2023年中考數學專題訓練:旋轉綜合壓軸題

1.如圖1,在cΛBC中，把AB繞點A順時針旋轉α(0o<a<180o)得到A*,把4C

繞點A逆時針旋轉夕得到AC',連接BC'.當α+A=180。時，我們稱AAEC是ABC

的“旋補三角形"，ΔAB'C'邊BC'上的中線A。叫做ABC的“旋補中線”，點A叫做“旋

補中心”.

⑴在圖2,圖3中，?AB'C'是.?.ABC的“旋補三角形"，AO是/BC的“旋補中線”.

①如圖2,當ABC為等邊三角形時，AO與BC的數量關系為AD=BC；

②如圖3,當∕β4C=90°,8C=8時，則AD長為.

(2)在圖1中，當一ABC為任意三角形時，猜想An與BC的數量關系，并給予證明.

(3)如圖4,在四邊形ABC。，ZC=90o,ZD=150o,BC=12,CD=243,DA=6,

在四邊形內部是否存在點P，使APDC是的“旋補三角形”？若存在，給予證明,

并求，R45的“旋補中線”長；若不存在，說明理由.

2.(1)如圖1,已知ACAB和,CDE均為等邊三角形，。在AC上，E在CB上，易得

線段AD和8E的數量關系是一

(2)將圖1中的.CDE繞點C旋轉到圖2的位置，直線AD和直線8E交于點F.

①判斷線段AD和BE的數量關系，并證明你的結論；

②圖2中ZAFB的度數是一.

(3)如圖3,若4C4B和，COE均為等腰直角三角形，ZABCADEC=90°,AB=BC,

DE=EC,直線AD和直線8E交于點F,分別寫出/4FB的度數，線段A。、8E間的

數量關系.

CCC

圖3

3.在，ASC中，ZS4C=90o,AB=AC=4√2.。為BC的中點，E,尸分別為AC,AD

上任意一點，連接M,將線段EF繞點E順時針旋轉90°得到線段EG,連接尸G,AG.

(1)如圖1,點E與點C重合，且Gp的延長線過點8,若點P為尸G的中點，連接PD,

求PO的長;

⑵如圖2,EP的延長線交AB于點點N在AC上，ZAGN=ZAEG且GN=MF,

求證：AM+AF=y∕2AEi

(3)如圖3,尸為線段Ar)上一動點，E為AC的中點，連接BE,H為直線BC上一動點,

連接￡77,將45E"沿EH翻折至ABC所在平面內，得到Z?3'E"，連接B'G,直接

寫出線段BC的長度的最小值.

4.已知，如圖1,正方形ABa)的邊長為5,點E、F分別在邊A8、Ao的延長線上,

且BE=DF,連接EF.

圖I圖3

試卷第2頁，共10頁

(1)證明：EF-LAC;

(2)將4AEF繞點A順時針方向旋轉，當旋轉角ɑ滿足0。＜。＜45。時，設EF與射線48

交于點G,與AC交于點H,如圖所示，試判斷線段“、HG、GE的數量關系，并說

明理由.

(3)若將AAEF繞點A旋轉一周，連接DF.BE,并延長EB交直線DF于點P,連接PC,

試說明點尸的運動路徑并求線段PC的取值范圍.

5.如圖，將ASC的邊AB繞點A逆時針旋轉得到線段AD,連接8O?

(1)如圖1,連接C。，若NBAD=90°,ZADC+ZABC=i80o,AC=IyIi，BC=4,

求CQ的長；

⑵如圖2,點E在BD上，且滿足BC=OE,連接AE,點F為AB上一點，連接OF

交AE于點M,若ZBDF=ZBCA,NAQ8+ZABC=180。，求證AM=EM；

2

(3)如圖3,若NBM＞=120。，ZAC8=60。，AB=9,點P在直線AC上且滿足AP=]BC,

將,ASP沿虛線GH折疊使得點P的對應點P落在AB上，連接PP,與折痕GH交于點。,

請直接寫出8P最小時，點。到AB的距離.

