浙江省紹興市2023年中考數(shù)學試卷一、選擇題1.(2023·紹興)如果向東走2m記為+2m，那么向西走3米可記為〔

〕A.

+3m

B.

+2m

C.

-3m

D.

-2m【答案】C【考點】正數(shù)和負數(shù)的認識及應用【解析】【解答】解：如果向東走2m記為+2m，那么向西走3米可記為-3m；

故答案為：C。

【分析】根據(jù)正數(shù)與負數(shù)可以表示具有相反意義的量，即可得出答案。2.(2023·紹興)綠水青山就是金山銀山，為了創(chuàng)造良好的生態(tài)生活環(huán)境，浙江省2023年清理河湖庫塘淤泥約為116000000方，數(shù)字116000000用科學記數(shù)法可以表示為〔

〕A.

1.16×109

B.

1.16×108

C.

1.16×107

D.

0.116×109【答案】B【考點】科學記數(shù)法—表示絕對值較大的數(shù)【解析】【解答】解：116000000=1.16×108

故答案為：B

【分析】用科學計數(shù)法表示絕對值較大的數(shù)，一般表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10,n等于原數(shù)的整數(shù)位數(shù)減一。3.(2023·紹興)有6個相同的立方體搭成的幾何體如以下列圖，那么它的主視圖是〔

〕A.

B.

C.

D.

【答案】D【考點】簡單組合體的三視圖【解析】【解答】解：觀察圖形可知其主視圖是

故答案為：D

【分析】簡單幾何體的組合體的主視圖，就是從前向后看得到的正投影，通過觀察即可得出答案。4.(2023·紹興)拋擲一枚質(zhì)地均勻的立方體骰子一次，骰子的六個面上分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6，那么朝上一面的數(shù)字為2的概率是〔

〕A.

B.

C.

D.

【答案】A【考點】概率公式【解析】【解答】解：拋擲一枚質(zhì)地均勻的立方體骰子一次，那么朝上一面的數(shù)字共出現(xiàn)六種等可能情況，其中朝上一面的數(shù)字為2的只有一種情況，那么朝上一面的數(shù)字為2的概率是

故答案為：A,

【分析】拋擲一枚質(zhì)地均勻的立方體骰子一次，那么朝上一面的數(shù)字可以是1,2,3,4,5,6六種情況，其中朝上一面的數(shù)字為2的只有一種情況，根據(jù)概率公式計算即可。5.(2023·紹興)下面是一位同學做的四道題①〔a+b〕2=a2+b2，②〔2a2〕2=-4a4，③a5÷a3=a2，④a3·a4=a12。其中做對的一道題的序號是〔

〕A.

①

B.

②

C.

③

D.

④【答案】C【考點】同底數(shù)冪的乘法，同底數(shù)冪的除法，完全平方公式及運用，積的乘方【解析】【解答】解：①〔a+b〕2=a2+2ab+b2，故①錯誤；②〔2a2〕2=4a4，故②錯誤；③a5÷a3=a2；故③正確；④a3·a4=a7故④錯誤。

故答案為：C

【分析】根據(jù)同底數(shù)的冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減；根據(jù)同底數(shù)的冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加；積的乘方，等于把積中的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘；完全平方公式的展開式是一個三項式，首平方，尾平方，積的2倍放中央；利用法那么，一一判斷即可。6.(2023·紹興)如圖，一個函數(shù)的圖像由射線BA，線段BC，射線CD，其中點A〔-1，2〕，B〔1，3〕，C〔2，1〕，D〔6，5〕，那么此函數(shù)〔

〕A.

當x＜1，y隨x的增大而增大

B.

當x＜1，y隨x的增大而減小

C.

當x＞1，y隨x的增大而增大

D.

