2023年高考數學押題卷及答案（十三）

一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分.

1.復數牛在復平面上對應的點在第------象限.

2.某商場有四類食品，其中糧食類、植物油類、動物性食品類及果蔬類

分別有40種、10種、30種、20種，從中抽取一個容量為20的樣本進

行食品安全檢測.若采用分層抽樣的方法抽取樣本，則抽取的植物油類

與果蔬類食品種數之和是.

3.已知集合A={x|x>5},集合8={x|x>a},若命題"xeA”是命

題“xeB”的充分不必要條件，則實數”的取值范圍.

是?

4.如圖，直三棱柱4吐46G中，AB=1,於2,

44=3,

"為線段緲上的一動點，則當月"+陽最小時，△4MG

的面積

為?

（第4題）.

5.集合A={3,logf},B={兄外,若A8={2},貝|4B=.

6.閱讀如圖.所示的程序框，若輸入的〃是100,則輸出的變量S的值

是

7.向量a=(cosl(),sinlO)力=(cos70,sin70),\a-2Z>|=.

8.方程xlg(x+2)=1有個不同的實數根.

9.設等差數列｛4｝的前〃項和為5.，若2W/W3,則§6的取值

范圍是.

222

10.過雙曲線鼻-斗=l(a〉O1>0)的左焦點/(-c,0)(c〉0),作圓：/+),2=幺的

ab4

切線，切點為E,直線房交雙曲線右支于點P,若OE=，(OF+OP),則

2

雙曲線的離心率為.

11.若函數/(x)=/n?+lnx-2x在定義域內是增函數，則實數成的取值范圍是

12.如果圓(x-a>+(y-a)2=4上總存在兩個點到原點的距離為1,則實數a的

取值范圍是.

13.已知實數滿足x-Jx+l=Jy+3-y,貝Ux+y的最大值為.

14.當〃為正整數時，函數N(〃)表示”的最大奇因數，如N⑶=3,N(10)=5,…，設

S“=N⑴+N⑵+N⑶+N(4)+…+N(2"-1)+NQ"),貝！JS?=.

答案

1.四2.63.〃<54.65.{2,3,4}6.50497.后

8.29.[-12,42]

10.巫11.，心!12.(—3及，-克)5也」收)13.4.

222222

14.—

3

二、解答題：本大題共六小題，共計90分.請在答題卡指定區域內作答,

解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（本題滿分14分）

3

在銳角AA3C中，角A,B,C所對的邊分別為a,〃，c.已知cos2c

4

(1)求sinC；(2)當c=2a,且力=34時，求a.

3

解1)由已知可得l-2sin2c所以

4

7

sin2C=2分

8,

因為在MBC中sinC>0所以

sinC巫

4分.

4

2)因為c=2a所以

V14

sinA=-sinC6分

2

銳角三角形,所以cosC4

因為AABC是

8分

8

.sinAcosC+cosASinC=^x^+^x^^^7.11

所以sin8=sin(A+C)

84848

分

3#ia

由正弦定理可得，所以

sinBsinA

a=V14.14分

說明：用余弦定理也同樣給分.

16.（本題滿分14分）

如圖，A8CQ是邊長為3的正方形，平面

ABCD，AF//DE,DE=3AF.

⑴求證：ACJ_平面BOE；

（2）設點M是線段6。上一個動點，試確定點M的位置,

使得AM〃平面并證明你的結論.

解：（.1）證明：因為OE_L平面ABC。,

所以QELAC................2分

因為A3CD是正方形，

所以AC_LB。，因為。EcBO=O...........4分

從而AC_L平面BOE................6分

（2）當〃是初的一個三等分點，即3HQ初時,4M〃平面龐F........7

分

取彼上的三等分點兒度3BN=BE,連結MN,NF,貝ij應〃削且應'=

ZMN,

因為AF〃DE,且加=34凡所以"'〃惻且〃'=施；

故四邊形AMNF是平行四邊

形............................10分

所以AM//FN,

因為加（z平面BEF,/Wu平面

BEF,................................12分

所以//〃平面

BEF................................14分

17.（本題滿分14分）

已知橢圓的中心為坐標原點，短軸長為2,一條準線方程為1：x=2.

