微專題6極化恒等式、投影向量

3知識拓展

極化恒等式：ab=^[(a+b)2-(a-b)2].

(1)幾何意義：向量的數量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對

角線”與“差對角線”平方差的;.

(2)在平行四邊形QMQN中，。是對角線交點，貝I]：

①萬詬麗=([|苑F—I兩2](平行四邊形模式)；

②戶初?麗=I歷F—3兩2(三角形模式).

題型聚焦分類突破研題型求突破

類型一投影向量的應用

I核心歸納

由投影與投影所在的向量共線，問題轉化為求向量間的投影數量與投影所在向量

方向上單位向量的積.

2Jr

例1已知∣α∣=4,e為單位向量，它們的夾角為卷，則向量。在向量e上的投影向

量是；向量e在向量α上的投影向量是.

答案—2e—

解析由∣α∣=4,e為單位向量，它們的夾角為2空兀，

2

向量。在向量e上的投影數量：∣α∣cosjπ=-2,

21

向量e在向量α上的投影數量：IelCOSmr=-],

故向量”在向量e上的投影向量：一2e,

向量e在向量”上的投影向量：

3

訓練1(1)已知向量α與〃的夾角為甲，且同=2,向=3,則α在〃方向上的投影

向量與投影向量的長度分別是()

B手b,~y∣2

(2)已知向量4=(1,2),A(6,4),β(4,3),b為向量港在向量”上的投影向量,

則步I=.

4√5

答案(I)D(z)?

解析(1)設α在6方向上的投影向量為勸(2∈R),

則ab=λbb,

3

a.h同c°s7r

故人一r一國

73,

故”在8方向上的投影向量為一半公

3

“在b方向上的投影向量的長度為同CoSlπ=—啦.

⑵成=(—2,-1),

由投影公式可知g寺Ji】+葭)X2∣=唔

?a??5?

類型二利用極化恒等式求向量的數量積

I核心歸納

利用極化恒等式求平面向量數量積的步驟：

(1)取第三邊的中點，連接向量的起點與中點；

(2)利用極化恒等式將數量積轉化為中線長與第三邊長的一半的平方差；

(3)求中線及第三邊的長度，從而求出數量積的值.

注：對于不共起點或不共終點的向量需通過平移轉化為共起點(終點)的向量，再

利用極化恒等式.

例2(1)如圖，在C中，。是BC的中點，E,F是AD上的兩個三等分點.晶?豆

=4,BF&=~\,則礪?走的值為

A

(2)如圖，在平行四邊形/8C。中，AB=I,AD=I,點￡,F,G,"分別是Za

BC,CD,NO邊上的中點，則成'?前十宓?庇=

答案(l)?(2)2

解析(1)設BO=OC="?,

AE=EF=FD=n,

則40=3〃.

根據向量的極化恒等式，有懣?祀=Zb2—歷2=9〃2一加2=4,FjsFC=FD^-DB-

-n2-m~=-1,

513

聯立解得∕=g,W2=^^^?

————7

因此防?反?=應)2—歷2=4〃2一加2=1

O

即防?麗=(

(2)連接EG,FH交于點0(圖略)，

則礪?前=防-亦=1-(，=1,

2

GHHE=Gb2-OH1=?-{^=1,

3

因此彷?危+GHHE^.

訓練2(1)在AZBC中，M是BC的中點，AM=3,SC=IO,則成?Jb=.

(2)如圖，??J5C中，已知AB=A,AC=6,ZBAC=60°,點D,E分別在邊

AB,ACl.,且善=2&),AC=3AE,若產為。E的中點，則赤?瓦的值為.

答案(1)-16(2)4

解析(1)因為M是BC的中點，

由極化恒等式得成?農

=?2-∣∣?2=9-∣×100=-16.

⑵取

A

8。的中點N,連接NF,EB,因Z8=4,AE=2,ZBAC=60°,故BEUE,所

以BE=2yβ.

在ADEB中,FN*BE,

所以FN=小,

故臍?命=2或歷

類型三利用極化恒等式求數量積的最值(范圍)

I核心歸納

(1)利用極化恒等式求數量積的最值(范圍)時，關鍵在于取第三邊的中點，找到三

角形的中線，再寫出極化恒等式.(2)難點在于求中線長的最值(范圍)，可通過觀察

圖形或用點到直線的距離等求解.