當x＞1，y隨x的增大而減小【答案】A【考點】函數(shù)的圖象，分段函數(shù)【解析】【解答】解：觀察圖像可知：圖像分為三段，從四個答案來看，界點都是1，從題干來看，就是看B點的左邊與右邊的圖像問題，B點左邊圖像從左至右上升，y隨x的增大而增大，即當x＜1，y隨x的增大而增大；B點右邊圖像一段從左至右上升，y隨x的增大而增大，一段圖像從左至右下降y隨x的增大而減小；即當2＞x＞1時，y隨x的增大而減小；x＞2時y隨x的增大而增大；比較即可得出答案為：A。

【分析】這是一道分段函數(shù)的問題，從四個答案來看，界點都是1，從題干來看，就是看B點的左邊與右邊的圖像問題，B點左邊圖像從左至右上升，y隨x的增大而增大，B點右邊圖像一段從左至右上升，y隨x的增大而增大，一段圖像從左至右下降y隨x的增大而減小。7.(2023·紹興)學校門口的欄桿如以下列圖，欄桿從水平位置BD繞O點旋轉(zhuǎn)到AC位置，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分別為B，D，AO=4，AB=1.6m，CO=1m，那么欄桿C端應下降的垂直距離CD為〔

〕

A.

0.2m

B.

0.3m

C.

0.4m

D.

0.5m【答案】C【考點】平行線的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)【解析】【解答】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴AB∥CD,∴△ABO∽△CDO,∴AO∶CO=AB∶CD,即4∶1=1.6∶CD,∴CD=0.4米

故答案為：C。

【分析】根據(jù)垂直于同一直線的兩條直線互相平行得出AB∥CD，根據(jù)平行于三角形一邊的直線截其他兩邊，所截得三角形與原三角形相似得出△ABO∽△CDO，根據(jù)相似三角形對應邊城比例得AO∶CO=AB∶CD，從而列出方程，求解即可。8.(2023·紹興)利用如圖1的二維碼可以進行身份識別，某校建立了一個身份識別系統(tǒng)，圖2是某個學生的識別圖案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，將第一行數(shù)字從左到右依次記為a，b，c，d，那么可以轉(zhuǎn)換為該生所在班級序號，其序號為a×23+b×22+c×21+d×20。如圖2第一行數(shù)字從左到右依次為0，1，0，1，序號為0×23+1×22+0×21+1×20=5，表示該生為5班學生，表示6班學生的識別圖案是〔

〕A.

B.

C.

D.

【答案】B【考點】代數(shù)式求值【解析】【解答】解：A、序號為：1×23+0×22+1×21+0×20=11，故A不適合題意；

B、序號為：0×23+1×22+1×21+0×20=6，故B適合題意；

C、序號為：1×23+0×22+0×21+1×20=9，故C不適合題意；

D、序號為：0×23+1×22+1×21+1×20=7，故D不適合題意；

故答案為：B

【分析】根據(jù)黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，將第一行數(shù)字從左到右依次記為a，b，c，d，那么可以轉(zhuǎn)換為該生所在班級序號，其序號為a×23+b×22+c×21+d×20，將每一個身份識別系統(tǒng)按程序算出序號，即可一一判斷。9.(2023·紹興)假設拋物線y=x2+ax+b與x軸兩個交點間的距離為2，稱此拋物線為定弦拋物線。某定弦拋物線的對稱軸為直線x=1，將此拋物線向左平移2個單位，再向下平移3個單位，得到的拋物線過點〔

〕A.

〔-3，-6〕

B.

〔-3，0〕

C.

〔-3，-5〕

D.

〔-3，-1〕【答案】B【考點】二次函數(shù)圖象的幾何變換，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式【解析】【解答】解：根據(jù)定弦拋物線的定義及某定弦拋物線的對稱軸為直線x=1，從而得出該拋物線與兩坐標軸的交點為〔0,0〕，〔2,0〕，將〔0,0〕，〔2,0〕分別代入y=x2+ax+b得b=0,a=-2,故拋物線的解析式為：y=x2-2x=(x-1)2-1,將將此拋物線向左平移2個單位，再向下平移3個單位，得到的拋物線為：y=(x+1)2-4;然后將x=-3代入得y=0,故新拋物線經(jīng)過點〔-3，0〕

故答案為：B。

【分析】首先根據(jù)題意得出拋物線與坐標軸交點的坐標，然后將這兩點的坐標分別代入拋物線的解析式得出a,b的值，從而得出定弦拋物線的解析式，再根據(jù)平移規(guī)律得出新拋物線的解析式，然后將x=-3代入得y=0從而得出答案。10.(2023·紹興)某班要在一面墻上同時展示數(shù)張形狀、大小均相同的矩形繪畫作品，將這些作品拍成一個矩形〔作品不完全重合〕。現(xiàn)需要在每張作品的四個角落都釘上圖釘，如果作品有角落相鄰，那么相鄰的角落共享一枚圖釘〔例如，用9枚圖釘將4張作品釘在墻上，如圖〕。假設有34枚圖釘可供選用，那么最多可以展示繪畫作品〔

〕A.