⑴求橢圓的標準方程；

⑵設。為坐標原點，分是橢圓的右焦點，點"是直線/上的動點，過點

分作QM的垂線與以〃物為直徑的圓交于點式求證:線段放的長為定

值.

解：⑴?.?橢圓C的短軸長為2,橢圓。的一條準線為】x=2,

不妨設橢圓。的方程為《+y2=l.（2分）..?4=H^=2,（4分）

a~cc

即c=l.（5分）

橢圓。的方程為］+y2=i.（6分）

⑵尸（1,0）,右準線為/：x=2,設N（%,%）,

則直線/W的斜率為%="」，直線班的斜率為%=比，（8分）

,:FNLOM,直線。1的斜率為壇w=—紅」，（9分）

%

工直線〃M的方程為：y=-生」x,點物的坐標為加（2,-也且）.（11分）

%%

2（%—1）

%+------

...直線腑的斜率為%,=-----A.（12分）

%-2

,2（x0-l）

X）十

■:MN1ON,：.k-k=-\,：-------—?&=-1,

MNON%-2%

2

Ay0+2（x0-1）+x0（x0-2）=0,即城+方=2.（13分）ON=0為定值.（14

分）

說明：若學生用平面幾何知識（圓幕定理或相似形均可）也得分，設垂

足為P,準線1與X軸交于Q,則有ON?=OP&W,又OPgOM=OF^）Q=2,所

以。N=及為定值.

18.（本題滿分16分）

如圖，直角三角形4%中，/方=90,AB=\,百.點MN分別在

邊四和AC

上（"點和夕點不重合），將吩V沿物V翻折，眥變為砌V,使頂點4

落在邊勿

上（4點和夕點不重合）.設N4/V=e.

（1）用。表示線段AM的長度，并寫出。的取值范圍；（2）求線段AN長度

的.最小值.

?7

解：（1）設M4=MA=x,貝!=x.（2分）'卜、

;、'、

1_:\、、、、、“

在Rt△/跖4中，cos（180-20）=--,（4分）

：.MA=x=—^（5分）刖

1-cos202sin_0-

6A1?

???點"在線段/4上，"點和夕點不重合，4點和

5點不重合，，45<0<90.（7分）

（2）在△/冊中，N4W=120。-巴（8分）

—=一空一,（9分）

sinGsin（120-0）

?A1

sin0----i

AN=——2sin_e=-----i-----.（10分）

sin（120-0）2sinGsin（120-0）

令f=2sin0sin（120-0）=2sin0（—sin0dcos0）=sin20+V3sin0cos0

22

=g+爭in20-：cos20=g+sin（20一30）.（13分）

745<e<90,/.60<20-30<150.（14分）

當且僅當20-30=90,。=60時，有最大值之，(15分)

2

...9=60時，AW有最小值2.(16分)

3

19.(本題滿分16分)

已知％e/?,函數f(x)=mx+k-nx(0<m^l,0<n^l).

(1)如果實數九〃滿足/n>l,mw=l,函數f(x)是否具有奇偶性?如果有，求

出相應的4

值；如果沒有，說明為什么？

(2)如果機判斷函數/(X)的單調性；

(3)如果機=2,"=；，且％工0,求函數y=/(x)的對稱軸或對稱中心.

