2023-2024學年重慶市榮昌高二上冊期中數學試題

一、單選題

1.已知向量α=(l,2,3),b=(/，0,1),貝∣Ja+2b=()

A.(-1,2,5)B.(-1,4,5)

C.(1,2,5)D.(1,4,5)

【正確答案】A

【分析】結合空間向量的加法運算求解即可

【詳解】α+28=(l,2,3)+2(-1,0,1)=(1,2,3)+(-2,0,2)=(-1,2,5),

故選：A.

2.已知向量”=(1,2,?=(-3,x,2),且啟人則實數X等于()

【正確答案】A

【分析】根據空間向量垂直的坐標運算得到方程，解之即可求出結果.

【詳解】-3+2x+l=2x-2=0，得X=L

故選：A.

3.直線x+y+l=0的傾斜角是()

A.30B.60C.45D.135,

【正確答案】D

【分析】將直線的一般式化為斜截式，結合斜率與傾斜角的關系，求解即可.

【詳解】解：直線χ+y+i=0,化為斜截式為y=-χT

設直線的傾斜角為α,則tana=T,

因為0≤α<180,所以α=135.

故選：D.

4.若直線x+y+4=O平分圓f+y2-2x+4y+l=0,則4的值為()

A.1B.-1C.2D.-2

【正確答案】A

【分析】將圓轉化為標準形式，依據題意可知直線過圓心，代點計算即可.

【詳解】圓d+V-2x+4y+l=0,即（X-I）2+（y+2）2=4,圓心坐標為（1,-2）

由題可知：直線過圓心，所以l-2+α=0=>"=l

故選：A

5.直線/∕0x+y+l=O與/2：3x+（a-2）y+/-4=0平行，則實數”的值是

A.-1或3B.-1C.-3或1D.3

【正確答案】D

【詳解】由兩條直線平行的充要條件得到。（。-2）=3

Λa=—1,3

當a=-1時兩條直線重合，舍去

Λa=3

故選D

點睛:本題主要考查直線的方程，兩條直線平行與斜率的關系，屬于簡單題.對直線位置關系

的考查是熱點命題方向之一，這類問題以簡單題為主，主要考查兩直線垂直與兩直線平行兩

種特殊關系：在斜率存在的前提下，（1）川1/20左=內,需檢驗不重合；（2）

∕l±∕2<^?,??2=-l,這類問題盡管簡單卻容易出錯，特別是容易遺忘斜率不存在的情況，

這一點一定不能掉以輕心.

6.直線/經過原點，且經過另兩條直線2x+3y-1=0,x-4y-6=0的交點，則直線/的方

程為（）

A.2x+j=0B.x+2y=0

C.2x-y=0D.x-2y=0

【正確答案】B

【分析】聯立方程可解交點，進而可得直線的斜率，可得方程，化為一般式即可.

[2x+3γ-l=0[x=2

【詳解】聯立方程,一么,解得：

[x-4y-6=0n[y=-l1

所以兩直線的交點為（2,-1）,所以直線的斜率為-1士-￡0=1,

則直線/的方程為：y=-→,即x+2y=0.

故選：B

7.己知棱長為1的正方體ABC。-AqGA的上底面ABCR的中心為。I,則4Q?AC的值

為()

A.-1B.OC.1D.2

【正確答案】C

【分析】根據空間向量的線性運算，將4?和AC用M、AB、Ao表示，再根據空間向量

的數量積運算可得解.

【詳解】AO1=A4l+ΛlO∣=AA,+^(A,Bi+AtDt)=AAt+^AB+AD),AC=AB+AD，

則

AO〕?AC-AA+萬(48+4￡))].(；48+?4。)=AiAt?AB+AAt?AD+-^AB+AO)=

^AB2+2ABAD+AD^

=∣(∣AB∣2+∣AD∣2)=1.

故選：C.

本題考查了空間向量的線性運算，考查了空間向量的數量積，屬于基礎題.

8.已知直線/：米-y+%=0,圓。:/+丁=2,則直線/與圓O的位置關系是()

A.相交B.相切

C.相離D.無法確定

【正確答案】A

【分析】求圓心到直線的距離與半徑比較大小即可判斷.

【詳解】由圓0：1+回=2,可得圓心。(0,0),半徑r=&,

因為圓心0(0,0)到直線/：h-y+A=O的距離d=-7liL=Jf-<1<&=r,

√F7TU2+1

所以直線/與圓。相交，

故選:A.

二、多選題

9.(多選)點(1,1)在圓(x-α)2+(y+α)2=4的內部，則。的取值不可能是()

A.—2B.—

2

C.?D.2

【正確答案】AD

【分析】求出實數。的取值范圍，即可得出合適的選項.

