第二章水文統計原理跨越河流、溝渠的橋梁和涵洞，必須能夠安全順暢的通過設計洪水，這是選定橋位、確定橋孔長度、橋面高程和墩臺沖刷深度的基本要求。

確定設計洪水流量、設計通航水位和設計最高（最低）潮水位及設計波浪高度等都是應用數理統計來完成。第一節水文現象的特性和分析方法水文現象的特性：1.周期性氣候因素明顯地以年為周期而變化，一年四季氣候條件各不相同，年年如此，循環不已。地球上的潮汐變化，主要以月球引力為主，故以月為周期，每逢初一（朔）、十五（望），日、月和地球位于同一條直線上，形成潮差最大的大潮。2.地區性氣候、地理和流域海域特征，都因地區不同而各異，水文現象在這些因素的綜合影響下，也具有隨地區不同而變化的性質，這就是水文現象的地區性。3.不重復性（偶然性）水文現象在總體上雖然存在著周期性的變化規律，但是具體出現的時間和數量大小每年都不完全相同，并帶有一定的偶然性，稱為水文現象的不重復性。水文現象的分析研究方法：1.成因分析法2.地區歸納法3.數理統計法成因分析法研究水文現象的物理成因以及同其他自然現象有關因素（如氣候因素、自然地理因素）之間的相互關系，建立計算關系式。對于小流域徑流常采用推理公式、經驗公式進行計算。地區歸納法根據水文現象的地區特點，搜集實測水文資料，進行綜合歸納分析，尋求水文現象、水文因素區域性分布規律，建立地區性水文因素計算公式、圖表或等值線圖，供生產使用。數理統計法由于水文現象具有不重復性（偶然性、隨機性）的特點，根據概率論，對系統的實測水文資料進行統計分析，尋求水文現象、水文因素之間的統計規律，事先估計未來水文現象可能發生的結果。第二節幾率和頻率一、隨機事件自然界的一切現象在其演變過程中既有必然性的一面，又有偶然性的一面。水文現象也一樣。例如：每年汛期都必然會出現一次最大的洪峰流量，年年如此，就是一種必然現象，稱為必然事件；而每年最大洪峰流量出現的具體時間和數量，則年年變化，各不相同，就是一種偶然性的現象，稱為隨機事件。二、隨機變量在多次試驗中，隨機事件出現的種種結果，都以實數值來表示，這些數值就稱為隨機變量。隨機變量分為連續型隨機變量和離散型隨機變量。水文統計學就是利用流量、降雨量、潮水位、波浪高等實測水文資料作為隨機變量，通過統計分析，推求水文現象（隨機事件）的客觀規律性——統計規律。許多隨機變量組成的一列數值，稱為隨機變量系列。三、幾率和頻率對于隨機事件，它在一定條件下可能出現也可能不出現，若用一個具體數值來表示客觀出現的可能程度（可能性大?。?，這個數值就稱為該事件的幾率（或概率）。在一系列重復的獨立試驗中，某一事件出現的次數與試驗總次數的比值，則稱為該事件的頻率。頻率與幾率不同，幾率是事件在客觀上出現的可能程度，是時間固有的客觀性質，不隨人們試驗的情況和次數而變動，是一個常數，是一個理論值；頻率是利用有限的實驗結果推算而得的，是一個經驗值，將隨試驗次數的多少而變動，只有試驗次數達到無限多時，才穩定在一個常數并等于理論值----幾率。例如擲硬幣的試驗，對于一個均質硬幣，“出現正面（正面向上）”就屬于簡單隨機事件,擲硬幣10000次，出現正面5019次,其幾率和頻率分別是多少？水文現象（如水流、水位、降雨等變化）都是非常復雜的隨機事件，無法得知其事先幾率，只能利用實測水文資料（多次試驗結果）計算其頻率，作為經驗幾率，以尋求它們的變化規律，推測未來可能出現的情況，滿足工程的需要。四、總體和樣本數理統計中，把隨機變量系列的全體，亦即包括整體情況的全部系列，稱為總體。樣本是總體的一部分，在一定程度上反映了總體的特征，故可以借助樣本具有的規律性來推斷總體的規律。第三節頻率分布一、頻率密度和累計頻率