解：(1)如果/(X)為偶函數，則/(-x)=/(X),+h〃-*=07*+h**恒成立，(1分)

即：nx+k-mx^mx+k-nx,(nx-m')+k(m'-)=0,(〃，-/n*)(A-1)=0(2分)

由/-/=0不恒成立，得k=l.(3分)

如果f(x)為奇函數,則f(-x)=-f(x),inx+k-n~x=-mx-k-nx恒成立，(4分)

即：?+??川=一一一左/，(相+川)+%(屐+相)=o,(5分)

(rtx+mx)(fc+l)=0,由nx+mxHOT旦成立，得女=-1.(6分)

(2)m>1>〃>0,竺〉1,:.當女40時，顯然f(x)=mx+k-nx在7?上為增函數;

n

(8分)

當&>0時，fXx)=mxInm+knxInn=[(—)']nm+kInn)]nx=0，

n

由nx>0,得('),Inm+%Inn=0,得(—)x=-k皿^=-klog,”n,得x=log(-&logri).(9

〃n\nm-ww

分)

???當X￡(-8,10g絲(-ZlOg〃/)]時，f(X)<0,/(X)為減函數；(10分)

n

當xe[log,,,(-?log“,〃),+8)時，r(x)>0,『(X)為增函數.(11分)

(3)當zn=2,〃=g時，f(x)=2X+k-2~x,

如果上<0,f(x)=2*+h2-x=2*-(-&)?2T=2'-2幅T)-2T=2X-,(13分)

/(log2i-k)-x)=-/(x),函數y=/(x)有對稱中心glogJ-A),。).(14分)

如果—>0,f(x)=2:+H2T=2*+2臉仙2-，=2*+2*—,(15分)

貝Uy(log2%-x)=f(x),「.函數y=/(x)有對稱軸x=；log2k.(16分)

20.(本題滿分16分)

已知各項均不為零的數列｛4｝的前7?項和為S,且滿足a｝=c,2Sa=a國

+i+r.

(1)若r=—6,數列｛a｝能否成為等差數列？若能，求c滿足的條件；

若不能，請說明理由.

.⑵設+%-,0“=^+^^++⑸，

?1-?2?2一"3%-%

若r>c>4,求證：對于一切〃￡N*,不等式-〃<e,-Q“</+"恒成

立.

解：(1)〃=1時一，2a=句&+—?.,8=。70,.,.2c=ca2+r,a=2--.(1

2c

分)

時，2s>=H〃aJ+i+r,①2Sn-i=an-ia?+r,②

=

①一②，得2a〃=—3n-i).,?*a,a?+i—a,n-)2.(3

分)

則a”a3,品，…，a2n-i,…成公差為2的等差數列，a2n-1=a,+2(/?—1).

a2,a”為，…，a2n,…成公差為2的等差數列，a2?=a2+2(/?—1).

要使｛4｝為等差數列，當且僅當a?—&=1.即2,-c=i.r=c—c2.(4

c

分)

Vr=-6,：.c-c-6=0,c=-2或3.

??,當C=-2,a,=0,不合題意，舍去.

.?.當且僅當c=3時，數列｛q｝為等差數列(5分)

(2)"2"-i=[8+2(〃—1)]—[a+2(/7—1)]—a\—a=c+--2.

22c

%,-//I=[4+2(〃-1)]—(31+2/?)=a—Si—2=—(c+-).(8分)

2c

??Pn=---5[na[+—―x2]=--5---/t(n+c-l)(9分)

c+C-22c+J

cc

Qn=-----[na2+――~~—x2]=n(n+1--).(10分)

c+J-'2c+,一rc

cc

11r

P-Q=------〃(〃+c-l)+----n(n+1--)=------+----n~4-+———n.(11

tlnr_r-----r-r

c+--2c+-cc+-2c+c+-2c'+

分）

Vr>c>4,c+C>2/>4,C+C-2>2..\0<—!—+-L<LL3〈

ccc+r_2c+C244

cc

1.(13分)

1--

且1.（14分）

r-rrr

c+——2c+—c+——2c+一

又??丁>。>4,**?—>!?貝ll0<^c-l<c+—-2.0<c+l<c+—.

ccc

vi.(15分)

r_rr_r

c+-2c+—c+——2c+一

???對于一切〃￡N*,不等式-〃<2-Q“<"2+〃恒成立.（16分）

附加題部分

21.（選做題）本大題包括A,B,C,D共4小題，請從這4

題中選做2小題.每小題10分，共20分.請在答題卡

（第21-a題圖）“

上準確填涂題目標記.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

A.選修4一1：幾何證明選講

如圖，。。的直徑/方的延長線與弦切的延長線相交于點R歹為。。上

一點，AB-AC,求證：4PDE=/P0C.

