2023-2024學(xué)年廣西百校高二數(shù)學(xué)下學(xué)期入學(xué)檢測(cè)聯(lián)考試卷（試卷滿分150分．考試時(shí)間120分鐘）2024年2月注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4．本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版選擇性必修第一、二冊(cè).一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為－4，公比為，則該數(shù)列的第3項(xiàng)為（

）A．－9 B．－6 C．6 D．92．曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為（

）A．5 B．6 C．7 D．83．在空間直角坐標(biāo)系中，已知平面，的一個(gè)法向量分別為，，則與的夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．4．橢圓的上頂點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為（

）A． B． C．2 D．5．在四面體中，，則（

）A． B．C． D．6．現(xiàn)有3個(gè)數(shù)列：，，．其中遞增數(shù)列的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．37．已知過點(diǎn)的直線與圓交于兩點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．8．已知甲植物生長(zhǎng)了一天，長(zhǎng)度為，乙植物生長(zhǎng)了一天，長(zhǎng)度為.從第二天起，甲每天的生長(zhǎng)速度是前一天的倍，乙每天的生長(zhǎng)速度是前一天的，則甲的長(zhǎng)度第一次超過乙的長(zhǎng)度的時(shí)期是（

）（參考數(shù)據(jù)：取）A．第6天 B．第7天 C．第8天 D．第9天二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．若直線：，：，：，：，則（

）A． B．與之間的距離為C． D．與的傾斜角互補(bǔ)10．在數(shù)列中，，且，則（

）A． B．為等比數(shù)列C． D．為等差數(shù)列11．已知，分別是橢圓M：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓M上，且，則M的離心率可能為（

