絕密★考試結束前2022-2023學年高二下學期期中數學模擬試卷（試卷滿分150分，考試用時120分鐘）姓名___________班級_________考號_______________________注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求.1．（2022秋·山西陽泉·高二陽泉市第一中學校校考期中）設，向量，，，且，，則的值為（）A．B．1C．2D．3【答案】A【解析】由于，所以，所以.故選：A2．（2022春·重慶·高二校聯考期中）設，，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由可得，所以,所以，故選：C3．（2022春·福建泉州·高二泉州五中校考期中）在二項式的展開式中，含的項的二項式系數為（）A．28B．56C．70D．112【答案】A【解析】∵二項式的展開式中，通項公式為，令，求得，可得含的項的二項式系數為，故選：A.4．（2022春·四川成都·高二四川師范大學附屬中學校考期中）四川師大附中某停車場某處并排連續有6個停車位，現有三輛汽車需要停放，為了方便司機上下車，規定：任何兩輛汽車都不得相鄰停放，則不同的停車方法有（）A．B．C．D．【答案】C【解析】任何兩輛汽車都不得相鄰，即相當于把3輛車插入到3個停車位產生的4個空里，故有種不同的停車方法.故選：C.5．（2022春·江蘇鹽城·高二江蘇省阜寧中學校聯考期中）隨機變量的分布列如下：-101其中，，成等差數列，則的最大值為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因為，，成等差數列，，.則的最大值為6．（2022春·江蘇蘇州·高二蘇州中學校考期中）某班有名學生，一次數學考試的成績近似地服從正態分布，平均分為，標準差為，理論上說在分到分的人數約為（）附：若隨機變量，則，，.A．B．C．D．【答案】B【解析】因為數學成績服從正態分布，所以，，所以，，因此，理論上說在分到分的人數約為.故選：B.7．（2022春·江蘇宿遷·高二統考期中）被9除所得的余數是（）A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】,因為能被9整除，所以被9除所得的余數等于被9除的余數，因為除以9余2，所以被9除所得的余數是2，故選：C8．（2022春·江蘇蘇州·高二校考期中）已知函數在區間內存在極值點，且在R上恰好有唯一整數解，則實數的取值范圍是(

)A．B．C．D．【答案】D【解析】∵，∴，當時，恒成立，∴在上單調遞增，不存在極值點，不合題意；當時，令，解得，當時，；當時，；∴在上單調遞減，在上單調遞增；∴的極小值點為，無極大值點；在上存在極值點，∴，當，即時，，則在R上無解，不合題意；當時，∵f(0)=0，故要使恰有唯一整數解，則該整數解為，，，，解得；當時，∵f(0)=0，故要使恰有唯一整數解，則該整數解為，，，，解得；綜上所述，實數a的取值范圍為．故選：D．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9．（2022春·江蘇南京·高二江蘇省江浦高級中學校聯考期中）下列命題正確的有（）A．若，則B．若，則C．D．【答案】BCD【解析】A：若，則或，故A錯誤；B：，則，故B正確；C：，故C正確；D：，故D正確；故選：BCD.10．（2022春·江蘇蘇州·高二昆山震川高級中學校考期中）若，則（）A．展開式中所有的二項式系數之和為B．展開式中二項式系數最大的項為第1012項C．D．【答案】ABD【解析】展開式中所有項的二項式系數和為,故A正確；展開式中第1012項的二項式系數為，是所有項的二項式系數中的最大值，故B正確；在二項式展開式中，令可得，故C錯誤；令可得,∴,故D正確.故選：ABD11．（2022春·江蘇宿遷·高二統考期中）現有6個志愿者排隊進入社區服務，下列說法正確的是（）A．