例3(1)如圖，在同一平面內，點〃位于兩平行直線加，〃的同側，且/到處〃

的距離分別為1,3,點、B,C分別在“，〃上，懣+i?=5,則花?農的最大值

是

A

R

in

C〃

(2)(2022?濟南調研)在4∕BC中，點E,尸分別是線段力&ZC的中點，點尸在直

線跖上，若△/BC的面積為2,則而?無十就2的最小值為

答案(l)y(2)2√3

解析(1)法一(極化恒等式法)

連接8C,取8。的中點。，ABAC=AD1-Bb2,

rIflf5

又AD=^?AB+AC?=y

故LL力—8?4—。?=125一—??一25嚴1-→。??2,

又因為BGnin=3—1=2,

21

所以(焉?而max='

法二(坐標法)

以直線〃為X軸，過點Z且垂直于〃的直線為歹軸，建立如圖所示的平面直角坐

標系Xay,如圖，則/(0,3),C(c,0),B(b,2),

則范=3，-1),AC=(c,-3)

從而(b+c>+(-4)2=52,

即3+C)2=9,

→→(b+c)221

又ZCAB=bc+3≤------------+3=不

當且僅當b=c時，等號成立.

(2)取BC中點O,

PBPC=P?2-^BC2^PBPC+BC2=Pb2-?-^BC2^2?Pb2^BC2

=yβ?PO??BC?,

當且僅當PO=冬C時等號成立.

?.?PO斗，

、行

.?φ?Pb??BC?^^h?BC?=yf3S^lBC=2yβ,

，麻?危+交的最小值為2小.

訓練3(1)如圖所示，正方體/8C。-48∣Cln的棱長為2,MN是它的內切球的

一條弦(我們把球面上任意兩點之間的線段稱為球的弦)，P為正方體表面上的動

點，當弦MN的長度最大時，麗?麗的取值范圍是.

(2)如圖所示，正方形498的邊長為1,A,。分別在X軸，歹軸的正半軸(含原

點)上滑動，則反？油的最大值是.

答案(1)[0,2](2)2

解析(1)由正方體的棱長為2,

得內切球的半徑為1,

正方體的體對角線長為2√1

當弦跖V的長度最大時，MN為球的直徑.

設內切球的球心為O,

則麗r?麗=P?2-ON2=?P?2?-1.

由于尸為正方體表面上的動點，

故IOPl∈[1,√3],

所以血?麗￡[0,2].

(2)如圖，取BC的中點M,4。的中點N,連接朋N,ON,

則衣而=麗2_；=由2_(

13

因為OM^ON+NM=^AD+AB=

當且僅當O,N,M三點共線時取等號.

所以沆?為的最大值為2.

高分訓練對接高考重落實迎高考

一、基本技能練

L設向量Q,6滿足∣α+Z>∣=d?,?a-b?=y[β,則“力等于()

A.lB.2

C.3D.4

答案A

解析由極化恒等式得α?∕>=∣[(α+Z>)2-(?—Δ)2]=∣×(10-6)=1.

2.如圖，在平面四邊形/8C。中，。為8。的中點，且ON=3,OC=5,若麗?劉)

=-7,則比?虎=()

A.-9B.21

C.-21D.9

答案D

解析場Ib=而FT初2=-7,

.?,∣∣5Z)∣2=16,

SC-PC=∣c?∣2-∣∣5b∣2=25-16=9.

3.如圖，BC,Z)E是半徑為1的圓O的兩條直徑，BF=IFO,則彷?厚=()

答案B

解析'：BF=IFO,圓。的半徑為1,

法二由極化恒等式得

FD-FE=FO2-^DE2=^-1=一§.

4.已知正方形/88的面積為2,點尸在邊/8上，則瓦)?無的最大值是()

9

A，2B.2

33

c?2D4

答案B

解析如圖所示，取CO的中點E,

S

B<

連接尸E,由極化恒等式可得防?危=成2—反;2=|兩2—今

所以當P與重合時，I或|=寸|最大，從而(防?無)max=2.

5.已知4,/>是平面內兩個互相垂直的單位向量，若C滿足(a—c)?(∕>-c)=0,則ICl

的最大值是()

A.lB.2

C.?∣2D.坐

答案C

解析由極化恒等式(a—c>(〃一c)

=∣[(a+6-2c)2-(?-Z>)2],

V(a-c)?(?-c)=O,

所以(a+b—2c)2=(a-b)2,

故c2=(a÷ft)?c,

又因為Ial=例=1,a±b,

Λ?a-?-b?=y∣2,

于是ICFWla+例d=啦∣c∣,

.?.∣c∣≤√2.