）A． B． C． D．三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．把答案填在答題卡中的橫線上．12．拋物線的準(zhǔn)線方程為．13．已知兩點(diǎn)分別在兩條互相垂直的直線和上，且的中點(diǎn)為，則，直線的一般式方程為．14．已知向量在向量上的投影向量的模為，則，使為整數(shù)的n的值按照從小到大的順序排列，得到的新數(shù)列的前n項(xiàng)和．四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．在等差數(shù)列中，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．16．已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，記點(diǎn)的軌跡為曲線．(1)求的方程；(2)若是上不同的兩點(diǎn)，且直線的斜率為5，線段的中點(diǎn)為，證明：點(diǎn)在直線上．17．如圖，四棱錐的底面是平行四邊形，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，平面平面為棱的中點(diǎn)．(1)證明：平面．(2)求直線與平面所成角的正弦值．18．已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若對(duì)恒成立，求的取值范圍．19．已知A，B為拋物線C：上的兩點(diǎn)，△OAB是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)求C的方程．(2)過C的焦點(diǎn)F作圓M：的兩條切線，．（i）證明：，的斜率之積為定值．（ii）若，與C分別交于點(diǎn)D，E和H，G，求的最小值．1．A【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)求解即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，由題意可知：，所以.故選：A.2．B【分析】求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)即可.【詳解】因?yàn)椋郧€在點(diǎn)處的切線的斜率為．故選：B3．D【分析】設(shè)，，由向量的夾角公式計(jì)算可得.【詳解】設(shè)，，則，所以與的夾角的余弦值為．故選：D4．B【分析】先求橢圓的上頂點(diǎn)，再求雙曲線的漸近線，然后代入點(diǎn)到直線的距離公式求解.【詳解】橢圓的上頂點(diǎn)為，雙曲線的漸近線方程為，則橢圓的上頂點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為．故選：B5．C【分析】根據(jù)題意，結(jié)合空間向量的線性運(yùn)算法則，準(zhǔn)確計(jì)算，即可求解.【詳解】如圖所示，四面體中，滿足，可得．故選：C.6．C【分析】根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷.【詳解】因?yàn)椋梢淮魏瘮?shù)的單調(diào)性可知，數(shù)列為遞增數(shù)列；因?yàn)椋O(shè)函數(shù)，則在上單調(diào)遞增，所以為遞增數(shù)列；因?yàn)椋芍笖?shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，數(shù)列為遞減數(shù)列.故選：C7．D【分析】根據(jù)題意，由條件可得點(diǎn)在圓內(nèi)，從而可得當(dāng)時(shí)，取得最小值，再由弦長(zhǎng)公式，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋渣c(diǎn)在圓內(nèi)．且圓的圓心為，半徑為，則，當(dāng)時(shí)，取得最小值，且最小值為．故選：D8．C【分析】設(shè)甲植物每天生長(zhǎng)的長(zhǎng)度構(gòu)成等比數(shù)列，甲植物每天生長(zhǎng)的長(zhǎng)度構(gòu)成等比數(shù)列，設(shè)其前項(xiàng)和分別為、，依題意得到、的通項(xiàng)公式，即可求出、，再由得到，最后根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】設(shè)甲植物每天生長(zhǎng)的長(zhǎng)度構(gòu)成等比數(shù)列，甲植物每天生長(zhǎng)的長(zhǎng)度構(gòu)成等比數(shù)列，設(shè)其前項(xiàng)和分別為、（即天后樹的總長(zhǎng)度），則，，所以，，由，可得，即，即，解得或（舍去），由則，因?yàn)椋矗郑缘淖钚≈禐?故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是利用等比數(shù)列求出公式求出天后樹的總長(zhǎng)度，從而得到不等式，再結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解得.9．BCD【分析】根據(jù)直線方程判斷直線的平行關(guān)系，可判定AC的真假；根據(jù)平行線的距離公式，判斷B的真假；根據(jù)傾斜角和斜率的關(guān)系，判斷D的真假.【詳解】由，得，所以與重合，，A錯(cuò)誤，C正確．與之間的距離為，B正確．因?yàn)榕c的斜率互為相反數(shù)，所以與的傾斜角互補(bǔ)，D正確．故選：BCD10．ABD【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推公式，可求，的值，判斷AC是否正確；利用等比數(shù)列的定義判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式判斷是否為等差數(shù)列.【詳解】因?yàn)椋遥裕珹正確，C錯(cuò)誤．因?yàn)椋裕郑裕詾榈缺葦?shù)列，且首項(xiàng)為3，公比為3，所以，所以，所以為等差數(shù)列，且公差為3，B，D均正確．故選：ABD11．AC【分析】根據(jù)橢圓的定義及條件，可求，，根據(jù)橢圓性質(zhì)，構(gòu)造齊次式，求橢圓離心率的取值范圍.【詳解】由題意得則，．由，，得，即，得，所以M的離心率的取值范圍為．故選：AC12．【分析】確定的值，從而確定拋物線的準(zhǔn)線方程.【詳解】因?yàn)椋裕話佄锞€的準(zhǔn)線方程為．故答案為：13．1【分析】根據(jù)兩條直線互相垂直求得，設(shè)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出，然后求得直線的一般式方程.【詳解】由題意得，得．設(shè)，由得即，則直線的方程為，即．故答案為：1；.14．5【分析】利用投影向量的定義可求出，得到；分析為整數(shù)時(shí)，對(duì)應(yīng)的的值，得到新數(shù)列，再求新數(shù)列的前項(xiàng)的和.【詳解】因?yàn)椋裕ㄟ^計(jì)算可得，當(dāng)或時(shí)，均不是整數(shù)，當(dāng)時(shí)，．由此可得新數(shù)列為5，18，31，44，……，該數(shù)列是首項(xiàng)為5，公差為13的等差數(shù)列，所以．故答案為：5；15．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列基本量的計(jì)算即可求解，（2）根據(jù)裂項(xiàng)求和以及分組求和，即可求解.【詳解】（1）設(shè)公差為，由可得，解得，故.（2），所以16．(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)雙曲線的定義可求的方程；（2）利用點(diǎn)差法可證點(diǎn)在直線.【詳解】（1）因?yàn)椋愿鶕?jù)雙曲線的定義可知點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為4的雙曲線的右支，由，得，所以的方程為．（2）證明：設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則兩式相減并整理得，，設(shè)，依題意可得所以，即，所以，即，所以點(diǎn)在直線上．17．(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)余弦定理，結(jié)合勾股定理的逆定理、面面垂直的性質(zhì)定理進(jìn)行證明即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間夾角公式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1），，即．平面平面，平面平面，平面，平面．（2）如圖，分別取的中點(diǎn)，連接．平面．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，．設(shè)是平面的法向量，則，令，得，則．故直線與平面所成角的正弦值為．18．(1)答案見詳解(2)【分析】（1）求出導(dǎo)數(shù)，對(duì)分三種情況討論判斷的正負(fù)，得解；（2）先通過特例，得，然后利用（1）的結(jié)論，求解函數(shù)的最大值即可.【詳解】（1）由題，，令，得或，當(dāng)時(shí)，令，解得或，令，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，令，解得或，令，解得，綜上，當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）因?yàn)椋瑢?duì)恒成立，所以，得，若，由（1）知在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，即，解得，；若，在上單調(diào)遞增，恒成立，；若，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.，即，解得，又，，，綜上，符合題意的實(shí)數(shù)的取值范圍為.19．(1)(2)（i）證明見解析；（ii）【分析】（1）根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，可知、關(guān)于軸對(duì)稱，又為等邊三角形，所以直線的傾斜角為，再結(jié)合的面積，可確定點(diǎn)坐標(biāo)，得到拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）（i）設(shè)出過點(diǎn)的直線方程，利用直線與圓的位置關(guān)系確定直線的斜率之間的關(guān)系；（ii）把直線和拋物線方程聯(lián)立，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，表示出弦長(zhǎng)，再結(jié)合二次函數(shù)的