若甲乙丙順序固定，共有種站法B．若甲乙必須站在一起，共有種站法C．若甲乙不站在一起，共有種站法D．若6個人平均分成A、B、C三組分別進入社區，共有種分法【答案】ABC【解析】對于A，對于某些元素順序固定的排列問題，可將所有元素全排列，然后除以順序固定的幾個元素的全排列，甲乙丙順序固定，即先對6個志愿者全排列，再除以順序固定的甲乙丙3個志愿者，所以，共有種站法，所以，A正確；對于B，某些元素要求必須相鄰時，可將這些元素看成一個，然后與其他元素排列；所以，若甲乙必須站在一起，共有種站法，所以，B正確；對于C，某些元素要求必須相離時，可將其他元素全排列，再將相離元素排入已排好的元素的左右空隙中；若甲乙不站在一起，共有種站法，所以，C正確；對于D，若6個人平均分成A、B、C三組分別進入社區，共有種分法，所以，D錯誤.故選：ABC12．（2021春·江蘇鹽城·高二江蘇省濱海中學校聯考期中）已知四棱錐的底面為直角梯形，,底面，且,是的中點，則下列正確的有（）A．平面平面B．與平面所成的角的余弦值為C．點到平面的距離為D．平面與平面所成二面角的余弦值為【答案】AC【解析】對于A，由題意,底面,可得,又四棱錐的底面為直角梯形,且，則,又平面，平面所以平面,又平面，所以平面平面,故A正確建立如圖所示的坐標系,可得,,可得，，設平面的法向量，則即，令，則，，所以又，設與平面所成的角大小為則，所以，故B錯誤點到平面的距離，故C正確設平面AMC的法向量,平面BMC的法向量,由得令,得,所以,同理可求,設平面AMC與平面BMC所成二面角的大小為，為鈍角所以所以平面AMC與平面BMC所成二面角的余弦值為.故D錯誤，故選：AC三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13．（2022秋·廣東江門·高二臺山市第一中學校考期中）若，，則___________．【答案】【解析】，故.故答案為：14．（2022春·江蘇南京·高二師大附中校考期中）________．【答案】【解析】.故答案為：.15．（2022春·江蘇揚州·高二統考期中）某病毒會造成“持續的人傳人”，即存在傳，又傳，又傳的傳染現象，那么，，就被稱為第一代、第二代、第三代傳播者．假設一個身體健康的人被第一代、第二代、第三代傳播者感染的概率分別為，，．已知健康的小明參加了一次多人宴會，參加宴會的人中有名第一代傳播者，名第二代傳播者，名第三代傳播者，若小明參加宴會僅和感染的個人中的一個有所接觸，則被感染的概率為______．【答案】0.81【解析】設事件“小明與第一代傳播者接觸”，事件“小明與第二代傳播者接觸”，事件“小明與第三代傳播者接觸”，事件“小明被感染”，則，，，，，，所以，所以所求概率為0.81．16．（2022春·江蘇鹽城·高二校考期中）數列的前n項和為，且，，則_____；若恒成立，則k的最小值為_____．【答案】；1【解析】因為，，則，故為首項，公比為的等比數列，則，則；所以又，則，即，也就是，又，故只需，即，又，故的最小值為.四．解答題：本小題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（2022春·江蘇南京·高二江蘇省江浦高級中學校聯考期中）已知等差數列的前n項和為，等比數列{bn}，且，，.（1）若，求的通項公式；（2）若，求數列的前項和．【答案】（1）；（2）【解析】（1）設等差數列{an}的公差為d，等比數列{bn}的公比為q(q≠0)，依題意，，即，即，又，所以所以{bn}的通項公式為：．（2）當S3＝6時，則即d＝3.又由（1）知，所以q＝4.則，所以.18．（2022春·山西大同·高二山西省渾源中學校考期中）如圖，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，ADBD，AB＝2AD，且PD⊥底面ABCD．（1）證明：平面PBD⊥平面PBC；（2）若二面角P－BC－D為，求AP與平面PBC所成角的正弦值．