16張

B.

18張

C.

20張

D.

21張【答案】D【考點】探索數(shù)與式的規(guī)律【解析】【解答】解：①如果所有的畫展示成一行，34枚圖釘最多可以展示16張畫，②如果所有的畫展示成兩行，34枚圖釘最多可以展示20張畫，③如果所有的畫展示成兩行，34枚圖釘最多可以展示21張畫，

故答案為：D。

【分析】分類討論：分別找出展示的畫展成一行，二行，三行的時候，34枚圖釘最多可以展示的畫的數(shù)量再比較大小即可得出答案。二、填空題11.(2023·紹興)因式分解：4x2-y2=________。【答案】〔2x+y〕〔2x-y〕【考點】因式分解﹣運用公式法【解析】【解答】解：原式=〔2x〕2-y2=〔2x+y〕〔2x-y〕

【分析】直接利用平方差公式法分解即可。12.(2023·紹興)我國明代數(shù)學讀本?算法統(tǒng)宗?一書中有這樣一道題：一支竿子一條索，索比竿子長一托，對折索子來量竿，卻比竿子短一托。如果1托為5尺，那么索長________尺，竿子長為________尺。【答案】20；15【考點】一元一次方程的實際應用-和差倍分問題【解析】【解答】解：設竿子長為x尺，那么索長為〔x+5〕尺，由題意得

解得：x=15,故索長為：15+5=20尺

故答案為：15,20.

【分析】設竿子長為x尺，那么索長為〔x+5〕尺，根據(jù)，對折索子來量竿，卻比竿子短一托列出方程，求解即可得出答案。13.(2023·紹興)如圖，公園內(nèi)有一個半徑為20米的圓形草坪，A，B是圓上的點，O為圓心，∠AOB=120°，從A到B只有路弧AB，一局部市民走“捷徑〞，踩壞了花草，走出了一條小路AB。通過計算可知，這些市民其實僅僅少走了________步〔假設1步為0.5米，結(jié)果保存整數(shù)〕。〔參考數(shù)據(jù)：≈1.732，π取3.142〕

【答案】15【考點】垂徑定理，弧長的計算，銳角三角函數(shù)的定義【解析】【解答】解：連接AB，過點O作OC⊥AB于點C,

∴AB=2OC,∠OCA=90o,∠AOC=60o,∴AC=OA·Sin60o=20×=10，∴AB==34.64,弧AB==41.89,∴41.89-34.64=7.25米，7.25÷0.5≈15步。

故答案為：15

【分析】連接AB，過點O作OC⊥AB于點C,根據(jù)垂徑定理得出AB=2OC,∠OCA=90o,∠AOC=60o，根據(jù)正切函數(shù)的定義由AC=OA·Sin60o得出AC的長度，進而得出AB的長度，根據(jù)弧長公式計算出弧AB的長，從而算出答案。14.(2023·紹興)等腰三角形ABC中，頂角A為40°，點P在以A為圓心，BC長為半徑的圓上，且BP=BA，那么∠PBC的度數(shù)為________。【答案】30°或110°【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)【解析】【解答】解：此題分兩種情況：①點P在AB的左側(cè)，連接PA，如圖，

∴BC=PA,∵等腰三角形ABC中，頂角A為40°，∴∠ABC=70o,AB=AC,又∵BP=BA，∴AC=BP,∴四邊形APBC是平行四邊形，∴AC∥PB,∴∠CAB=∠PBA=40o,∴∠PBC=∠PBA＋∠ABC=110o,

②點P在在AB的右側(cè)，連接PA，如圖，

∴BC=PA，,∵等腰三角形ABC中，頂角A為40°，∴∠ABC=70o,AB=AC,又∵BP=BA，∴AC=BP,在△ABP與△BAC中，∵AB=BA,AP=BC,AC=BP,∴△ABP≌△BAC,∴∠ABP=∠BAC=40o,∴∠PBC=∠ABC-∠ABP=30o.