6.已知/8為圓f+y2=1的一條直徑，點P為直線χ-y+2=0上任意一點，則

蘇?屈的最小值為()

A.lB.√2

C.2D.2√2

答案A

解析如圖所示，由極化恒等式易知，當Op與直線X—y+2=0垂直時，月?麗有

最小值，

即疥通=歷2一彷2=（何一F=]

故選A.

7.已知4?是圓O的直徑，4S長為2,C是圓O上異于48的一點，P是圓O

所在平面上任意一點，則（或+而）?反?的最小值為（）

11

A?^4B^3

C.一2D.一1

答案C

解析?'R4+PB=2PO,

:.（PA+PB?PC=2PO-PC,

取OC中點。（圖略），由極化恒等式得，POPC=?PD?1-∣∣δc∣2=?PD?2-^,

又I尸Z）Rin=0,

.?.（或+兩）?元的最小值為一亍

8.已知AZBC是邊長為2的等邊三角形，P為平面/8C內一點，則可?（而+兩

的最小值為（）

C3

A.一2B.一2

4

C.-2D.-1

答案B

解析取BC的中點。，連接Z。，PD,取的中點E,連接PE

]?/?

由AZBC是邊長為2的等邊三角形，E為中線的中點得ZE=”。=：-,

則蘇?(麗+無)

=2PA-PD=2(?PE^-?EA^

=2|兩2_曾2240-1

3

=一》當且僅當I而∣=o時，取等號，

.?.再?(麻+元)的最小值為一,

9.已知正方形ABCD的邊長為I,點E是46邊上的動點，則無?歷的值為.

答案1

解析取ZE中點O,設〃E=X(OWXW1),則〃0=5，J.DEDA=?DO^~^AE^

2

=12+?)+=L

10.在4/8C中，AB=6,AC=5,4=120。，動點尸在以C為圓心，2為半徑的圓

上，則蘇?麗的最小值為.

答案16

解析設/8的中點為M,則蘇?麗=聞Z2一同2=]兩2-9,

所以要求成?屆的最小值，只需求I兩的最小值，

顯然當點尸為線段MC與圓的交點時，I兩取得最小值，最小值為幽C∣-2.

在4ZΛ∕C中，由余弦定理得∣Λ∕C∣2=32+52—2X3X5XCoS120o=49,

所以IMeI=7,

所以I兩的最小值為5,

則可?麗的最小值為16.

IL在RtZ?∕8C中，CA=CB=2,M,N是斜邊48上的兩個動點，且MN=巾,

則CM-函的取值范圍是.

「

答案悖32^]

解析取MV的中點為P,由極化恒等式得血?函=宙一:“v∣2=∣兩2一/

當P為ZB的中點時，I序I取最小值為啦，

則W訪函的最小值為5；

當“與4（或N與5）重合時，I浮I取最大值為手，則應/.的的最大值為2,

-3^

所以昆曲的取值范圍是[受，2.

12.已知45為圓O的直徑,Al為圓O的弦CD上一動點,/8=8,8=6,則說!?施

的取值范圍是.

答案[—9,0]

解析如圖，取CO的中點G,連接OG,MO,CO,得OGLC0,

22

MAMB=?M0^~^l?BA∣=?M0?-16,

V∣?C∣≥∣?≥∣0G∣,

Λ√7≤∣?≤4,

.?MAMB≡[-9,0],

二'創新拓展練

13.若點。和點尸分別為橢圓?+[=1的中心和左焦點，點P為橢圓上的任意一

點，則必?存的最大值為（）

A.2B.3

C.6D.8

答案C

如圖，由已知。取中點連接由極化恒等式得：

解析b=1,JFOE,PE,OPFP

=|兩2一占時三I兩2一",

Y當尸在橢圓右頂點時，I無F有最大值，

?Lx=y,

.?.5A?麗的最大值為6.

14.（多選）已知在a∕8C中，PO是邊/8上一定點，滿足Po8=%8,且對于邊/8

上任一點P,恒有越?無2戶由?屈7,貝女）

?.PB-PC=PD2-DB1

B.存在點p,使∣M∣<∣R力I

C.PζCAB=Q

V）,AC=BC

答案AD

解析如圖所示，取BC的中點。，連接P。，

根據向量的極化恒等式，

有戶及無=玩）2—方方2,pζβpζc=P^D1-DB2