6.【問題初探】

(1)如圖1,等腰RtZXABC中，AB=AC,點。為A8邊一點，以BO為腰向下作等腰

Rt?BDE,NDBE=90。.連接CO,CE,點尸為8的中點，連接AF.猜想并證明

線段"與CE的數量關系和位置關系.

AA

D

BCB

E

Sl圖2

【深入探究】

(2)在(1)的條件下，如圖2,將等腰Rt48DE繞點B旋轉，上述結論是否仍然成立?

若成立，請證明；若不成立，請說明理由.

【拓展遷移】

(3)如圖3,等腰ABC中，AB=AC,ZBAC=MOo.在RtZXBDE中，NDBE=90°,

ZBDE=-ZBAC.連接CO,C￡,點尸為C。的中點，連接AF.RtABDE繞點B旋

2

轉過程中，

①線段"與CE的數量關系為：

②若BC=4g,BO=2百，當點F在等腰ABC內部且NBCF的度數最大時，線段AF

的長度為__________

圖3

7.如圖1,矩形OE>E廠的一邊落在矩形ABC。的一邊上,并且矩形OOEF矩形ABC0,

其相似比為1:4,矩形ABC。的邊AB=4,BC=4√3?

(1)矩形OoE/的面積是」

(2)將圖1中的矩形。。￡尸繞點。逆時針旋轉90。，若旋轉過程中。尸與OA夾角(圖2中

的NFO4)的正切的值為X,兩個矩形重疊部分的面積為>,求>與X的函數關系式；

(3)將圖1中的矩形QOE尸繞點。逆時針旋轉一周，連接EC、EA,?ACE的面積是否

試卷第4頁，共10頁

存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，請說明理由.

8.(1)如圖1,在正方形Aa)E中，點F,G分別在邊AE,AC上，若NRDG=45。，

則尸G,EF,CG之間的數量關系為：；(提示：以點Z)為旋轉中心，將ΔDCG順

時針旋轉90。)

圖1圖2圖3

解決問題：

(2)如圖2,若把(1)中的正方形改為等腰直角三角形，ZADC=90。,E,F是底

邊AC上任意兩點，且滿足ZED尸=45。，試探究AE,EF,FC之間的關系；

拓展應用：

(3)如圖3,若把(1)中的正方形改為菱形ACz)E,ZE≈60o,菱形的邊長為8,G,

尸分別為邊AC,AE上任意兩點，且滿足NFOG=60。，請直接寫出四邊形。E4G的面

積.

9.定義：既相等又垂直的兩條線段稱為“等垂線段”，如圖1,在RtZXABC中，ZA=9Qo,

AB=Ae,點D、E分別在邊A3、AC上，AD=AE,連接￡)E、DC,點M、尸、N

分別為DE、DC,BC的中點，且連接/W、PN.

圖1圖2

(1)觀察猜想

線段PM與PN填(“是"或“不是”)“等垂線段

(2)VADE繞點A按逆時針方向旋轉到圖2所示的位置,連接BD,CE,試判斷PM與PN

是否為，，等垂線段，，，并說明理由.

(3)拓展延伸

把VAr)E繞點A在平面內自由旋轉，若DE=2,BC=A,請直接寫出PM與PN的積

的最大值.

10.把兩個等腰直角三角形,ABC和VADE按圖1所示的位置擺放，將V49E繞點A按

逆時針方向旋轉，如圖2,連接50,EC,設旋轉角為a(0°<a<360。).

(2)如圖2,(1)中8。與EC的數量關系和位置關系是否仍然成立，若成立，請證明；若

不成立，請說明理由；

(3)如圖3,當點。在線段BE上時，求證：BELCE；

(4)當旋轉角α=(填度數)時，△?￡>的面積最大.

11.在等腰ABC中，ZABC=90°,AB=BC,將斜邊AC繞點A逆時針旋轉一定角度

得到線段AO,Ao交BC于點G,過點C作CFj_AQ于點F.

圖1圖2圖3

(1)如圖1,當旋轉22.5。時，若BG=I,求AC的長;

(2)如圖2,當旋轉30。時，連接8。，恰好使BD//AC,延長CF交8。于點E,連接EG,

求證：AG=CE+EG；

⑶如圖3,點M是AC邊上一動點，在線段上存在一點M使NB+24+NC的值最

試卷第6頁，共10頁

小時，若N4=2,請直接寫出CNM的面積.