故答案為：30°或110°

【分析】此題分兩種情況：①點P在AB的左側(cè)，連接PA，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)由等腰三角形ABC中，頂角A為40°，得出∠ABC=70o,AB=AC,又BP=BA，故AC=BP,根據(jù)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形得出：四邊形APBC是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對邊平行得出AC∥PB,根據(jù)二直線平行內(nèi)錯角相等得出∠CAB=∠PBA=40o,根據(jù)∠PBC=∠PBA＋∠ABC得出答案；,②點P在在AB的右側(cè)，連接PA，根據(jù)等腰三角形ABC中，頂角A為40°，∴得出∠ABC=70o,AB=AC,又BP=BA，故AC=BP由SSS判斷出△ABP≌△BAC,根據(jù)全等三角形的對應角相等得出∠ABP=∠BAC=40o,根據(jù)∠PBC=∠ABC-∠ABP得出答案。15.(2023·紹興)過雙曲線上的動點A作AB⊥x軸于點B，P是直線AB上的點，且滿足AP=2AB，過點P作x軸的平行線交此雙曲線于點C，如果△APC的面積為8，那么k的值是________。【答案】12或4【考點】點的坐標，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征【解析】【解答】解：此題分兩種情況：①點P在B點的下方，設A〔a,〕∵過點A作AB⊥x軸于點B，P是直線AB上的點，且滿足AP=2AB，∴P(a,-),∵過點P作x軸的平行線交此雙曲線于點C,∴C(-a,-),∴PC=2a,AP=,∵S△APC=PC·AP=8,∴K=4;②點P在點A的上方，設A〔a,〕，∵過點A作AB⊥x軸于點B，P是直線AB上的點，且滿足AP=2AB，∴P〔a,〕,∵過點P作x軸的平行線交此雙曲線于點C,∴C〔,〕,∴pc=,PA=,∵S△APC=PC·AP=8,∴K=12;

故答案為：12或4

【分析】此題分兩種情況：①點P在B點的下方，設出A點的坐標，進而得出B，C兩點的坐標，PC的長度，AP的長度，根據(jù)S△APC=PC·AP=8得出關(guān)于k的方程，求解得出k的值；;②點P在點A的上方設出A點的坐標，進而得出B，C兩點的坐標，PC的長度，AP的長度，根據(jù)S△APC=PC·AP=8得出關(guān)于k的方程，求解得出k的值。16.(2023·紹興)實驗室里有一個水平放置的長方體容器，從內(nèi)部量得它的高是15cm，底面的長是30cm，寬是20cm，容器內(nèi)的水深為xcm。現(xiàn)往容器內(nèi)放入如圖的長方體實心鐵塊〔鐵塊一面平放在容器底面〕，過頂點A的三條棱的長分別是10cm，10cm，ycm〔y≤10〕，當鐵塊的頂部高出水面2cm時，x，y滿足的關(guān)系式是________。【答案】或【考點】根據(jù)實際問題列一次函數(shù)表達式【解析】【解答】解：由題意得：①600x+100(y-2)=600(y-2),整理得：;

②600x+10y×8=600×8整理得：

【分析】分類討論：①將鐵塊的兩條長分別是10cm，10cm棱所在的面平放與水槽內(nèi)，②將鐵塊的兩條長分別是10cm，ycm棱所在的面平放與水槽內(nèi);根據(jù)水的體積+沒入水中的鐵塊的體積=水槽內(nèi)水面到達的高度時的總體積列出函數(shù)關(guān)系式即可。三、解答題17.(2023·紹興)

〔1〕計算：〔2〕解方程：x2-2x-1=0【答案】〔1〕解：原式=--1+3=2

〔2〕解：∵a=1,b=-2,c=-1

∴?=b2-4ac=4+4=8,

∴x=

x=

∴x1=，x2=【考點】實數(shù)的運算，公式法解一元二次方程【解析】【分析】〔1〕根據(jù)特殊銳角的三角形函數(shù)值，算術(shù)平方根的意義，0指數(shù)的意義，負指數(shù)的意義，分別化簡，再按實數(shù)的運算順序計算即可；

〔2〕先找出原方程中a,b,c的值，計算出?的值，再根據(jù)求根公式即可算出方程的解。18.(2023·紹興)為了解某地區(qū)機年動車擁有量對道路通行的影響，學校九年級社會實踐小組對2023—2023年機動車擁有量、車輛經(jīng)過人民路路口和學校門口的堵車次數(shù)進行調(diào)查統(tǒng)計，并繪制成以下統(tǒng)計圖：