【詳解】由已知條件可得(l-4+(l+a)2<4,即2片+2<4,解得-l<α<l.

故選：AD.

10.過點(2,0)作圓*2+^一2》-6丫+9=0的切線/,則直線/的方程為()

A.3x+4y—6=0B.4x+3y-8=0C.x—2=()D.x+2=0

【正確答案】BC

【分析】先化圓方程的圓心與半徑，再設直線/的方程(注意討論斜率不存在情況)，利用

圓心到切線距離等于半徑列式求解，即得結果.

【詳解】Qx2+y2-2x-6y+9=0:.(x-l)2+(y-3)2=1

圓心(1,3)到直線x=2距離等于1,所以直線/的方程可以為x=2

當直線/的斜率存在時，設Ly=Z(x-2)

I-4-3144

所以J=J=I??M=-；.?/：y=-77(x-2).?.4x+3y-8=0

y∣k2+?33

故選：BC

本題考查圓的切線方程，考查基本分析求解能力，屬基礎題.

II.過點A(4,l)且在兩坐標軸上截距相等的直線方程是()

A.x+y=5B.x-y=5C.x-4y=0D.x+4y=0

【正確答案】AC

分兩種情況求解，過原點時和不過原點時，結合所過點的坐標可求.

【詳解】當直線過坐標原點時，直線方程為x-4y=0;

當直線不過坐標原點時.，設直線方程為x+y=。，代入點44,1)可得a=5,

即x+y=5.

故選：AC.

直線在兩坐標軸上截距相等時，有兩種情況：一是直線經過坐標原點；二是直線斜率為T.

12.若圓一+y―2χ-2y=0上至少有三個不同點到直線/：y="的距離為變，則直線/

2

的傾斜角的取值可能是()

A.15°B.45oC.60°D.75°

【正確答案】ABCD

求出圓的圓心與半徑，利用圓心到直線的距離與半徑的關系列出不等式求出斜率女的范圍,

再由四個選項的斜率得出答案.

【詳解】解：圓/+/F-2y=0整理為(X-I)2+(y-l)2=2,

，圓心坐標為(U),半徑為夜，要求圓上至少有三個不同的點到直線/：>=質的距離為日

當圓心到直線的距離是變時?恰好圓上存在3個點到直線的距離為正

22

則圓心到直線的距離應不大于等于立，??.*?≤坐，.?.2-6≤k42+百

2√l+?22

tan450-cos300

tan45°—1,tan60o=?∣3，tan150=tan(45°-30°)==2-√3

1+tan45otan30o

rueAc。.?tan30o+tan450Cc?

tan75o=tan(30°+45cn°)=------------------------=2+√3

',l-tan30otant45o

故選：ABCD

三、填空題

13.兩條平行線∕√3x+4γ-7=0?∕√3x+4y-12=0的距離為.

【正確答案】1

【分析】利用平行線間的距離公式可求得結果.

【詳解1兩條平行線4：3x+4y-7=0和4:3x+4y-12=0間的距離為d==1.

√32+42

故答案為?1

14.已知圓Q:(x+iy+(y-2)2=1與圓Q：(X-3)2+(、+1)2=/(廠>0)外切，貝IJr=

【正確答案】4

【分析】由兩圓相外切可得圓心距等于兩半徑之和，從而可求出,

【詳解】因為O∣(T,2),O2(3,-1),圓G(x+l)2+(y-2)2=l的半徑為1,圓

22

O2:(?-?)+(y+l)=∕(r>0)的半徑為小

所以Iqal=√(-1-3)2+(2+1)2=5，

因為兩圓外切

所以l+r=5,得r=4.

故4

15.圓(x+iy+(y-2)2=4關于直線y=0對稱的圓的標準方程為.

【正確答案】(x+iy+(y+2)2=4

【分析】兩圓關于直線對稱等價于圓心關于直線對稱，半徑不變，根據題意運算求解.

【詳解】???圓(x+l)2+(>-2)2=4的圓心(-1,2),半徑為「2,

則(-1,2)關于直線y=0對稱的點為(-1,-2),

對稱圓的圓心為(―1,—2),半徑為4=4=2,

故對稱圓的方程為?(x+lp+(y+2)2=4

故答案為.(x+lf+(y+2)2=4

16.已知A(2,2,0)?B(l,4,2)?C(0,2,0),則原點O到平面ABC的距離為.

【正確答案】√2

【分析】計算出平面ABC的一個法向量的坐標，利用空間向量法可求得原點。到平面ABC

的距離.