【答案】（1）見解析；（2）【解析】（1）在平行四邊形中，，，，平面，平面，，，平面，平面，平面，平面平面.（2）由題意，建立空間直角坐標系，如下圖所示：設，則，在中，，平面，平面，，，平面，平面，在二面角的平面角，即，在中，，在平行四邊形中，，則，，，，，，，設平面的法向量為，則，即，化簡可得，令，，解得平面的一個法向量，設與平面的夾角為，.19．（2022春·江蘇南京·高二校考期中）近兩年肆虐全球的新型冠狀病毒是以前從未在人體中發現的冠狀病毒新毒株.人感染了新型冠狀病毒后常見體征有呼吸道癥狀?發熱?咳嗽?氣促和呼吸困難等.在較嚴重病例中，感染可導致肺炎?嚴重急性呼吸綜合征?腎衰竭，甚至死亡.核酸檢測是診斷新冠肺炎的重要依據，首先取病人的唾液或咽拭子的樣本，再提取唾液或咽拭子樣本里的遺傳物質，若有病毒，樣本檢測會呈現陽性，否則為陰性.根據統計發現，疑似病例核酸檢測呈陽性的概率為.現有4例疑似病例，分別對其取樣?檢測，多個樣本檢測時，既可以逐個化驗，也可以將若干個樣本混合在一起化驗.混合樣本中只要有病毒，則混合樣本化驗結果就會呈陽性，若混合樣本呈陽性，則將該組中備份的樣本再逐個化驗；若混合樣本呈陰性，則判定該組各個樣本均為陰性，無需再檢驗.現有以下三種方案：方案一：逐個化驗；方案二：四個樣本混合在一起化驗；方案三：平均分成兩組，分別混合在一起化驗.在新冠肺炎爆發初期，由于檢查能力不足，化檢次數的期望值越小，則方案越“優”.（1）若按方案一，求4個疑似病例中恰有2例呈陽性的概率；（2）現將該4例疑似病例樣本進行化驗，請問：方案一?二?三中哪個最“優”？并說明理由.【答案】（1）；（2）選擇方案一最“優”，理由見解析【解析】（1）用表示4個疑似病例中化驗呈陽性的人數，則由題意可知，.（2）方案一：逐個檢驗，檢驗次數為4；方案二：混合在一起檢測，記檢測次數為，則隨機變量的可能取值為1，5，所以隨機變量的分布列為15所以方案三：每組兩個樣本檢測時，若呈陰性則檢測次數為1次，其概率為；若呈陽性則檢測次數為3次，其概率為.設方案三的檢測次數為隨機變量，則的可能取值為，所以隨機變量的分布列為246所以.由上可知，故選擇方案一最“優”.20．（2022秋·山東濰坊·高二統考期中）如圖，在三棱柱中，底面是邊長為2的等邊三角形，分別是線段的中點，二面角為直二面角.（1）求證：平面；（2）若點為線段上的動點（不包括端點），求銳二面角的余弦值的取值范圍.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】（1）連接，由題設知四邊形為菱形，，分別為中點，；又為中點，，因為二面角為直二面角，即平面平面，平面平面平面平面，又平面；又平面平面.（2），為等邊三角形，，平面平面，平面平面，平面平面，則以為坐標原點，所在直線為軸，可建立如圖所示空間直角坐標系，則，，設，則，；由（1）知：平面平面的一個法向量；設平面的法向量，則，令，則；，令，則；，即銳二面角的余弦值的取值范圍為.21．（2021春·江蘇蘇州·高二校考期中）按照下列要求，分別求有多少種不同的方法？（列式并用數字作答）（1）5個不同的小球放入4個不同的盒子，每個盒子至少放一個小球；（2）6個不同的小球放入4個不同的盒子，每個盒子至少一個小球；（3）6個相同的小球放入4個不同的盒子，每個盒子至少一個小球；（4）6個不同的小球放入4個不同的盒子，恰有1個空盒．【答案】（1）種（2）種（3）種（4）種【解析】（1）從5個不同的小球中任取個小球當成一個元素，連同其余3個元素作全排，共有種；（2）若四個盒子中小球的個數為：，則共有種，若四個盒子中小球的個數為：，則共有種，所以共有種.（3）等價于個相同的元素填入四個不同的空位，共有種；（4）從4個不同的盒子中選一個盒子空著，有種，另外三個盒子中，小球的個數可能為：①，②，③，若為①，則共有種；若為②，則共有種；若為③，則共有種，所以一共有種.22．（2022春·江蘇蘇州·高二南京航空航天