根據(jù)統(tǒng)計圖，答復以下問題〔1〕寫出2023年機動車的擁有量，分別計算2023年—2023年在人民路路口和學校門口堵車次數(shù)的平均數(shù)。〔2〕根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)，結(jié)合生活實際，對機動車擁有量與人民路路口和學校門口堵車次數(shù)，說說你的看法。【答案】〔1〕解：根據(jù)條形統(tǒng)計圖可知：2023年機動車的擁有量：3.40萬輛。根據(jù)折線統(tǒng)計圖可知：2023年—2023年在人民路路口的堵車次數(shù)分別為：54,82,86,98,124，156,196,164次，故人民路路口的堵車次數(shù)平均數(shù)為：〔54+82+86+98+124+156+196+164〕÷8=120〔次〕；

2023年—2023年在學校門口的堵車次數(shù)分別為：65,85,121,144,128,108,77,72次，故學校門口的堵車次數(shù)平均數(shù)為：〔65+85＋121＋144＋128＋108＋77＋72〕÷8=100〔次〕。

〔2〕解：如：2023—2023年，隨著機動車擁有量的增加，對道路的影響加大，年堵車次數(shù)也增加；盡管2023年機動車擁有量比2023年增加，由于進行了交通綜合治理，人民路路口堵車次數(shù)反而降低。【考點】條形統(tǒng)計圖，折線統(tǒng)計圖【解析】【分析】〔1〕根據(jù)條形統(tǒng)計圖可知就可讀出2023年機動車的擁有量；根據(jù)折線統(tǒng)計圖可讀出2023年—2023年在人民路路口的堵車次數(shù)，再算出其平均數(shù)即可；根據(jù)折線統(tǒng)計圖可讀出2023年—2023年在學校門口的堵車次數(shù)，再算出其平均數(shù)即可；

〔2〕此題是開放性的命題結(jié)合條形統(tǒng)計圖及折線統(tǒng)計圖的特點結(jié)合實際說的合理就行。19.(2023·紹興)一輛汽車行駛時的耗油量為0.1升/千米，如圖是油箱剩余油量y〔升〕關(guān)于加滿油后已行駛的路程x〔千米〕的函數(shù)圖象。〔1〕根據(jù)圖像，直接寫出汽車行駛400千米時，油箱內(nèi)的剩余油量，并計算加滿油時油箱的油量。〔2〕求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并計算該汽車在剩余油量5升時，已行駛的路程。【答案】〔1〕解：汽車行駛400千米，剩余油量30升，加滿油時，油量為70升。

〔2〕解：設y=kx+b〔k≠0〕，把點〔0，70〕，〔400，30〕坐標代入得b=70，k=-0.1，

∴y=-0.1x+70，當y=5時，x=650，即已行駛的路程為650千米。【考點】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式【解析】【分析】〔1〕根據(jù)圖像汽車行駛400千米，剩余油量30升，又油箱中的余油量+已經(jīng)用了油等于開始油箱中的油量得出答案；

〔2〕用待定系數(shù)法，根據(jù)圖像油箱剩余油量y〔升〕關(guān)于加滿油后已行駛的路程x〔千米〕的函數(shù)圖象是一條直線，用待定系數(shù)法，設y=kx+b〔k≠0〕，把點〔0，70〕，〔400，30〕坐標代入即可得出一個關(guān)于k,b的二元一次方程組，求解即可得出k,b的值，從而得出函數(shù)解析式；20.(2023·紹興)學校拓展小組研制了繪圖智能機器人〔如圖1〕，順次輸入點P1，P2，P3的坐標，機器人能根據(jù)圖2，繪制圖形。假設圖形是線段，求出線段的長度；假設圖形是拋物線，求出拋物線的函數(shù)關(guān)系式。請根據(jù)以下點的坐標，求出線段的長度或拋物線的函數(shù)關(guān)系式。

①P1〔4，0〕，P2〔0，0〕，P3〔6，6〕。

②P1〔0，0〕，P2〔4，0〕，P3〔6，6〕。【答案】①∵P1〔4，0〕，P2〔0，0〕，4-0=4＞0，

∴繪制線段P1P2，P1P2=4.