12.在RtZ?4BC中，ZACB=9()°,ZABC=30°,AC=2,將√U5C繞點B順時針旋

轉一定的角度ɑ得到點A,C的對應點分別是O,E,連接AO.

(1)如圖1,當點E恰好在AB上時，求-AZ)E的大小；

⑵如圖2,若a=60。，點f是AB的中點，判斷四邊形CEZ)F的形狀，并證明你的結論.

(3)如圖3,若點尸為AO中點，①求證：C、E、F三點共線.②求CF的最大值.

13.如圖①，RtΔABC和RtABOE重疊放置在一起，ZABC=Nz)BE=90。，且Aβ=2BC,

BD=IBE.

AA

(1)觀察猜想：圖①中線段AO與CE的數量關系是—，位置關系是一；

(2)探究證明：把ΔB0E繞點3順時針旋轉到圖②的位置，連接AD,CE,判斷線段AD

與CE的數量關系和位置關系如何，并說明理由；

⑶拓展延伸：若把MDE繞點8順時針旋轉呢0啜/180。)，直線CE與直線AO相交于點

F,BD=3,則跳'的最大值為

14.問題提出

在等腰直角ABC中，AB=BC,NABC=90。，點DE分別在邊AB,AC上(不同

時在點AC),連接DE,將線段OE繞點E順時針旋轉90。，得到線段FE,連接AF,

圖1圖2圖3

問題探究

(1)先將問題特殊化，如圖1,點。，E分別與點AC,重合，直接寫出AF與BC的位

置關系；

(2)再探討一般情形，如圖2,證明(1)中的結論仍然成立.

(3)如圖3,在等腰直角ABC中，AB^BC,NABC=90。，。為AB的中點，點E在邊

AC上，連接L>E,將線段OE繞點E順時針旋轉90。，得到線段正，點G是點C關于

直線AB的對稱點，若點G,D,F在一條直線上，求會的值.

15.如圖，將矩形ABa)繞著點B逆時針旋轉得到矩形GBEE,使點C恰好落到線段AO

上的E點處，連接CE,連接CG交BE于點H.

(1)求證：CE平分NBED；

(2)取5C的中點連接MH,求證：MH//BG；

⑶若8C=2AB=4,求CG的長.

試卷第8頁，共10頁

（2）若將AD順時針旋轉α度（0。＜c＜90°）至A尸，求ZBPD的度數？

（3）若將A。逆時針旋轉α度（0。＜。＜180。）至AP,請分別求出0。＜a＜90。、（Z=90。、

90。＜1＜180。三種情況下的—3尸。的度數（圖2、圖3、圖4）.

17.［操作］如圖1.ΛBC是等腰直角三角形，NAC8=90°，。是其內部的一點，連接

CD.將CQ繞點（順時針旋轉90。得到CE,連接OE,作直線A。交BE于點￡

⑴求證：ADCgBEC；

⑵求NAFE的度數：

（3）［探究］如圖2,連接圖1中的AE,分別取AB、DE、AE的中點M、MP,作AMVP.若

BE=S,則Z?"NP的周長為

18.如圖，ABC是等邊三角形，點。是8C邊的中點，以。為頂點作一個120。的角，

角的兩邊分別交直線43、AC于M、N兩點，以點、D為中心旋轉NMDN(NgV的度

數不變)

圖①

(1)如圖①，若八M2ΛB,求證：BM+CN=BD；

(2)如圖②，若QM與AB不垂直，且點M在邊AB上，點N在邊AC上時，(1)中的結

論是否成立？并說明理由；

(3)如圖③，若ZW與AB不垂直，且點M在邊AB上，點N在邊AC的延長線上時，(1)

中的結論是否成立？若不成立，寫出8M、CN、BD之間的數量關系，并說明理由.

試卷第10頁，共10頁

參考答案:

1.⑴①3：②4

(2)AD=BC

(3)存在，√39

2.(1)AD=BE;(2)①AD=