專題09三點(diǎn)共線問題一、【知識(shí)回顧】【三點(diǎn)共線模型】①函數(shù)模型：構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系，求出三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)，其中兩個(gè)點(diǎn)構(gòu)建一次函數(shù)模型，判斷第三個(gè)點(diǎn)是否在函數(shù)圖像上，滿足則共線②平角模型如圖，要證明A、B、C三點(diǎn)共線，可以選擇一條過B點(diǎn)的直線PBQ，并連接AB、CB，證明∠ABP與∠CBP互為鄰補(bǔ)角，即∠ABP+∠CBP=180°③平行線模型如圖，要證明A、B、C三點(diǎn)共線，先證明AB∥DE，在證明BC∥DE④垂線模型如圖，要證明A、B、C三點(diǎn)共線，先證明AC⊥MN，在證明A⊥MN【三線共點(diǎn)模型】①證明兩條線的交點(diǎn)，在第三條直線上②證明三條線中兩條線的交點(diǎn)和另外兩條線的交點(diǎn)是同一個(gè)二、【考點(diǎn)類型】考點(diǎn)1：三點(diǎn)共線典例1：（2022秋·福建泉州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到SKIPIF1<0，當(dāng)點(diǎn)E恰好落在線段SKIPIF1<0上時(shí)，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的平分線SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點(diǎn)F，連接SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的長(zhǎng)；(2)求證：C、E、F三點(diǎn)共線．【變式1】（2022春·福建泉州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0繞點(diǎn)SKIPIF1<0順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0．(1)如圖SKIPIF1<0，當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0恰好在SKIPIF1<0上時(shí)，求SKIPIF1<0的大?。?2)如圖SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，判斷四邊形SKIPIF1<0的形狀，并證明你的結(jié)論．(3)如圖SKIPIF1<0，若點(diǎn)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn)，SKIPIF1<0求證：SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三點(diǎn)共線．SKIPIF1<0求SKIPIF1<0的最大值．【變式2】（2021春·福建廈門·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）拋物線C1：y＝﹣x2+2mx﹣m2+m+3的頂點(diǎn)為A，拋物線C2：y＝﹣（x+m+4）2﹣m﹣1的頂點(diǎn)為B，其中m≠﹣2，拋物線C1與C2相交于點(diǎn)P．(1)當(dāng)m＝1時(shí)，求拋物線C1的頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)已知點(diǎn)C（﹣2，1），求證：點(diǎn)A，B，C三點(diǎn)共線；(3)設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為q，求q的取值范圍．【變式3】（2022秋·福建福州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知矩形ABCD中，SKIPIF1<0于點(diǎn)E，SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，求CE的長(zhǎng)；(2)設(shè)點(diǎn)C關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)為F，求證：B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線．考點(diǎn)2：三線共點(diǎn)典例2：（2021·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知線段SKIPIF1<0，垂足為a．（1）求作四邊形SKIPIF1<0，使得點(diǎn)B，D分別在射線SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）（2）設(shè)P，Q分別為（1）中四邊形SKIPIF1<0的邊SKIPIF1<0的中點(diǎn)，求證：直線SKIPIF1<0相交于同一點(diǎn)．【變式1】（2020·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖，SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0外一點(diǎn)．（1）求作四邊形SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）（2）在（1）的四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0相交于點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0三點(diǎn)在同一條直線上．鞏固訓(xùn)練、單選題1．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，正方形ABCD中，AB＝4，延長(zhǎng)DC到點(diǎn)F（0＜CF＜4），在線段CB上截取點(diǎn)P，使得CP＝CF，連接BF、DP，再將△DCP沿直線DP折疊得到△DEP．下列結(jié)論：①若延長(zhǎng)DP，則DP⊥FB；②若連接CE，則SKIPIF1<0；③連接PF，當(dāng)E、P、F三點(diǎn)共線時(shí)，CF＝4SKIPIF1<0﹣4；④連接AE、AF、EF，若△AEF是等腰三角形，則CF＝4SKIPIF1<0﹣4；其中正確有（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)2．（2023·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，ADSKIPIF1<0BC，ABSKIPIF1<0CD，E在AD上．AD＝m，AE＝n（m＞n＞0）．將長(zhǎng)方形沿著BE折疊，A落在A′處，A'E交BC于點(diǎn)G，再將∠A′ED對(duì)折，點(diǎn)D落在直線A′E上的D′處，C落在C′處，折痕EF，F(xiàn)在BC上，若D、F、D′三點(diǎn)共線，則BF＝（）A．m+SKIPIF1<0n B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．m﹣n3．（2022秋·貴州黔西·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，⊙O的半徑為2SKIPIF1<0，PA，PB，CD分別切⊙O于點(diǎn)A，B，E，CD分別交PA，PB于點(diǎn)C，D，且P，E，O三點(diǎn)共線．若∠P＝60°，則CD的長(zhǎng)為（）A．4 B．2SKIPIF1<0 C．3SKIPIF1<0 D．64．（2022秋·新疆烏魯木齊·九年級(jí)校考期中）如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AB=6，將Rt△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到Rt△A’B’C．當(dāng)A’、B’、A三點(diǎn)共線時(shí)，AA’=（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2022秋·山東日照·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都是等邊三角形，且SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三點(diǎn)共線．SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于點(diǎn)SKIPIF1<0，連結(jié)SKIPIF1<0．以下五個(gè)結(jié)論：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0是等邊三角形；⑤SKIPIF1<0．其中正確結(jié)論的有（

