練素養3.平行線中常見作輔助線的兩技巧、九類型北師版七年級下集訓課堂第二章相交線與平行線答案呈現溫馨提示：點擊進入講評習題鏈接12345678109BD

在解決平行線的問題時，當無法直接得到角的關系或兩

條線之間的位置關系時，通常作輔助線來幫助解答，如何作

輔助線需根據已知條件確定.輔助線的添加既可以產生新的條

件，又能與題目中原有的條件聯系在一起.1.如圖，∠E＝∠B＋∠D，猜想AB與CD有怎樣的位置關

系，并說明理由.技巧1

加截線法類型1連接兩點【解】AB∥CD.理由如下：如圖，連接BD.在三角形BDE中，∠1＋∠2＋∠E＝180°.因為∠E＝∠3＋∠4，所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，即∠ABD＋∠CDB＝180°.所以AB∥CD.類型2

延長線段2.如圖，AB∥CD，EF⊥CD于點F，若∠BEF＝150°，則

∠ABE＝(

D

)A.30°B.40°C.50°D.60°(第2題)D技巧2

過“拐點”作平行線法類型3

“

”形圖3.[2023·鄂州]如圖，直線AB∥CD，GE⊥EF于點E.若∠BGE

＝60°，則∠EFD的度數是(

B

)(第3題)A.60°B.30°C.40°D.70°B【點撥】如圖，過點E作直線HI∥CD，則∠HEF＝∠EFD.因為

AB∥CD，CD∥HI，所以AB∥HI.所以∠GEH＝∠BGE＝

60°.易知∠GEF＝90°，所以∠HEF＝∠GEF－∠GEH＝90°

－60°＝30°.所以∠EFD＝∠HEF＝30°.4.如圖，AB∥CD，P為AB，CD之間的一點，已知∠2＝

28°，∠BPC＝58°.求∠1的度數.【解】方法一過點P作射線PN∥AB，如答圖①所示.因為PN∥AB，AB∥CD，所以PN∥CD.所以∠4＝∠2＝28°.因為PN∥AB，所以∠3＝∠1.因為∠3＝∠BPC－∠4＝58°－28°＝30°，所以∠1＝∠3＝30°.方法二過點P作射線PM∥AB，如答圖②所示.因為PM∥AB，AB∥CD，所以PM∥CD.所以∠4＋∠2＝180°.所以∠4＝180°－∠2＝180°－28°＝152°.因為∠4＋∠BPC＋∠3＝360°，所以∠3＝360°－∠BPC－

∠4＝360°－58°－152°＝150°.因為AB∥PM，所以∠1＋∠3＝180°.所以∠1＝180°－∠3＝180°－150°＝30°.類型4

“

”形圖5.[新視角

規律探索題]下列各圖中的MA1與NAn平行.(1)圖①中的∠A1＋∠A2＝

?度；圖②中的∠A1＋∠A2＋∠A3＝

?度；圖③中的∠A1＋∠A2＋∠A3＋∠A4＝

?度；圖④中的∠A1＋∠A2＋∠A3＋∠A4＋∠A5＝

?度；…180

360

540

720

【點撥】題圖①中，因為MA1∥NA2，所以∠A1＋∠A2＝180°.題

圖②中，過點A2作MA1的平行線，易知∠A1＋∠A1A2A3＋

∠A3＝180°＋180°＝360°.同理可得，題圖③中的∠A1＋∠A2

＋∠A3＋∠A4＝540°，題圖④中的∠A1＋∠A2＋∠A3＋∠A4

＋∠A5＝720°，…(2)第n個圖中的∠A1＋∠A2＋∠A3＋…＋∠An＋1＝

?.180°×n

類型5

“

”形圖6.(1)如圖，AB∥CD，若∠B＝130°，∠C＝30°，求∠BEC的

度數.【解】如圖，過點E向左作EF∥AB，則∠B＋∠BEF＝180°.因為∠B＝130°，所以∠BEF＝180°－∠B＝50°.因為AB∥CD，且EF∥AB，所以EF∥CD.所以∠FEC＝∠C.又因為∠C＝30°，所以∠FEC＝30°.所以∠BEC＝∠BEF＋∠FEC＝50°＋30°＝80°.(2)如圖，AB∥CD，探究∠B，∠C，∠BEC三者之間有怎樣的數量關系，試說明理由.【解】∠B＋∠BEC－∠C＝180°.理由略.類型6

