、乙2名女生和丙、丁2名男生中任選2人代表學校參加比賽．（1）如果已經確定女生甲參加，再從其余的候選人中隨機選取1人，則女生乙被選中的概率是；（2）求所選代表恰好為1名女生和1名男生的概率．【分析】（1）由一共有3種等可能性的結果，其中恰好選中乙同學的有1種，即可求得答案；（2）先求出全部情況的總數，再求出符合條件的情況數目，二者的比值就是其發生的概率．【解答】解：（1）∵已確定甲參加比賽，再從其余3名同學中隨機選取1名有3種結果，其中恰好選中乙的只有1種，∴恰好選中乙的概率為：．故答案為：．（2）畫樹狀圖如下圖：共有12種等可能的結果數，其中恰好有1名女生和1名男生的結果數為8，∴P（1女1男）＝＝．∴所選代表恰好為1名女生和1名男生的概率是．【點評】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率與古典概率的求解方法，列表法或畫樹狀圖法可以不重復不遺漏地列出所有可能的結果，適合于兩步完成的事件．用到的知識點為：概率＝所求情況數與總情況數之比．22．（10分）如圖，點C是BE的中點，四邊形ABCD是平行四邊形．（1）求證：四邊形ACED是平行四邊形；（2）如果AB＝AE，求證：四邊形ACED是矩形．【分析】（1）根據平行四邊形的性質得到AD∥BC，且AD＝BC，根據點C是BE的中點，得到BC＝CE，等量代換得AD＝CE，又因為AD∥CE，根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可得證；（2）根據對角線相等的平行四邊形是矩形進行證明．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，且AD＝BC．∵點C是BE的中點，∴BC＝CE，∴AD＝CE，∵AD∥CE，∴四邊形ACED是平行四邊形；（2）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝DC，∵AB＝AE，∴DC＝AE，∵四邊形ACED是平行四邊形，∴四邊形ACED是矩形．【點評】本題考查了平行四邊形的判定與性質，矩形的判定，屬于?？碱}，牢記矩形的判定定理是解題的關鍵．23．（10分）為了做好防疫工作，學校準備購進一批消毒液．已知2瓶A型消毒液和3瓶B型消毒液共需41元，5瓶A型消毒液和2瓶B型消毒液共需53元．（1）這兩種消毒液的單價各是多少元？（2）學校準備購進這兩種消毒液共90瓶，且B型消毒液的數量不少于A型消毒液數量的，請設計出最省錢的購買方案，并求出最少費用．【分析】（1）根據2瓶A型消毒液和3瓶B型消毒液共需41元，5瓶A型消毒液和2瓶B型消毒液共需53元，可以列出相應的二元一次方程組，然后即可求出這兩種消毒液的單價各是多少元；（2）根據題意，可以寫出費用和購買A型消毒液數量的函數關系，然后根據B型消毒液的數量不少于A型消毒液數量的，可以得到A型消毒液數量的取值范圍，再根據一次函數的性質，即可求得最省錢的購買方案，計算出最少費用．【解答】解：（1）設A型消毒液的單價是x元，B型消毒液的單價是y元，，解得，答：A型消毒液的單價是7元，B型消毒液的單價是9元；（2）設購進A型消毒液a瓶，則購進B型消毒液（90﹣a）瓶，費用為w元，依題意可得：w＝7a+9（90﹣a）＝﹣2a+810，∴w隨a的增大而減小，∵B型消毒液的數量不少于A型消毒液數量的，∴90﹣a≥a，解得a≤67，∴當a＝67時，w取得最小值，此時w＝﹣2×67+810＝676，90﹣a＝23，答：最省錢的購買方案是購進A型消毒液67瓶，購進B型消毒液23瓶，最低費用為676元．【點評】本題考查一次函數的應用、二元一次方程組的應用、一元一次不等式的應用，解答本題的關鍵是列出相應的方程組和列出相應的函數關系式，利用一次函數的性質和不等式的性質解答．24．（10分）如圖，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以點C為圓心，CB為半徑作⊙C，D為⊙C上一點，連接AD、CD，AB＝AD，AC平分∠BAD．（1）求證：AD是⊙C的切線；（2）延長AD、BC相交于點E，若S△EDC＝2S△ABC，求tan∠BAC的值．【分析】（1）根據SAS證明△BAC≌△DAC，所以∠ADC＝∠ABC＝90°，進而CD⊥AD，所以AD是⊙C的切線；（2）易證△EDC∽△EBA，因為S△EDC＝2S△ABC，且△BAC≌△DAC，所以S△EDC：S△EBA＝1：2，根據相似三角形的面積比等于相似比的平方得：DC：BA＝1：，根據正切的定義即可求出tan∠BAC的值．【解答】（1）證明：∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC．又∵AB＝AD，AC＝AC，∴△BAC≌△DAC（SAS），∴∠ADC＝∠ABC＝90°，∴CD⊥AD，即AD是⊙C的切線；（2）解：由（1）可知，∠EDC＝∠ABC＝90°，又∠E＝∠E，∴△EDC∽△EBA．∵S△EDC＝2S△ABC，且△BAC≌△DAC，∴S△EDC：S△EBA＝1：2，∴DC：BA＝1：．∵DC＝CB，∴CB：BA＝1：．∴tan∠BAC＝＝．