隨機變量系列中，每個大小不同的隨機變量，都對應著一定的出現頻率。這種大小不同的隨機變量和它出現頻率之間的對應關系，稱為隨機變量的頻率分布。

頻率是各組出現次數與總次數的比值，表示每組所在區間的流量值出現的可能程度；累計頻率是各組累計出現次數與總次數的比值，表示等于和大于該組所在區間的流量值出現的可能程度，均以百分數計。某水文站1975年最大流量實測資料表數理統計中，為了便于數學上的分析，通常以流量為橫坐標、頻率密度為縱坐標，繪成頻率密度直方圖。某一組距的頻率密度是頻率在組距Δχ內的平均值，若組距為Δχ，區間的頻率ΔP，則頻率密度為ΔP/Δχ。則f(x)即為密度曲線的函數，稱為密度函數(表示點x處的頻率密度)，而且某一區間的頻率應為該區間密度曲線以下的面積，即二、累計頻率和重現期水文統計中，等于或大于某一流量值出現的次數（即累計出現次數）與總次數的比值，稱為該流量的累計頻率P，以百分數（%）或多少分之一表示，如P為1%或1/100。橋梁水文計算時，洪水、潮汐等水文現象的樣本取值，采用的抽樣方法為年最大值法，因而表示的頻率為年頻率。工程中習慣上常用洪水、潮汐等水文現象的重現期來表示其頻率（即累計頻率），重現期以年為單位。若以P（%）表示頻率，以T（年）表示重現期，兩者的關系為T=1/P例:頻率為2%的流量重現期為50年，表示該流量可能出現的時間間隔平均為50年。但是，并不是說在100年間只出現兩次，或每隔50年必然出現一次。三、設計洪水頻率橋梁、涵洞及道路排水工程、防護工程等的基本尺寸，都取決于設計流量的大小。為了經濟、合理地確定工程的設計流量，《公路工程技術標準》（JTJ）規定了橋涵設計洪水頻率。課堂習題一某河流擬建4*20米的預應力砼簡支梁橋，通過水文站的資料查得洪水流量為：Q0.33%=3600m3/s；Q1%=3600m3/s；Q2%=3600m3/s；該橋位二級公路上的橋梁，請選擇對應的洪水流量？第四節經驗頻率曲線根據作為水文統計樣本的實測水文資料系列，計算各項隨機變量的經驗頻率，點繪經驗頻率與其對應的隨機變量大小的曲線，稱為該樣本的經驗頻率曲線。經驗頻率曲線橫坐標為頻率（即經驗頻率）P（%），縱坐標為水文觀測值（隨機變量）x一、經驗頻率的計算實際工程中，搜集到的水文資料系列，大都年限較短，容量有限，直接應用式（2-2-1）計算樣本中各項隨機變量的經驗頻率將得到不合理的結果。目前，各國應用最廣的經驗頻率公式是維泊爾（Weibull)公式，即二經驗頻率曲線的繪制為了表示多年水文觀測系列，如年最大洪水流量、潮汐水位等，各項觀測值的出現頻率，以及觀測值的大小隨頻率數值的變化，可以橫坐標為頻率(即經驗頻率)P(%)，縱坐標為水文觀測值(隨機變量)x，在坐標紙上點繪各個觀測值的點據分布圖，如圖2-4-1.有必要時，根據點據的分布趨勢，目估連出一條光滑曲線，這條曲線稱經驗頻率曲線。

如前可知，設計洪水流量都是小頻率的特大洪水流量。一般情況下，實測洪水資料的年份有限，為了求設計洪水流量，必須將經驗頻率曲線向上外延。由圖2-4-1可知，點繪等分格紙上的經驗頻率曲線呈S形，且兩端陡而中間平緩。求很小頻率的設計流量需要向左端上方外延，這樣可能產生很大的誤差。海森設計一種海森(A.Hazen，1914)幾率格紙，頻率(P%)為橫坐標，以P=50%為中心對稱分格，中間格密而兩邊漸疏；隨機變量(流量、降水量、潮水位等)為縱坐標，均勻分格或對數分格。海森幾率格紙的頻率坐標分格是根據將正態分布曲線在該坐標紙上畫為直線的要求確定的。點繪在海森幾率格紙上的經驗頻率曲線，消除了兩端陡而中間平的趨勢，呈現較平順的曲線分布形式。三經驗頻率曲線的外延

第五節統計參數隨機變量系列的頻率分布特征和頻率分布曲線形狀，能夠用該系列的幾個數值特征來確定。系列的數值特征值稱為該系列的統計參數。均值----系列中隨機變量的算術平均值。反映系列中隨機變量數值大小的特征。中值----系列中的隨機變量為等權時，按大小遞減次序排列，位置居于正中間的那個變量。反映系列中間項和密度曲線的位置。眾值----系列中出現次數最多的那個變量。反映系列中最大幾率項和密度曲線的位置。均方差----離均差平方的平均數的平方根。反映各隨機變量例均程度。變差系數（無量綱）----均方差與均值的比值。偏差系數----反映頻率分布對均值的偏斜程度。CS>0為正偏態；CS<0為負偏態；CS=0為正態分布。對年最大流量系列，偏差系數一般不出現負值，多呈正偏態分布。第六節理論頻率曲線根據自然界大量實際資料的頻率分布趨勢，很多學者建立了一些頻率曲線的線形，并選配了相應的數學函數式。這種具有一定數學函數式的頻率曲線，習慣上稱為理論頻率曲線。根據我國多年使用經驗，認為皮爾遜Ⅲ型曲線（Pearson-Ⅲ線）比較符合我國多數地區水文現象的實際情況。我國水利、公路、鐵路等工程有關規范，在水文統計中，大多采用皮爾遜Ⅲ型曲線。一、皮爾遜Ⅲ型曲線的應用水文統計所需要的頻率曲線及相應的函數，并用以推求指定頻率的變量或某一變量的頻率。頻率曲線實為累積頻率曲線，亦即分布曲線，其相應的函數即分布函數，可以由密度函數積分而得。頻率曲線縱坐標值xp的計算公式（即頻率曲線的分布函數）為：對于最大流量系列，頻率曲線的分布函數為：課堂習題二某水文站有10年的年最大流量觀測資料，請推算P=0.33%、P=1%和P=2%。并計算3參數及Q1%的抽樣誤差。課堂習題二（分別求0.33%，1%，2%的洪水流量）

順序號按年份順序排列按流量大小排列1年份流量年份流量119812800199048002198229101985340031983320019873300419842200198332005198535001989300061986240019822910719873400198128008198826501988265091989300019862400101990480019842200二、抽樣誤差水文統計的誤差的來源：1.水文資料的觀察、整編和計算過程中形成的誤差；2.利用樣本推算總體的參數值而引起的誤差即抽樣誤差。根據誤差理論，抽樣誤差應呈正態分布。根據目前水文觀測的實際情況，均值和變差尚可利用公式計算，但要求實測水文資料具有足夠長的觀測年限，而且代表性較好，數據可靠，否則仍會產生很大的誤差；偏差系數誤差過大，不宜利用公式計算，通常采用適線法選定其值。第七節相關分析自然界中許多現象都是相互聯系的，由于不確定因素太多，所以實際問