年安康市高三數學（文）2月模擬考試卷（總分：150分，時間：120分鐘）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．設集合，則（

）A． B． C． D．2．已知復數滿足，則的虛部為（

）A．5 B． C． D．3．執行如圖的程序框圖，輸出的結果為（

）A． B． C． D．4．若函數的最小正周期為，則的圖象的一條對稱軸方程為（

）A． B． C． D．5．已知等比數列的前項和為，若，則（

）A．4 B．5 C．16 D．256．“”是“”的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．已知函數，則的圖象（

）A．關于點對稱 B．關于直線對稱C．關于點對稱 D．關于直線對稱8．在區間內隨機取一個實數，則關于的不等式僅有2個整數解的概率為（

）A． B． C． D．9．已知正三棱臺中，的面積為，的面積為，，則該三棱臺的體積為（

）A． B． C． D．10．已知函數有兩個極值點p，q，若，則（

）A． B． C． D．11．已知雙曲線的右焦點為，過且與一條漸近線平行的直線與的右支及另一條漸近線分別交于兩點，若，則的漸近線方程為（

）A． B． C． D．12．已知中，，，若所在平面內一點滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．已知圓錐的底面半徑為1，體積為，則該圓錐的側面展開圖對應的扇形的圓心角為．14．已知數列中，，且，則的前12項和為．15．小明的生日是12月23日，他從1，2，2，3這四個數字的所有不同排列中任選一種設置為自己的4位數手機密碼，則他設置的密碼中1與3相鄰的概率為.16．已知拋物線的焦點為，準線，直線過點且與拋物線交于，兩點，為坐標原點，若，則的面積為.三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22，23題為選考題，考生根據要求作答.（一）必考題：共60分.17．已知中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．(1)證明：；(2)若，求的值．18．為了適應當代年輕人的生活需求，某餐廳推出了一款套餐，現隨機抽取了10位顧客請他們對這款套餐進行評分，所得數據為84，85，88，89，92，93，93，95，95，96，規定評分大于90為“滿意”.(1)求這10位顧客評分的平均數以及方差；(2)為了解不同性別的顧客對這款套餐的看法，餐廳又隨機抽取了100位顧客進行調查，已知這100位顧客的滿意率與第一次抽取的10位顧客的滿意率相等，完成下面的列聯表，并判斷：是否有的把握認為不同性別的顧客對這款套餐的滿意程度有差異？滿意不滿意總計男性顧客401050女性顧客50總計100附：.0.10.050.010.0012.7063.8416.63510.82819．如圖所示，在直三棱柱中，，，，為棱的中點，為棱上靠近的三等分點，為線段上的動點.

(1)求證：平面；(2)若四面體的體積為，求的正弦值.20．記函數的導函數為，的導函數為，設是的定義域的子集，若在區間上，則稱在上是“凸函數”.已知函數.(1)若在上為“凸函數”，求的取值范圍；(2)若，判斷在區間上的零點個數.21．已知橢圓的離心率為，直線過的上頂點與右頂點且與圓相切．(1)求的方程．(2)過上一點作圓的兩條切線，（均不與坐標軸垂直），，與的另一個交點分別為，．證明：①直線，的斜率之積為定值；②．（二）選考題：共10分.請考生在第22，23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分.[選修4-4：坐標系與參數方程]（10分）22．已知平面直角坐標系中，直線過坐標原點且傾斜角為.以坐標原點為極點，軸的非負半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.(1)求的極坐標方程以及的直角坐標方程；(2)若，與交于，兩點，設，求的最大值.[選修4-5：不等式選講]（10分）23．已知函數.(1)若，求不等式的解集；(2)若對任意，不等式恒成立，求實數的取值范圍.1．A【分析】由補集概念計算即可得出結果.【詳解】根據補集定義，由可得；故選：A2．B【分析】根據復數的除法運算求，進而可得結果.【詳解】由題意可得：，所以的虛部為．故選：B.3．D【分析】運行程序，從而計算出輸出的結果.【詳解】運行程序，，，判斷否，，判斷否；，判斷否；，判斷是，輸出.故選：D4．D【分析】根據三角函數的周期性求得，進而求得的對稱軸.【詳解】依題意，由，得，所以的圖象的一條對稱軸為，D選項正確，ABC選項錯誤.故選：D5．C【分析】根據等比數列的知識求得公比，從而求得正確答案.【詳解】設等比數列的公比為，，若，則，所以，所以，所以.故選：C6．B【分析】利用三角恒等變換得到或，從而得到答案.【詳解】，顯然，則，解得或．所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B7．C【分析】根據對稱性對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】AB選項，，所以AB選項錯誤.C選項，，，所以的圖象關于點對稱，C選項正確.D選項，，所以D選項錯誤.故選：C8．C【分析】利用一元二次不等式解得，可得區間內僅包含兩個整數，再利用幾何概型概率公式可得結果.【詳解】根據題意可得不等式等價于；因為，所以不等式的解集為；依題意可得區間內僅有兩個整數，即包含兩個整數，可得；由幾何概型概率公式可得其概率為.故選：C9．B【分析】先計算出三棱臺的高，進而計算出三棱臺的體積.【詳解】由，，設分別是、的中心，設分別是的中點，則三點共線，三點共線，，則，，過作，垂足為，則，而，所以三棱臺的高為，所以三棱臺的體積為.故選：B