【點評】本題考查了切線的判定，相似三角形的判定與性質，正切的定義，證明出△EDC∽△EBA是解題的關鍵．25．（10分）我市的前三島是眾多海釣人的夢想之地．小明的爸爸周末去前三島釣魚，將魚竿AB擺成如圖1所示．已知AB＝4.8m，魚竿尾端A離岸邊0.4m，即AD＝0.4m．海面與地面AD平行且相距1.2m，即DH＝1.2m．（1）如圖1，在無魚上鉤時，海面上方的魚線BC與海面HC的夾角∠BCH＝37°，海面下方的魚線CO與海面HC垂直，魚竿AB與地面AD的夾角∠BAD＝22°．求點O到岸邊DH的距離；（2）如圖2，在有魚上鉤時，魚竿與地面的夾角∠BAD＝53°，此時魚線被拉直，魚線BO＝5.46m，點O恰好位于海面．求點O到岸邊DH的距離．（參考數據：sin37°＝cos53°≈，cos37°＝sin53°≈，tan37°≈，sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈）【分析】（1）過點B作BF⊥CH，垂足為F，延長AD交BF于E，先根據三角函數的定義求出AE，繼而得出DE，再根據三角函數的定義求出BE，繼而得出BF，根據三角函數的定義得出CF，從而得出CH的長度；（2）過點B作BN⊥OH，垂足為N，延長AD交BN于點M，垂足為M，先根據三角函數的定義求出AM，繼而得出DM，再根據三角函數的定義求出BM，繼而得出BN，利用勾股定理求出ON，從而得出OH的長．【解答】解：（1）過點B作BF⊥CH，垂足為F，延長AD交BF于E，垂足為E，則AE⊥BF，由cos∠BAE＝，∴cos22°＝，∴，即AE＝4.5m，∴DE＝AE﹣AD＝4.5﹣0.4＝4.1（m），由sin∠BAE＝，∴，∴，即BE＝1.8m，∴BF＝BE+EF＝1.8+1.2＝3（m），又，∴，即CF＝4m，∴CH＝CF+HF＝CF+DE＝4+4.1＝8.1（m），即點O到岸邊DH的距離為8.1m；（2）過點B作BN⊥OH，垂足為N，延長AD交BN于點M，垂足為M，由cos∠BAM＝，∴，∴，即AM＝2.88m，∴DM＝AM﹣AD＝2.88﹣0.4＝2.48（m），由sin∠BAM＝，∴，∴，即BM＝3.84m，∴BN＝BM+MN＝3.84+1.2＝5.04（m），∴＝（m），∴OH＝ON+HN＝ON+DM＝4.58（m），即點O到岸邊的距離為4.58m．【點評】此題主要考查了解直角三角形的應用，充分體現了數學與實際生活的密切聯系，解題的關鍵是表示出線段的長后，理清線段之間的關系．26．（12分）如圖，拋物線y＝mx2+（m2+3）x﹣（6m+9）與x軸交于點A、B，與y軸交于點C，已知B（3，0）．（1）求m的值和直線BC對應的函數表達式；（2）P為拋物線上一點，若S△PBC＝S△ABC，請直接寫出點P的坐標；（3）Q為拋物線上一點，若∠ACQ＝45°，求點Q的坐標．【分析】（1）把點B坐標直接代入拋物線的表達式，可求m的值，進而求出拋物線的表達式，可求出點C的坐標，設直線BC的表達式，把點B和點C的坐標代入函數表達式即可；（2）過點A作直線BC的平行線AP1，聯立直線AP1與拋物線表達式可求出P1的坐標；設出直線AP1與y軸的交點為G，將直線BC向下平移，平移的距離為GC的長度，可得到直線P2P3，聯立直線表達式與拋物線表達式，可求出點P的坐標；（3）取點Q使∠ACQ＝45°，作直線CQ，過點A作AD⊥CQ于點D，過點D作DF⊥x軸于點F，過點C作CE⊥DF于點E，可得△CDE≌△DAF，求出點D的坐標，聯立求出點Q的坐標．【解答】解：（1）將B（3，0）代入y＝mx2+（m2+3）x﹣（6m+9），化簡得，m2+m＝0，則m＝0（舍）或m＝﹣1，∴m＝﹣1，∴y＝﹣x2+4x﹣3．∴C（0，﹣3），設直線BC的函數表達式為y＝kx+b，將B（3，0），C（0，﹣3）代入表達式，可得，，解得，，∴直線BC的函數表達式為y＝x﹣3．（2）如圖，過點A作AP1∥BC，設直線AP1交y軸于點G，將直線BC向下平移GC個單位，得到直線P2P3．由（1）得直線BC的表達式為y＝x﹣3，A（1，0），∴直線AG的表達式為y＝x﹣1，聯立，解得，或，∴P1（2，1）或（1，0），由直線AG的表達式可得G（0，﹣1），∴GC＝2，CH＝2，∴直線P2P3的表達式為：y＝x﹣5，聯立，解得，，或，，∴P2（，），P3（，），；綜上可得，符合題意的點P的坐標為：（2，1），（1，0），（，），（，）；（3）如圖，取點Q使∠ACQ＝45°，作直線CQ，過點A作AD⊥CQ于點D，過點D作DF⊥x軸于點F，過點C作CE⊥DF于點E，則△ACD是等腰直角三角形，∴AD＝CD，∴△CDE≌△DAF（AAS），∴AF＝DE，CE＝DF．設DE＝AF＝a，則CE＝DF＝a+1，由OC＝3，則DF＝3﹣a，∴a+1＝3﹣a，解得a＝1．∴D（2，﹣2），又C（0，﹣3），∴直線CD對應的表達式為y＝x﹣3，設Q（n，n﹣3），代人y＝﹣x2+4x﹣3，∴n﹣3＝﹣n2+4n﹣3，整理得n2﹣n＝0．又n≠0，則n＝．∴Q（，﹣）．【點評】本題屬于二次函數綜合題，主要考查利用平行轉化面積，角度的存在性等，在求解過程中，結合背景圖形，作出正確的輔助線是解題的基礎．27．（14分）在數學興趣小組活動中，小亮進行數學探究活動．（1