②∵P1〔0，0〕，P2〔4，0〕，P3〔6，6〕，0-0=0，

∴繪制拋物線，

設y=ax〔x-4〕，把點〔6，6〕坐標代入得a=，

∴，即。【考點】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式【解析】【分析】①根據(jù)P1的橫縱坐標的差大于0，得出應該繪制的是線段；②根據(jù)P1的橫縱坐標的差不大于0得出繪制的是拋物線，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式。21.(2023·紹興)如圖1，窗框和窗扇用“滑塊鉸鏈〞連接。圖3是圖2中“滑塊鉸鏈〞的平面示意圖，滑軌MN安裝在窗框上，托懸臂DE安裝在窗扇上，交點A處裝有滑塊，滑塊可以左右滑動，支點B，C，D始終在一直線上，延長DE交MN于點F。AC=DE=20cm，AE=CD=10cm，BD=40cm。〔1〕窗扇完全翻開，張角∠CAB=85°，求此時窗扇與窗框的夾角∠DFB的度數(shù)。〔2〕窗扇局部翻開，張角∠CAB=60°，求此時點A，B之間的距離〔精確到0.1cm〕。〔參考數(shù)據(jù)：≈1.732，≈2.449〕【答案】〔1〕解;∵AC=DE，AE=CD，

∴四邊形ACDE是平行四邊形，

∴CA∥DE，

∴∠DFB=∠CAB=85°

〔2〕如圖，過點C作CG⊥AB于點G，

∵∠CAB=60°

∴AG=20cos60°=10，

CG=20sin60°=

∵BD=40，CD=10

∴BC=30

在Rt△BCG中，BG=

∴AB=AG+BG=10+≈34.5cm。【考點】平行四邊形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，解直角三角形的應用【解析】【分析】〔1〕根據(jù)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形得出四邊形ACDE是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對邊平行得出CA∥DE，根據(jù)二直線平行，同位角相等得出答案；

〔2〕過點C作CG⊥AB于點G，在Rt△AGC中，根據(jù)余弦函數(shù)的定義由AG=20cos60°得出AG的長，根據(jù)正弦函數(shù)的定義由CG=20sin60°得出CG的長，在Rt△BCG中，由勾股定理得出BG的長，根據(jù)AB=AG+BG得出答案。22.(2023·紹興)數(shù)學課上，張老師舉了下面的例題：例1：等腰三角形ABC中，∠A=110°，求∠B的度數(shù)。〔答案：35°〕

例2：等腰三角形ABC中，∠A=40°，求∠B的度數(shù)。〔答案：40°或70°或100°〕

張老師啟發(fā)同學們進行變式，小敏編了如下一題：

變式：等腰三角形ABC中，∠A=80°，求∠B的度數(shù)〔1〕請你解答以上的表式題。〔2〕解〔1〕后，小敏發(fā)現(xiàn)，∠A的度數(shù)不同，得到∠B的度數(shù)的個數(shù)也可能不同。如果在等腰三角形ABC中，設∠A=x0，當∠B有三個不同的度數(shù)時，請你探索x的取值范圍。【答案】〔1〕解：當∠A為頂角時，那么∠B=50°，

當∠A為底角，假設∠B為頂角，那么∠B=20°，假設∠B為底角，那么∠B=80°。

∴∠B=50°或20°或80°

〔2〕分兩種情況：

①當90≤x＜180時，∠A只能為頂角，

∴∠B的度數(shù)只有一個。

②當0＜x＜90時，

假設∠A為頂角，那么∠B=

假設∠A為底角，那么∠B=x0或∠B=〔180-2x〕0

當≠180-2x且≠x且180-2x≠x，那么x≠60時，∠B有三個不同的度數(shù)。

綜上①②，當0＜x＜90且x≠60時，∠B有三個不同的度數(shù)。【考點】等腰三角形的性質(zhì)【解析】【分析】〔1〕根據(jù)等腰三角形的頂角可以是鈍角，也可以是直角，還可以是銳角，故當給的角是銳角時，應該分類討論：①當∠A為頂角時，②當∠A為底角，假設∠B為頂角，③當∠A為底角，假設∠B為底角；即可一一計算得出答案；

〔2〕分兩種情況：①當90≤x＜180時，∠A只能為頂角，故∠B的度數(shù)只有一個；②當0＜x＜90時，假設∠A為頂角，∠B為底角；當∠A為底角，假設∠B為頂角；當∠A為底角，假設∠B為底角；且當x≠60時∠B有三個不同的度數(shù)。23.(2023·紹興)小敏思考解決如下問題：原題：如圖1，點P，Q分別在菱形ABCD的邊BC，CD上，∠PAQ=∠B，求證AP=AQ。