10．D【分析】求導，得到方程組，求出，進而得到，得到答案.【詳解】依題意，，則，因為，所以，顯然，，兩式相除得，則，代入中，解得，則．故選：D11．C【分析】設直線，，由得到，再根據條件得出，代入方程，即可求出結果.【詳解】易知的漸近線方程為，不妨設直線，，聯立方程得，解得，，所以，又，而，，得到，解得，故，代入中，得，得到，又，得到，解得，故所求的漸近線方程為，故選：C.12．A【分析】根據向量的線性運算可得，即可根據數量積的運算律，結合模長公式以及不等式即可求解.【詳解】取中點為，連接,由得,所以,,故,由于，故，即，當且僅當時等號成立，,故的最大值為，故選：A13．##【分析】根據體積先計算出圓錐的高，再根據高計算出圓錐的母線，即展開圖扇形的半徑，最后在根據弧長公式求出圓心角.【詳解】設圓錐（如圖所示）的高為．

因為，所以，母線．將圓錐沿展開所得扇形的弧長為底面周長，根據弧長公式，所以圓心角.故答案為：.14．【分析】由已知可得，借助數列的周期性、分組求和即可得出結果.【詳解】依題意，故，,所以，，，…，故的前12項和為．故答案為：15．##【分析】根據題意可先算出四個數的全排列的總情況數，再計算出中1與3相鄰的種類數，即可得出結果.【詳解】依題意將4個數隨意排列可先任意選兩個位置排上兩個2，再把剩下的兩位置上排上1、3，共組成種密碼，若1與3相鄰，可將其看成一個整體，再與兩個2共三個元素進行排列，首先選兩個位置排上2，有種排列；剩余的位置排上1、3，內部排列有種，共種；所以他設置的密碼中1與3相鄰的概率為.故答案為：16．【分析】由準線方程可得拋物線為，設直線的方程為并于拋物線聯立，利用韋達定理和即可求得，兩點的縱坐標，再由可得結果.【詳解】易知準線，可得，所以可得拋物線，則；設直線的方程為，如下圖所示：聯立直線和拋物線方程可得，易知；不妨設，可得；由可得，即；聯立可解得或；又的面積為.故答案為：【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵在于利用三角形相似將線段比例轉化成縱坐標的比值，結合韋達定理和三角形面積表達式求解.17．(1)證明見解析(2)【分析】（1）（2）由正余弦定理邊角互化，結合余弦定理化簡計算求解.【詳解】（1）證明：由正弦定理及條件可得，由余弦定理可得，化簡得．（2）由得，化簡得，又，故，所以，故．18．(1)平均數為，方差為(2)列聯表見解析，有的把握認為不同性別的顧客對這款套餐的滿意程度有差異【分析】（1）根據平均數和方差的計算方法求得正確答案.（2）先補全列聯表，然后計算的值，從而做出判斷.【詳解】（1）平均數為，方差為（2）抽取的名顧客的滿意率為，所以抽取的名顧客中，滿意的有人，由此補全列聯表如下：滿意不滿意總計男性顧客女性顧客總計所以，所以有的把握認為不同性別的顧客對這款套餐的滿意程度有差異.19．(1)證明見解析(2)【分析】（1）通過證明來證得平面；（2）根據四面體的體積求得，進而求得的正弦值.【詳解】（1）由于，所以，由于是的中點，所以，由于平面，平面，所以，由于平面，所以平面，由于平面，所以.由題設易知，所以，所以，由于平面，所以平面；（2）由（1）得平面，所以平面，，由于平面，所以，所以，所以.20．(1)(2)1個【分析】（1）根據“凸函數”定義對函數求導，由不等式在恒成立即可求得的取值范圍；（2）易知，由導函數求得其在上的單調性，利用零點存在定理可知零點個數為1個.【詳解】（1）由可得其定義域為，且，所以，若在上為“凸函數”可得在恒成立，當時，顯然符合題意；當時，需滿足，可得；綜上可得的取值范圍為；（2）若，可得，所以，令，則；易知在區間上恒成立，因此可得在上單調遞減；顯然，；根據零點存在定理可得存在使得，因此可知當時，，即在上為單調遞增；當時，，即在上為單調遞減；又，顯然在上不存在零點；而，結合單調性可得在上存在一個零點；綜上可知，在區間上僅有1個零點.21．(1)(2)①證明見解析；②證明見解析【分析】（1）利用已知求參數，得到橢圓方程即可.（2）①利用點到直線的距離得到斜率滿足的方程，結合韋達定理得到斜率的乘積，簡單轉化得到定值即可.②聯立方程，結合韋達定理用斜率表示所求式，化簡得到定值即可.【詳解】（1）設橢圓的半焦距為．依題意，離心率，則，①．直線，即，由題可知②．聯立①②，解得，，故的方程為．（2）（i）設過點且與圓相切的直線的方程為，則，整理得，記直線，的斜率分別為，，則，為定值．（ii）由（i）的過程可知直線，聯立方程得則有，故．直線，同理可得．故，則．22．(1)直線的極坐標方程是，的直角坐標方程為(2)【分析】（1）根據極坐標方程、直角坐標方程等知識求得正確答案.（2）寫出直線的參數方程，代入曲線的直角坐標方程，根據根與系數關系以及三角函數的最值等知識求得的最大值.【詳解】（1）直線過坐標原點且傾斜角為，所以直線的極坐標方程是，由，得，所以.（2）由（1）得的直角坐標方程為，即，所以圓的圓心為，半徑，畫出圖象如下圖所示，由圖可知：當時，直線與圓有兩個交點，直線的參數方程為（為參數），將代入并化簡得：，所以，由于是銳角，所以，所以，所以，由于，所以當時，取得最大值為.23．(1)(2)【分析】（1）利用分類討論法分別求