UllIU

【詳解】由已知可得AB=(T,2,2),AC=(-2,0,0),

設平面ABC的法向量為〃=(x,y,z),

In?AB=-X+2y+2z=0

取可得"=

I]?nAC=-2x=0y=l,(0,1,-1),

而OA=(2,2,0),所以，原點。到平面ABC的距離為d=

W一行

故答案為.√Σ

四、解答題

17.已知點42,2),直線3x+4y+2=0

(1)求A點到直線/距離；

(2)求過點A且與直線/平行的直線的方程.

【正確答案】(1)，

⑵3x+4y—14=0

【分析】(1)根據點到直線的距離公式計算即可；

(2)設過點A且與直線/平行的直線方程為3x+4y+C=0,再將A(2,2)代入即可.

【詳解】⑴A點到直線/距離d=』：8+21=工

√9+165

(2)設過點A且與直線/平行的直線方程為3x+4y+C=0,

把點A的坐標代入可得：6+8+C=0,解得c=—14,

所以所求直線方程為3x+4y-14=0.

18.三角形的三個頂點分別是A(4,0),B(6,7),C(0,3).

(1)求AC邊所在的直線方程；

(2)求AC邊上的高所在的直線方程.

【正確答案】(l)3x+4y-12=0

(2)4x-3y-3=0

【分析】(1)用直線方程的截距式求方程；

(2)利用兩直線垂直，斜率相乘等于-1求解.

【詳解】(1)由44,0),C(0,3).可得AC邊所在的直線方程是：→√=l-

43

即3x+4y-12=0.

3-03

(2)因為AC邊上的高垂直于AC,(1)由已知心0=

0—44

???高所在的直線方程斜率為(4

又AC邊上的高過點8(6,7),

4

故所求直線方程為y-7=§(x-6)

故AC邊上的高所在的直線方程是4x-3y-3=0.

19.已知圓心為C的圓經過點。(0,0)和A(2,0),圓心在直線/:2x+y-l=0上，求圓C的方

程.

【正確答案】(x-iy+(y+l)2=2

【分析】首先設出方程，將點坐標代入得到關于參數的方程組，通過解方程組得到參數值,

從而確定其方程：

【詳解】設圓心C(a,b),則2α+A-l=0,

圓經過點O(OQ)和42,0),

:.r=y∣a2+b2=7(?-2)2+b2,

解可得，α=l,b=-?,即圓心C(L-1),r=>∕2<

故圓C的方程為：(x-l)2+(y+l)2=2;

20.如圖在邊長是2的正方體ABa)-ABGA中，E,F分別為A8,AC的中點.

(1)求異面直線EF與CA所成角的大小.

(2)證明：EFl平面AC。.

【正確答案】(1)60”;(2)證明見解析.

,、JEFCD

【分析】(1)通過建立空間直角坐標系，利用cos(EFe)=W同可得解;

(2)利用EQ圖=0和E/?OC=0,可證得線線垂直，進而得線面垂直.

【詳解】據題意，建立如圖坐標系.于是:

O(0,0,0),Λt(2,0,2),C(0,2,0),￡(2,1,0),F(l,l,l),A(0,0,2)

ΛEF=(-1,0,1),CDi=(0,-2,2),DAi=(2,0,2),DC=(0,2,0).

1012

(1)cos(EF,CD1)==-×÷θ×?÷×=?

(1)?'z∣fF∣∣CD,∣√2×2√22)

.?.(EF,CD)=60°

異面直線EF和CQ所成的角為60.

(2)EFDAy=-l×2+0×0+l×2=0

/.EF±DA1,即EF_LDAt

EFZ)C=-l×0+0×2+l×0=0>

?,?EF1DC即EFA.DC.

又?.?OA∣,DCU平面QCA且OACOC=O

二EFJ,平面ACD.

21.已知點A(l,4),B(3,-2),以AB為直徑的圓記為圓C.

(1)求圓C的方程；

(2)若過點P(0,-2)的直線/與圓C交于M,N兩點、,且IMM=2后，求直線/的方程.

【正確答案】(1)(x-2)2+(γ-l)2=10；(2)X=O或5x-12y-24=0.

【分析】(1)根據中點坐標公式求出圓心，然后利用兩點間的距離公式求出半徑，進而可求

出結果：

(2)根據幾何性質求出弦心距，然后結合點到直線的距離公式即可求出結果.

【詳解】(1)由41,4),8(3,-2),得A5的中點坐標為(2,1),即圓心坐標為(2,1),

半徑r=g∣A8∣=√ΠJ,

???圓C的方程為(x-2)2+(y-l)2=10

(2)?IM7√I=2√6,

可得弦心距為JlO-(G)2=2

當直線的斜率不存在時，直線/的方程為X=0,

圓心到直線/的距離為2,所以滿足題意;

當直線/的斜率存在時，設直線方程為y+2=日

Bpfcv-y-2=0.