“

”形圖7.如圖，AB∥DE，則∠BCD，∠B，∠D有何數量關系？為

什么？【解】∠BCD＝∠B－∠D.理由如下：如圖，過點C作CF∥AB，所以∠B＝∠BCF.因為AB∥DE，CF∥AB，所以CF∥DE.所以∠DCF＝∠D.所以∠B－∠D＝∠BCF－∠DCF.因為∠BCD＝∠BCF－∠DCF，所以∠BCD＝∠B－∠D.類型7

“

”形圖8.如圖，已知AB∥DE，∠BCD＝30°，∠CDE＝138°.求

∠ABC的度數.【解】如圖，過點C作CF∥AB.因為AB∥DE，CF∥AB，所以DE∥CF.所以∠DCF＋∠CDE＝180°.所以∠DCF＝180°－∠CDE＝180°－138°＝42°.所以∠BCF＝∠BCD＋∠DCF＝30°＋42°＝72°.因為AB∥CF，所以∠ABC＝∠BCF＝72°.類型8

多“拐點”型9.[情境題生活應用]北京冬奧會掀起了滑雪的熱潮，很多同

學紛紛來到滑雪場，想親身感受一下奧運健兒在賽場上風

馳電掣的感覺.正確的滑雪姿勢是上身挺直略前傾，與小腿

平行，使腿的根部處于微微受力的狀態，如圖所示，

AF∥DE，AB∥CD，如果人的小腿CD與地面的夾角

∠CDE＝60°，你能求出身體BA與水平線的夾角∠BAF的

度數嗎？若能，請你用兩種不同的方法求出∠BAF的度數.【解】方法一：如圖①，延長AB交DE于點G.因為AG∥CD，所以∠BAF＝∠AGD，∠CDE＝∠AGD.所以∠CDE＝∠BAF.又因為∠CDE＝60°，所以∠BAF＝60°.方法二：如圖②，過點B作BM∥AF，過點C作

CN∥DE，則∠BAF＝∠ABM，∠CDE＝∠DCN.因為AF∥DE，BM∥AF，CN∥DE，所以BM∥CN.所以∠MBC＝∠BCN.因為AB∥CD，所以∠ABC＝∠BCD.所以∠ABC－∠MBC＝∠BCD－∠BCN，即∠ABM＝∠DCN.所以∠BAF＝∠CDE.又因為∠CDE＝60°，所以∠BAF＝60°.類型9

復合“拐點”型10.[新考法變式探究法](1)如圖①，已知AB∥CD，∠BAP

＝40°，∠PCD＝30°，求∠APC的度數.【解】如圖①，過點P作PO∥AB，則∠1＝∠BAP.又因為AB∥CD，所以PO∥CD.所以∠2＝∠PCD.因為∠BAP＝40°，∠PCD＝30°，所以∠APC＝∠1＋∠2＝∠BAP＋∠PCD＝40°＋30°＝70°.(2)如圖②，在(1)的條件下，AM平分∠BAP，CM平分

∠PCD，求∠AMC的度數.【解】如圖②，延長AP交CD于點Q.易得∠BAP＝∠AQC，∠APC＝∠BAP＋∠DCP＝2(∠MAP＋∠MCP).連接MP并延長到點R，則由鄰補角的定義和三角形的內角和可得∠APR＝∠MAP＋∠AMP，∠CPR＝∠MCP＋∠CMP，所以∠APC＝∠AMC＋∠MAP＋∠MCP.

(3)如圖②，已知AB∥CD，AM平分∠BAP，CM平分∠PCD.當點P，M在直線AC同側時，直接寫出∠APC與∠AMC的數量關系：

?.∠APC＝2∠AMC

(4)如圖③，已知AB∥CD，AM平分∠BAP，CM平分∠PCD.當點P，M在直線AC異側時，直接寫出∠APC與∠AMC的數量關系：

?.∠APC＝360°－2∠AMC

【點撥】如圖③.過點P作PQ∥AB，過點M作MN∥AB，則AB∥PQ∥MN∥CD，所以∠APQ＝180°－∠BAP，∠CPQ

＝180°－∠DCP，∠AMN＝∠BAM，∠CMN＝