）個(gè)A．5 B．4 C．3 D．2二、填空題6．（2023秋·浙江寧波·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在正方形SKIPIF1<0中，點(diǎn)E在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0中點(diǎn)F，過F作SKIPIF1<0且使得SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0并延長(zhǎng)，將SKIPIF1<0繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三點(diǎn)共線且SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0______．7．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的平分線相交于H，過點(diǎn)H作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于E，交SKIPIF1<0于F，SKIPIF1<0于D，以下四個(gè)結(jié)論①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③點(diǎn)H到SKIPIF1<0各邊的距離相等；④若B，H，D三點(diǎn)共線時(shí)，SKIPIF1<0一定為等腰三角形．其中正確結(jié)論的序號(hào)為_____．8．（2022春·福建龍巖·八年級(jí)校聯(lián)考期中）已知矩形ABCD中，AB=8，BC=10，將△ABE沿BE對(duì)折，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0C，當(dāng)E、SKIPIF1<0、C恰好三點(diǎn)共線時(shí)，AE的值為____________9．（2022春·福建泉州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在SKIPIF1<0中，E點(diǎn)是BD的中點(diǎn)，MN經(jīng)過E點(diǎn)分別與AD、BC相交于點(diǎn)M、N．下列四個(gè)結(jié)論：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③A、C、E三點(diǎn)共線；④若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．其中正確的結(jié)論有____．（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）10．（2022·福建·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0中，點(diǎn)SKIPIF1<0都在反比例函數(shù)SKIPIF1<0的圖象上，且SKIPIF1<0．現(xiàn)給出以下說法：①若A，O，B三點(diǎn)共線，則SKIPIF1<0；②若SKIPIF1<0，則A，O，B三點(diǎn)共線；③線段OA長(zhǎng)度的最小值是SKIPIF1<0；④以A，O，B為頂點(diǎn)的三角形不可能是直角三角形．其中正確的是__________．（寫出所有正確說法的序號(hào)）三、解答題11．（2022秋·福建泉州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)試說明SKIPIF1<0與SKIPIF1<0滿足什么等量關(guān)系時(shí)，點(diǎn)D、點(diǎn)C、點(diǎn)E三點(diǎn)共線．(2)連接SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于F點(diǎn)，若點(diǎn)F恰好是線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)，求證：SKIPIF1<0．12．（2023秋·河北邯鄲·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0從點(diǎn)SKIPIF1<0出發(fā)，沿SKIPIF1<0以每秒5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)SKIPIF1<0運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，將線段SKIPIF1<0繞點(diǎn)SKIPIF1<0逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0．設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為SKIPIF1<0秒SKIPIF1<0．(1)線段SKIPIF1<0的長(zhǎng)為__________，線段SKIPIF1<0的長(zhǎng)為__________（用含SKIPIF1<0的代數(shù)式表示）；(2)當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0與點(diǎn)SKIPIF1<0重合時(shí)，求SKIPIF1<0的值；(3)當(dāng)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三點(diǎn)共線時(shí)，求SKIPIF1<0的值；(4)當(dāng)SKIPIF1<0為鈍角三角形時(shí)，直接寫出SKIPIF1<0的取值范圍．13．（2022秋·福建泉州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，SKIPIF1<0是等腰直角三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，D在線段SKIPIF1<0上，E是線段SKIPIF1<0的一點(diǎn)．現(xiàn)以SKIPIF1<0為直角邊，C為直角頂點(diǎn)，在SKIPIF1<0的下方作等腰直角SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0．(1)如圖1，求證：SKIPIF1<0．(2)當(dāng)A、E、F三點(diǎn)共線時(shí)，如圖2，若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的長(zhǎng)．(3)如圖3，若SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，當(dāng)E運(yùn)動(dòng)到使得SKIPIF1<0時(shí)，求SKIPIF1<0的面積．14．（2022秋·福建龍巖·九年級(jí)校聯(lián)考