〔1〕小敏進行探索，假設將點P，Q的位置特殊化：把∠PAQ繞點A旋轉(zhuǎn)得到∠EAF，使AE⊥BC，點E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，如圖2，此時她證明了AE=AF。請你證明。〔2〕受以上〔1〕的啟發(fā)，在原題中，添加輔助線：如圖3，作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn)。請你繼續(xù)完成原題的證明。〔3〕如果在原題中添加條件：AB=4，∠B=60°，如圖1，請你編制一個計算題〔不標注新的字母〕，并直接給出答案。【答案】〔1〕如圖1，在菱形ABCD中，∠B+∠C=180°，∠B=∠D，AB=AD，

∵∠EAF=∠B，

∴∠C+∠EAF=180°，

∴∠AEC+∠AFC=180°，

∵AE⊥BC，

∴∠AEB=∠AEC=90°，

∴∠AFC=90°，∠AFD=90°，

∴△AEB≌△AFD

∴AE=AF

〔2〕如圖2，

由〔1〕，∵∠PAQ=∠EAF=∠B，

∴∠EAP=∠EAF-∠PAF=∠PAQ-∠PAF=∠FAQ，

∵AE⊥BC，AF⊥CD，

∴∠AEP=∠AFQ=90°，

∵AE=AF，

∴△AEP≌△AFQ，

∴AP=AQ

〔3〕①求∠D的度數(shù)，答案：∠D=60°。

②分別求∠BAD，∠BCD的度數(shù)。答案：∠BAD-∠BCD=120°。

③求菱形ABCD的周長。答案：16。

④分別求BC，CD，AD的長。答案：4，4，4。

①求PC+CQ的值。答案：4.

②求BP+QD的值。答案：4.

③求∠APC+∠AQC的值。答案：180°。

①求四邊形APCQ的面積。答案：。

②求△ABP與△AQD的面積和。答案：。

③求四邊形APCQ的周長的最小值。答案：。

④求PQ中點運動的路徑長。答案：。【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，幾何圖形的動態(tài)問題【解析】【分析】〔1〕根據(jù)菱形的性質(zhì)得出∠B+∠C=180°，∠B=∠D，AB=AD，又∠EAF=∠B，根據(jù)等量代換得出∠C+∠EAF=180°，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和得出∠AEC+∠AFC=180°，根據(jù)垂直的定義得出∠AEB=∠AEC=90°，進而得出∠AFC=90°，∠AFD=90°，利用AAS判斷出△AEB≌△AFD，根據(jù)全等三角形對應邊相等得出AE=AF；

〔2〕根據(jù)∠PAQ=∠EAF=∠B，根據(jù)等式的性質(zhì)得出∠EAP=∠FAQ，根據(jù)垂直的定義由AE⊥BC，AF⊥CD，得出∠AEP=∠AFQ=90°，利用ASA判斷出△AEP≌△AFQ，根據(jù)全等三角形對應邊相等得出AP=AQ；

〔3〕此題是開放性的命題，答案是多種多樣的，可以根據(jù)菱形的性質(zhì)對角相等，鄰角互補，四邊相等來設計；也可以根據(jù)菱形的性質(zhì)，及三角形全等的性質(zhì)來設計；還可以根據(jù)動點問題設計更高難度的題。24.(2023·紹興)如圖，公交車行駛在筆直的公路上，這條路上有A，B，C，D四個站點，每相鄰兩站之間的距離為5千米，從A站開往D站的車成為上行車，從D站開往A站的車稱為下行車。第一班上行車、下行車分別從A站、D站同時發(fā)車，相向而行，且以后上行車、下行車每隔10分鐘分別在A，D站同時發(fā)一班車，乘客只能到站點上、下車〔上、下車的時間忽略不計〕，上行車、下行車的速度均為30千米/小時。〔1〕問第一班上行車到B站、第一班下行車到C站分別用時多少？〔2〕假設第一班上行車行駛時間為t小時，第一班上行車與第一班下行車之間的距離為s千米，求s與t的函數(shù)關(guān)系式。〔3〕一乘客前往A站辦事，他在B，C兩站地P處〔不含B，C〕，剛好