證明：因力斤4G力夕為直徑，

故ZOAC=Z

OAE..................................................3分

所以NPOO-ZOAC+ZOCA=AOAC+/OAC=AEAC.

又/EAO/PDE,

所以，ZPD舁Z

POC................................................10分

B.選修4—2矩陣與變換

已知矩陣"=；；,其中aeR,若點P(L-2)在矩陣"的變換下得到點

P'(-4,0)，

(1)求實數a的值；

(2)求矩陣M的特征值及其對應的特征向量.

解：(1)由;；分),**2-2?=-4=>?=3.(3分)

(2)由(1)知"=,則矩陣"的特征多項式為

21

九一2—3

/(2)=2,j=(/l-2)(Z-l)-6=22-3A-4(5分)

令/⑷=0,得矩陣M的特征值為-1與4.（6分）

("2)x_3y=0

當4=—1時一,=>x+y0

-2x+(/l-l)y=0-

矩陣M的屬于特征值-1的一個特征向量為\；（8分）

一1

(/l-2)x-3y=0

當4=4時一,[_2x+(Dy=0n2x-3y=0

???矩陣M的屬于特征值4的一個特征向量為^（1。分）

C.選修4—4參數方程與極坐標

在平面直角坐標系xOy中，動圓V+）2-8xcos6-6ysinJ+7cos20+8=0（q\R）

的

圓心為p（x。，為）,求4-%的取值范求

【解】由題設得儼=：個，（g為參數，

3sinq

〃R）.........................5分

于是2x0-%=8cos。-3sin，=^/75cos（0+夕），

所以

-屈W2x0-%W瓦..................1

0分

D.選修4一5：不等式選講

已知x,y,z均為正數.求證：工+上+J_+.

yzzxKxy21x+yz

證明：因為X,y,Z都是為正數，所以

土+上」(土+馬》2..............3分

yzzxzyxz

同理可得上+三)2,三+二)2.

zxxyxxyyzy

將上述三個不等式兩邊分別相加，并除以2,得

土+-+LL.....io分

yzzxxyxyz

22.必做題，本小題10分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

已知拋物線尸=4光的焦點為產，直線過點M(4,0).

(1)若點F到直線的距離為6,求直線的斜率；(4分)

(2)設A,8為拋物線上兩點，且A8不與x軸垂直，若線段A3的垂直平

分線恰過點M,求證：線段A8中點的橫坐標為定值.(6分)

解：(1)由已知，x=4不合題意.設直線的方程為＞=心-4),

由已知，拋物線C的焦點坐標為

(1,0),1分

因為點尸到直線的距離為6,所以

2分

解得T,所以直線的斜率為

4-4分

(2)設線段A6中點的坐標為NOo,y。)，A(xi,yi),B(x2,y2),

因為A3不垂直于x軸，則直線MN的斜率為直線AB的斜率為

龍o-4

4-x()

%，

直線A5的方程為

y-%=-----(x-x0),.................5分

%

4-x0、

七壬口y-%=--(x-x),

聯乂方程《先0

y2=4%,

消去x得

(1一子)'2_%/+4+/(尤0-4)=0,.................7分

所以

4%

4一九。

,?,8分

因為N為A5中點，所以正&=%,即

%，....................9分

所以%=2.即線段回中點的橫坐標為定值

....................10分

23.必做題，本小題10分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

已知￡,(x)=(l+x)",

a

(1)右f20lI(x)=%+++。2011%一°"，求\+。3T---卜。2009+“2011的值；(3分)

(2)若g(x)=/(x)+2/7(x)+3/8(x)，求g(x)中含無6項的系數；(3分)

(3)證明：C"'+2C\+3C",++nCm+口C""'.(4分)

解：(1)因為/“(x)=(l+x)”,所以%u(x)=(l+x嚴，又

人011(X)=。0+qx++。2011》,

所以7201?)=/+。1++。2011=2刈1